精品解析：广东省汕头市潮阳区棉城中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

2025-2026学年度第一学期棉城中学高二级期中考试（数学试题） 命题者：蔡爱云 审核者：郭华 2025.11 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线经过点，且斜率为3，则直线一定过点（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，且，则的值为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 13 3. 已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 若点到直线：的距离为，则（ ） A. 1 B. C. 或9 D. 1或 5. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 6. 如图，在三棱锥中，平面，，，，，以点为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面的法向量为，则下面选项中正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. C. 可以是 D. 平面平面 7. 如图所示，直线与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图①，在中，，，E，F分别为AB，AC上的点，，．如图②，将沿EF折起，当四棱锥的体积最大时，点E到平面ACF的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 直线在轴上的截距为2 B. 过点且与直线平行的直线方程是 C. 经过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 D. 若，，则直线不经过第二象限 10. 在以为坐标原点的空间直角坐标系中，.下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 是平面的一个法向量 D. 三棱锥的体积为 11. 如图，在平行六面体中，，，，为与的交点，若，，，则下列正确的是（ ） A. B. 的长为 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆的半径为______. 13. 直线：，：，若，则______. 14. 如图，在棱长为4的正方体中，点在上，且，点在上，且，若平面上存在一点使得平面，则点的坐标为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，正三棱柱的底面边长为4，侧棱长为4，是棱的中点.以棱的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）求直线的方向向量与平面的法向量； （2）判断直线与平面是否平行？并证明你的结论.若不平行，求直线与平面所成角的正弦值；若平行，求直线到平面的距离. 16. 已知的三个顶点分别是，，. （1）求边所在直线的方程，以及这条边的垂直平分线的方程； （2）求的面积； （3）求的外接圆的方程. 17. 求解正四面体的有关问题时，常用“补形法”——构造一个共顶点的正方体.如图，正方体中正四面体的棱长为. （1）请用正方体求解正四面体的体积；请用空间向量坐标法求解； （2）若点，分别是线段，的中点，求直线与所成角的余弦值； （3）求正四面体的高. 18. 已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点，且被圆所截得的弦长为，求直线的方程. 19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，点在棱上，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）若点在棱上，且，判断、、、是否四点共面，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期棉城中学高二级期中考试（数学试题） 命题者：蔡爱云 审核者：郭华 2025.11 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线经过点，且斜率为3，则直线一定过点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的方程，再逐项判断即可. 【详解】依题意，直线的方程为，即， 对于A，当时，，A不是； 对于B，当时，，B不是； 对于C，当时，，C是； 对于D，当时，，D不是. 故选：C 2. 已知，，且，则的值为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】先求出的坐标，再利用向量垂直的性质列出方程，进而求解y的值. 【详解】因为，，所以； 又因为，所以，即； 所以. 故选:D. 3. 已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的直线方程，求出其斜率，进而求出倾斜角. 【详解】直线：的斜率，所以该直线的倾斜角为. 故选：A 4. 若点到直线：的距离为，则（ ） A. 1 B. C. 或9 D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式列式计算即可. 【详解】由点到直线：的距离为，得， 所以或. 故选：D 5. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式计算判断即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 点到直线的距离， 所以直线与圆相切. 故选：B 6. 如图，在三棱锥中，平面，，，，，以点为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面的法向量为，则下面选项中正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. C. 可以是 D. 平面平面 【答案】D 【解析】 【分析】根据坐标系，求点的坐标，可判断A；求出的坐标可判断B；根据平面的法向量的概念判断C；由平面得，又，可得平面，从而平面平面，即可判断D． 【详解】以点为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图， 因为，所以， ，故A错误； ，故B错误； 若，因为， 所以 与不垂直，所以不是平面的法向量，故C错误； ∵平面，平面，∴， ∵，∴， 又，平面， ∴平面， ∵平面，∴平面平面，故D正确， 故选：D． 7. 如图所示，直线与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线的斜截式方程的各项系数的几何意义，逐一判断各选项即得. 【详解】对于A，由直线的图象可得，由的图象可得，产生矛盾，故A不合题意； 对于B，由直线的图象可得，由的图象可得，产生矛盾，故B不合题意； 对于C，由直线的图象可得，由的图象可得，产生矛盾，故C不合题意； 对于D，由直线的图象可得，由的图象可得，两者一致，故D符合题意. 故选：D. 8. 如图①，在中，，，E，F分别为AB，AC上的点，，．如图②，将沿EF折起，当四棱锥的体积最大时，点E到平面ACF的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定四棱锥的体积最大时，平面，然后以为原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求点面距． 【详解】由得，所以，四边形的面积是确定的， 点到平面为，则，因此 四棱锥的体积最大时，取得最大值，所以平面， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 所以点到平面的距离为， 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 直线在轴上的截距为2 B. 过点且与直线平行的直线方程是 C. 经过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 D. 若，，则直线不经过第二象限 【答案】BD 【解析】 【分析】求出纵截距判断A；利用平行关系求出直线方程判断B；借助截距式方程判断C；确定直线位置判断D. 【详解】对于A，直线在轴上的截距为，A错误； 对于B，设与直线平行的直线方程为， 则，解得，所求直线方程为，B正确； 对于C，当过点且在两坐标轴上截距相等的直线过原点时，方程为，C错误； 对于D，由，得，则直线的横、纵截距分别为，因此直线不经过第二象限，D正确. 故选：BD 10. 在以为坐标原点的空间直角坐标系中，.下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 是平面的一个法向量 D. 三棱锥的体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由所给已知点写出A、B选项中所需向量，在根据向量垂直、共线关系判断即可，C选项利用平面向量的法向量方法验证即可，D选项先求出三棱锥的高，计算底面面积，再根据锥体的公式计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以， ，故A正确， ，所以，所以与平行不成立， 故B不正确， 由， 所以， 所以， 所以是平面的一个法向量，故C正确， 由， 即且，所以平面， 所以为三棱锥的高，且， 又， ， 所以， 又， 所以， 所以 ， 所以三棱锥的体积为： ， 故D正确， 故选：ACD. 11. 如图，在平行六面体中，，，，为与的交点，若，，，则下列正确的是（ ） A. B. 的长为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理，以及向量的线性运算方法，以及向量数量积的性质，逐一判断各选项正误，求出结果即可. 【详解】由题意可知，所以A正确； 由题意可知， 所以，所以B错误； 由题可知， 则， 即，则，所以C正确； 由题可知，则， ， 所以，所以D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆的半径为______. 【答案】 【解析】 【分析】将圆的一般方程配方成标准方程即得. 【详解】由配方得，故该圆的半径为. 故答案为：. 13. 直线：，：，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用两条直线平行系数间的关系 ，且列式子求解. 【详解】直线：，：，且， 所以，且 ，所以 . 故答案为：. 14. 如图，在棱长为4的正方体中，点在上，且，点在上，且，若平面上存在一点使得平面，则点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】建系后分别求出，的坐标，设，即得的坐标，利用平面推得，建立的方程组，求解即得. 【详解】如图建系，因正方体的棱长为4，则， 由点在上，且，可得 由点在上，且，可得，则. 又点是平面上一点，故可设，则， 因平面，而平面，故， 即得，解得. 故点的坐标为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，正三棱柱的底面边长为4，侧棱长为4，是棱的中点.以棱的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）求直线的方向向量与平面的法向量； （2）判断直线与平面是否平行？并证明你的结论.若不平行，求直线与平面所成角的正弦值；若平行，求直线到平面的距离. 【答案】（1），； （2）不平行，. 【解析】 【分析】（1）根据给定的坐标系，写出相关点的坐标，再求出直线的方向向量及平面的法向量. （2）由（1）的结论判断可得不平行，再利用线面角的向量法求解. 【小问1详解】 依题意，， 所以直线的方向向量； 而，设平面的法向量， 则，取，得，所以平面的法向量. 【小问2详解】 由（1）知直线的方向向量，平面的法向量， 而，因此直线与平面不平行， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 16. 已知的三个顶点分别是，，. （1）求边所在直线的方程，以及这条边的垂直平分线的方程； （2）求的面积； （3）求的外接圆的方程. 【答案】（1）边所在直线的方程：，垂直平分线的方程：； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出，利用点斜式求出边所在直线的方程，求出的中点坐标，再由点斜式计算可得； （2）求出及点到直线的距离，再由面积公式计算可得； （3）设的外接圆的方程为，代入点的坐标得到方程组，解得即可. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以边所在直线的方程为，即， 又的中点为，即， 所以边垂直平分线的方程为，即； 【小问2详解】 因为， 又点到直线：的距离， 所以. 【小问3详解】 设的外接圆的方程为， 依题意可得，解得， 所以，即， 即的外接圆的方程为. 17. 求解正四面体的有关问题时，常用“补形法”——构造一个共顶点的正方体.如图，正方体中正四面体的棱长为. （1）请用正方体求解正四面体的体积；请用空间向量坐标法求解； （2）若点，分别是线段，的中点，求直线与所成角的余弦值； （3）求正四面体的高. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）几何法：利用割补法计算可得；向量法：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可求出点到平面的距离，再求出，即可求出锥体的体积； （2）求出，，利用坐标法计算可得； （3）由（1）可知点到平面的距离，即可得解. 【小问1详解】 因为正四面体的棱长为，所以正方体的边长为， 几何法： ； 向量法：如图建立空间直角坐标系，因为正四面体的棱长为， 所以正方体的边长为， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，取， 则点到平面的距离， 又为边长为的等边三角形， 所以， 所以； 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以，， 设直线与所成角为，则， 所以直线与所成角的余弦值为； 【小问3详解】 由（1）可知点到平面的距离， 所以正四面体的高为. 18. 已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点，且被圆所截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）求出线段中垂线方程，与给定直线方程联立求出圆心坐标及半径，进而求出圆的标准方程. （2）利用圆的弦长公式求出弦心距，再按斜率存在与否分类求解. 【小问1详解】 依题意，点的中点坐标为，直线的斜率为， 则线段中垂线斜率为1，方程为，由，解得， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 由直线被圆所截得的弦长为，得圆心到直线距离， 显然圆心到直线的距离为2，因此直线的方程可以为； 当直线斜率存在时，设其方程为，则，解得， 直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. 19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，点在棱上，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）若点在棱上，且，判断、、、是否四点共面，并说明理由. 【答案】（1） 因为平面，平面，所以， 又因为，且，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，且为的中点，所以， 因为，且平面，所以平面. （2） （3） 点不共面.理由如下： 因为点在上，则， 因为，可得， 则， 由（2）知平面的法向量为， 可得，所以不在平面内， 所以四点不共面. 【解析】 【分析】（1）由平面，证得，再由，证得平面，得到，结合，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面. （2）过点作，以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）根据题意，求得，再由平面的法向量为，结合，得到不在平面内，即可得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作，垂直为， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为为的中点，可得， 又因为点在棱上，且，可得， 则，且， 设平面的法向量为， 则，故可取， 又由平面，所以平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为， 则， 所以平面与平面所成角的余弦值. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $