精品解析：江苏省无锡市第三高级中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

江苏省无锡市第三高级中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题 2025.11 出卷人：孙成成 审卷人：承彦人 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 椭圆的焦距等于（ ） A. 20 B. 16 C. 12 D. 8 2. 直线的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在四面体中，，，，，为线段的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 5. 已知向量是平面内两个不相等的非零向量，非零向量在直线上，则“，且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，若三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 7. 已知实数x，y满足，则的最大值是（ ） A. B. 4 C. D. 7 8. 已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知直线，且直线与间的距离为，若直线的方程为，则直线的方程可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆，直线过点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的半径为 B. 圆的圆心坐标为 C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 直线被圆截得的最长弦长为4 11. 下列命题中，正确命题的为（ ） A. 若直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则 B. 若向量满足，且，则在方向上的投影向量为 C. 若，则的夹角是钝角 D. 已知正四面体OABC的棱长为1，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，若与的夹角是锐角，则的值的取值范围为__________. 13. 已知圆(x-1)2+y2=1与圆(x-2)2+(y-1)2=r2(r>0)无公切线,则r的取值范围为____. 14. 阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的数学三巨匠.“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上动点到两定点A，B的距离之比满足且，为常数），则点的轨迹为圆.已知在平面直角坐标系中，，动点满足，则点的轨迹为圆，该圆的标准方程为__________；过点A的直线交圆于两点C，D，且，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知且 （1）求实数的值； （2）若，求实数的值． 16. 已知直线及点. （1）若与垂直的直线过点，求与的值； （2）若点与点到直线的距离相等，求的斜截式方程. 17. 如图，正方体的棱长为2. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 设，，，圆Q过A，B，D三个点. （1）求圆Q的方程； （2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 19. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程； （3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省无锡市第三高级中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题 2025.11 出卷人：孙成成 审卷人：承彦人 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 椭圆的焦距等于（ ） A. 20 B. 16 C. 12 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程，确定的值即可． 【详解】由题意可知，则， 故椭圆焦距． 故选：B． 2. 直线的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线的方程，求得直线的斜率，进而根据，即可得倾斜角，得到答案． 【详解】由题意，直线，可得直线的斜率， 即，又∵，所以， 故选． 【点睛】本题考查直线的倾斜角的求解，其中解答中由直线方程得出斜率，再根据斜率与倾斜角的关键求解是解决的关键，着重考查了运算与求解能力，属于属基础题． 3. 如图，在四面体中，，，，，为线段的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求解． 【详解】由已知， 故选：D． 4. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对分类讨论，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系即可求解. 【详解】当时，得，此时与不垂直； 当时，若，则，解得. 故选：A. 5. 已知向量是平面内两个不相等的非零向量，非零向量在直线上，则“，且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由线面垂直的定义和判定定理，结合充分条件和必要条件的定义判断即可得到答案. 【详解】若，且，则，， 由于向量所在的直线不一定相交，非零向量所在的直线为， 所以不一定能得到； 若，非零向量所在的直线为，向量是平面内两个不相等的非零向量， 则，，可得，. 综上所述，“，且”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6. 已知，若三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量共面求解即可. 【详解】若三向量不能构成空间向量的一组基底，则共面， 即存在唯一一组实数，使得， 可得，解得， 故选：A 7. 已知实数x，y满足，则的最大值是（ ） A. B. 4 C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】令，利用判别式法即可. 【详解】令，则， 由， 得， 整理得，， 因为存在实数满足等式， 所以， 解得， 则的最大值为. 故选：A. 8. 已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在直线的方程．由题意知圆的圆心在直线上，可得，再利用二次函数的性质可求最小值． 【详解】∵方程表示圆， ∴，即． 圆，圆， 两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在直线的方程：． 若圆平分圆的周长，则圆的圆心在直线上， ∵圆的圆心为， ∴，即， ∴， ∴当时，取最小值9． 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知直线，且直线与间的距离为，若直线的方程为，则直线的方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线平行可设直线的方程为，结合两平行线间距离公式运算求解即可. 【详解】因为，且直线的方程为， 设直线的方程为，， 根据题意得，解得或， 所以直线的方程为或． 故选：BC． 10. 已知圆，直线过点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的半径为 B. 圆的圆心坐标为 C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 直线被圆截得的最长弦长为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】由圆的标准方程和直线与圆的位置关系判断． 【详解】由已知圆的标准方程是，圆心为，半径为2，A正确，B错误； 记点为， ， 当时弦长最短，最短弦长为，当直线过圆心时，弦长最长，最长弦长为直径长4，CD均正确． 故选：ACD． 11. 下列命题中，正确命题的为（ ） A. 若直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则 B. 若向量满足，且，则在方向上的投影向量为 C. 若，则的夹角是钝角 D. 已知正四面体OABC的棱长为1，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算判断直线与平面的位置关系，即可判断A；利用投影向量的计算公式判断B；根据向量夹角与数量积的关系判断C；利用正四面体的几何性质结合空间向量的运算转化求解即可判断D，从而得结论. 【详解】对于A，若直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是， 则，所以或，故A不正确； 对于B，若向量，满足，且， 则在方向上的投影向量为，故B正确； 对于C，若，，的夹角是钝角或平角，故C不正确； 对于D，已知正四面体的棱长为1， 则 ，故D正确； 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，若与的夹角是锐角，则的值的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量与的夹角是锐角可得且与不同向共线，结合数量积的坐标表示计算即可求解. 【详解】因为与的夹角是锐角，所以， 即，解得， 若与的夹角为，则存在，使， 即，所以，解得. 故t的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知圆(x-1)2+y2=1与圆(x-2)2+(y-1)2=r2(r>0)无公切线,则r的取值范围为____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，两圆内含，再结合圆心距和半径之差的关系，即可求得结果. 【详解】由题意，圆(x-1)2+y2=1的圆心坐标为C1(1,0) ，半径为r1=1， 圆(x-2)2+(y-1)2=r2(r>0)的圆心坐标为C2(2,1) ，半径为r， 因为两圆无公切线，则两圆的位置关系为两个圆内含， 则圆心距d=，则d<r-1， 即r>+1，所以r的取值范围是(+1,+∞). 故答案为：. 【点睛】本题考查由两圆之间的位置关系求参数范围，属基础题. 14. 阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的数学三巨匠.“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上动点到两定点A，B的距离之比满足且，为常数），则点的轨迹为圆.已知在平面直角坐标系中，，动点满足，则点的轨迹为圆，该圆的标准方程为__________；过点A的直线交圆于两点C，D，且，则__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，根据可得圆的方程，利用垂径定理可求. 【详解】设，则，整理得到， 即. 因为，故为的中点，过圆心作的垂线，垂足为， 则为的中点，则，故， 解得， 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知且 （1）求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）2； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据空间向量平行的性质、空间向量线性运算公式进行求解即可； （2）根据空间向量垂直的坐标表示公式、空间向量线性运算公式即可求解. 【小问1详解】 ， ， 设， ， 的值为2． 【小问2详解】 由（1），则， ， ， ． 16. 已知直线及点. （1）若与垂直的直线过点，求与的值； （2）若点与点到直线的距离相等，求的斜截式方程. 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）由垂直关系及点在线上列出等式求解即可； （2）由点到线的距离公式列出等式，求解即可. 【小问1详解】 因为直线过点， 所以，解得， 因为与垂直， 所以. 【小问2详解】 因为点与点到直线的距离相等， 由点到直线的距离公式得. 解得， 当时，的斜截式方程为， 当时，的斜截式方程为. 17. 如图，正方体的棱长为2. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：由正方体的性质可知， 因为平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用正方体的性质得到，然后利用线面平行的判定可证结论； （2）利用垂直关系找到两平面夹角的平面角，利用直角三角形可求正弦值； （3）建立坐标系，求出平面法向量，利用点到平面的距离公式可求答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设交于点，连接，由正方形的性质可知，且； 因为正方体的棱长为2，所以， 所以,且， 所以为平面与平面所成角的平面角， 因为底面，所以， 所以，即平面与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为，则， 令可得， 设到平面的距离为， 则，即点到平面的距离为. 18. 设，，，圆Q过A，B，D三个点. （1）求圆Q的方程； （2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 【答案】（1） （2） （3） 设直线的方程为， 由得，， 所以， 所以， 所以，所以直线方程为，令，解得，即直线过定点． 【解析】 【分析】（1）圆过三个点，求出线段、线段的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为圆心，再求出半径，即可得到圆的方程； （2）设，根据，得到，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该可知圆与圆相交，由圆心距与半径和差的关系得到不等式组，解得即可； （3）设直线的方程为，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，由斜率公式求出，即可得解. 【小问1详解】 由题意可得，圆心Q为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点， ，直线的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即 又线段的垂直平分线的方程为， 联立方程组，解得，所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 设，因为， 所以， 化简得，所以． 则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即两圆相交. 又， 则，解得. 【小问3详解】 略 19. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程； （3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值. 【答案】（1） ； （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意，设圆方程为，根据直线与圆的位置关系和两直线的位置关系可得，解之即可求解； （2）根据几何法求弦长可得圆心到直线的距离为，易知当直线斜率不存在时满足题意；当斜率不存在时，设直线方程，利用点线距公式计算建立关于k的方程，解之即可求解； （3）直线方程联立圆的方程，解得，同理可得，则，结合基本不等式计算即可求解. 【小问1详解】 由题可知，设圆的方程为，圆心为， 由直线与圆相切于点， 得，解得， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为d， ∵，∴，. ①当直线斜率不存在时，，满足到直线的距离； ②当直线斜率存在时：设方程：，即， ，整理得，解得， ，即， 综上：直线的一般式方程为或； 【小问3详解】 由题意知，， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得， 解得或，则点A的坐标为， 又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为， 由题可知：， ， 又，同理， ， 当且仅当时等号成立， 的最大值为. 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：配方法；基本不等式法；单调性法；三角换元法；导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $