专题02 二项分布、超几何分布及正态分布的应用（专项训练）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

专题02 二项分布、超几何分布及正态分布 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二项分布 4 题型二、超几何分布 6 题型三、正态分布（常考点） 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二项分布 1.英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象．如图是一个高尔顿钉板的设计图，每个黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗钉子的正中间，小球每次下落，将随机地向两边等概率下落．数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板，放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍．当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置．若一个小球从正上方落下，则经过5层钉板最终落到4号位置的概率是（    ） A． B． C． D． 2.（多选）已知随机变量，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．存在，使得 3.（多选）某健身爱好者每周进行两次跑步训练，每次跑步距离为5km或6km，第一次跑步距离为5km或6km的概率均为，若第一次跑步距离为5km，则第二次跑步距离为5km的概率为，跑步距离为6km的概率为；若第一次跑步距离为6km，则第二次跑步距离为5km的概率为，跑步距离为6km的概率为.若一周跑步距离超过10km可以评定为“运动达人”，则（    ） A．该人一周的跑步距离为12km的概率为 B．该人一周的跑步距离为11km的概率为 C．已知该人被评定为“运动达人”，则该人一周内跑步距离为12km的概率为 D．若该人在连续的4周内被评定为“运动达人”的次数为，则的数学期望 4.（多选）已知随机变量X，Y满足，且则下列说法正确的（   ） A． B． C． D． 5.（多选）已知随机变量，其中，则（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则，，1，2，…，6 D．若，则X取值为奇数的概率小于 6.（多选）下列说法正确的是（   ） A．若随机变量服从两点分布，且，则 B．某实验室有6只小白鼠，其中有3只已经测量过某项指标，若从这6只小白鼠中随机取出3只，则恰好有2只测量过该指标的概率为 C．若随机变量服从二项分布，则 D．若随机变量服从二项分布，且，则， 7.（多选）某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为、、，现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行某项兴趣调查.已知抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣，现从这人中随机抽取人做进一步的深入访谈，用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则（    ） A．从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为人、人、人 B．随机变量 C．随机变量的数学期望为 D．若事件“抽取的3人都感兴趣”，则 8.在2025年春晚《秧BOT》机器人节目中，有16个机器人参与表演.该人工智能机器人团队将传统艺术与现代科技完美融合，表演非物质文化遗产“转手绢”并完成复杂队形变换.这一创新表演不仅展示了我国人工智能技术的飞速发展，也体现了科技赋能传统文化的实践创新.某项研究表明，每个机器人独立完成转手绢动作成功的概率为0.8.在队形变换环节，机器人的表现存在差异：每个机器人若转手绢成功，则其队形变换成功的概率为0.9；若转手绢失败，则队形变换成功的概率为0.6. (1)若从该团队中随机抽取3个机器人调查研究，记X为成功完成转手绢动作的机器人个数，求X的分布列及数学期望； (2)若随机抽取一个机器人，已知其队形变换成功，求它转手绢成功的概率. 9.中国抗日战争胜利周年阅兵仪式既彰显了我国强大的军事实力，也显示我国强劲的军工制造能力．已知某国产军工零件成箱包装，每箱个，每一箱零件工厂在交付前要对其进行检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验的方式为：先从这箱零件中任取个作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有零件作检验．设每个零件为不合格品的概率均为，且各零件是否为不合格品相互独立． (1)求个零件中恰有个不合格品的概率； (2)现有一箱零件已经检验了个，并对不合格品做了更换．已知每个零件的检验费用为元，若剩余的零件中有不合格品进行了交付，则工厂要对每个不合格品支付元的赔偿费用．以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有零件作检验？请说明你的理由． 10.2025年7月6日晚，“浙BA”揭幕战在绍兴诸暨打响，“浙BA”作为浙江省城市篮球联赛，不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球､足球､排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为.甲同学回答篮球､足球､排球这三类问题中每个题的正确率分别为. (1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得-1分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望； (3)知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励.现以获得奖励的概率大小为依据，若甲同学在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由. 题型二、超几何分布 11.目前，多地大力实施“冰雪惠民计划”，推行“冰雪+”战略，构建冰雪经济体系，促进冰雪运动产业转型，从而有效带动赛事经济以及冰雪体育产业实现高质量发展．某地因此举行滑冰运动，有8人进入决赛，其中男生5人，女生3人，随机抽取2人，则抽取到的男生人数的期望为（    ） A． B． C． D． 12.从装有4个白球，2个红球的盒子中逐个不放回地摸取小球.若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分，按照规则从盒子中任意抽取2个球，所得分数的期望为（   ） A． B．2 C． D． 13.（多选）袋中有10个大小相同的小球，其中6个白球和4个黑球，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．现在从袋中摸出2个球，表示摸到白球的个数，设事件：第一次摸到白球，事件：第二次摸到白球，则（   ） A． B． C． D． 14.下列随机变量中，服从超几何分布的有 ．（填序号） ①在10件产品中有3件次品，每次随机取1件且不放回，共取4次，记取到的次品数为X； ②从3台甲型电视机和2台乙型电视机中任取2台，记X表示所取的2台电视机中甲型电视机的台数； ③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯数为随机变量X． 15.某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．    (1)估计该地区本次物理测试的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前60%的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） (3)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量X，求X的分布列及数学期望． 16.有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是有放回摸球，每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是不放回摸球，每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． (1)若， （i）求随机变量Y的分布列和数学期望： （ii）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． (2)若，求当取得最大值时的k值，并说明理由． 17.工厂要对2024年12月份生产的N件产品中随机抽取3件做质量分析，已知其中A等品占，B等品占． (1)当时， ①求出3件产品中恰有2件A等品的概率； ②求出3件产品中A等品个数X的分布列与数学期望； (2)当总量N足够大，抽出的个体数量足够小时，超几何分布近似为二项分布．现在在2024年全年生产的产品范围内考虑从件产品（A，B等品比例不变）中随机抽取3件，在超几何分布中A等品恰有2件的概率记作；在二项分布中A等品恰有2件的概率记作．那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过的前提下，认为超几何分布近似为二项分布． （参考数据：，） 题型三、正态分布（常考点） 18.已知随机变量，且，则的展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 19.已知随机变量且，则（    ） A．0.0455 B．0.9545 C．0.02275 D．0.47725 20．（25-26高二上·湖北黄冈·期中）已知随机变量，，且，若，则（    ） A．0.09 B．0.82 C．0.91 D．0.21 21.某果园中某品种水果的单果质量（单位：）服从正态分布，且，若从该果园中随机选取个该品种水果，则质量在的水果个数的期望为（   ） A． B． C． D． 22.某校舞蹈队队员的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，则（    ） （附：若，则，） A．0.6827 B．0.8414 C．0.9544 D．0.9772 23.已知随机变量，设函数，则的图象大致为（   ） A． B． C． D． 24.（湖北省2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题）已知某品牌新能源汽车的电池使用寿命（单位：年）服从正态分布，其质保政策规定：电池寿命低于年可免费更换. (1)求任意一辆该品牌汽车享受免费更换电池的概率（精确到）； (2)某出租车公司购买了辆该品牌汽车，记为免费享受更换的车辆数，利用（1）的结果，求的分布列和数学期望. 附：若随机变量服从正态分布，则. 25.某工厂生产一种零件，其长度 （单位：mm）服从正态分布. (1)求零件长度在 内的概率； (2)从一批零件中随机抽取 10 个，设长度在 内的零件个数为，求. （参考数据： ） 26.某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下: 零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0] 零件个数 10 25 30 25 10 (1)经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间的概率. (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望. 参考数据: 若随机变量，则，，. 27．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）为科普航空航天知识，某学校举办了一次“航空航天知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前100名的学生可以参加决赛.已知共有2000名学生参加了初赛，初赛成绩服从正态分布，其中. (1)已知学生甲的初赛成绩为88分，利用该正态分布，估计学生甲是否有资格参加决赛； (2)决赛规则如下： ①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩； ②每位学生需解答10道决赛题，每题5分；每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分； 已知参加决赛的学生乙的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立，求他决赛成绩的数学期望和方差. 附：若，则，. 28.实验测量中，测量数据往往存在误差，故测量数据常常服从正态分布.在一次实验测量中，某同学的测量数据近似服从正态分布，且. (1)在的条件下，求的概率； (2)已知事件“”与事件“”相互独立，求实数； (3)若认为该实验在时测量精度较高，且已知随机变量时，，请评价本次实验测量的测量精度. 1.（24-25高二下·湖北恩施·期末）（多选）已知盒子中有12个样品，6个不同的正品和6个不同的次品，现从中逐个抽取5个样品.方案一：有放回地抽样，记取得次品个数为X；方案二：不放回地抽样，记取得次品个数为Y，则（   ） A． B．当或3时，最大 C． D．两种方案中第三次抽到次品的概率均为 2.（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若随机变量，，则 B．设随机变量ξ服从正态分布，若，则 C．某射击运动员每次射击击中目标的概率均为0.8，设击中目标的次数为X，则在9次射击中，当且仅当时概率最大 D．对于随机事件A与B，若，则事件A与B独立 3.（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）（多选）已知随机变量服从正态分布，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C． D．随机变量落在与落在的概率相等 4．（2025·福建三明·模拟预测）（多选）已知某精密仪器测量金属薄片的误差服从正态分布，随机抽取10个测量数据，设为这10个数据误差在之外的个数，下列说法正确的是（已知若随机变量，则）（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·广东中山·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 B．若随机变量，则方差 C．若随机变量，，则 D．已知随机变量的分布列为，则 6.为宣扬中国文化，某校组织古诗词知识比赛.比赛分为两阶段，第一阶段为基础知识问答，每位选手都需要回答3个问题，答对其中至少2个问题，进入第二阶段，否则被淘汰；第二阶段分高分组和低分组，第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组，共回答4个问题，每答对一个得20分，答错不得分；第一阶段答对2个问题的选手进入低分组，共回答4个问题，每答对一个得10分，答错不得分.第一阶段，每个问题选手甲答对的概率都是；第二阶段，若选手甲进入高分组，每个问题答对的概率都是，若选手甲进入低分组，每个问题答对的概率都是. (1)求选手甲第一阶段不被淘汰的概率； (2)求选手甲在该次比赛得分数为40分的概率； (3)已知该次比赛选手甲进入了高分组，记选手甲在该次比赛中得分数为，求随机变量的分布列和期望值. 7.（25-26高二上·广东·期中）中国抗日战争胜利周年阅兵仪式既彰显了我国强大的军事实力，也显示我国强劲的军工制造能力．已知某国产军工零件成箱包装，每箱个，每一箱零件工厂在交付前要对其进行检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验的方式为：先从这箱零件中任取个作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有零件作检验．设每个零件为不合格品的概率均为，且各零件是否为不合格品相互独立． (1)求个零件中恰有个不合格品的概率； (2)现有一箱零件已经检验了个，并对不合格品做了更换．已知每个零件的检验费用为元，若剩余的零件中有不合格品进行了交付，则工厂要对每个不合格品支付元的赔偿费用．以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有零件作检验？请说明你的理由． 8.（24-25高二上·海南·期中）全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数； (2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，求的分布列和数学期望； 9.（25-26高二上·湖南长沙·期中）某高中学校计划通过体质测试，了解学生体质健康水平．规定按照成绩由高到低，前的学生测试成绩记为“优秀”．为了了解本次体质测试情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： (1)求的值并估计记为“优秀”的最低分数； (2)如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取8人，再从8人中选4人，记4人中成绩不合格（成绩低于60分）的学生人数为，求的分布列与期望； (3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得．体质监测中心计划从全市抽取名高中生进行体质测试，记这名高中生的体质测试成绩恰好落在区间内的人数为，求的数学期望． 参考数据：若，则． 10.（2025·广东·模拟预测）已知某企业加工某零件，根据长期检测结果，得知该企业生产的零件的质量指标值服从正态分布．现从该企业生产的零件中随机抽取100件，其质量指标值的样本数据统计情况如图所示． (1)求这100件零件的质量指标值的样本平均数和样本方差．（同一组的数据用该组区间的中点值作代表） (2)用这100件零件的质量指标值的样本平均数作为的估计值，样本标准差作为的估计值．若质量指标值在内的产品为优等品，根据正态分布，求该企业生产的产品为优等品的概率． 附：取， ，，． 10.（2025·全国·模拟预测）向日葵是菊科向日葵属的一年生草本植物．因花序随太阳转动而得名，深受人们喜欢，某向日葵基地为促进该基地旅游业发展，特邀请一文旅公司制作文旅创收方案． (1)公司调查发现该基地成熟向日葵花盘直径（单位：cm）近似服从正态分布．试估计一游客在该基地任摘一颗成熟向日葵，其花盘直径在的概率； (2)该公司特设置一游戏，根据游戏结果对游客全程所有消费进行打折，该游戏有两种方案，游客在这两种方案中任选一种参加游戏．方案一：不透明袋子里装有2个红球，4个白球，顾客从中一次性摸出3个球，若摸出2个红球1个白球获得“六折优惠”，若摸出1个红球2个白球获得“八折优惠”，若摸出3个白球不优惠．方案二：如图游客开始站在①位置，游客每掷一次骰子，就沿顺时针方向移动一次．若掷出正面朝上数字为奇数，游客就向前移动1格；若掷出正面朝上数字为偶数，游客就向前移动2格．游客重复掷骰子直到游客第一次到达⑨位置获得“九折优惠”或第2次到达①位置获得“七点五折优惠”游戏结束．若想要获得最大优惠，游客应选哪个方案？说明理由． 参考数据：若，则．． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二项分布、超几何分布及正态分布 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二项分布 9 题型二、超几何分布 15 题型三、正态分布（常考点） 20 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二项分布 1.英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象．如图是一个高尔顿钉板的设计图，每个黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗钉子的正中间，小球每次下落，将随机地向两边等概率下落．数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板，放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍．当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置．若一个小球从正上方落下，则经过5层钉板最终落到4号位置的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】向左下落的概率为向右下落的概率的2倍，所以向左下落的概率为，向右下落的概率为， 又下落过程中向左一次，向右三次才能最终落到4号位置， 故此时概率为． 故选：A. 2.（多选）已知随机变量，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．存在，使得 【答案】ABC 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，， 若，则，即， 因为，， 所以，解得，故B正确； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，， 当且仅当时，有最大值为，故D错误. 故选：ABC 3.（多选）某健身爱好者每周进行两次跑步训练，每次跑步距离为5km或6km，第一次跑步距离为5km或6km的概率均为，若第一次跑步距离为5km，则第二次跑步距离为5km的概率为，跑步距离为6km的概率为；若第一次跑步距离为6km，则第二次跑步距离为5km的概率为，跑步距离为6km的概率为.若一周跑步距离超过10km可以评定为“运动达人”，则（    ） A．该人一周的跑步距离为12km的概率为 B．该人一周的跑步距离为11km的概率为 C．已知该人被评定为“运动达人”，则该人一周内跑步距离为12km的概率为 D．若该人在连续的4周内被评定为“运动达人”的次数为，则的数学期望 【答案】ACD 【详解】令事件表示第次跑步距离为，事件表示第次跑步距离为，， 所以， 令事件表示该人一周的跑步距离为12km，令事件表示该人一周的跑步距离为11km， 令事件表示该人被评定为“运动达人”， 对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：， 所以，所以，故C正确； 对于D：由，所以，故D正确. 故选：ACD. 4.（多选）已知随机变量X，Y满足，且则下列说法正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由，得，， 对于A，，A错误； 对于B，由，得，则，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 5.（多选）已知随机变量，其中，则（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则，，1，2，…，6 D．若，则X取值为奇数的概率小于 【答案】BD 【详解】，， 解得，又，所以验证不符合，故A错误； ， ， 解得，故B正确； 时，，设取得最大值， 则，即， 解得，所以不同的值会发生偏移，不一定在取得最大值， 比例时，，此时取得最大值，故C错误； 由， 时，， 时，， 所以， 又，所以， 即， 所以X取值为奇数的概率小于，故D正确； 故选：BD. 6.（多选）下列说法正确的是（   ） A．若随机变量服从两点分布，且，则 B．某实验室有6只小白鼠，其中有3只已经测量过某项指标，若从这6只小白鼠中随机取出3只，则恰好有2只测量过该指标的概率为 C．若随机变量服从二项分布，则 D．若随机变量服从二项分布，且，则， 【答案】ABD 【详解】对于A，因为随机变量服从两点分布，且，所以，所以，所以A正确； 对于B，恰好有2只测量过该指标的概率为，所以B正确； 对于C，因为随机变量服从二项分布，则，，所以，所以C错误； 对于D，因为随机变量服从二项分布，则，，又，所以,，所以D正确. 故选：ABD 7.（多选）某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为、、，现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行某项兴趣调查.已知抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣，现从这人中随机抽取人做进一步的深入访谈，用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则（    ） A．从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为人、人、人 B．随机变量 C．随机变量的数学期望为 D．若事件“抽取的3人都感兴趣”，则 【答案】AC 【详解】根据分层抽样的方法，可得： 从甲社团抽取的人数为； 从乙社团抽取的人数为； 从丙社团抽取的人数为；故A正确； 由于抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣， 用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则的可能取值有， 则， 此时服从超几何分布，故B错误， 则随机变量的数学期望为， 故C正确； 若事件“抽取的3人都感兴趣”，则，故D错误； 故选：AC. 8.在2025年春晚《秧BOT》机器人节目中，有16个机器人参与表演.该人工智能机器人团队将传统艺术与现代科技完美融合，表演非物质文化遗产“转手绢”并完成复杂队形变换.这一创新表演不仅展示了我国人工智能技术的飞速发展，也体现了科技赋能传统文化的实践创新.某项研究表明，每个机器人独立完成转手绢动作成功的概率为0.8.在队形变换环节，机器人的表现存在差异：每个机器人若转手绢成功，则其队形变换成功的概率为0.9；若转手绢失败，则队形变换成功的概率为0.6. (1)若从该团队中随机抽取3个机器人调查研究，记X为成功完成转手绢动作的机器人个数，求X的分布列及数学期望； (2)若随机抽取一个机器人，已知其队形变换成功，求它转手绢成功的概率. 【答案】(1)分布列见解析，2.4 (2) 【详解】（1）由题意得，，其分布列为：，，1，2，3. X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 数学期望为. （2）设事件A为“一个机器人转手绢成功”，事件B为“一个机器人队形变换成功”. 根据题意，， . 9.中国抗日战争胜利周年阅兵仪式既彰显了我国强大的军事实力，也显示我国强劲的军工制造能力．已知某国产军工零件成箱包装，每箱个，每一箱零件工厂在交付前要对其进行检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验的方式为：先从这箱零件中任取个作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有零件作检验．设每个零件为不合格品的概率均为，且各零件是否为不合格品相互独立． (1)求个零件中恰有个不合格品的概率； (2)现有一箱零件已经检验了个，并对不合格品做了更换．已知每个零件的检验费用为元，若剩余的零件中有不合格品进行了交付，则工厂要对每个不合格品支付元的赔偿费用．以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有零件作检验？请说明你的理由． 【答案】(1) (2)应对这箱余下的所有零件作检验，理由见解析 【详解】（1）记事件：“个零件恰有个不合格品”， 则， 即个零件恰有个不合格品的概率为. （2）设为余下个零件中的不合格品的个数，则； ①若不对该箱余下的零件作检验，这一箱零件的检验费用与赔偿费用和记为，则， ； ②若对该箱余下的零件作检验，则这一箱零件所需的检验费用为元； ，应对这箱余下的所有零件作检验. 10.2025年7月6日晚，“浙BA”揭幕战在绍兴诸暨打响，“浙BA”作为浙江省城市篮球联赛，不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球､足球､排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为.甲同学回答篮球､足球､排球这三类问题中每个题的正确率分别为. (1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得-1分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望； (3)知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励.现以获得奖励的概率大小为依据，若甲同学在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)甲应选，理由见解析 【详解】（1）设“甲同学所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球､足球､排球相关知识的题目”，则，且两两互斥. 根据题意得，， 则， 所以甲同学在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为. （2）的可能取值为， ， ， ， ， 则的分布列为： -3 1 5 9 所以. （3）当时，为甲答对题目的数量， 由题意可知，其中， 故当时，甲获奖励的概率， 当时，甲获奖励的情况可以分为如下情况： ①前8题答对题目的数量大于等于5， ②前8题答对题目的数量等于4，且最后2题至少答对1题， ③前8题答对题目的数量等于3，且最后2题全部答对， 故当时，甲获奖励的概率，所以 ， 因为，所以，即， 所以甲应选. 题型二、超几何分布 11.目前，多地大力实施“冰雪惠民计划”，推行“冰雪+”战略，构建冰雪经济体系，促进冰雪运动产业转型，从而有效带动赛事经济以及冰雪体育产业实现高质量发展．某地因此举行滑冰运动，有8人进入决赛，其中男生5人，女生3人，随机抽取2人，则抽取到的男生人数的期望为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解法1： 设抽取到的男生人数为，则的所有可能取值为0，1，2，，，，则， 解法2： 从8人中抽取2人，男生有5人，所以服从超几何分布， 则． 故选：C. 12.从装有4个白球，2个红球的盒子中逐个不放回地摸取小球.若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分，按照规则从盒子中任意抽取2个球，所得分数的期望为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】设得分为，根据题意可以取， .则，，， 则分布列为： 4 3 2 所以得分期望为. 故选：C. 13.（多选）袋中有10个大小相同的小球，其中6个白球和4个黑球，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．现在从袋中摸出2个球，表示摸到白球的个数，设事件：第一次摸到白球，事件：第二次摸到白球，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，已知第一次摸到白球，此时袋中还剩9个球，其中5个白球，所以，故B正确； 对于C，表示摸到白球的个数，从10个球中摸2个球，其中6个白球，4个黑球， 所以服从超几何分布，即，故C不正确； 对于D，，所以，故D正确； 故选：ABD 14.下列随机变量中，服从超几何分布的有 ．（填序号） ①在10件产品中有3件次品，每次随机取1件且不放回，共取4次，记取到的次品数为X； ②从3台甲型电视机和2台乙型电视机中任取2台，记X表示所取的2台电视机中甲型电视机的台数； ③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯数为随机变量X． 【答案】①② 【详解】根据超几何分布模型定义可知①中随机变量X服从超几何分布． ②中随机变量X服从超几何分布． ③中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布． 故答案为：①② 15.某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．    (1)估计该地区本次物理测试的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前60%的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） (3)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量X，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1)74分 (2)72分 (3)分布列见解析， 【详解】（1）由题意，解得， 则平均分 ，所以该地区本次物理测试的平均分为74分． （2）成绩在的频率为0.1， 在的频率为0.25，在的频率为0.3， 因为，， 所以选报物理方向的最低分x在内，则，解得，所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72分． （3）由题可知，成绩在区间的频数为， 成绩在区间的频数为， 利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在的频数为， 成绩在的频数为， 再从这7份答卷中随机抽取3份，X的所有可能取值为0，1，2， ，， ， 故X的分布列为： X 0 1 2 P 所以X的数学期望为：． 16.有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是有放回摸球，每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是不放回摸球，每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． (1)若， （i）求随机变量Y的分布列和数学期望： （ii）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． (2)若，求当取得最大值时的k值，并说明理由． 【答案】(1)（i）分布列见解析，；（ii），，； (2)，理由见解析. 【详解】（1）（i）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立， Y可取0，1，2，3，4，， ， Y服从超几何分布，Y的分布列为： Y 0 1 2 3 4 P ，所以； （ⅱ）由题意得游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖， 在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为， 对于有放回摸球，各次试验的结果互相独立，， 则， 故， 由（i）可知， 因为，所以； （2）当，则，若最大，则， 即，得，又， ，即时，取得最大值． 17.工厂要对2024年12月份生产的N件产品中随机抽取3件做质量分析，已知其中A等品占，B等品占． (1)当时， ①求出3件产品中恰有2件A等品的概率； ②求出3件产品中A等品个数X的分布列与数学期望； (2)当总量N足够大，抽出的个体数量足够小时，超几何分布近似为二项分布．现在在2024年全年生产的产品范围内考虑从件产品（A，B等品比例不变）中随机抽取3件，在超几何分布中A等品恰有2件的概率记作；在二项分布中A等品恰有2件的概率记作．那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过的前提下，认为超几何分布近似为二项分布． （参考数据：，） 【答案】(1)①；②分布列见解析， (2)145 【详解】（1）①当时，其中A等品有件，B等品有件， 则从10件产品中随机抽取3件，恰有2件A等品的概率为； ②当时，A等品有4个，B等品有6个． X服从超几何分布，，1，2，3， ，， ，， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P ． （2）， ， 由于，则， 即， 即， 由题意易知， 从而， 化简得， 又，于是． 由于函数在上单调递减，在上单调递增， 而，从而，当时单调递增， 又，． 因此当时，符合题意， 而又考虑到和都是整数，则N一定是5的整数倍，于是． 即N至少为145， 我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布． 题型三、正态分布（常考点） 18.已知随机变量，且，则的展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，∴， ∴ ， 展开式的通项为， 当时，，即. 所以的展开式中的系数为. 故选：B. 19.已知随机变量且，则（    ） A．0.0455 B．0.9545 C．0.02275 D．0.47725 【答案】C 【详解】因为随机变量，， 所以. 故选：C. 20．（25-26高二上·湖北黄冈·期中）已知随机变量，，且，若，则（    ） A．0.09 B．0.82 C．0.91 D．0.21 【答案】B 【详解】由题意得，则， 因为，所以， 即，解得， 由题意得， 由对称性可得， 则，故B正确. 故选：B 21.某果园中某品种水果的单果质量（单位：）服从正态分布，且，若从该果园中随机选取个该品种水果，则质量在的水果个数的期望为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则， 所以， 从该果园中随机选取个该品种水果，设质量在的水果个数为， 由题意可知，由二项分布的期望可得. 故选：D. 22.某校舞蹈队队员的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，则（    ） （附：若，则，） A．0.6827 B．0.8414 C．0.9544 D．0.9772 【答案】D 【详解】由，得 . 故选：D 23.已知随机变量，设函数，则的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】随机变量，， 因为， 因为，所以根据对称性可知， 所以函数的图象关于对称，故排除AC； 当时，，所以排除D． 故选：B 24.（湖北省2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题）已知某品牌新能源汽车的电池使用寿命（单位：年）服从正态分布，其质保政策规定：电池寿命低于年可免费更换. (1)求任意一辆该品牌汽车享受免费更换电池的概率（精确到）； (2)某出租车公司购买了辆该品牌汽车，记为免费享受更换的车辆数，利用（1）的结果，求的分布列和数学期望. 附：若随机变量服从正态分布，则. 【答案】(1) (2)分布列答案见解析， 【详解】（1）因为，，则， 所以任意一辆该品牌汽车享受免费更换电池的概率为 . （2）因为每辆车是否更换相互独立，且概率为，由题意可知， 由二项分布的期望公式可得， 分布列为. 25.某工厂生产一种零件，其长度 （单位：mm）服从正态分布. (1)求零件长度在 内的概率； (2)从一批零件中随机抽取 10 个，设长度在 内的零件个数为，求. （参考数据： ） 【答案】(1). (2). 【详解】（1） （2）由题意知. 26.某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下: 零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0] 零件个数 10 25 30 25 10 (1)经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间的概率. (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望. 参考数据: 若随机变量，则，，. 【答案】(1)0.8186 (2)分布列见解析，1 【详解】（1）因为零件的直径服从正态分布，所以， 则， 即. （2）由题意，随机抽取一个零件，直径在区间的概率为， 由题意知的所有可能取值为   故，， ，， ， 故X的分布列为 0 1 2 3 4 ∵满足二项分布，的数学期望为. 27．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）为科普航空航天知识，某学校举办了一次“航空航天知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前100名的学生可以参加决赛.已知共有2000名学生参加了初赛，初赛成绩服从正态分布，其中. (1)已知学生甲的初赛成绩为88分，利用该正态分布，估计学生甲是否有资格参加决赛； (2)决赛规则如下： ①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩； ②每位学生需解答10道决赛题，每题5分；每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分； 已知参加决赛的学生乙的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立，求他决赛成绩的数学期望和方差. 附：若，则，. 【答案】(1)甲有资格参加决赛 (2) 【详解】（1）由题意得 故全校2000名参加初赛的学生中成绩不低于88分的人数为， 所以甲有资格参加决赛； （2）设决赛中学生乙答对的题数为，其决赛成绩为，则， 由题意得，则， 所以. 28.实验测量中，测量数据往往存在误差，故测量数据常常服从正态分布.在一次实验测量中，某同学的测量数据近似服从正态分布，且. (1)在的条件下，求的概率； (2)已知事件“”与事件“”相互独立，求实数； (3)若认为该实验在时测量精度较高，且已知随机变量时，，请评价本次实验测量的测量精度. 【答案】(1)0.8 (2) (3)本次实验的测量精度不高 【详解】（1）在的条件下，的概率等价于， 由题意可知，其概率密度函数图象关于直线对称， 所以， 根据对称性，， 故 （2）设事件为“”，事件为“”， 且事件“”等价于事件“或”. 由题意得， 则由对称性得， 由事件“”与“”互斥，则， 因为事件与相互独立，所以， 当时，等价于事件“”， 则，解得，无解； 当时，等价于事件“”， 则，即，解得， 由于，故. 当时，等价于事件“或”. 此时有， 故由正态分布性质，拆分可得 ， 又，代入解得， 而，故，无解. 综上所述，； （3）由题可计算得， 又对于任意，由于等价于 ， 则对于任意均有， 时，同理， 故是的充要条件. 由正态分布性质有，且数据比较， 即， 故，再由上述的充要条件， 这等价于的情况，故必有，即， 故，即可做出本次实验的测量精度不高的评价. 1.（24-25高二下·湖北恩施·期末）（多选）已知盒子中有12个样品，6个不同的正品和6个不同的次品，现从中逐个抽取5个样品.方案一：有放回地抽样，记取得次品个数为X；方案二：不放回地抽样，记取得次品个数为Y，则（   ） A． B．当或3时，最大 C． D．两种方案中第三次抽到次品的概率均为 【答案】BCD 【详解】方案一中，有放回地抽样，则取得次品个数， ，， 方案二中，不放回地抽样，则取得次品个数Y服从超几何分布， 则，. 选项A，，，，A错误； 选项B，，由于，故或3时，最大，B正确； 选项C，由二项分布及超几何分布期望公式，，C正确； 选项D，方案一中，每次抽到次品的概率均为， 方案二，第三次抽到次品的情况有四种，“正正次”、“正次次”、“次正次”、“次次次”， 其中“正正次”的概率为，“正次次”的概率为， “次正次”的概率为，“次次次”的概率为， 故第三次抽到次品的概率为，D正确. 故选：BCD. 2.（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若随机变量，，则 B．设随机变量ξ服从正态分布，若，则 C．某射击运动员每次射击击中目标的概率均为0.8，设击中目标的次数为X，则在9次射击中，当且仅当时概率最大 D．对于随机事件A与B，若，则事件A与B独立 【答案】ABD 【详解】对于A，因为随机变量，所以，则，故A正确； 对于B，因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于直线对称， 又，所以，则，故B正确； 对于C，设最有可能击中k次，则，， 则，得，即或8，故C错误； 对于D，，又， 所以，即事件A与B相互独立，故D正确； 故选：ABD. 3.（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）（多选）已知随机变量服从正态分布，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C． D．随机变量落在与落在的概率相等 【答案】BCD 【详解】对于A：因为，所以，故A错误； 对于B：当时， 所以，故B正确； 对于C：因为，所以, 所以，故C正确； 对于D：因为， 由正态分布密度曲线的对称性可知，随机变量落在与的概率相等，故D正确． 故选：BCD． 4．（2025·福建三明·模拟预测）（多选）已知某精密仪器测量金属薄片的误差服从正态分布，随机抽取10个测量数据，设为这10个数据误差在之外的个数，下列说法正确的是（已知若随机变量，则）（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由题意有， 所以，故A正确； 又为这10个数据误差在之外的个数，则服从二项分布， 即，故B错误； 由二项分布的数学期望公式可得，故C正确； 由二项分布的概率公式可得，故D正确. 故选：ACD. 5．（25-26高二上·广东中山·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 B．若随机变量，则方差 C．若随机变量，，则 D．已知随机变量的分布列为，则 【答案】BCD 【详解】对于A，设至少有一名女生为事件，则，则，A错误； 对于B，因为随机变量，所以，，B正确； 对于C，根据正态分布的性质，，所以，，C正确； 对于D，，得， 可得，解得，所以，D正确； 故选：BCD 6.为宣扬中国文化，某校组织古诗词知识比赛.比赛分为两阶段，第一阶段为基础知识问答，每位选手都需要回答3个问题，答对其中至少2个问题，进入第二阶段，否则被淘汰；第二阶段分高分组和低分组，第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组，共回答4个问题，每答对一个得20分，答错不得分；第一阶段答对2个问题的选手进入低分组，共回答4个问题，每答对一个得10分，答错不得分.第一阶段，每个问题选手甲答对的概率都是；第二阶段，若选手甲进入高分组，每个问题答对的概率都是，若选手甲进入低分组，每个问题答对的概率都是. (1)求选手甲第一阶段不被淘汰的概率； (2)求选手甲在该次比赛得分数为40分的概率； (3)已知该次比赛选手甲进入了高分组，记选手甲在该次比赛中得分数为，求随机变量的分布列和期望值. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析，20 【详解】（1）选手甲第一阶段不被淘汰， 即甲回答三个问题答对其中2个或3个， 其概率为：； （2）选手甲在该次比赛得分数为40有两种情况：进入高分组，答对2个问题； 进入低分组，答对4个问题， 故概率为：； （3）由题意可知，的所有可能取值有0，20，40，60，80， 则， ， ， 所以X分布列为： X 0 20 40 60 80 P 所以. 7.（25-26高二上·广东·期中）中国抗日战争胜利周年阅兵仪式既彰显了我国强大的军事实力，也显示我国强劲的军工制造能力．已知某国产军工零件成箱包装，每箱个，每一箱零件工厂在交付前要对其进行检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验的方式为：先从这箱零件中任取个作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有零件作检验．设每个零件为不合格品的概率均为，且各零件是否为不合格品相互独立． (1)求个零件中恰有个不合格品的概率； (2)现有一箱零件已经检验了个，并对不合格品做了更换．已知每个零件的检验费用为元，若剩余的零件中有不合格品进行了交付，则工厂要对每个不合格品支付元的赔偿费用．以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有零件作检验？请说明你的理由． 【答案】(1) (2)应对这箱余下的所有零件作检验，理由见解析 【详解】（1）记事件：“个零件恰有个不合格品”， 则， 即个零件恰有个不合格品的概率为. （2）设为余下个零件中的不合格品的个数，则； ①若不对该箱余下的零件作检验，这一箱零件的检验费用与赔偿费用和记为，则， ； ②若对该箱余下的零件作检验，则这一箱零件所需的检验费用为元； ，应对这箱余下的所有零件作检验. 8.（24-25高二上·海南·期中）全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数； (2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，求的分布列和数学期望； 【答案】(1)，中位数； (2)分布列见解析，. 【详解】（1）由频率分布直方图的性质可得，， 解得， 由频率分布直方图可知： 前两组频率之和为， 前三组频率之和为， 设中位数为，则. ， 解得. 所以，估计这50名学生成绩中位数为68. （2）的三组频率之比为， 又在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中总共抽取了11人， 从中分别抽取7人，3人，1人. 由题知，从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，所有可能取值为0，1，2，3； 且，， ，. 故的分布列为： 0 1 2 3 数学期望 9.（25-26高二上·湖南长沙·期中）某高中学校计划通过体质测试，了解学生体质健康水平．规定按照成绩由高到低，前的学生测试成绩记为“优秀”．为了了解本次体质测试情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： (1)求的值并估计记为“优秀”的最低分数； (2)如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取8人，再从8人中选4人，记4人中成绩不合格（成绩低于60分）的学生人数为，求的分布列与期望； (3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得．体质监测中心计划从全市抽取名高中生进行体质测试，记这名高中生的体质测试成绩恰好落在区间内的人数为，求的数学期望． 参考数据：若，则． 【答案】(1)，88分 (2)分布列见解析， (3) 【详解】（1）由图可知， 解得. 因为， 则成绩由高到低的前分数线必在之间， 设分数线为，则，得， 则记为“优秀”的最低分数为88分. （2）样本成绩位于和的比例为， 故所抽取的个人中，来自的人数为，来自的人数为，来自的人数为， 则的所有可能取值为1，2，3，4． ， ， 所以的分布列为 1 2 3 4 方法一：. 方法二：服从参数的超几何分布，故. （3）由题意得，， 由，所以， 所以 ， 所以高中生的体质测试成绩恰好落在区间内的概率约为0.8186， 故，所以. 10.（2025·广东·模拟预测）已知某企业加工某零件，根据长期检测结果，得知该企业生产的零件的质量指标值服从正态分布．现从该企业生产的零件中随机抽取100件，其质量指标值的样本数据统计情况如图所示． (1)求这100件零件的质量指标值的样本平均数和样本方差．（同一组的数据用该组区间的中点值作代表） (2)用这100件零件的质量指标值的样本平均数作为的估计值，样本标准差作为的估计值．若质量指标值在内的产品为优等品，根据正态分布，求该企业生产的产品为优等品的概率． 附：取， ，，． 【答案】(1)， (2)0.9545 【详解】（1）． ． （2）由题意知，样本方差，故， 所以该企业生产的零件的质量指标值服从正态分布． ， 所以该企业生产的产品为优等品的概率为0.9545． 11.（2025·全国·模拟预测）向日葵是菊科向日葵属的一年生草本植物．因花序随太阳转动而得名，深受人们喜欢，某向日葵基地为促进该基地旅游业发展，特邀请一文旅公司制作文旅创收方案． (1)公司调查发现该基地成熟向日葵花盘直径（单位：cm）近似服从正态分布．试估计一游客在该基地任摘一颗成熟向日葵，其花盘直径在的概率； (2)该公司特设置一游戏，根据游戏结果对游客全程所有消费进行打折，该游戏有两种方案，游客在这两种方案中任选一种参加游戏．方案一：不透明袋子里装有2个红球，4个白球，顾客从中一次性摸出3个球，若摸出2个红球1个白球获得“六折优惠”，若摸出1个红球2个白球获得“八折优惠”，若摸出3个白球不优惠．方案二：如图游客开始站在①位置，游客每掷一次骰子，就沿顺时针方向移动一次．若掷出正面朝上数字为奇数，游客就向前移动1格；若掷出正面朝上数字为偶数，游客就向前移动2格．游客重复掷骰子直到游客第一次到达⑨位置获得“九折优惠”或第2次到达①位置获得“七点五折优惠”游戏结束．若想要获得最大优惠，游客应选哪个方案？说明理由． 参考数据：若，则．． 【答案】(1)0．8186． (2)方案二，理由见解析 【详解】（1），则，，结合正态分布的性质：和 ． 即一游客在该基地任摘一颗成熟向日葵，其花盘直径在的概率为0．8186． （2）设方案一的折扣为，则可以取，，， ，，， ． 设方案二的折扣为，则可以取，， 用，表示游客首次在第位置的概率， 则，，． 由题知，游客到达，位置，只有两种途径， 一种是从位置，掷到偶数，其概率为， 另一种是从位置，掷到奇数，其概率为， ，，． 当时，数列是以为首项，为公比的等比数列． ，，，，， 又， ，， ，，且 ，． 第二次到达①位置的概率． ． ，若想要获得最大优惠，游客应选方案二． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $