精品解析：河南省驻马店市遂平县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025－2026学年度上期期中素质测试题 九年级数学 （本试卷共八页，三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加、减、乘、除运算，根据二次根式的加减乘除法则逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，故不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，原选项计算错误，故不符合题意． 故选：C． 2. 实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则的结果是（ ） A. B. C. a D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值．由数轴可知，，进而可得，根据绝对值性质和二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可知，， ，， ， 故选A． 3. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程，由题意可得3月份的售价为万元，4月份售价为万元，由此列方程即可． 【详解】解：设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x， 由题意得：， 故选：A． 4. 若与是一元二次方程的两个实数根，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，得出，的值是解题的关键根据根与系数的关系，可得出，，再根据得出一个关于的一元一次方程，解方程即可得出的值． 【详解】一元二次方程的两个实数根， ，， ∵，即， ∴， ， 故选． 5. 如图，在长，宽的矩形花园中，欲修宽度相等的小路（阴影部分），要使小路面积占总面积的．则路宽应满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．正确的识图，列出一元二次方程，是解题的关键． 根据题意，空白部分的面积占到总面积的，列出方程即可． 【详解】解：由题意，得：， 即：． 故选D． 6. 如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质可得内错角相等，即可得出和，在根据相似三角形的性质及等量代换即可得出答案． 【详解】解：， ，，， ， ， 由， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，考查学生对相似三角形对应边成比例知识点及等量代换技巧的掌握情况． 7. 在如图所示的正方形网格中，以点O为位似中心，作△ABC的位似图形，若点D是点C的对应点，则点A的对应点是（ ） A. E B. F C. G D. H 【答案】D 【解析】 【分析】连接并延长，根据位似变换的性质判断即可． 【详解】解：如图，连接并延长， 以点为位似中心，点D是点C的对应点， 位似比为， 则点A的对应点是H， 故选：D． 【点睛】本题考查了位似变换，掌握位似图形的对应点连线相交于一点以及位似图形的性质是解题的关键． 8. 如图，在中，，，若，则AC的长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键；过点A作于E，由求得，再由正弦函数关系即可求得． 【详解】解：如图，过点A作于E， 则； 在中，， ∴； 在中，， ∴； 故选：B． 9. “赵爽弦图”是我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小华在如图所示的“赵爽弦图”中，连接．若正方形与正方形的边长之比为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用、正方形的性质及勾股定理，设的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为，小正方形的边长为x，由题意得，解得，即可求解． 【详解】解：设的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为，小正方形的边长为x， 即，， 由题意得，，解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，已知分别为正方形的边上的点，且，分别交对角线于点，则下列结论：①平分；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】延长到T，使得，连接,证明，，可判定①，证明，可判断②；证明， 可判③，将绕点A逆时针旋转得到，连接， 证明可判断④，连接，证明，得到，结合可判断⑤，解答即可． 【详解】解：延长到T，使得，连接 ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴（）， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴， ∴平分 故①正确； ∵四边形是正方形， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③正确； 将绕点A逆时针旋转得到，连接， ∴， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴（）， ∴ ∴, 故④正确； 如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵, ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故⑤正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，对顶角的性质，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式中被开方数是非负数，分式分母不为0是解题的关键．根据二次根式和分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：由题意，得且， 且， 故答案为：且． 12. 设，是一元一次方程的两根，____________． 【答案】5 【解析】 【分析】由题意易得，则根据一元二次方程根与系数的关系可知，然后代入求解即可． 【详解】解：由一元二次方程的解可得，根据一元二次方程根与系数的关系可知， ∴； 故答案为5． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键． 13. 在中，，则的度数为___________ 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，平方数的非负性，锐角三角函数值的计算，三角形内角和定理，根据非负性可得，求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握特殊角的三角函数值的计算方法是解题的关键． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 14. 如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发，问经过______秒钟，与相似． 【答案】2或5##5或2 【解析】 【分析】分和两种情况解答即可． 【详解】解：设P、Q运动时间为秒， 根据题意，，，则， 当时，则，即， 解得：； 当时，则，即， 解得：， 综上，当经过2或5秒钟，与相似． 故答案为：2或5． 【点睛】本题考查相似三角形的动点问题，理解题意，掌握相似三角形的性质，分类讨论是解答的关键． 15. 如图，点为轴上一点，它的坐标为，过点作轴的垂线与直线交于点，以线段为边作正方形；延长交直线于点，再以线段为边作正方形；延长交直线于点，再以线段为边作正方形．依此类推，的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质以及一次函数图象上点的特征．根据正方形的性质以及一次函数图象上点的特征可得点的坐标为，点，……，由此发现点的坐标为，即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， ∵过点作轴的垂线与直线交于点， ∴点的坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 同理点，……， 由此发现点的坐标为， ∴的坐标为． 故答案为： 三、解答下列各题（本大题共8个小题，满分共75分） 16. （1）计算：． （2）用适当的方法解方程：． 【答案】(1) 5 (2) ， 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解一元二次方程： （1）先化简二次根式，再计算绝对值，负整数次幂，乘方，最后进行加减运算； （2）先将原方程移项，合并同类项，变形为，再利用因式分解法求解． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ， ， 或， 解得，． 17. 在学习二次根式时，发现一些含有根号的式子可以化成另一式子的平方，如： ； ． （1）若，且，，均为正整数，若，则______； （2）请你按照上述方法将化成一个式子的平方； （3）请你运用上述方法化简：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算和完全平方公式，灵活运用二次根式的性质和完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式把等式右边展开，则，，再计算对应的的值； （2）利用题中的方法，把7分成2与5的和，把分成与的积，然后利用完全平方公式写成平方式即可； （3）把写成，然后利用完全平方公式写成平方式，再根据二次根式的性质即可解答； 【小问1详解】 解：，， ， ，， 解得：，， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 18. 如图，在中，D为上一点，E为上一点，如果． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据，可得，即有，结合，可得； （2）根据，可得，即，问题随之得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵在（1）中已证明， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 19. 已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． （1）判断方程是否为波浪方程，并说明理由． （2）已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值； （3）若一个波浪方程的两个根分别为，，求这个波浪方程． 【答案】（1）方程为波浪方程， 理由如下： 由题意得，， ∴， ∴方程为波浪方程， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，波浪方程的定义，熟知波浪方程的定义是解题的关键： （1）直接根据波浪方程的定义判断即可； （2）先根据波浪方程的定义得到，再由一元二次方程的解的定义得到，据此联立①②求解即可； （3）根据根与系数的关系推出，根据波浪方程的定义得到，据此得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵关于x的方程为波浪方程， ∴，且， ∴， ∵是关于x的方程的一个根， ∴， 联立①②解得； 【小问3详解】 解：∵一个波浪方程的两个根分别为，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴这个波浪方程为． 20. 如图1，某校的一棵银杏，树龄已逾千年，为了映衬这棵古银杏，园林部门以树干根部为中心，在其四周的地面铺设了圆形的景观草坪．小强所在综合学习小组，为了测量这棵银杏树的高度，采取如下测量方案：将测角仪支架放在圆形草坪的圆周上，使得测角仪与树干的距离等于圆形草坪的半径，当测角仪距离地面1米时，在A处测得树顶D的仰角为，再将测角仪的支架下降20厘米，在C处测得树顶的仰角为，如图2，请求出这棵银杏树的高度．（可选用数据：，，，，，） 【答案】23米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形应用中的仰角问题，是利用锐角三角函数求解树高的实际问题．关键在于通过设未知数，利用锐角三角函数建立方程来求解．已知在圆形草坪圆周上不同高度的两点测量树顶的仰角，以及两点的高度差，同时给出了一些锐角三角函数值，可设树高为，利用和的值可表示出草坪圆周的半径，利用半径相等即可建立方程求解． 【详解】解：如图2所示，作，，由题意得，，，，则，设树高， 在中，，则， 同理在中，，则， ∵，，， ∴， 解得． 故树高为23米． 21. 某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）10%；（2）每千克水果应涨价5元 【解析】 【分析】(1) 设这个降价率为，根据每千克40元经两次调价后调至每千克32．4，列出方程求解即可；  (2)根据商场要保证每天盈利6000元，列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值． 【详解】解：（1）设这个降价率为，由题意得 ； 解得：，（舍去） 答：这个降价率为10% （2）设每千克水果应涨价元， 依题意得方程：， 整理，得， 解这个方程，得，． 要使顾客得到实惠，应取． 答：每千克水果应涨价5元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程． 22. 【三角形中位线定理】 已知：在中，点D，E分别是边的中点．直接写出和的关系； 【应用】 如图，在四边形中，点E，F分别是边的中点，若，，，．求的度数； 【拓展】 如图，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F、G，． 求证：． 【答案】【三角形中位线定理】，； 【应用】； 【拓展】证明：取的中点，连接、． 、分别是、的中点， 是的中位线， 且， 同理可得且． ， ， ，， ，， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理逆定理，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键． [三角形中位线定理]根据三角形中位线定理即可得到结论； [应用]连接，根据三角形中位线定理得到，，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可； [拓展]取的中点，连接、，则、分别是、的中位线，由中位线的性质定理可得且，且，根据等腰三角形的性质即可得结论． 【详解】解：[三角形中位线定理]，； 理由：点，分别是边，的中点， 是的中位线， ，； [应用]连接，如图所示， 、分别是边、的中点， ，， ， ，， ，， ， ， ； [拓展]略 23. 【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，、、的长分别为，且满足，点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． （1）的坐标为_________，的坐标为_________． 【数学理解】 （2）如图2，连接，当平分时，求出的值．（提示：利用面积求解） 【深入探究】 （3）过作交直线于，交轴于，在点运动的过程中，当时（全等无需证明），画出图形，并求出的值． 【答案】（1），；（2）；（3）1或7 【解析】 【分析】（1）先根据绝对值、偶次方和算术平方根的非负性求出的值，由此即可解答； （2）过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再根据建立方程，解方程即可得； （3）分两种情况：点在线段上和点在的延长线上，表示出的长，根据全等三角形的性质可得，由此建立方程，解方程即可得． 【详解】解：（1）∵， 且， ∴， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，． （2）过点作于点， 由（1）得，，，， 当点运动秒时，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得． （3）①当点在线段上时，则， ∵， ∴，即， 解得； ②当点在的延长线上时，则， ∵， ∴，即， 解得； 综上所述，当时，t的值为1或7． 【点睛】本题考查了绝对值、偶次方和算术平方根的非负性，坐标与图形，全等三角形的性质，角平分线的性质定理等知识，掌握分类讨论思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度上期期中素质测试题 九年级数学 （本试卷共八页，三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则的结果是（ ） A. B. C. a D. 3. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 若与是一元二次方程的两个实数根，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在长，宽的矩形花园中，欲修宽度相等的小路（阴影部分），要使小路面积占总面积的．则路宽应满足的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在如图所示的正方形网格中，以点O为位似中心，作△ABC的位似图形，若点D是点C的对应点，则点A的对应点是（ ） A. E B. F C. G D. H 8. 如图，在中，，，若，则AC的长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 9. “赵爽弦图”是我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小华在如图所示的“赵爽弦图”中，连接．若正方形与正方形的边长之比为，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知分别为正方形的边上的点，且，分别交对角线于点，则下列结论：①平分；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 12. 设，是一元一次方程的两根，____________． 13. 在中，，则的度数为___________ 14. 如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发，问经过______秒钟，与相似． 15. 如图，点为轴上一点，它的坐标为，过点作轴的垂线与直线交于点，以线段为边作正方形；延长交直线于点，再以线段为边作正方形；延长交直线于点，再以线段为边作正方形．依此类推，的坐标为________． 三、解答下列各题（本大题共8个小题，满分共75分） 16. （1）计算：． （2）用适当的方法解方程：． 17. 在学习二次根式时，发现一些含有根号的式子可以化成另一式子的平方，如： ； ． （1）若，且，，均为正整数，若，则______； （2）请你按照上述方法将化成一个式子的平方； （3）请你运用上述方法化简：． 18. 如图，在中，D为上一点，E为上一点，如果． （1）求证：． （2）若，求的长． 19. 已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． （1）判断方程是否为波浪方程，并说明理由． （2）已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值； （3）若一个波浪方程的两个根分别为，，求这个波浪方程． 20. 如图1，某校的一棵银杏，树龄已逾千年，为了映衬这棵古银杏，园林部门以树干根部为中心，在其四周的地面铺设了圆形的景观草坪．小强所在综合学习小组，为了测量这棵银杏树的高度，采取如下测量方案：将测角仪支架放在圆形草坪的圆周上，使得测角仪与树干的距离等于圆形草坪的半径，当测角仪距离地面1米时，在A处测得树顶D的仰角为，再将测角仪的支架下降20厘米，在C处测得树顶的仰角为，如图2，请求出这棵银杏树的高度．（可选用数据：，，，，，） 21. 某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 22. 【三角形中位线定理】 已知：在中，点D，E分别是边的中点．直接写出和的关系； 【应用】 如图，在四边形中，点E，F分别是边的中点，若，，，．求的度数； 【拓展】 如图，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F、G，． 求证：． 23. 【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，、、的长分别为，且满足，点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． （1）的坐标为_________，的坐标为_________． 【数学理解】 （2）如图2，连接，当平分时，求出的值．（提示：利用面积求解） 【深入探究】 （3）过作交直线于，交轴于，在点运动的过程中，当时（全等无需证明），画出图形，并求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $