精品解析：陕西省渭南市韩城市2026届高三上学期期中质量检测数学试题

陕西省渭南市韩城市2026届高三上学期期中质量检测数学试题 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题：，的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，均为锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，角与角均以轴正半轴为始边，它们的终边关于直线对称.若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，满足，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的通项公式为，前项和为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数有两个极值点 B. 是函数的极小值点 C. 函数的单调递减区间为 D. 曲线的对称中心为 11. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.8和0.2.若发送信号和接收信号完全一样，则称此次通信为完美通信；若接收的信号中只有一个信号与发射信号不同，则称此次发射为次完美通信.则下列结论正确的是（ ） A. 当依次发送信号时，完美通信的概率为0.72 B. 当依次发送信号时，完美通信的概率为0.648 C. 当依次发送信号时，次完美通信的概率为0.352 D. 当依次发送3个数字信号时，次完美通信的概率最大为0.384 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点.若线段AB中点的横坐标为3，则____________. 13. 已知函数，若，则实数的最大值为____________. 14. 设，其中.当满足时，可能取到的最大值为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且. （1）求函数的定义域； （2）当时，求函数在上的最大值. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调递增区间. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面是等边三角形，四边形ABCD是梯形，分别是棱BC，PA的中点. （1）证明：平面PCD； （2）若，求直线EF与平面PAB所成角的正弦值. 18. 已知函数. （1）证明：； （2）求不等式的解集； （3）当时，若函数有两个零点，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）当时，求在上的最大值； （2）若是上的单调函数，求实数的取值范围； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省渭南市韩城市2026届高三上学期期中质量检测数学试题 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将集合B的元素逐个代入集合检验，即可求得交集. 【详解】因为，所以，因为，所以， 因为，所以，因为，所以， 从而. 故选：D 2. 命题：，的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据命题的否定的定义直接判断. 【详解】命题：，的否定为，, 故选：B. 3. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等式与不等式的性质及作差法可求得结果 【详解】对于A：当时，，选项A错误； 对于B：因为，令，则，选项B错误； 对于C：，因为，，若，则，选项C错误； 对于D：由，得，则，选项D正确， 故选：D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先解分式不等式，再结合充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】因为，所以解得或， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性排除选项D，利用当时，，排除选项B，C，即得解. 【详解】解：∵函数的定义域为，关于原点对称，，∴为奇函数，排除选项D． 当时，，，∴，排除选项B，C． 故选：A． 6. 已知，均为锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两角和与差的正余弦公式化简可得，即可得解. 【详解】由， 得， 即， 又，均为锐角，所以， 即，， 即， 故选：C. 7. 在平面直角坐标系中，角与角均以轴正半轴为始边，它们的终边关于直线对称.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先表示出，再由诱导公式计算可得. 【详解】因为角与角均以轴正半轴为始边，它们的终边关于直线对称且， 所以， 所以. 故选：D 8. 已知，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式，两角和的余弦公式及二倍角公式化简即可. 【详解】由已知， 又，则，即， 所以，则， 所以，即， 又， 所以， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的通项公式为，前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据数列的通项公式直接计算. 【详解】A选项：，A选项正确； B选项：，，则，B选项正确； C选项：，C选项错误； D选项：，，所以，D选项正确； 故选：ABD. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数有两个极值点 B. 是函数的极小值点 C. 函数的单调递减区间为 D. 曲线的对称中心为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用导数研究的单调性、极值点可判断ABC；利用函数的对称性可判断D． 【详解】，则， 令，得或；令，得或；令，得， 所以的增区间为，减区间为，所以C错误； 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，故A正确，B错误； 因为 ，所以曲线的对称中心为，故D正确. 故选：AD 11. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.8和0.2.若发送信号和接收信号完全一样，则称此次通信为完美通信；若接收的信号中只有一个信号与发射信号不同，则称此次发射为次完美通信.则下列结论正确的是（ ） A. 当依次发送信号时，完美通信的概率为0.72 B. 当依次发送信号时，完美通信的概率为0.648 C. 当依次发送信号时，次完美通信的概率为0.352 D. 当依次发送3个数字信号时，次完美通信的概率最大为0.384 【答案】ACD 【解析】 【分析】把题意理解为四个独立事件，把选项理解为哪几个独立事件同时发生，用概率乘法公式，即可求解概率，从而作出判断. 【详解】设发送信号分别记为，接收信号分别记为， 则，， ，， 当依次发送信号时，完美通信的概率为，故A正确； 当依次发送信号时，完美通信的概率为，故B错误； 当依次发送信号时，次完美通信概率有以下三种可能： 即， ， ， 所以当依次发送信号时，次完美通信的概率为，故C正确； 当依次发送信号时，次完美通信的概率为， 当依次发送信号时，次完美通信的概率为， 当依次发送信号时，次完美通信概率有以下三种可能： ， ，， 所以当依次发送信号时，次完美通信的概率为， 而发送信号的顺序改变，但次完美通信的概率是不变的， 所以从以上四种情形可知当依次发送信号时，次完美通信的概率为是最大的，故D正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点.若线段AB中点的横坐标为3，则____________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据抛物线的焦点半径公式得焦点弦长，由此计算． 【详解】设点,由题意可得. . 故答案为：8. 13. 已知函数，若，则实数的最大值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】结合分段函数解析式分情况列方程解方程即可. 【详解】设，则， 当时，，解得， 当时，，解得， 所以或， 易知有两个解，即或， 若， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，的值有，，，， 其中最大值为， 故答案为：. 14. 设，其中.当满足时，可能取到的最大值为____________. 【答案】127 【解析】 【分析】先表示出，根据分析它们的情况，在写出结合对的分析得出最大值. 【详解】由， 又， 所以中有4个1，3个， 又， 所以可能取到的最大值时， ， 此时最大值为：， 故答案为：127. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且. （1）求函数的定义域； （2）当时，求函数在上的最大值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据对数函数定义域解不等式组即可求出函数的定义域； （2）根据对数函数的单调性与二次函数的性质即可求出时函数在上的最大值. 【小问1详解】 依题意有解得， 故函数的定义域为. 【小问2详解】 当时，，其中， 令， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 又是减函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 故函数在上的最大值为. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调递增区间. 【答案】（1） （2） 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为. 【解析】 【分析】（1）求导得切线斜率，求得切点纵坐标，再根据点斜式得切线方程； （2）求导得，讨论与的大小，解在定义域内的解集从而得函数单调增区间. 【小问1详解】 当时，函数， 所以， 所以， 所以所求切线方程为，即； 【小问2详解】 因为，其定义域为， 所以， 当时，由，解得或； 当时，恒成立且在时取等号； 当时，由，解得或. 综上，当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面是等边三角形，四边形ABCD是梯形，分别是棱BC，PA的中点. （1）证明：平面PCD； （2）若，求直线EF与平面PAB所成角的正弦值. 【答案】（1） 在四棱锥中，取AD的中点，连接EH，FH， 由F，H分别是棱PA，AD的中点，得，而平面平面PCD， 则平面PCD，由E，H分别是棱BC，AD的中点，得， 而平面平面PCD，则平面PCD， 由平面HEF，且，得平面平面PCD，又平面HEF， 所以平面PCD. （2） 【解析】 【分析】（1）取AD的中点，利用线面平行的判定、面面平行的判定性质推理得证. （2）利用面面垂直的性质证明直线两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由是等边三角形，得，又平面平面ABCD， 且平面平面平面PAD，则平面ABCD， 又，则直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面PAB的法向量为，则， 取，得， 设直线EF与平面PAB所成的角为， 则， 所以直线EF与平面PAB所成角的正弦值为. 18. 已知函数. （1）证明：； （2）求不等式的解集； （3）当时，若函数有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） 因为， 所以 ， 故. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式，结合已知条件即可得证； （2）利用函数的奇偶性和单调性，简化不等式即可求解； （3）将问题转化为方程在时有两个实数根的问题，再利用换元法并结合函数的单调性求出的值域，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知的定义域为， 且， 所以函数为奇函数， 因为函数在上单调递增， 则函数在上单调递增， 因此不等式等价于， 即，所以，解得， 故不等式的解集. 【小问3详解】 由已知，， 因为函数有两个零点， 所以方程在上有两个不相等的实数根， 即方程在上有两个不相等的实数根， 令，则. 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 则时，， 所以原问题转化为方程有两个不相等的实数根， 即有两个不相等的实数根. 由对勾函数的性质知，函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 19. 已知函数. （1）当时，求在上的最大值； （2）若是上的单调函数，求实数的取值范围； （3）证明：. 【答案】（1） （2） （3） 先证明左边： 由（1）知时，在上单调递增， 所以当时，，即， 又，所以，， 累加得； 再证明右边： 由（2）可知，时，在上单调递减， 所以当时，，可得，令， 累加可得 ， 所以， 所以； 综上，. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，根据余弦函数图象与性质求出单调区间，即可求解最大值； （2）求出导函数，结合，按照和分类讨论，分别研究函数的单调性，利用单调性求得的范围； （3）由（1）知，又，所以，，累加证明左边；由（2）可知，令，累加可得，将其变形结合等比数列求和公式利用放缩法证明右边，即可得证. 【小问1详解】 若，则，， 当时，，仅当时等号成立， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以； 【小问2详解】 ，则， ，仅当时等号成立， 当时，， 此时恒成立，在上单调递减，符合题意； 当时，，要使为单调函数， 则必须，即恒成立，所以，得， 所以； 综上，实数的取值范围为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $