专题02 导数的基本应用（切线、单调性、极值与最值）（复习讲义，3考点7题型）（北京专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

该高中数学高考复习资料聚焦导数的几何意义、单调性、极值与最值三大核心考点，按考情精解、知能框架、题型攻坚逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生系统构建解题思路，突破高考高频难点。 资料以近5年高考真题动向为导向，设计“在”型与“过”型切线方程、含参单调区间等分层题型训练，通过对比辨析培养学生数学思维的严谨性，结合命题预测精准定位复习重点，助力教师高效把控复习节奏，提升学生逻辑推理与转化能力。

专题02 导数的基本应用（切线、单调性、极值与最值） 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 2 03 破·题型攻坚 3 考点一 导数的几何意义 3 真题动向 必备知识 知识1导数的几何意义 知识2求切线方程的步骤 命题预测 题型1“在”型求切线方程 题型2“过”型求切线方程 题型3根据切线方程求参数值及参数取值范围 考点二 利用导数求单调区间 6 真题动向 必备知识 知识1原函数与导函数的关系 知识2求单调区间的步骤 命题预测 题型1利用导函数求单调区间 题型2根据单调区间求参数取值范围 考点三 利用导数求极值、最值 8 真题动向 必备知识 知识1函数的极值与导数 知识2函数的最值与导数 命题预测 题型1利用导函数求极值、最值 题型2根据极值、最值求参数值、参数取值范围 命题轨迹透视 从近5年的高考试题来看，根据导函数求切线方程、求单调区间、求极值、最值，依然是每年必考的考点，均在19题或者20题出现，求切线方程部分，依然是以在某个点求切线方程为主，以及根据切线方向求参数值。根据题中的条件求单调区间，仍然以不含参数求单调区间为主，根据单调性求参数值以及求参数取值范围依然是重要的考察形式。根据导函数求极值点、极值以及求最值考察的频次依然是很高，和单调性综合在一起考察。整体侧重考查考生的计算能力、逻辑思维能力与转化能力。 考点频次总结 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 导数的基本应用 T20,15分 T20,15分 T20,15分 T20,15分 T19,15分 2026命题预测 预计在2026年高考中，导数与函数部分仍然以大题形式出现，或者在填空题压轴题的位置出现。 就考察方向来讲，依然围绕切线方程、单调区间及极值最值这几个角度，出了常规的求切线方程求单调区间外，求参数取值范围也是一个重要的考察方向，同时会和零点、不等式内容进行综合考察。 考点一 导数的几何意义 1．（2025·北京·高考真题，T20，第（2）问）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． (2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； 2．（2024·北京·高考真题，T20.第（2）问）设函数，直线是曲线在点处的切线． (2)求证：不经过点. 3．（2023·北京·高考真题，20题，第（1）问）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； 4．（2022·北京·高考真题，T21，第（1）问）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； 5．（2021·北京·高考真题，19.第（1）问）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； 知识1导数的几何意义 1．导数的几何意义 函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率． 知识2求切线方程的步骤 （1）当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为； （2）当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标； 第二步：写出过的切线方程为； 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1； 第四步：将x1的值代入方程，可得过点P(x0，y0)的切线方程． 易错提醒　求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点． 题型1“在”型求切线方程 1．(25-26高三上·北京第一七一中学·第（1）问)已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； 2．(25-26高三上·北京汇文中学·期中第（1）问)已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程 3．(25-26高三上·北京西城外国语学校·期中第（1）问)设，函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； 4．(25-26高三上·北京师范大学附属中学·期中第(1)问）已知函数（）. (1)求曲线在点处的切线方程； 题型2“过”型求切线方程 5．(25-26高三上·北京中国人民大学附属中学第（1）问)已知函数． (1)若，求的图象过原点的切线方程： 6．(25-26高三上·北京顺义牛栏山第一中学·月考)已知函数，其中. (1)若曲线在处的切线过原点，求的值. (2)当时， ①判断过点的切线条数，直接写出结果； ②判断过点的切线条数并说明理由. 7．(25-26高三上·北京中国人民大学附属中学·)已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若过点可作曲线的两条切线，求a的取值范围； (3)若曲线的切线l过，求证：曲线上的点除切点外都在l上方． 题型3根据切线方程求参数值及参数取值范围 8．(25-26高三上·北京东直门中学·)已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．(25-26高三上·北京第三十五中学·月考)已知函数（），.记，已知曲线在点 处的切线方程为. (1)求实数，的值： (2)若直线既是曲线的切线又是曲线的切线，试判断的条数，并给出证明. 10．(25-26高三上·北京清华大学附属中学·月考)已知函数，其中. (1)若曲线在处的切线为轴，求的值: (2)函数的导函数为，曲线与曲线交于两点，求证:直线的斜率小于1. 11．(25-26高三上·北京首都师范大学附属中学·)已知函数，，在处取得极大值1. （1）求和的值； （2）当时，曲线在曲线的上方，求实数的取值范围. （3）设，证明：存在两条与曲线和都相切的直线. 考点二 利用导函数研究函数的单调性 1．（2024·北京·高考真题，T20.第（1）问）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. 2．（2023·北京·高考真题，20题，第（2）问）设函数，曲线在点处的切线方程为． (2)设函数，求的单调区间； 3．（2022·北京·高考真题，T20，第（2）问）已知函数． (2)设，讨论函数在上的单调性； 4．（2021·北京·高考真题，19.第（2）问）已知函数． （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 知识1导函数与原函数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 ＞0 f(x)在(a，b)上单调递增 ＜0 f(x)在(a，b)上单调递减 ＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数 知识2利用导数研究函数单调性的步骤 (1)求函数y＝f(x)的定义域． (2)求f(x)的导数f′(x)． (3)求出f′(x)的零点，划分单调区间． (4)判断f′(x)在各个单调区间内的符号． 易错提醒讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制； 题型1 求函数的单调区间 1．(25-26高三上·北京师范大学附属中学·期中第（1）问)已知函数（）. (1)若，求函数的单调区间； 2．(25-26高三上·北京东直门中学·期中第（1）问)已知函数. (1)当时，求的单调区间； 3．(25-26高三上·北京第三十五中学·月考)已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 4．(25-26高三上·北京第八中学·期中)已知函数. (1)若，求的零点； (2)若，讨论的单调性； 5．(25-26高三上·北京昌平区第一中学·期中)已知函数（）． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； 6．(25-26高三上·北京师范大学第二附属中学·月考)已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)设函数，求函数的单调区间． 题型2 根据单调性求参数的取值范围 7．(25-26高三上·北京第十一中学·月考)已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若是增函数，求a的取值范围； 8．(25-26高三上·北京第一零一中学·)已知函数， (1)若曲线在处的切线方程为，求的值； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围； 9．(25-26高三上·北京东直门中学·)已知函数，． (1)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若为函数的极值点，求a的值； (3)设函数，当时，若对于任意，总存在，使得，求实数b的取值范围． 考点三 利用导函数研究函数的极值、最值 1．（2023·北京·高考真题，20题，第（3）问）设函数，曲线在点处的切线方程为． (3)求的极值点个数． 2．（2021·北京·高考真题，19.第（2）问）已知函数． （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 3．（2018·北京·高考真题，T18，第（2）问）设函数=[]． （2）若在处取得极小值，求的取值范围． 4．（2017·北京·高考真题，T21，第（2）问）已知函数． （2）求函数在区间上的最大值和最小值． 知识点1 函数的极值与导数 (1)函数的极小值与极小值点 若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，，而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值． (2)函数的极大值与极大值点 若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，，而且在点x＝b 附近的左侧，右侧，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值． （3）极值与导数的关系 是极值点 是极值点，即：是为极值点的必要非充分条件 知识点2 函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 易错提醒　(1)不能忽略函数的定义域． (2)f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件，即f′(x)的变号零点才是f(x)的极值点，所以判断f(x)的极值点时，除了找f′(x)＝0的实数根x0外，还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性． (3)函数的极小值不一定比极大值小． 题型1利用导函数研究函数的极值、最值 1．(25-26高三上·北京顺义区第一中学·月考)已知函数的导函数，的图象如下图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．函数有2个极值点 B．函数在区间上单调递增 C．，对于 D． 2．(25-26高三上·北京理工大学附属中学·月考)设函数， ①当时，没有零点； ②当时，在区间上不存在极值； ③存在实数，使得曲线为轴对称图形； ④存在实数，使得曲线为中心对称图形 其中所有正确结论的序号是 . 3．(25-26高三上·北京师范大学附属中学·期中)已知函数（）. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极小值点； 4．(25-26高三上·北京密云区第二中学·月考)已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时， （ⅰ）求的极值点； 5．(25-26高三上·北京清华大学附属中学·月考)已知函数，其中. (1)求的极大值和极小值; (2)设点，其中为的极值点，若直线与轴交于点，求的最小值. 6．(25-26高三上·北京大学附属中学预科部·)已知函数，曲线在点处的切线经过点． (1)求的值； (2)求的极值点个数； (3)是否存在负数，使得曲线在点处的切线与有且只有一个公共点？如果存在，求所有符合条件的的个数；如果不存在，说明理由． 7．(25-26高三上·北京师范大学附属中学·月考)已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：存在极大值点； 8．(25-26高三上·北京师范大学附属中学·月考)已知函数在处取得极大值. (1)求的解析式； (2)求在区间上的最值. 9．(25-26高三上·北京顺义牛栏山第一中学·月考)已知. (1)令，求的最小值； (2)求证：当时，. 10．(25-26高三上·北京首都师范大学附属苹果园中学·月考)已知函数. (1)求函数的单调区间及极值； (2)直接写出函数的值域，不要求计算过程. 11．(25-26高三上·北京中国人民大学附属中学·)已知函数． (1)当时，求在的最值； (2)当时，，求在上的极值点个数． 12．(25-26高三上·北京第一六一中学·期中)已知函数. (1)当时，求证： ①当时，； ②函数有唯一极值点； (2)若曲线与曲线在某公共点处的切线重合，则称该切线为和的“优切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“优切线”，求，的值. 13．(25-26高三上·北京第一六一中学·)已知函数． (1)若函数在处与轴相切，求的值； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若函数存在两个极小值点，求证：． 14．(25-26高三上·北京房山区良乡中学·月考)已知函数． (1)若在时，有极值，求a的值； (2)若，求函数的单调区间． (3)讨论函数极值点的个数． 15．(25-26高三上·北京第十四中学·)已知函数. (1)若，求的值； (2)当时， ①求证：有唯一的极值点； ②记的零点为，是否存在使得？说明理由. 16．(25-26高三上·北京清华大学附属中学·开学考)已知函数． (1)当时，若直线过原点，且是曲线的切线，求的斜率； (2)当时，求证：存在唯一极值点且为极大值点； (3)若直线与曲线有且仅有两个交点，请直接写出的取值范围． 17．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最值. 题型2根据函数的极值、最值求参数值及参数的取值范围 18．(25-26高三上·北京育才学校·期中)已知函数在处有极值-1. (1)求实数a，b的值; (2)求函数的单调区间. 19．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在处取得极小值，求的值； 20．(25-26高三上·北京首都师范大学附属苹果园中学·月考)已知函数. (1)若曲线在处的切线方程为，求的值； (2)证明：当时，曲线不存在斜率小于零的切线； (3)若函数存在极值，求的取值范围. 21．(25-26高三上·北京八一学校·月考)已知函数. (1)若在处取得极值，求的值； (2)若对于任意的，都有，求实数的取值范围. 22．(25-26高三上·北京铁路第二中学·月考)已知函数，. (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在区间的最小值为1，求的值. 23．(25-26高三上·北京中国人民大学附属中学·)已知函数. (1)若，求的最小值； (2)若存在极小值，求的取值范围. 24．(25-26高三上·北京中关村中学·)已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)若函数在上存在最小值，求的取值范围 25．(24-25高三下·北京十一学校·)已知函数．（注：是自然对数的底数）． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，函数在区间内有唯一的极值点． ①求实数的取值范围； ②求证：在区间内有唯一的零点，且． 1 / 70 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 导数的基本应用（切线、单调性、极值与最值） 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 2 03 破·题型攻坚 3 考点一 导数的几何意义 3 真题动向 必备知识 知识1导数的几何意义 知识2求切线方程的步骤 命题预测 题型1“在”型求切线方程 题型2“过”型求切线方程 题型3根据切线方程求参数值及参数取值范围 考点二 利用导数求单调区间 16 真题动向 必备知识 知识1原函数与导函数的关系 知识2求单调区间的步骤 命题预测 题型1利用导函数求单调区间 题型2根据单调区间求参数取值范围 考点三 利用导数求极值、最值 28 真题动向 必备知识 知识1函数的极值与导数 知识2函数的最值与导数 命题预测 题型1利用导函数求极值、最值 题型2根据极值、最值求参数值、参数取值范围 命题轨迹透视 从近5年的高考试题来看，根据导函数求切线方程、求单调区间、求极值、最值，依然是每年必考的考点，均在19题或者20题出现，求切线方程部分，依然是以在某个点求切线方程为主，以及根据切线方向求参数值。根据题中的条件求单调区间，仍然以不含参数求单调区间为主，根据单调性求参数值以及求参数取值范围依然是重要的考察形式。根据导函数求极值点、极值以及求最值考察的频次依然是很高，和单调性综合在一起考察。整体侧重考查考生的计算能力、逻辑思维能力与转化能力。 考点频次总结 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 导数的基本应用 T20,15分 T20,15分 T20,15分 T20,15分 T19,15分 2026命题预测 预计在2026年高考中，导数与函数部分仍然以大题形式出现，或者在填空题压轴题的位置出现。 就考察方向来讲，依然围绕切线方程、单调区间及极值最值这几个角度，出了常规的求切线方程求单调区间外，求参数取值范围也是一个重要的考察方向，同时会和零点、不等式内容进行综合考察。 考点一 导数的几何意义 1．（2025·北京·高考真题，T20，第（2）问）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． (2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（2）求出直线的方程，再构造函数，只需证明其最小值（或者下确界）大于零即可； 【详解】（2）因为，所以直线的方程为，即， 设，， 由（1）可知，在上单调递增，而， 所以，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，且， 而当时，，所以总有，单调递增 故，从而命题得证； 2．（2024·北京·高考真题，T20.第（2）问）设函数，直线是曲线在点处的切线． (2)求证：不经过点. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（2）写出切线方程，将代入再设新函数，利用导数研究其零点即可； 【详解】（2），切线的斜率为， 则切线方程为， 将代入则， 即，则，， 令， 假设过，则在存在零点. ，在上单调递增，， 在无零点，与假设矛盾，故直线不过. 3．（2023·北京·高考真题，20题，第（1）问）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【详解】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. 4．（2022·北京·高考真题，T21，第（1）问）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； 【答案】(1) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程； 【详解】（1）解：因为，所以， 即切点坐标为， 又， ∴切线斜率 ∴切线方程为： 5．（2021·北京·高考真题，19.第（1）问）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； 【答案】（1）； 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （1）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果. 【详解】（1）当时，，则，，， 此时，曲线在点处的切线方程为，即； 知识1导数的几何意义 1．导数的几何意义 函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率． 知识2求切线方程的步骤 （1）当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为； （2）当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标； 第二步：写出过的切线方程为； 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1； 第四步：将x1的值代入方程，可得过点P(x0，y0)的切线方程． 易错提醒　求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点． 题型1“在”型求切线方程 1．(25-26高三上·北京第一七一中学·第（1）问)已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； 【答案】(1) 求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求函数导数得切线斜率，再由点斜式可得解； 【详解】（1），， ，， 所以在点处的切线方程为， 整理得：； 2．(25-26高三上·北京汇文中学·期中第（1）问)已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程 【答案】(1) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）只需求得，即可； 【详解】（1）因为， 所以， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为. 3．(25-26高三上·北京西城外国语学校·期中第（1）问)设，函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； 【答案】(1) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）代入的值，计算，，求出切线方程即可. 【详解】（1）当时，， ，，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 4．(25-26高三上·北京师范大学附属中学·期中第(1)问）已知函数（）. (1)求曲线在点处的切线方程； 【答案】(1) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）先求出函数在该点的导数，再结合该点的坐标，利用点斜式方程求出切线方程； 【详解】（1）由题意得，，则，，即切线的斜率为， 又，切线方程为，即 题型2“过”型求切线方程 5．(25-26高三上·北京中国人民大学附属中学第（1）问)已知函数． (1)若，求的图象过原点的切线方程： 【答案】(1) 【知识点】求过一点的切线方程 【分析】（1）根据导数的几何意义，通过构造函数法进行求解即可； 【详解】（1）由题意，则， 设切点为，则切线斜率为，由切线过原点， 得，化简得， 令，当时，，，即； 当时，，，即，当且仅当时， 故，，切点为，切线斜率为，所以切线方程为. 6．(25-26高三上·北京顺义牛栏山第一中学·月考)已知函数，其中. (1)若曲线在处的切线过原点，求的值. (2)当时， ①判断过点的切线条数，直接写出结果； ②判断过点的切线条数并说明理由. 【答案】(1)； (2)①过点的切线分别有1条、0条；②2条，理由见解析. 【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、求过一点的切线方程 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程，根据切线过原点，将原点坐标代入求参数值； （2）①②设切点为且，应用导数的几何意义求切线方程，根据点在切线上得到相关方程，再应用导数研究对应函数的零点个数，即可得. 【详解】（1）由题设，则，且， 所以曲线在处的切线为， 由切线过原点，则，可得， 所以； （2）由题设，则，设切点为且， 所以切线方程为，则， ①若切线过点，则，可得，即过点的切线仅有一条； 若切线过点，则，令，则， 所以时，时， 则在上单调递减，在上单调递增， 当时，时，时， 所以在上无零点，即没有过点的切线； ②切线过点，则，令，则， 所以时，时， 则在上单调递减，在上单调递增， 当时，时，时， 所以在上有2个零点，即过点的切线有2条. 7．(25-26高三上·北京中国人民大学附属中学·)已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若过点可作曲线的两条切线，求a的取值范围； (3)若曲线的切线l过，求证：曲线上的点除切点外都在l上方． 【答案】(1)递增区间为，递减区间为 (2) (3)证明见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、已知切线（斜率）求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求得，分别求得和的解集，得到函数的单调区间； （2）设切点坐标为，求得切线方程为，根据切线过点，代入求得，由过点可作曲线的两条切线，结合，即可求解； （3）由切线过点，求得的值，令，再由，求得，得到函数的单调性和极小值（最小值），结合，即可得证. 【详解】（1）解：由函数，可得， 令，即，解得，即在上单调递增； 令，即，解得，即在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）解：由（1）知， 设切点坐标为，可得，即切线的斜率为， 所以切线方程为， 因为切线过点，代入得，即， 又因为过点可作曲线的两条切线， 即方程有两个不同的实数解，则满足， 解得或，所以实数的取值范围为. （3）由（2）知，切线的方程为， 因为切线过点，可得，解得， 由，由（1）知切点在的右侧，所以， 令， 可得， 令，可得， 所以函数在上单调递增， 令，即，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值，也时最小值，且， 所以当时，，即， 当时，，即， 所以曲线上的点除切线外都在切线的上方. 题型3根据切线方程求参数值及参数取值范围 8．(25-26高三上·北京东直门中学·)已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用导数研究方程的根、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】设函数，的切点坐标分别为，，根据导数几何意义可得，结合题意可知方程有两个不同的实根，则设，求导确定其单调性与最值情况，即可得实数的取值范围. 【详解】由题意可知：， 设函数上的切点坐标为，函数上的切点坐标为， 且，，则公切线的斜率，可得， 则公切线方程为， 代入得， 代入可得，整理得， 令，则， 若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则方程有两个不同的实根， 设，则， 令，解得；令，解得； 则在内单调递增，在单调递减，可得， 且当x趋近于时，趋近于；当x趋近于时，趋近于， 可得，解得，故实数的取值范围为. 故选：A. 【点睛】关键点睛：涉及公切线问题一般先设切点坐标，根据切线相同得到方程组，将双变量方程转化为单变量方程，再参变分离，转化为函数的交点问题，即可求出参数的取值范围. 9．(25-26高三上·北京第三十五中学·月考)已知函数（），.记，已知曲线在点 处的切线方程为. (1)求实数，的值： (2)若直线既是曲线的切线又是曲线的切线，试判断的条数，并给出证明. 【答案】(1)，. (2)切线仅有2条，证明见解析 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】（1）首先根据切线方程求出和的值，然后通过导数的运算法则求出,最后代入和的值，联立方程组求解和的值； （2）设出直线与和的切点，分别求出切线方程，然后根据两切线方程相同列出方程组，通过构造函数并分析其单调性，判断方程组解的个数，从而确定切线的条数. 【详解】（1）因为曲线在点处的切线方程为， 所以，. ，，∴. ，，∴. 综上，，. （2）设直线与的切点为（），， 则切线斜率，切线方程为，即. 设直线与的切点为，， 则切线斜率，切线方程为， 即. 因为直线是公切线，所以， 由①可得，代入②中，得， 整理得， 令（），， 因为恒成立，所以， 当时，为上的增函数， 当时，为上的减函数， 因为，所以在区间上存在唯一一个零点. 因为，， 所以在区间上存在唯一一个零点. 综上，在上仅有个零点，即切线仅有条. 10．(25-26高三上·北京清华大学附属中学·月考)已知函数，其中. (1)若曲线在处的切线为轴，求的值: (2)函数的导函数为，曲线与曲线交于两点，求证:直线的斜率小于1. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、已知切线（斜率）求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用导数的几何意义，构造函数研究函数的单调性、最值计算即可求解； （2）联立导函数与函数方程计算得出A、B坐标，利用两点斜率公式，结合上问的结论，得出，再根据指对同构计算即可. 【详解】（1）函数求导， 由题意，曲线在处的切线为轴，则， 即，令，易知， 则在上单调递增，在上单调递减，所以， 即只有一个解，得； （2）曲线与的交点满足， 化简得， 则或即， 不妨令交点，则. 直线的斜率为， 由上可知，所以， 令，则，故， 于是. 11．(25-26高三上·北京首都师范大学附属中学·)已知函数，，在处取得极大值1. （1）求和的值； （2）当时，曲线在曲线的上方，求实数的取值范围. （3）设，证明：存在两条与曲线和都相切的直线. 【答案】（1），；（2）；（3）证明见解析. 【知识点】利用导数证明不等式、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、根据极值求参数 【分析】（1）求得导函数，由及求解； （2）由在上恒成立，用分离参数法转化为求函数最值； （3）假设存在与曲线和曲线都相切的直线，设切点坐标分别为，，由导数的几何意义求得，首先求得的关系，消元得出关于的方程，引入新函数，证明新函数有两个零点即可证． 【详解】解：（1）. 由已知，， 解得，.经检验，满足题意. 所以，. （2），.. 依题意对任意的恒成立. 所以对任意的恒成立. 令，， ， 令，， 所以，令，所以. 因为当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 当时，函数的最小值为，且. 所以，即.在上单调递增， 所以， 所以，故实数的取值范围为. （3）假设存在与曲线和曲线都相切的直线， 设切点坐标分别为，. 因为，所以的方程为. 因为，所以的方程为. 所以，消去得.……①. 令，， 所以， 所以，在区间上，，是减函数；在区间上，， 是增函数. 所以，当时，函数的最小值为. 又因为， ， 所以函数在上有两个零点，即方程①有两个不等的正实根， 由方程可得有两个不同的值， 所以有两组不同的解，直线有两条， 所以存在两条与曲线和都相切的直线. 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数求极值，考查导数的几何意义，用导数求函数的最值．解题关键在于对问题进行转化，不等式恒成立问题转化为求函数的最值，公切线问题，转化为函数有两个零点．这些又都可以利用导数研究函数的性质得到证明． 考点二 利用导函数研究函数的单调性 1．（2024·北京·高考真题，T20.第（1）问）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）直接代入，再利用导数研究其单调性即可； 【详解】（1）， 当时，；当，； 在上单调递减，在上单调递增. 则的单调递减区间为，单调递增区间为. 2．（2023·北京·高考真题，20题，第（2）问）设函数，曲线在点处的切线方程为． (2)设函数，求的单调区间； (2)答案见解析 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（2）由（1）得的解析式，从而求得，利用数轴穿根法求得与的解，由此求得的单调区间； （2）由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. 3．（2022·北京·高考真题，T20，第（2）问）已知函数． (2)设，讨论函数在上的单调性； 【答案】(2)在上单调递增. 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解； 【详解】（2）解：因为，     所以， 令， 则， ∴在上单调递增， ∴ ∴在上恒成立， ∴在上单调递增. 4．（2021·北京·高考真题，19.第（2）问）已知函数． （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 【答案】（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【详解】（2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果. （2）因为，则， 由题意可得，解得， 故，，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，单调递减区间为. 当时，；当时，. 所以，，. 知识1导函数与原函数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 ＞0 f(x)在(a，b)上单调递增 ＜0 f(x)在(a，b)上单调递减 ＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数 知识2利用导数研究函数单调性的步骤 (1)求函数y＝f(x)的定义域． (2)求f(x)的导数f′(x)． (3)求出f′(x)的零点，划分单调区间． (4)判断f′(x)在各个单调区间内的符号． 易错提醒讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制； 题型1 求函数的单调区间 1．(25-26高三上·北京师范大学附属中学·期中第（1）问)已知函数（）. (1)若，求函数的单调区间； 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求导后因式分解，再构造函数，从而结合单调性讨论其正负，从而得到的正负，即可得单调性； 【详解】（1）当时，， 则， 令，则，故在上递增， 又，则时，，又，故， 当时，，又，故， 故恒成立，故在上单调递增， 即函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 2．(25-26高三上·北京东直门中学·期中第（1）问)已知函数. (1)当时，求的单调区间； 【答案】(1)增区间为和；减区间为 【知识点】根据极值点求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）先求出函数的导数，再根据函数的正负来确定函数的单调区间即可； 【详解】（1）当时，，的定义域为， ， 令，得或， 单调递增； 单调递减； 单调递增. 综上，的增区间为和；减区间为. 3．(25-26高三上·北京第三十五中学·月考)已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【难度】0.65 【来源】北京市第三十五中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试卷 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求出切点坐标及切线斜率即可求得切线方程； （2）求导，分，两种情况，根据导数与单调性的关系求解. 【详解】（1）若，则，， ，，则切线方程为； （2）函数的定义域为. . 当时，令，解得. － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 当时，令，解得. － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 综上，当时，的单调递减区间是，单调递增区间是； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. 4．(25-26高三上·北京第八中学·期中)已知函数. (1)若，求的零点； (2)若，讨论的单调性； 【答案】(1)； (2)答案见解析； 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间、求函数的零点 【分析】（1）根据零点的定义直接求解可得； （2）利用导数的正负判断函数的单调性； 【详解】（1）若，则，得或（舍），所以. 所以的零点为. （2）若，，函数的定义为， 所以，令，得或， 即或. ①时，即， 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. ②当，即时， 当时，，；当时，，. 所以函数在是单调递减. ③当时，即，当时，，； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在是单调递减.； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 5．(25-26高三上·北京昌平区第一中学·期中)已知函数（）． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； 【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析； 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【解析】（1）求在处的导数和函数值，代入直线方程即可求出切线方程； （2）求的导函数，分，，，分类讨论求和的解集，从而求出函数的单调区间； 【详解】解：（1）当时，，，所以，． 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）因为，定义域为， 所以． ①当时，与在上的变化情况如下： 最大值 所以在内单调递增，在内单调递减． ②当时，与在上的变化情况如下： 极大值 极小值 所以在，内单调递增，在内单调递减． ③当时，，所以在上单调递增． ④当时，与在上的变化情况如下： 极大值 极小值 所以在，内单调递增，在内单调递减． 6．(25-26高三上·北京师范大学第二附属中学·月考)已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)设函数，求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）利用导数直接求解在某一点处的切线方程即可； （2）利用导数直接求解函数的单调区间. 【详解】（1）由题知，的定义域为， 则， 所以，又， 所以函数在点处的切线方程为， 即. （2）由题知，， 其定义域为， 则， 所以当时，，在上单调递增； 当时，令，，令，， 此时在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，的单调递增区间为，无递减区间； 当时，的单调递增区间为，递减区间为. 题型2 根据单调性求参数的取值范围 7．(25-26高三上·北京第十一中学·月考)已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若是增函数，求a的取值范围； 【答案】(1) (2) 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、由函数在区间上的单调性求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求导得到，利用点斜式写出切线方程； （2）先求定义域，求导后，即恒成立，即，求出的最小值，从而得到参数的取值范围； 【详解】（1）当时，，， ，故， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）定义域为， ， 若是增函数，则恒成立，故， 即，其中，当且仅当，即时，等号成立， 故，解得， a的取值范围是 8．(25-26高三上·北京第一零一中学·)已知函数， (1)若曲线在处的切线方程为，求的值； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【知识点】求已知函数的极值、利用导数证明不等式、已知切线（斜率）求参数、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率和，由题意列方程组，求解即得； （2）根据函数在给定区间上为增函数，得到在区间上恒成立，即在区间上恒成立，从而将问题转化为求的值域问题解决； 【详解】（1）由可得，， 则，由题意，可得，解得， 即； （2）由在区间上单调递增，可知在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，也即在区间上恒成立. 因函数在区间上为增函数，故， 则的取值范围为； 9．(25-26高三上·北京东直门中学·)已知函数，． (1)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若为函数的极值点，求a的值； (3)设函数，当时，若对于任意，总存在，使得，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据极值点求参数、利用导数研究能成立问题、利用导数研究不等式恒成立问题、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）求导得函数的单调递增区间，由此即可列出不等式求解； （2）求导得函数单调性，进一步得极值点，由此即可列方程求解； （3）首先求得，从而问题可以转换为存在，使得，故只需，对分类讨论即可求解. 【详解】（1）的定义域为，， 令，得，故函数在上单调递增， 因为函数在上单调递增，所以，解得， 故实数a的取值范围是． （2）令，得；令，得；令，得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极小值，也是唯一的极值点，所以，解得． （3）由（1）知：当时，函数有最小值， 若，则， 又因为对任意总存在，使得， 则当时，的最小值不大于， 函数的图象开口向上，对称轴为， 当，即时，则在上单调递增， 故的最小值为， 解得，故； 当，即时，则在上单调递减， 故的最小值为，解得，故； 当时，即时，则在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为，解得或． 故或， 综上所述，实数b的取值范围是． 考点三 利用导函数研究函数的极值、最值 1．（2023·北京·高考真题，20题，第（3）问）设函数，曲线在点处的切线方程为． (3)求的极值点个数． 【答案】(3)3个 【知识点】求已知函数的极值点 【分析】 （3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间，，与上的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得的极值点个数. 【详解】（3）由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 所以在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增， 所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点. 【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断与的正负情况，充分利用的单调性，寻找特殊点判断即可得解. 2．（2021·北京·高考真题，19.第（2）问）已知函数． （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 【答案】（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为. 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数 【分析】 （2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果. 【详解】 （2）因为，则， 由题意可得，解得， 故，，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，单调递减区间为. 当时，；当时，. 所以，，. 3．（2018·北京·高考真题，T18，第（2）问）设函数=[]． （2）若在处取得极小值，求的取值范围． 【答案】  (2)（，） 【知识点】根据极值求参数 【分析】（2）先求导数的零点：，2；再分类讨论，根据是否满足在x=2处取得极小值，进行取舍，最后可得a的取值范围． 详解： 【详解】（Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex． 若a>，则当x∈(，2)时，f ′(x)<0； 当x∈(2，+∞)时，f ′(x)>0． 所以f (x)<0在x=2处取得极小值． 若a≤，则当x∈(0，2)时，x–2<0，ax–1≤x–1<0， 所以f ′(x)>0． 所以2不是f (x)的极小值点． 综上可知，a的取值范围是（，+∞）． 点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解. 4．（2017·北京·高考真题，T21，第（2）问）已知函数． （2）求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】（2）最大值1；最小值. 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【详解】 （Ⅱ）设，则. 当时，， 所以在区间上单调递减. 所以对任意有，即. 所以函数在区间上单调递减. 因此在区间上的最大值为，最小值为. 【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是()恒成立，这样就能知道函数的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断的单调性，最后求得结果. 知识点1 函数的极值与导数 (1)函数的极小值与极小值点 若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，，而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值． (2)函数的极大值与极大值点 若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，，而且在点x＝b 附近的左侧，右侧，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值． （3）极值与导数的关系 是极值点 是极值点，即：是为极值点的必要非充分条件 知识点2 函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 易错提醒　(1)不能忽略函数的定义域． (2)f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件，即f′(x)的变号零点才是f(x)的极值点，所以判断f(x)的极值点时，除了找f′(x)＝0的实数根x0外，还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性． (3)函数的极小值不一定比极大值小． 题型1利用导函数研究函数的极值、最值 1．(25-26高三上·北京顺义区第一中学·月考)已知函数的导函数，的图象如下图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．函数有2个极值点 B．函数在区间上单调递增 C．，对于 D． 【答案】D 【知识点】求已知函数的极值、函数单调性、极值与最值的综合应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据给定图象，求出函数的单调区间及极值、最值情况，再逐项判断得解. 【详解】观察图象知，当时，；当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得最大值， 对于A，是函数的唯一极值点，且为极大值点，A错误； 对于B，，函数在区间上单调递减，B错误； 对于C，，函数值域为，因此不存在， 使得对于，C错误； 对于D，由选项C知，函数值域为，，D正确. 故选：D 2．(25-26高三上·北京理工大学附属中学·月考)设函数， ①当时，没有零点； ②当时，在区间上不存在极值； ③存在实数，使得曲线为轴对称图形； ④存在实数，使得曲线为中心对称图形 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【知识点】求已知函数的极值、判断或证明函数的对称性、利用导数研究函数的零点 【分析】当时，可得解析式及定义域，分别分析和时的正负，即可判断①的正误；利用导数可判断的单调性，分析即可判断②的正误；令，计算，分析是否能等于0，即可判断③正误；计算，分析是否能等于0，即可判断④正误； 【详解】对于①：当时，， 定义域为， 当时，，则， 所以， 当时，，则， 所以， 综上，当时，没有零点，故①正确； 对于②：当时，， 则， 令，， 则， 因为，，所以，又， 所以，即， 所以在上单调递减，无极值，故②正确； 对于③：令， 因为，所以或， 由对称性知，若存在对称轴或对称中心，必在直线上， 考虑 =， 当时，，所以， 所以关于对称，故③正确 对于④：考虑 = ， 所以不存在实数，使得， 即不存在实数，使得曲线为中心对称图形，故④错误； 故答案为：①②③ 3．(25-26高三上·北京师范大学附属中学·期中)已知函数（）. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极小值点； 【答案】(1) (2)当时，的极小值点为；当时，无极小值点. 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）先求出函数在该点的导数，再结合该点的坐标，利用点斜式方程求出切线方程； （2）先求出函数的定义域，再对函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性，进而求出极小值点; 【详解】（1）由题意得，，则，，即切线的斜率为， 又，切线方程为，即 （2）令，即，解得或， 当时，，无极小值； 当时，在区间和上， 单调递增； 在区间和上， 单调递减， 的极小值点为, 当时，在区间和上， 单调递减； 在区间和上， 单调递增， 的极小值点为. 综上，当时，的极小值点为；当时，无极小值点. 4．(25-26高三上·北京密云区第二中学·月考)已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时， （ⅰ）求的极值点； 【答案】(1) (2)（i）极大值点为. 【知识点】利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数极值点的辨析 【分析】（1）对函数求导，根据导数的几何意义求出切线方程即可. （2）（i）先对求导，然后令，进一步求导判断单调性，进而得出极值点. 【详解】（1）因为，所以， 求导得. 所以，又， 所以切线方程为，即. （2）（i）因为，所以， 所以， 令，则，解得. 令，求导得. 因为，所以，所以在上单调递减，且. 所以在上大于0，在上小于0， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上取极大值，所以极大值点为. 5．(25-26高三上·北京清华大学附属中学·月考)已知函数，其中. (1)求的极大值和极小值; (2)设点，其中为的极值点，若直线与轴交于点，求的最小值. 【答案】(1)极大值，极小值为 (2) 【知识点】求已知函数的极值、根据极值点求参数、由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）利用导数工具研究函数导数正负情况结合极值定义即可求解； （2）由（1）得到A、B两点坐标，进而求出直线AB方程，接着求出解析式，再利用导数工具研究其单调性即可求解. 【详解】（1）， 令，得或， 由于，则 ， 所以当时，，当时，， 所以为极大值点，为极小值点， 所以函数极大值为，极小值为. （2）由（1）可知 为极大值点，为极小值点，极大值为，极小值为； 不妨设为极大值点，，则点，点， 则直线的斜率为， 所以直线AB方程为， 令，得，求导得， 令 ，得（舍去）或. 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 时， 取得最小值为. 6．(25-26高三上·北京大学附属中学预科部·)已知函数，曲线在点处的切线经过点． (1)求的值； (2)求的极值点个数； (3)是否存在负数，使得曲线在点处的切线与有且只有一个公共点？如果存在，求所有符合条件的的个数；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)有两个极值点； (3)存在，的所有取值个数为1. 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、函数极值点的辨析 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程，再由切线过的点求出值. （2）由（1）求出及导数，进而求出的极值点个数. （3）求出切线方程，再构造函数，并利用导数探讨其零点个数即可. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 于是曲线在点处的切线方程为， 又曲线在点处的切线经过点，解得， 所以的值为. （2）由（1）知，其定义域为，求导得， 令，求导得， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 而，则存在，使得， 当时，；当时，， 函数，即在上单调递减，在上单调递增， ， 函数在和上各有唯一零点， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此函数在处取得极大值，在处取得极小值， 所以函数有2个极值点. （3）曲线在点处的切线方程为， 由曲线在点处的切线与有且只有一个交点， 得函数有唯一零点，求导得， 由（2）知，，则当时，在恒成立， 函数在上单调递增，又，因此函数有唯一零点，符合题意； 当时，由（2）知在恒成立， 函数在单调递减，则，而当时，， 因此存在，使得，则函数在上存在零点，此时至少两个零点，不合题意； 当时，由（2）知在恒成立， 函数在上单调递减，，由（2）知在上单调递增， 于是，， 由（2）知在上单调递减，， 因此当时，， 存在，使得， 函数在上存在零点，函数至少两个零点，不合题意， 所以的所有取值个数为1. 7．(25-26高三上·北京师范大学附属中学·月考)已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：存在极大值点； 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后结合零点存在性定理分析可得函数单调性，即可得其极值情况； 【详解】（1）， 则，又， 则曲线在点处的切线方程为，即； （2）， 令，则， 故在上单调递增， 又，， 故存在，使得， 当时，，当时，， 则当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 故是的极大值点； 8．(25-26高三上·北京师范大学附属中学·月考)已知函数在处取得极大值. (1)求的解析式； (2)求在区间上的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为. 【知识点】根据极值点求参数、由导数求函数的最值（不含参）、根据极值求参数 【分析】（1）求导后结合极值定义计算即可得，得到结果注意检验； （2）得到函数在上的单调性后结合极值定义计算即可得. 【详解】（1），由题意可得，解得， 则； 检验：当时，， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极大值，故成立； 故； （2）由（1）知，当时， 在、上单调递减，在上单调递增， 又，， ，， 故在区间上的最大值为，最小值为. 9．(25-26高三上·北京顺义牛栏山第一中学·月考)已知. (1)令，求的最小值； (2)求证：当时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）根据条件得，利用导数直接求出的单调区间，即可求解； （2）利用（1）中结果得在区间上单调递增，从而当时，，即可求解. 【详解】（1）因为，则， 所以，易知，， 当时，，当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的最小值为. （2）因为，则， 由（1）可知在恒成立， 所以在恒成立， 即在区间上单调递增， 所以当时，， 即，命题得证. 10．(25-26高三上·北京首都师范大学附属苹果园中学·月考)已知函数. (1)求函数的单调区间及极值； (2)直接写出函数的值域，不要求计算过程. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）根据函数的单调性与导数的关系求函数的单调区间，再根据函数的单调性分析函数的极值. （2）结合函数的单调性，分析函数的符号，可直接得到函数的值域. 【详解】（1）因为， 所以. 由； 由或. 所以的递减区间为和，递增区间为. 函数的极小值为，极大值为. （2）因为函数在和上单调递减，在上单调递增， 且恒成立， 又， 且时，时， 所以函数的值域为. 11．(25-26高三上·北京中国人民大学附属中学·)已知函数． (1)当时，求在的最值； (2)当时，，求在上的极值点个数． 【答案】(1)的最大值为，的最小值为 (2)1 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点、函数极值点的辨析 【分析】（1）结合题意判断的单调性，先求出端点值，再利用导数求解出最小值，最后进行比较得到最大值即可. （2）结合题意并构造函数可得，再利用余弦函数性质结合导数得到在上单调递增，再结合放缩法得到，最后利用零点存在性定理证明有1个零点，进而得到极值点个数即可. 【详解】（1）当时，可得， 则， 令，得，令，得， 得到在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为， 且， ，易得， 可得的最大值为，的最小值为. （2）因为，， 所以，则， 令， 可得， 因为，所以， 而，则， 由余弦函数性质得，即， 可得在上单调递增，而， ， 令，则由正弦函数性质得， 可得，且， 即， 结合已知可得，而，则， 由零点存在性定理可得存在作为零点， 故在上有个极值点. 12．(25-26高三上·北京第一六一中学·期中)已知函数. (1)当时，求证： ①当时，； ②函数有唯一极值点； (2)若曲线与曲线在某公共点处的切线重合，则称该切线为和的“优切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“优切线”，求，的值. 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2) 【知识点】求已知函数的极值、利用导数证明不等式、求曲线切线的斜率（倾斜角）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】（1）①当时，得，故只需证明当时，即可，利用导数即可求解. ②求导得，由此可得当时，，结合即可得证. （2）由题意设曲线与曲线的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为，其斜率分别为，，则.再结合导数与切线斜率的关系，以及函数值，导数值之间的关系即可求解. 【详解】（1）①当时，. 记，则. 所以在上是增函数. 所以当时，. 所以当时，. ②由得，且. 当时，. 因为，， 所以. 因为对任意恒成立， 所以当时，. 所以0是的唯一极值点. （2）设曲线与曲线的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为，其斜率分别为，，则. 因为， 所以. 所以. 不妨设，则. 因为， 由“优切线”的定义可知. 所以. 由“优切线”的定义可知， 所以. 当，，时，取，， 则，，，，符合题意. 所以. 【点睛】关键点睛：第一问②的关键是，求导得，然后以为分界点讨论即可；第二问的关键是结合“优切线的定义”以及导数即可顺利得解，综合性比较强. 13．(25-26高三上·北京第一六一中学·)已知函数． (1)若函数在处与轴相切，求的值； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若函数存在两个极小值点，求证：． 【答案】(1)； (2)的减区间是，增区间是； (3)证明见解析. 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、已知切线（斜率）求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）根据条件转化为，，即可求解； （2）首先求函数的导数，再分和两种情况分析函数，，即可求解函数的单调区间； （3）根据（2）的过程和结果，确定，再确定函数的两个极小值点，结合，即可证明. 【详解】（1），由条件可知，，，得； （2），， 设， 当时，恒成立， 当时，，得， 当，，单调递减，当，，单调递增， 所以当时，取得最小值，， 所以当时，恒成立， 所以的变号零点由决定， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以的减区间是，增区间是； （3），， 由（2）可知，当时，只有1个极小值，不满足条件， 当时，，，，得， 当，，单调递减，当，，单调递增， 所以当时，取得最小值，， 时，，时，， 所以在区间和分别有1个零点，设为，， 所以有3个变号零点，分别是， 如下表，（说明是极小值点） 0 0 0 单调递减 极小值点 单调递增 极大值点 单调递减 极小值点 单调递增 且，即， 得，且，即， ， ， 所以. 14．(25-26高三上·北京房山区良乡中学·月考)已知函数． (1)若在时，有极值，求a的值； (2)若，求函数的单调区间． (3)讨论函数极值点的个数． 【答案】(1)； (2)单调递增区间为，单调递减区间为； (3)当时，极值点个数为0；当时，极值点个数为2. 【知识点】根据极值点求参数、求已知函数的极值点、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求定义域，求导，根据求出，检验后得到结果； （2）求定义域，求导，解不等式求出函数的单调区间； （3）求导后，根据根的判别式，判断出的变号零点个数，得到答案. 【详解】（1）定义域为R，， 由题意得，即，解得， 当时，， 令得或，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故为极大值点，满足要求，故； （2）时，，， 由（1）可知的单调递增区间为，单调递减区间为； （3）定义域为R， ，， 当，即时， 故恒成立，此时在R上单调递增，无极值点； 当，即时，有两个变号零点， 故有2个极值点， 故当时，极值点个数为0；当时，极值点个数为2. 15．(25-26高三上·北京第十四中学·)已知函数. (1)若，求的值； (2)当时， ①求证：有唯一的极值点； ②记的零点为，是否存在使得？说明理由. 【答案】(1) (2)①证明见解析，②不存在，详细见解析. 【知识点】利用导数证明不等式、求已知函数的极值点、已知某点处的导数值求参数或自变量、求函数的零点 【分析】（1）求得导函数，由，代入计算即可. (2) ①求得设, 由函数性质可知在上单调递减.进而由，可得有有唯一解，进而利用导数可判断有唯一的极值点. ②由题意，可得假设存在a，使，进而可知由在单调递减，，则，求得，与已知矛盾，则假设错误. 【详解】（1）因为，所以 因为，所以 （2）①的定义域是， 令，则. 设,因为在上单调递减， 所以在上单调递减. 因为，所以在上有唯一的零点，| 所以有有唯一解，不妨设为. 与的情况如下, + 0 - 增 极大值 减 所以有唯一的极值点. ②由题意，，则 若存在a，使，则，所以 因为在单调递减，， 则需，即，与已知矛盾. 所以，不存在,使得. 16．(25-26高三上·北京清华大学附属中学·开学考)已知函数． (1)当时，若直线过原点，且是曲线的切线，求的斜率； (2)当时，求证：存在唯一极值点且为极大值点； (3)若直线与曲线有且仅有两个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点、求过一点的切线方程 【分析】（1）求过某点的切线，设出切点之后，利用切线斜率等于切点处的导数，写出切线方程，再带入所过点，解方程即可. （2）求导之后对导数的分子进行讨论， 结合零点存在定理，讨论清楚即可证明. （3）根据前两问的提示，临界情况，，划分区间讨论即可. 【详解】（1）当时， ，定义域为，， 设切点坐标为 ，则 ，切线斜率， 切线方程为， 因为切线过原点 ，将其代入切线方程可得： ， 解得 ， ，代入切线斜率可得， 则的斜率为. （2）已知 ，其定义域为 ，则， 设， 因为 ，所以在上单调递减， 因为，，且， 所以由零点存在定理可知，存在唯一 ，使得 ， 当时， ，即，在上单调递增， 当时， ，即，在上单调递减， 所以在处取得极大值，且为唯一极值点， 因此存在唯一极值点且为极大值点. （3）设，则在上有且仅有2个零点， 因， 设，则， ①当时， ，， 当时，，，， 当时，，，， 此时有且只有1个零点，不符合题意， ②当时，， 当趋于0时，趋于正无穷，趋于负无穷，趋于0，故趋于负无穷， 当趋于正无穷时，由于一次函数单调递增且增长速度远大于，，故趋于正无穷， 由零点存在定理可得，在都至少存在1个零点，不符合题意， ③当时，，， 函数在单调递减，且， 当时，，，在上单调递增， 当时，，，在上单调递减， 函数取得极大值，有且只有1个零点，不符合题意， ④当时，单调递减， 且，， 故存在唯一，使得， 当时，，，在上单调递增， 当时，，，在上单调递减， 设，，则是关于的一次函数， 由①③得，，故即， 所以，不会有2个零点，不符合题意， ⑤当时，， 设，对称轴， ， 当时，，在上单调递减， ，当趋于正无穷时，趋于负无穷， 当时，存在，使得， 当时，，，在上单调递减， 当时，，，在上单调递增， 当时，，，在上单调递减， 而， 结合，则， 则时，，当趋于正无穷时，趋于负无穷， 所以无论正负，在存在唯一零点， 当时，，，在上单调递增， 当时，，，在上单调递减， 则函数取得极大值， 当趋于0时，趋于正无穷，趋于负无穷，趋于0，故趋于负无穷， 当趋于正无穷时，由于一次函数单调递增且增长速度远大于，故趋于负无穷， 由零点存在定理，在上各存在1个零点，符合题意， 综上：. 17．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最值. 【答案】(1)； (2)最大值，最小值. 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）利用导数确定单调性，进而求出指定区间上的最值. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由（1）知，， 当时，；当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，而， 所以当时，取得最大值，当时，取得最小值. 题型2根据函数的极值、最值求参数值及参数的取值范围 18．(25-26高三上·北京育才学校·期中)已知函数在处有极值-1. (1)求实数a，b的值; (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)的单调递增区间为，单调递减区间为 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据极值求参数 【分析】（1）由题意，解出的值再检验即可； （2）直接求导，根据导数符合与单调性的关系即可得解. 【详解】（1）已知函数，则， 由题意，解得 ， 当时，，， 当或时，，当时，， 所以在上均单调递增，在上单调递减， 所以在处有极小值，满足题意， 综上所述，符合题意； （2）由题意，则， 当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，的单调递减区间为. 19．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在处取得极小值，求的值； 【答案】(1) (2) 【知识点】根据极值点求参数、利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）由极值点的定义可得出，可求出的值，可得出函数的解析式，然后利用导数分析函数的单调性，结合极值点的定义可得出实数的值； （3）根据导函数的初始值，结合导函数的图象的连续性，进行分类讨论研究，即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）因为，则，， 故，所以曲线在点处的切线方程为. （2）由（1）知，所以， 此时，， 当时，， 所以在区间上单调递增， 设，则， 设，则， 所以，当，，所以在区间上单调递增， 又，，故存在使得， 所以当时，，即， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故函数在时取得极小值，所以. 20．(25-26高三上·北京首都师范大学附属苹果园中学·月考)已知函数. (1)若曲线在处的切线方程为，求的值； (2)证明：当时，曲线不存在斜率小于零的切线； (3)若函数存在极值，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】利用导数证明不等式、已知切线（斜率）求参数、根据极值求参数 【分析】（1）求导，根据切线方程的斜率和切点坐标列方程求解即可； （2）求导，证明导数大于等于0即可； （3）求导，然后分离参数，结合函数图象，根据极值的定义，判断导数零点两侧的符号，从而得出的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 因为曲线在处的切线方程为， 故切点为， 因为，故切点在曲线上， 因为，所以，解得， 故的值为； （2）当时，所以， 令，， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在处有最小值，即， 所以曲线在定义域内恒成立， 故时，曲线不存在斜率小于零的切线； （3）当时，函数存在极值； 当时，若函数存在极值，则有解， 即， 当，即时，关于的方程无解， 当，即时，得， 令，， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在处有极小值为， 因为时，，当时，，故函数大致图象如下：    所以要使有解，则或， 下面，讨论或，函数是否存在极值， 令，， 当时，在上恒成立， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 因为时，，所以，即，， 所以当时，函数存在极值， 当时，因为时，，时，， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以在处有最小值， 因为，， 所以当时，，故函数存在极值， 当时，，故函数不存在极值； 综上，若函数存在极值，求的取值范围为. 21．(25-26高三上·北京八一学校·月考)已知函数. (1)若在处取得极值，求的值； (2)若对于任意的，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值求参数 【分析】（1）对进行求导，令，求出，同时验证在处取得极小值； （2）对于任意的，都有，转化为，求出后分离参数，转化为求恒成立问题. 【详解】（1）的定义域为， ， 若在处取得极值， ，即， 经验证在处取得极小值，所以. （2），且， 所以当时，， 对于任意的恒成立， 即对任意恒成立， 即恒成立. 令，则. 当时，递增；当时，递减， 当时，的最大值为， ，即的取值范围是. 【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min. 22．(25-26高三上·北京铁路第二中学·月考)已知函数，. (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在区间的最小值为1，求的值. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3) 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、已知函数最值求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求出，求导，得到，利用导数的几何意义得到切线方程； （2）求定义域，求导，分和，求出的单调区间； （3）在（2）的基础上，分，，和四种情况，结合函数单调性得到方程，求出答案. 【详解】（1）时，，， ，故， 故的图象在点处的切线方程为，即； （2）的定义域为， ， 当时，恒成立，故在上单调递减， 当时，令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； （3）， 由（2）知，当时，在上单调递减， 故，故，解得，不合要求； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 若，即时，故在上单调递增， ，故，解得，满足要求； 若，即时，在上单调递减， ，故，解得，不合要求； 若，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，故，解得，不满足，舍去； 综上，. 23．(25-26高三上·北京中国人民大学附属中学·)已知函数. (1)若，求的最小值； (2)若存在极小值，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据极值求参数 【分析】（1）代入，得，求导并利用导函数判定函数的单调性，即可求得函数的最值； （2）先求导数，分类讨论和时函数的单调性，并根据函数有极小值求解的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，， 时，，在区间上单调递减， 时，，在区间上单调递增. 所以当时，取得最小值. （2）函数的导函数为. （1）当时，，在区间上单调递减， 所以无极值. （2）当时，令，得. 当变化时，与的变化情况如下表： x - 0 + ↘ 极小值 ↗ 由上表知，当时，取得极小值. 综上，的取值范围为. 24．(25-26高三上·北京中关村中学·)已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)若函数在上存在最小值，求的取值范围 【答案】(1)； (2)极大值为，极小值为； (3) 【知识点】求已知函数的极值、已知函数最值求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）计算出，求导，得到，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求导，得到函数单调性，进而求出极值情况； （3）由（2）得到函数单调性，结合，得到的取值范围. 【详解】（1）， ， 故， 故在点处的切线方程为， 即； （2）令，得或， 令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，在处取得极小值， 极大值为，极小值为； （3）由（2）知，在上单调递增，在上单调递减， 且， 要想在上存在最小值，故 25．(24-25高三下·北京十一学校·)已知函数．（注：是自然对数的底数）． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，函数在区间内有唯一的极值点． ①求实数的取值范围； ②求证：在区间内有唯一的零点，且． 【答案】(1) (2)① ；②证明见解析 【知识点】根据极值点求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）由导数的几何意义，求切点处的切线方程； （2）利用导数研究单调性得到极值的个数，利用函数单调性并通过构造新函数比较零点和极值点的大小关系. 【详解】（1）当时，， ， 切线的斜率，又，所以切点为， 所以，切线方程为 （2）①.函数，， （ⅰ）当时，当时，，，，则在上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去； （ⅱ）当时，设，则在上恒成立，所以在上递增，即在上递增， 又，，所以在上有唯一零点， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以函数在区间内有唯一极值点，符合题意， 综上，的取值范围是． ②.由①知，当时，， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以时，，则， 又因为，所以在上有唯一零点， 即在上有唯一零点． 因为， 由①知，所以， 则 ， 设，， 则， ，，所以 在为单调递增，又，所以， 又时，，所以． 所以． 由前面讨论知，，在单调递增， 所以． 【点睛】思路点睛： 1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 1 / 70 学科网（北京）股份有限公司 $