专题01 直线方程和圆的方程（期末复习讲义，必备知识+15大题型精讲+过关分层验收）高二数学上学期人教B版

该高中数学期末复习讲义通过知识框架图和对比表格系统构建直线与圆的知识体系，涵盖倾斜角与斜率、直线方程、圆的方程等8个核心考点，用表格归纳考情规律，用模块梳理整合概念公式及易错点，突出知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层递进的练习设计，包含15类题型及答题模板，如“直线对称问题”题型通过中点与垂直关系推理培养数学思维，基础通关练夯实基础，重难突破练提升综合应用，助力教师实施精准分层教学，支持学生自主复习与能力进阶。

专题01 直线方程和圆的方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1：直线的倾斜角与斜率 记准范围与公式，明确特殊情况； 能互求倾斜角与斜率，判断斜率正负. 题型：选择/填空 难度：基础题； 特点：结合直线方程考查，多为基础铺垫. 2：直线方程（五种形式） 掌握适用条件，熟练互化与求解； 避免忽略特殊情况（如截距式不过原点）. 题型：选择/填空或解答题第一问； 难度：基础为主（80%），含参数中档（20%）； 特点：高频，多结合位置关系、距离命题. 3：两直线的位置关系；距离公式 牢记判定条件与公式； 能判定位置、求交点、算距离. 题型：选择/填空或辅助考查； 难度：基础（60%）、含参数中档（40%）； 特点：必考，距离公式应用极广. 4：对称问题 掌握核心性质（中点、垂直）； 熟练求解对称点与对称直线. 题型：选择/填空或解答题小问； 难度：中档题； 特点：高频，结合切线、轨迹考查. 5：圆的方程 掌握两种形式与互化； 能根据条件灵活求圆方程. 题型：选择/填空或解答题第一问； 难度：基础（70%）、含参数中档（30%）； 特点：必考基础，为综合题铺垫. 6：直线与圆的位置关系 熟练判定方法与核心公式； 能求切线、算弦长，处理含参数问题. 题型：选择/填空或解答题； 难度：基础（30%）、中档（50%）、难题（20%）； 特点：必考重点，解答题高频命题点. 7：圆与圆的位置关系 记准判定条件； 能判定位置、求公共弦方程与弦长. 题型：选择/填空）或解答题小问； 难度：基础（40%）、中档（60%）； 特点：高频，侧重判定与公共弦计算. 8：综合应用（最值、轨迹、跨模块） 掌握最值转化方法与轨迹推导逻辑； 应对跨模块综合题. 题型：解答题或选择压轴； 难度：中档（60%）、难题（40%）； 特点：重点难点，区分度强，侧重数形结合. 知识点01 直线模块（概念+公式+法则+示例+易错点） 1.核心概念 倾斜角：直线与x轴正方向重合时为，向上旋转的最小正角，范围. 斜率：（）；时斜率不存在（直线垂直x轴）. 截距：横截距（令）、纵截距（令），可正、负、零. 对称关系：点关于直线、直线关于直线、直线关于点对称，核心是“中点在对称轴上”“连线垂直对称轴”（点对称）或“对应点代入原方程”（直线对称）. 2.核心公式与法则 （1）斜率公式 表达式：过、（），. 示例：过和的斜率；过和的直线斜率不存在. 易错点：忽略时斜率不存在，直接代入公式. （2）直线的五种方程 方程形式 表达式 适用条件 点斜式 斜率存在（不垂直x轴） 斜截式 斜率存在（为纵截距） 两点式 且（不垂直坐标轴） 截距式 且（不过原点、不垂直坐标轴） 一般式 （） 所有直线通用 示例：过且斜率为的直线，点斜式，整理为一般式. 易错点：用截距式表示过原点的直线，或用点斜式表示垂直x轴的直线. （3）两直线位置关系（设，） 平行：且（排除重合）. 垂直：（通用，无需考虑斜率）. 示例：与，因且，故重合而非平行. 易错点：仅用判定平行，未排除重合. （4）距离公式 点到直线：点到的距离. 平行直线间：与的距离（系数需一致）. 示例：点到的距离；与的距离. 易错点：计算平行直线距离时未统一x、y系数. （5）对称问题（期末高频） ①点关于直线对称（设关于的对称点） 步骤：中点在上+直线. 特殊情况：为时，，；为时，，. 示例：关于的对称点，联立与，解得. 易错点：忘记中点在对称轴上，仅考虑垂直关系. ②直线关于直线对称 平行情况：取上一点，求其关于对称轴的对称点，用点斜式求. 相交情况：求与对称轴的交点，取上另一点，求的对称点，由、得. 示例：关于的对称直线，交点，的对称点，得. 易错点：平行时未验证距离，相交时遗漏交点. ③直线关于点对称 步骤：对上任意点，其对称点在原直线上，代入得方程. 示例：关于的对称直线，代入得. 易错点：对称点坐标误写为. 知识点02 圆模块（概念+公式+法则+示例+易错点） 1.核心概念 定义：平面内到定点（圆心）距离为定长（半径）的点的轨迹. 方程特征：标准式；一般式（需）. 切线与切点：切线垂直过切点的半径；过圆外一点有两条切线，圆上一点有一条，圆内无切线. 弦与弦心距：弦心距垂直且平分弦（推论：直径垂直弦必平分弦，平分弦（非直径）的直径必垂直弦）. 对称性质：中心对称（对称中心为圆心）、轴对称（过圆心的直线）；对称时半径不变，仅圆心变换. 2.核心公式与法则 （1）圆的方程 标准式：圆心，半径，. 一般式：圆心，半径. 直径式：端点、，方程，圆心，半径. 示例：直径端点和的圆，方程，整理为. 易错点：直径式方程展开符号错误，圆心坐标记错. （2）切线方程（期末高频） ①过圆上一点的切线 标准圆：过点的切线方程. 原点圆：切线方程. 示例：过上点的切线，方程（验证：圆心到直线距离）. 易错点：忽略切线与半径垂直的条件，未验证距离. ②过圆外一点的切线 步骤：设切线方程（斜率不存在单独讨论），用圆心到直线距离等于半径列方程求. 示例：过与相切的直线，解得，切线方程. 易错点：遗漏斜率不存在的情况. （3）弦长公式（期末必考） 表达式：弦长（为半径，为圆心到弦的距离）. 示例：中，直线的弦长，圆心到直线距离，弦长. 易错点：忘记乘系数“2”，直接用作为弦长. （4）圆与圆的位置关系（设两圆，，圆心距） 位置关系 数量关系 外离 外切 相交 内切 内含 公共弦方程：两圆方程相减，得（仅相交时有效）. 示例：两圆与的公共弦方程，弦长. 易错点：两圆不相交时仍求公共弦方程. （5）圆的对称问题 关于点对称：圆心对称，半径不变；对称圆心. 关于直线对称：圆心对称，半径不变；用点关于直线对称的方法求新圆心. 示例：关于点的对称圆，原圆心，对称圆心，对称圆方程；关于直线的对称圆，原圆心的对称点，联立中点在直线上和垂直关系，解得，对称圆方程. 易错点：对称时错误改变半径，或圆心对称点计算失误. （6）圆的综合题型（期末高频） ①最值问题 圆上点到直线的最值：圆心到直线距离，最大值，最小值. 圆上点到定点的最值：定点到圆心距离，最大值，最小值. 过圆外一点的切线长最值：切线长（为定点到圆心距离），最小时最小. 示例：圆上点到直线的最值，圆心到直线距离，最大值，最小值. 易错点：混淆“圆心到直线距离”与“定点到圆心距离”，导致最值计算错误. ②轨迹问题 解题思路：利用圆的定义（到定点距离为定长）或切线性质、中点坐标公式推导轨迹方程. 示例：点，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程，设，则，代入圆方程得，整理为（轨迹为圆）. 易错点：未将动点坐标转化为已知点坐标，直接列方程导致逻辑混乱. 题型一 直线倾斜角和斜率的关系 答｜题｜模｜板 1.明确已知条件：是“给倾斜角求斜率”还是“给斜率求倾斜角”； 2.判定斜率是否存在： 若，斜率不存在； 若，用计算或反向求解； 3.结合范围判断： →（增大，增大）； →（增大，增大）； 4.总结结论（如斜率范围、倾斜角大小）. 易错提醒 忽略时斜率不存在的情况； 【典例1】（25-26高二上·河北·期中）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知直线l经过，两点，则直线l的倾斜角为 ． 【变式2】（24-25高二上·黑龙江·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二上·广东广州·期中）已知点，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型二 直线方程的五种形式 答｜题｜模｜板 1.分析已知条件： 已知“点+斜率”→点斜式（，存在）； 已知“斜率+纵截距”→斜截式（，存在）； 已知“两点”→两点式（，且）； 已知“横截距+纵截距”→截距式（，且）； 统一结果→一般式（，不同时为0）； 2.代入已知条件求解参数（如等）； 3.验证适用条件：排除特殊情况（如截距式不能表示过原点的直线）. 易错提醒 忽略斜率不存在的情况（需单独讨论，方程为）； 截距式中误将“截距”当作“距离”（截距可正可负）. 【典例1】【多选题】（23-24高二上·广西南宁·期末）下列说法错误的有（    ） A．若，则直线l：的斜率大于0 B．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 C．斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为 D．经过点且在x轴和y轴上截距（截距均不为0）相等的直线方程为 【典例2】【多选题】（22-23高二上·浙江杭州·期中）在下列直线方程中，表示经过点且在两坐标轴上截距相等的直线有（    ） A． B． C． D． 【变式1】【多选题】（22-23高二上·吉林长春·期中）下列说法错误的是（    ） A．直线必过定点 B．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 【变式2】（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知的三个顶点是，，，求下列直线的方程（用一般式表示）. (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程； (3)边上的垂直平分线所在直线的方程. 【变式3】（23-24高二上·山东德州·月考）已知的顶点，边上的高所在的直线方程为． (1)求直线的方程； (2)若边上的中线所在的直线方程为，求直线的方程． 题型三 两直线的位置关系，三个距离公式 答｜题｜模｜板 （1）两直线位置关系判定 1.化两直线为一般式：，； 2.判定斜率是否存在： 平行：且（避免重合）； 垂直：（无需讨论斜率）； 3.求交点：联立方程，解方程组. （2）三个距离公式应用 1.点到直线： 步骤：确认直线方程为一般式→代入公式→计算结果； 2.两平行线与： 步骤：统一系数→代入公式→计算； 3.两点与： 公式：→直接代入计算. 易错提醒 计算平行线距离时未统一系数； 判定垂直时仅用，忽略斜率不存在的情况. 【典例1】【多选题】（24-25高二上·重庆·月考）已知直线，直线，则下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若两条平行直线与间的距离为，则 C．直线过定点 D．点到直线距离的最大值为 【典例2】（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知直线. (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 【变式1】【多选题】（24-25高二上·福建漳州·期末）已知直线：与：，则（   ） A．当时， B．当时，与重合 C．当时， D．当时，与间的距离为 【变式2】（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点直线 (1)若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； (2)若设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 【变式3】【多选题】（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则或 C．原点到直线的最大距离为 D．若的倾斜角分别为，且，则 题型四 直线方程的对称问题 答｜题｜模｜板 （1）点关于直线的对称点 1.列方程组： 中点在上：； 连线：（斜率乘积=-1的一般式）； 2.解方程组得. （2）直线关于直线的对称直线 1.取上两个特殊点（如与坐标轴交点）； 2.分别求关于的对称点； 3.联立坐标，用两点式写出的方程. 易错提醒 求解对称点时漏列一个方程； 直线对称时未取特殊点，导致计算复杂. 【典例1】（2020高三·全国·专题练习）已知直线，点.求: (1)点A关于直线l的对称点的坐标; (2)直线关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点对称的直线l'的方程. 【典例2】（21-22高二上·辽宁大连·月考）在中，已知点，的内角平分线BD所在的直线方程是，边上的中线所在的直线方程是，求： (1)点的坐标； (2)边所在直线的方程． 【变式1】（24-25高二上·上海·期末）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·河南·月考）已知，，点是直线上的一点，则当取得最小值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线：. (1)若直线垂直于直线：，求的值； (2)求证：直线经过定点； (3)当时，求点关于直线的对称点的坐标. 题型五 求圆的方程 答｜题｜模｜板 1.选择方程形式： 已知“圆心+半径”→标准式； 已知“三点坐标”或“一般条件”→一般式（）； 2.设参数：标准式设，一般式设； 3.代入已知条件： 标准式：代入圆心坐标和半径关系（如点在圆上则代入满足方程）； 一般式：代入三点坐标，列三元一次方程组； 4.解参数，验证半径（一般式需满足）； 5.写出最终方程. 易错提醒 一般式中遗漏的验证； 已知圆心在某直线上时，未利用该条件减少参数. 【典例1】（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 【典例2】（24-25高二上·山东青岛·期末）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并完成解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 已知直线l过点，且__________． ①与直线平行；②与直线垂直；③直线l的方向向量为． (1)求直线l的一般式方程； (2)已知圆心为C的圆经过两点，且圆心C在直线l上，求此圆的标准方程． 【变式1】（23-24高二上·河南南阳·期末）已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. (1)求圆的标准方程； (2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 【变式2】（23-24高二上·河南周口·期末）的三个顶点坐标是； (1)的外接圆方程； (2)若线段MN的端点N的坐标为，端点M在△ABC的外接圆的圆上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程． 【变式3】（24-25高二上·广东广州·期末）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的标准方程为 ． 题型六 圆的方程中的最值问题 答｜题｜模｜板 （1）距离型最值（圆上点到直线/定点的距离） 1.求圆心到直线（或定点）的距离； 2.最值公式： 最大值：； 最小值：； （2）斜率型最值（如） 3.列不等式→平方整理得关于的一元二次不等式； 4.解不等式得的取值范围，边界值即为最值. （3）截距型最值（如） 1.转化为直线方程：； 2.直线与圆有交点→圆心到直线距离； 3.列不等式→解关于的不等式； 4.得到的最值（边界值）. 【典例1】【多选题】（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知实数满足圆的方程，则（    ） A．圆心，半径为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【典例2】【多选题】（23-24高二上·贵州·月考）已知是圆上一点，是直线上一点，为坐标原点，则（    ） A．直线不经过第二象限的充要条件是 B．线段的中点的轨迹方程为 C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 【变式1】【多选题】（22-23高二上·福建宁德·期中）已知点是圆：上的动点，则下面说法正确的是（    ） A．圆的半径为2 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为6 【变式2】（24-25高三上·重庆·期末）已知点，点为圆上的动点，且.记线段中点为，则的最大值为 . 【变式3】（24-25高二上·重庆长寿·期末）已知点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A．5 B．6 C．25 D．36 题型七 直线和圆相交的弦长以及弦长的最值 答｜题｜模｜板 （1）求弦长 1.确定圆的圆心和半径； 2.求圆心到直线的距离（直线为）； 3.验证相交条件：（若则无弦长）； 4.代入弦长公式：→计算结果. （2）弦长的最值 1.分析的取值范围： 固定圆与动直线：的最值由直线位置决定（如过定点的直线，为圆心到定点距离，）； 固定直线与动圆：为定值，变化时弦长随变化； 2.弦长与成反比： 最大值：时，（直径）； 最小值：时，. 【典例1】（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 【典例2】【多选题】（24-25高二下·河南周口·期末）已知圆，直线，则下列说法正确的是（   ） A．当时，被圆截得的弦长为 B．恒过点 C．当被圆截得的弦长最大时，的斜率为 D．被圆截得的弦长的最小值为 【变式1】【多选题】（22-23高二上·江苏连云港·期末）若一个圆的圆心在直线上，此圆与轴相切，且被直线截得的弦长为，则此圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高三上·天津·期末）已知，直线恒过定点，圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于两点，且，则圆的半径为 ． 【变式3】（24-25高二上·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，存在四点． (1)求过三点的圆的方程，并判断点与圆的位置关系； (2)若过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程． 题型八 求圆的切线方程以及切点弦方程 答｜题｜模｜板 （1）求圆的切线方程 ①过圆上一点 圆标准式：切线方程； 圆一般式：切线方程； 直接代入点坐标，化简得方程. ②过圆外一点 1.设切线斜率为，方程为（斜截式）； 2.圆心到直线距离→列方程； 3.解（可能有两解、一解）； 4.补充斜率不存在的情况：若直线与圆相切，需纳入结果. （2）求切点弦方程（过圆外一点作圆的两条切线，切点连线方程） 1.设圆方程为； 2.切点弦方程：（与圆上一点切线方程形式相同）； 3.化简即可（本质是两圆：原圆与以为直径的圆的公共弦方程）. 【典例1】（23-24高二上·辽宁抚顺·期末）已知圆经过三点. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与直线垂直，且与圆相切，求在轴上的截距. 【典例2】【多选题】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点为圆的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心坐标为，半径为 B．切线 C．直线的方程为 D． 【变式1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆的圆心在直线上，且经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)求过原点且与圆相切的直线方程. 【变式2】（24-25高三上·河北沧州·月考）已知点，点在圆上运动，的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知点是直线上的一点，过点作圆的切线，切点分别为、，则直线恒过定点 ，四边形面积的最小值 . 题型九 圆上的点到某直线距离为定值的点的个数问题 答｜题｜模｜板 1.提取核心参数 圆：确定圆心、半径（题目中为未知量）； 直线：将直线方程化为一般式. 2.计算圆心到原直线的距离 用点到直线距离公式： 3.构造平行直线并计算其到圆心的距离 设圆上点到直线的定值距离为，作与原直线平行且距离为的两条直线，这两条直线到圆心的距离分别为： 4.根据点的个数确定半径范围 圆上到原直线距离为的点的个数，等于两条平行直线与圆的交点总数，结合直线与圆的位置关系（相交→2个点；相切→1个点；相离→0个点），对应不同情况： 若点的个数为2：需一条平行线与圆相交、另一条相离，即； 若点的个数为1：需一条平行线与圆相切、另一条相离，即或； 若点的个数为4：需两条平行线均与圆相交，即； 若点的个数为0：需两条平行线均与圆相离，即. 【典例1】（24-25高二上·江苏宿迁·期末）圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·河南三门峡·期末）若圆上存在到直线的距离等于1的点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·北京平谷·期末）已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为2，则可以是（    ） A．3 B． C．2 D． 【变式2】（24-25高二下·上海杨浦·期末）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是 ． 【变式3】（24-25高二上·江苏南京·期末）若上恰有个点到直线的距离为．则实数的取值范围为 ． 题型十 直线和圆相交的最值问题 答｜题｜模｜板 1.设含参数的直线方程（如，为参数或为参数）； 2.求圆心到直线的距离； 3.由相交条件→列关于参数的不等式； 4.解不等式得参数范围，结合目标函数（如截距、斜率）求最值； 5.验证最值对应的直线是否与圆相交（边界值需满足）. 【典例1】【多选题】（25-26高二上·福建福州·期中）设动直线交圆于，两点（点为圆心），则下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．当取得最小值时， C．当最小时，其余弦值为 D．的最大值为24 【典例2】【多选题】（24-25高二上·安徽·期末）已知实数x、y满足方程，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为0 C．的最大值为 D．的最大值为 【变式1】（22-23高一上·陕西延安·期末）已知点在圆. （1）求的最大值和最小值； （2）求的最大值与最小值； 【变式2】（23-24高二上·浙江·期末）已知实数满足：，则的最大值是 ． 【变式3】（23-24高二上·陕西咸阳·月考）已知实数满足，则的最小值是 ． 题型十一 直线和圆的实际问题 答｜题｜模｜板 1.建模： 确定原点、坐标轴，将实际中的定点（如车站、障碍物中心）转化为坐标； 将实际条件（如“距离不超过”“最短路径”）转化为圆的方程（定点+半径）、直线方程（路径）； 2.求解： 利用前面的模板（如距离最值、位置关系判定）计算几何量； 3.还原： 将几何结果转化为实际问题的答案（如长度、位置、方案）. 【典例1】（22-23高二上·四川绵阳·期中）如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆C经过O、A、B三点． (1)求圆C的标准方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛40千米处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【典例2】（21-22高二上·湖北武汉·期末）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系． (1)试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离； (2)某日经观测发现，在该平台O正南10km C处，有一艘轮船正以每小时km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？ 【变式1】（21-22高二上·福建泉州·期末）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米．在建筑物底面中心O的东北方向米的点A处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度． (1)在西辅道上距离建筑物1米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内？ (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度． 【变式2】（21-22高一下·辽宁锦州·期末）已知在某滨海城市A附近的海面出现台风活动，据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向，距城市A300km的海面点P处，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移动．已知该台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为km．则城市A受台风影响的时间为（    ） A．5h B．h C．h D．4h 【变式3】（23-24高二上·吉林长春·期末）某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.已知经过O,A,B三点的圆为圆C. (1)求圆C的方程. (2)规定圆C及其内部区域为安全预警区,经观测发现,在平台O的正南方向200m的P处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,小汽车会不会进入安全预警区?说明理由. 题型十二 直线和圆相交的定点定值问题 答｜题｜模｜板 （1）定点问题（直线过定点，与参数无关） 1.设含参数的直线方程（如）； 2.整理为“参数×（系数）+不含参数项=0”的形式：； 3.令参数系数和常数项均为0：； 4.解得定点坐标（与无关），验证该点是否在圆内（保证相交）. （2）定值问题（如斜率之积、距离之和为定值） 1.设直线与圆的交点为、，联立直线与圆的方程； 2.消去（或）得关于（或）的一元二次方程，写出韦达定理、； 3.化简目标表达式（如），代入韦达定理； 4.消去参数，证明结果为常数. 【典例1】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知圆，直线：. (1)求证：直线与圆O有两个不同的交点； (2)记直线与圆交于两点， ①当时，求直线的方程； ②记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【典例2】（24-25高二上·贵州六盘水·期中）若圆与圆相交于P，Q两点，，且为线段PQ的中点，则称是的m等距共轭圆.已知点，均在圆上，圆心在直线上. (1)求圆的标准方程. (2)若圆是圆的8等距共轭圆，设圆心的轨迹为. （i）求的方程. （ii）已知点，直线l与曲线交于异于点H的E，F两点，若直线HE与HF的斜率之积为3，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【变式1】（24-25高二上·江苏南京·月考）已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点． (1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； (2)过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； (3)若为圆上异于的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值． 【变式2】（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知圆的圆心在轴上，且过． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点（点位于轴上方），在轴上是否存在点，使得当直线变化时，均有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】（22-23高二上·四川内江·期中）在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上的圆经过点，且被轴截得的弦长为．经过坐标原点的直线与圆交于两点． (1)求圆的方程； (2)求当满足时对应的直线的方程； (3)若点，直线与圆的另一个交点为，直线与圆的另一个交点为，分别记直线、直线的斜率为，，求证：为定值． 题型十三 圆和圆的位置关系共切线问题 答｜题｜模｜板 （1）判定圆与圆的位置关系 1.提取两圆核心参数： 圆：圆心，半径；圆：圆心，半径； 2.计算圆心距：； 3.判定位置关系（对应共切线条数）： 外离（）：4条共切线（2外+2内）； 外切（）：3条共切线（2外+1内）； 相交（）：2条共切线（仅外切）； 内切（）：1条共切线（仅外切）； 内含（）：0条共切线. （2）求共切线方程 ①外公切线方程（两圆同侧，切线到两圆心距离分别等于对应半径） 1.设外公切线斜率为，方程为（一般式：）； 2.列距离方程（圆心到切线距离=半径）： ； 3.消去，得、； 4.解方程组求和（可能有两解，对应两条外公切线）； 5.补充斜率不存在的情况：若直线满足到两圆心距离等于半径，纳入外公切线. ②内公切线方程（两圆异侧，切线到两圆心距离分别等于对应半径） 1.设内公切线斜率为，方程为； 2.列距离方程（与外公切线形式相同，但符号相反，因内公切线在两圆之间）： （解方程时注意绝对值内符号相反）； 3.解方程组求和（外离时两解，外切时一解）； 4.补充斜率不存在的内公切线（若存在）. 易错提醒 混淆外公切线与内公切线的方程求解逻辑（符号错误）； 遗漏斜率不存在的共切线（如两圆圆心在同一水平线上时，可能有垂直于x轴的公切线）. 【典例1】【多选题】（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知圆与圆交于两点，则（    ） A．两圆有2条公切线 B．圆与圆的公共弦所在直线的方程是 C． D．四边形的面积为2 【典例2】（2023·河南郑州·模拟预测）已知圆与圆，则圆和圆的一条公切线的方程为 . 【变式1】（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则（   ） A． B．2 C． D．3 【变式2】【多选题】（24-25高二上·浙江丽水·期末）已知圆，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，圆与圆相离 B．当时，是圆与圆的一条公切线 C．当时，圆与圆相交 D．当时，圆与圆的公共弦所在直线方程是 【变式3】【多选题】（23-24高二上·四川雅安·月考）圆与圆的公切线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 题型十四 由圆和圆的位置关系求参数 答｜题｜模｜板 1.提取两圆核心参数（含参数）： 圆：圆心，半径（为待求参数）； 圆：圆心，半径（已知或含参数）； 2.计算圆心距公式： ； 3.明确位置关系对应的数量关系（设）： 外离：； 外切：； 相交：； 内切：（）； 内含：（）； 4.代入参数表达式，列方程或不等式： 若为“相切”（外切/内切），列等式求解参数（可能有两解）； 若为“相交/外离/内含”，列不等式求解参数范围； 5.验证参数合理性： 半径需满足、； 相交时需保证（恒成立，无需额外验证）； 6.整理参数结果（方程解或不等式范围）. 【典例1】（24-25高二上·河南·期末）若圆与圆恰有一个公共点，则的值为 ． 【典例2】（24-25高二上·北京·期末）已知圆和圆相交于A，B两点，则半径r可以是 ．（写出一个符合题目要求的取值即可） 【变式1】（24-25高二上·天津·期末）已知圆：与圆：外切，此时直线：被圆所截的弦长为 . 【变式2】（24-25高二下·云南曲靖·期末）若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一下·重庆·期末）已知，若两圆和恰有一条公切线，则的最大值为（    ）． A． B． C．2 D． 题型十五 隐圆问题 答｜题｜模｜板 1.识别隐圆类型（常见类型及转化方法）： 类型1：定点定长（动点到定点距离为定值）→圆：； 类型2：圆周角为直角（，A、B为定点）→圆：以为直径，圆心为中点，半径； 类型3：距离比为定值（，，A、B为定点）→圆（阿波罗尼斯圆）：设坐标列方程化简得标准式； 类型4：向量条件（如）→直角圆周角圆；（常数）→平方化简得圆； 2.求隐圆的圆心和半径： 直接转化型（类型1、2）：直接写出圆心和半径； 化简型（类型3、4）：设动点，代入条件列方程，整理为标准圆方程； 3.明确问题目标（结合隐圆求解）： 最值问题（如最值、斜率/截距最值）：套用“圆的最值模板”（）； 交点个数问题（如直线与隐圆交点个数）：计算圆心到直线距离与的关系； 参数范围问题（如动点满足某条件，求参数范围）：转化为直线与隐圆有交点（）. 【典例1】（24-25高一下·重庆·期末）已知点，，若圆上存在点满足，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知点，若圆上存在点，使得，其中为坐标原点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·江苏苏州·期末）若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·安徽·期末）已知点，，点满足，同时满足，则点到轴的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【变式3】（24-25高三上·河南漯河·期末）已知，若圆上存在点满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 期末基础通关练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．（24-25高一下·重庆·期末）若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·四川泸州·期末）已知直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．2 二、多选题 3．（24-25高一下·重庆·期末）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．若直线在轴上的截距为，则 C．若直线与直线垂直，则 D．若，则直线的倾斜角的取值范围为 4．（24-25高二上·全国·单元测试）已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．若，则直线，一定相交 5．（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）已知圆：和圆：，则下列说法正确的是（   ） A．若，则圆和圆相离 B．若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是 C．若圆和圆外切，则或 D．若圆和圆内切，则 三、填空题 6．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，则圆的标准方程是 . 7．（24-25高三上·山东枣庄·期末）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 . 8．（24-25高二上·甘肃酒泉·期末）圆与圆相交于A、B两点，则两圆公共弦AB所在直线的方程为 . 四、解答题 9．（23-24高二上·贵州·期中）已知直线l经过点，且与直线平行． (1)求直线l的方程； (2)已知圆C与y轴相切，直线l被圆C截得的弦长为，圆心在直线上，求圆C的方程． 10．（24-25高二上·四川凉山·期末）平面内一动点到点与的距离之比为． (1)求动点的轨迹方程； (2)斜率为1的直线与曲线交于、两点，且，求直线的方程． 期末重难突破练（测试时间：45分钟） 一、单选题 1．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为.则“将军饮马“的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A． B． C． D． 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 6．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 8．（24-25高二上·陕西渭南·期末）下列说法正确的是（    ） A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件 C．不经过原点的直线都可以用方程表示 D．已知直线过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 三、填空题 9．如图，在等腰直角△ABC中，，点P是边AB上异于A､B的一点，光线从点P出发，经BC､CA反射后又回到原点P.若光线QR经过△ABC的内心，则 . 10．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知圆，一条过点的直线将圆分成面积相等的两部分，且该直线在碰到直线后反射，射出的直线恰好和圆相切，则的值为 ． 四、解答题 11．（23-24高二下·上海·期中）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心､垂心､重心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，若其欧拉线的方程为， (1)求三角形外心的坐标； (2)求顶点的坐标. 12．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知圆心在直线上的圆经过点，且与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)设为直线上的点，满足：过点引圆的切线，切点分别为和，，试求所有满足条件的点的坐标． 期末综合拓展练（测试时间：60分钟） 一、单选题 1．（22-23高一下·天津·期末）已知向量满足，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·四川成都·期中）已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·上海金山·二模）已知点在圆上，点在圆上，且为坐标原点.对于以下两个命题，判断正确的是（    ） ①在坐标平面内存在点，使得恒成立； ②三角形面积的最小值为. A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是假命题 4．（24-25高二上·广西·月考）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，，.点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论不正确的是（   ） A．C的方程为 B．在C上存在点D，使得D到点的距离为3 C．在C上不存在点M，使得 D．C上的点到直线的最小距离为1 5．（23-24高三上·辽宁大连·期中）已知圆：和直线：，点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（ ） A．曲线与直线有3个公共点； B．的最大值为4 C．曲线所围成的图形的面积为 D．的最大值为 三、填空题 7．（23-24高二上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点是坐标原点，点在圆上，点在直线上．在这个定义下，给出下列结论： ①若点的横坐标为，则；　②的最大值是； ③的最小值是2；　④的最小值是． 其中，所有正确结论的序号是 ． 8．（23-24高二上·湖北·期末）已知直线与直线相交于点，其轨迹记为曲线，曲线的方程为，点，分别在曲线，上运动，点在直线上，若直线经过点，且与两曲线，的公共弦所在的直线垂直，则的最小值为 . 四、解答题 9．（24-25高二上·河南周口·月考）如图，将一块三角形的玉石置于平面直角坐标系中，已知，，点，图中阴影三角形部分为玉石上的瑕疵，为了将这块玉石雕刻成工艺品，要先将瑕疵部分切割掉，可沿经过点的直线进行切割．    (1)求直线的倾斜角的取值范围． (2)是否存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上？ (3)设玉石经切割后剩余部分的面积为，求的取值范围． 10．（23-24高二上·湖南·月考）如图，已知圆，为直线上一动点，为坐标原点，过点作圆的两条切线，切点分别为，.    (1)证明直线过定点，并求出定点的坐标； (2)求线段中点的轨迹方程； (3)若两条切线，与轴分别交于点，，求的最小值. 34 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 直线方程和圆的方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1：直线的倾斜角与斜率 记准范围与公式，明确特殊情况； 能互求倾斜角与斜率，判断斜率正负. 题型：选择/填空 难度：基础题； 特点：结合直线方程考查，多为基础铺垫. 2：直线方程（五种形式） 掌握适用条件，熟练互化与求解； 避免忽略特殊情况（如截距式不过原点）. 题型：选择/填空或解答题第一问； 难度：基础为主（80%），含参数中档（20%）； 特点：高频，多结合位置关系、距离命题. 3：两直线的位置关系；距离公式 牢记判定条件与公式； 能判定位置、求交点、算距离. 题型：选择/填空或辅助考查； 难度：基础（60%）、含参数中档（40%）； 特点：必考，距离公式应用极广. 4：对称问题 掌握核心性质（中点、垂直）； 熟练求解对称点与对称直线. 题型：选择/填空或解答题小问； 难度：中档题； 特点：高频，结合切线、轨迹考查. 5：圆的方程 掌握两种形式与互化； 能根据条件灵活求圆方程. 题型：选择/填空或解答题第一问； 难度：基础（70%）、含参数中档（30%）； 特点：必考基础，为综合题铺垫. 6：直线与圆的位置关系 熟练判定方法与核心公式； 能求切线、算弦长，处理含参数问题. 题型：选择/填空或解答题； 难度：基础（30%）、中档（50%）、难题（20%）； 特点：必考重点，解答题高频命题点. 7：圆与圆的位置关系 记准判定条件； 能判定位置、求公共弦方程与弦长. 题型：选择/填空）或解答题小问； 难度：基础（40%）、中档（60%）； 特点：高频，侧重判定与公共弦计算. 8：综合应用（最值、轨迹、跨模块） 掌握最值转化方法与轨迹推导逻辑； 应对跨模块综合题. 题型：解答题或选择压轴； 难度：中档（60%）、难题（40%）； 特点：重点难点，区分度强，侧重数形结合. 知识点01 直线模块（概念+公式+法则+示例+易错点） 1.核心概念 倾斜角：直线与x轴正方向重合时为，向上旋转的最小正角，范围. 斜率：（）；时斜率不存在（直线垂直x轴）. 截距：横截距（令）、纵截距（令），可正、负、零. 对称关系：点关于直线、直线关于直线、直线关于点对称，核心是“中点在对称轴上”“连线垂直对称轴”（点对称）或“对应点代入原方程”（直线对称）. 2.核心公式与法则 （1）斜率公式 表达式：过、（），. 示例：过和的斜率；过和的直线斜率不存在. 易错点：忽略时斜率不存在，直接代入公式. （2）直线的五种方程 方程形式 表达式 适用条件 点斜式 斜率存在（不垂直x轴） 斜截式 斜率存在（为纵截距） 两点式 且（不垂直坐标轴） 截距式 且（不过原点、不垂直坐标轴） 一般式 （） 所有直线通用 示例：过且斜率为的直线，点斜式，整理为一般式. 易错点：用截距式表示过原点的直线，或用点斜式表示垂直x轴的直线. （3）两直线位置关系（设，） 平行：且（排除重合）. 垂直：（通用，无需考虑斜率）. 示例：与，因且，故重合而非平行. 易错点：仅用判定平行，未排除重合. （4）距离公式 点到直线：点到的距离. 平行直线间：与的距离（系数需一致）. 示例：点到的距离；与的距离. 易错点：计算平行直线距离时未统一x、y系数. （5）对称问题（期末高频） ①点关于直线对称（设关于的对称点） 步骤：中点在上+直线. 特殊情况：为时，，；为时，，. 示例：关于的对称点，联立与，解得. 易错点：忘记中点在对称轴上，仅考虑垂直关系. ②直线关于直线对称 平行情况：取上一点，求其关于对称轴的对称点，用点斜式求. 相交情况：求与对称轴的交点，取上另一点，求的对称点，由、得. 示例：关于的对称直线，交点，的对称点，得. 易错点：平行时未验证距离，相交时遗漏交点. ③直线关于点对称 步骤：对上任意点，其对称点在原直线上，代入得方程. 示例：关于的对称直线，代入得. 易错点：对称点坐标误写为. 知识点02 圆模块（概念+公式+法则+示例+易错点） 1.核心概念 定义：平面内到定点（圆心）距离为定长（半径）的点的轨迹. 方程特征：标准式；一般式（需）. 切线与切点：切线垂直过切点的半径；过圆外一点有两条切线，圆上一点有一条，圆内无切线. 弦与弦心距：弦心距垂直且平分弦（推论：直径垂直弦必平分弦，平分弦（非直径）的直径必垂直弦）. 对称性质：中心对称（对称中心为圆心）、轴对称（过圆心的直线）；对称时半径不变，仅圆心变换. 2.核心公式与法则 （1）圆的方程 标准式：圆心，半径，. 一般式：圆心，半径. 直径式：端点、，方程，圆心，半径. 示例：直径端点和的圆，方程，整理为. 易错点：直径式方程展开符号错误，圆心坐标记错. （2）切线方程（期末高频） ①过圆上一点的切线 标准圆：过点的切线方程. 原点圆：切线方程. 示例：过上点的切线，方程（验证：圆心到直线距离）. 易错点：忽略切线与半径垂直的条件，未验证距离. ②过圆外一点的切线 步骤：设切线方程（斜率不存在单独讨论），用圆心到直线距离等于半径列方程求. 示例：过与相切的直线，解得，切线方程. 易错点：遗漏斜率不存在的情况. （3）弦长公式（期末必考） 表达式：弦长（为半径，为圆心到弦的距离）. 示例：中，直线的弦长，圆心到直线距离，弦长. 易错点：忘记乘系数“2”，直接用作为弦长. （4）圆与圆的位置关系（设两圆，，圆心距） 位置关系 数量关系 外离 外切 相交 内切 内含 公共弦方程：两圆方程相减，得（仅相交时有效）. 示例：两圆与的公共弦方程，弦长. 易错点：两圆不相交时仍求公共弦方程. （5）圆的对称问题 关于点对称：圆心对称，半径不变；对称圆心. 关于直线对称：圆心对称，半径不变；用点关于直线对称的方法求新圆心. 示例：关于点的对称圆，原圆心，对称圆心，对称圆方程；关于直线的对称圆，原圆心的对称点，联立中点在直线上和垂直关系，解得，对称圆方程. 易错点：对称时错误改变半径，或圆心对称点计算失误. （6）圆的综合题型（期末高频） ①最值问题 圆上点到直线的最值：圆心到直线距离，最大值，最小值. 圆上点到定点的最值：定点到圆心距离，最大值，最小值. 过圆外一点的切线长最值：切线长（为定点到圆心距离），最小时最小. 示例：圆上点到直线的最值，圆心到直线距离，最大值，最小值. 易错点：混淆“圆心到直线距离”与“定点到圆心距离”，导致最值计算错误. ②轨迹问题 解题思路：利用圆的定义（到定点距离为定长）或切线性质、中点坐标公式推导轨迹方程. 示例：点，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程，设，则，代入圆方程得，整理为（轨迹为圆）. 易错点：未将动点坐标转化为已知点坐标，直接列方程导致逻辑混乱. 题型一 直线倾斜角和斜率的关系 答｜题｜模｜板 1.明确已知条件：是“给倾斜角求斜率”还是“给斜率求倾斜角”； 2.判定斜率是否存在： 若，斜率不存在； 若，用计算或反向求解； 3.结合范围判断： →（增大，增大）； →（增大，增大）； 4.总结结论（如斜率范围、倾斜角大小）. 易错提醒 忽略时斜率不存在的情况； 【典例1】（25-26高二上·河北·期中）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系计算即可. 【详解】①当时，此时，倾斜角为， ②当时，则， 而，所以， 则， 综上所述，倾斜角的范围是. 故选：C 【典例2】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案. 【详解】由题意作图如下： 设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， 由图可知， 由，，，则，， 所以. 故选：B. 【变式1】（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知直线l经过，两点，则直线l的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式求出斜率，进而求出倾斜角. 【详解】依题意，直线的斜率， 所以直线l的倾斜角为. 故答案为： 【变式2】（24-25高二上·黑龙江·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线的斜率范围，从而得到，得到答案. 【详解】直线的斜率为， 故， 又，故. 故选：D 【变式3】（23-24高二上·广东广州·期中）已知点，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，直线与线段有交点，结合图形可得直线斜率的范围，利用直线的斜率公式即可求解. 【详解】由，得， 所以直线的方程恒过定点，斜率为． 因为， 所以． 由题意可知，作出图形如图所示，    由图象可知，或， 所以实数的取值范围为． 故选：B． 题型二 直线方程的五种形式 答｜题｜模｜板 1.分析已知条件： 已知“点+斜率”→点斜式（，存在）； 已知“斜率+纵截距”→斜截式（，存在）； 已知“两点”→两点式（，且）； 已知“横截距+纵截距”→截距式（，且）； 统一结果→一般式（，不同时为0）； 2.代入已知条件求解参数（如等）； 3.验证适用条件：排除特殊情况（如截距式不能表示过原点的直线）. 易错提醒 忽略斜率不存在的情况（需单独讨论，方程为）； 截距式中误将“截距”当作“距离”（截距可正可负）. 【典例1】【多选题】（23-24高二上·广西南宁·期末）下列说法错误的有（    ） A．若，则直线l：的斜率大于0 B．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 C．斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为 D．经过点且在x轴和y轴上截距（截距均不为0）相等的直线方程为 【答案】ACD 【分析】由直线的点斜式方程，截距式方程，斜截式方程判断选项的正误. 【详解】对于A，，则直线l：的斜率为，A错误； 对于B，过点且斜率为的直线的点斜式方程为，B正确； 对于C，斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为，C错误； 对于D，截距不为0时，设在x轴和y轴上截距相等的直线方程为， 将代入，即，，即得， 所以经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为，D错误. 故选 ：ACD. 【典例2】【多选题】（22-23高二上·浙江杭州·期中）在下列直线方程中，表示经过点且在两坐标轴上截距相等的直线有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据题意利用直线的截距式方程运算求解，注意讨论截距是否为0. 【详解】设直线在x，y轴上截距分别为，则， 当时，则直线过原点，设直线方程为， 由题意可得：，即， 故直线方程为； 当时，则设直线方程为， 由题意可得：，则， 故直线方程为，即； 综上所述：直线方程为或. 故选：CD. 【变式1】【多选题】（22-23高二上·吉林长春·期中）下列说法错误的是（    ） A．直线必过定点 B．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 【答案】BCD 【分析】A选项由含参直线方程过定点的求法计算即可；B选项没有考虑直线过原点的情况，故错误；C选项，由倾斜角与斜率的关系即可判断；D选项计算出端点值后，由线段MN与y轴相交判断斜率的范围应取端点值两侧，故错误. 【详解】A选项，直线方程变形为，令，解得，即原直线必过定点，A正确； B选项，当直线l过原点时，也满足在两坐标轴上的截距相等，此时直线l的方程为，B不正确； C选项，当时，无意义，故C不正确； D选项，直线经过定点，当直线经过M时，斜率为，当直线经过N点时，斜率为，由于线段MN与y轴相交，故实数k的取值范围为或，D不正确. 故选：BCD. 【变式2】（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知的三个顶点是，，，求下列直线的方程（用一般式表示）. (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程； (3)边上的垂直平分线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出AB的中点坐标，再结合直线的两点式方程，即可求解. （2）根据已知条件，结合直线垂直的性质，以及直线的点斜式方程，即可求解. （3）根据已知条件，结合垂直的性质，先求出垂直平分线的斜率，结合AC的中点，列点斜式方程，即可求解. 【详解】（1）由已知，得的中点的坐标为，又因为AB上的中线过， 所以直线的方程为，即. （2）边所在直线的斜率， 因为边上的高与垂直，所以边上的高所在直线的斜率为， 又边上的高经过点，所以边上的高所在的直线方程为， 即. （3）由已知，得直线AC的斜率为，的中点的坐标为， 所以边AC上的垂直平分线所在直线斜率为， 所以边AC上的垂直平分线所在直线方程为，即. 【变式3】（23-24高二上·山东德州·月考）已知的顶点，边上的高所在的直线方程为． (1)求直线的方程； (2)若边上的中线所在的直线方程为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）根据题意，求得，设点，求得，再求得点，进而求得的斜率，进而求得直线的方程． 【详解】（1）解：因为边上的高所在的直线方程为，可得斜率为， 可得直线的斜率，又因为的顶点， 所以直线的方程为，即； 所以直线的方程为. （2）解：直线边上的中线所在的直线方程为， 由方程组，解得，所以点， 设点，则的中点在直线上，所以，即， 又点在直线上，，解得，所以， 所以的斜率，所以直线的方程为， 即直线的方程为． 题型三 两直线的位置关系，三个距离公式 答｜题｜模｜板 （1）两直线位置关系判定 1.化两直线为一般式：，； 2.判定斜率是否存在： 平行：且（避免重合）； 垂直：（无需讨论斜率）； 3.求交点：联立方程，解方程组. （2）三个距离公式应用 1.点到直线： 步骤：确认直线方程为一般式→代入公式→计算结果； 2.两平行线与： 步骤：统一系数→代入公式→计算； 3.两点与： 公式：→直接代入计算. 易错提醒 计算平行线距离时未统一系数； 判定垂直时仅用，忽略斜率不存在的情况. 【典例1】【多选题】（24-25高二上·重庆·月考）已知直线，直线，则下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若两条平行直线与间的距离为，则 C．直线过定点 D．点到直线距离的最大值为 【答案】AC 【分析】结合题设直线方程得两直线斜率为，，对于A，由直线垂直的关系列式即可求出m；对于B，根据直线平行和斜率的关系求出m，再结合直线平行间的距离公式即可求解；对于C，根据直线过定点问题的方法直接计算即可得解；对于D，由题设得点到直线距离的最大时，再结合两点间距离即可求解. 【详解】由题，斜率为， ，斜率为， 对于A，若，则，即，故A正确； 对于B，因为，所以，即，且即， 又两条平行直线与间的距离为， 所以或，故B错误； 对于C，对，令， 所以直线过定点，故C正确； 对于D，由C可知直线过定点， 所以要使点到直线距离最大，则， 则点到直线距离的最大值为，故D错误. 故选：AC. 【典例2】（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知直线. (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据两直线垂直求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程； （2）直线的方程为，利用平行线间的距离公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）易知直线的斜率为，因为，所以直线的斜率为， 又因为直线过点，所以，直线的方程为，即. （2）直线，设直线的方程为， 因为直线与直线之间的距离为， 由平行线间的距离公式可得，解得或， 因此直线的方程为或. 【变式1】【多选题】（24-25高二上·福建漳州·期末）已知直线：与：，则（   ） A．当时， B．当时，与重合 C．当时， D．当时，与间的距离为 【答案】BC 【分析】根据直线的一般式方程和的相关性质.若两直线平行，则且；若两直线垂直，则；若两直线重合，则且.对于两平行直线间的距离公式为.我们将根据这些概念来逐一判断选项. 【详解】对于A，当时，对于直线即，直线即.根据两直线平行的判定条件，，所以与不平行，A选项错误. 对于B，当时，直线，直线. 因为且，所以与重合，B选项正确. 对于C，当时，直线，直线. 根据两直线垂直的判定条件， 成立，所以与垂直，C选项正确. 对于D，当时，由，对于直线和，有，即，解得. 当时两直线重合， 当时，即，. 根据两平行直线间的距离公式，则，D选项错误. 故选：BC. 【变式2】（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点直线 (1)若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； (2)若设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 【答案】(1)或 (2)4 【分析】（1）首先通过联立直线方程求出交点坐标，然后根据交点在线段上这一条件得到关于的不等式，通过对不等式进行变形求解得出的取值范围.（2）通过联立直线方程求出交点坐标，进而确定三角形相关顶点坐标，得出三角形面积表达式.再通过换元法将面积表达式转化为关于新变量的式子，利用二次函数性质求最值 【详解】（1）因为直线联立 所以交点因为C在线段AB上，所以 即解得 所以或 （2）因为直线联立 所以交点 令中则所以 因为所以C在第一象限且在右侧，D在左侧， 所以的面积为 设所以 所以当即时，S的最小值为4. 【变式3】【多选题】（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则或 C．原点到直线的最大距离为 D．若的倾斜角分别为，且，则 【答案】AC 【分析】根据直线垂直和平行得到关于的方程，解出即可判断AB，求出所过定点即可求出最大值，从而判断C；首先排除斜率不存在的情况，再利用二倍角的正切公式得到关于的方程，解出即可. 【详解】对A，若，则，解得，故A正确； 对B，若，则且，解得，故B错误； 对C，因为，则过定点， 所以原点到直线的距离，所以的最大值为，故C正确； 对D，的倾斜角为，若时，与轴垂直，所以， 而，所以，此时直线的斜率为， 所以，所以，与假设矛盾，所以，所以直线的斜率存在， 即，由得， 所以，得到，解得， 当，直线斜率均为负数，倾斜角都为钝角，不满足，故D错误. 故选：AC. 题型四 直线方程的对称问题 答｜题｜模｜板 （1）点关于直线的对称点 1.列方程组： 中点在上：； 连线：（斜率乘积=-1的一般式）； 2.解方程组得. （2）直线关于直线的对称直线 1.取上两个特殊点（如与坐标轴交点）； 2.分别求关于的对称点； 3.联立坐标，用两点式写出的方程. 易错提醒 求解对称点时漏列一个方程； 直线对称时未取特殊点，导致计算复杂. 【典例1】（2020高三·全国·专题练习）已知直线，点.求: (1)点A关于直线l的对称点的坐标; (2)直线关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点对称的直线l'的方程. 【答案】(1). (2). (3) 【分析】（1）根据中点和斜率列方程组来求得对称点的坐标. （2）在直线上取一点，并求其关于直线的对称点，然后结合直线与直线的交点来求得对称直线的方程. （3）利用相关点代入法来求得对称直线的方程. 【详解】（1）设，由已知条件得，解得所以. （2）在直线m上取一点，则关于直线l的对称点M'必在直线m'上.设对称点， 则解得故. 设直线m与直线l的交点为N，则由解得即. 又因为m'经过点，所以由两点式得直线m'的方程为. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以，即. 【典例2】（21-22高二上·辽宁大连·月考）在中，已知点，的内角平分线BD所在的直线方程是，边上的中线所在的直线方程是，求： (1)点的坐标； (2)边所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出点，根据题意点在直线方程上，且线段的中点在中线所在的直线方程上，列出方程组求解即可； （2）先求出点关于直线的对称点，则点在直线上，从而求出边所在直线的方程. 【详解】（1）设点，依题意可知：点在直线方程上，且线段的中点在中线所在的直线方程上，又点， 则有：，解得：， 所点的坐标为：. （2）设点关于直线的对称点为， 则的中点坐标为，，于是， 解得：，则， 由（1）知，所以， 所以边所在直线的方程为：，即. 【变式1】（24-25高二上·上海·期末）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立如图所示的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点的坐标，关于轴的对称点的坐标，由反射性质得四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即可． 【详解】 建立如图所求的直角坐标系，得，， 则直线方程为， 且的重心为，即， 设，关于直线的对称点为， 则，解得，则， 易知关于轴的对称点为， 根据光线反射原理知四点共线，且，， 所以直线的方程为，即， 又直线过， 所以，解得或（舍去）， 所以，，, 所以， 所以的周长为. 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用对称性，把的三边转化到同一条直线上，利用直线方程求得点的坐标. 【变式2】（24-25高二上·河南·月考）已知，，点是直线上的一点，则当取得最小值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点关于直线的对称点，则为直线与直线的交点时，满足条件，进而可求得答案. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则中点在直线上，即①， 直线与直线垂直，即②， 解得，即点关于直线的对称点为， 又，所以， 所以直线的方程为，即， 由，解得，， 所以当取得最小值时，点的坐标为． 故选：B． 【变式3】（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线：. (1)若直线垂直于直线：，求的值； (2)求证：直线经过定点； (3)当时，求点关于直线的对称点的坐标. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3) 【分析】(1)根据两直线垂直的条件即可得解； (2)转换为恒等式成立问题，由恒等式成立的条件解方程组即可得解. (3)设对称点坐标，根据中点坐标公式求出的中点坐标，然后根据两直线垂直的性质以及的中点在直线上，列出方程组，解方程组即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 解得， 故的值为； （2）因为， 所以， 所以， 解得， 所以直线恒过定点； （3）因为， 所以直线， 设点关于直线的对称点的坐标为， 所以的中点坐标为， 所以， 解得， 所以点关于直线的对称点的坐标为. 题型五 求圆的方程 答｜题｜模｜板 1.选择方程形式： 已知“圆心+半径”→标准式； 已知“三点坐标”或“一般条件”→一般式（）； 2.设参数：标准式设，一般式设； 3.代入已知条件： 标准式：代入圆心坐标和半径关系（如点在圆上则代入满足方程）； 一般式：代入三点坐标，列三元一次方程组； 4.解参数，验证半径（一般式需满足）； 5.写出最终方程. 易错提醒 一般式中遗漏的验证； 已知圆心在某直线上时，未利用该条件减少参数. 【典例1】（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 【答案】(1) (2)以为圆心，为半径的圆 【分析】（1）从A，两点坐标可看出线段平行于轴，则它的垂直平分线垂直于轴，所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,圆心到点的距离为半径，从而得到求圆C的方程． （2）设,,将向量式进行坐标表示，得到与，与的关系，因为点为圆上任意一点，所以利用圆的方程(即与关系)，进而得到与的关系(即点Q的轨迹方程)，从而得到点Q的轨迹. 【详解】（1）因为圆过A,B两点,所以圆心C在线段的垂直平分线上. 因为,所以线段的中点为,直线AB的斜率， 所以线段的垂直平分线斜率不存在,方程为:. 因为圆C的圆心在轴上,所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,所以圆心为. 又半径，所以圆的方程为:． （2）设，．由，得, 所以即 因为点在圆上，所以，所以， 化简整理得的轨迹方程为:， 所以点的轨迹是:以为圆心，为半径的圆． 【典例2】（24-25高二上·山东青岛·期末）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并完成解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 已知直线l过点，且__________． ①与直线平行；②与直线垂直；③直线l的方向向量为． (1)求直线l的一般式方程； (2)已知圆心为C的圆经过两点，且圆心C在直线l上，求此圆的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）三种选择均可确定直线斜率，然后由点斜式可得直线方程. （2）设圆心C的坐标为，由（1）可得，然后由可得圆心坐标，进而可得半径，即可得答案. 【详解】（1）若选①与直线平行，则直线l的斜率 又其过点，故直线l的方程为，整理得 若选②与直线垂直，则直线l的斜率k满足，解得 又其过点，故直线l的方程为，整理得 若选③直线l的方向向量为，则直线l的斜率 又其过点，故直线l的方程为，整理得 综上，直线方程为： （2）设圆心C的坐标为，因为C在上， 所以① 因为A，B是圆上两点，所以有 即②.由①②得 所以圆心C坐标为，圆的半径 综上，所求圆的标准方程是 【变式1】（23-24高二上·河南南阳·期末）已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. (1)求圆的标准方程； (2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得两条直线的交点坐标，也即求得圆心，从而求得圆的标准方程. （2）根据向量共线列方程，然后利用代入法求得点的轨迹方程. 【详解】（1）由解得，则圆心为，半径为， ∴圆的标准方程为. （2）设，. 由，可得， 则，又点在圆上，所以， 即，化简得， ∴点的轨迹方程为. 【变式2】（23-24高二上·河南周口·期末）的三个顶点坐标是； (1)的外接圆方程； (2)若线段MN的端点N的坐标为，端点M在△ABC的外接圆的圆上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法可求圆的方程； （2）定义代入法求线段MN的中点P的轨迹方程． 【详解】（1）设△ABC的外接圆方程为 . 把A（0，1），B（2，1），C（3，4）代入圆的方程得: 解此方程组，得. ∴△ABC的外接圆方程是 （2）设点，， ∵点P是MN的中点，∴. ∵点M在上运动，∴. 即，整理得：. 所以，点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆. 【变式3】（24-25高二上·广东广州·期末）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合圆的性质求得圆心为，即可得半径和圆的方程. 【详解】圆经过原点和点，可知圆心在线段的中垂线上， 因为圆心在直线， 联立方程，解得， 即，可得半径， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 题型六 圆的方程中的最值问题 答｜题｜模｜板 （1）距离型最值（圆上点到直线/定点的距离） 1.求圆心到直线（或定点）的距离； 2.最值公式： 最大值：； 最小值：； （2）斜率型最值（如） 3.列不等式→平方整理得关于的一元二次不等式； 4.解不等式得的取值范围，边界值即为最值. （3）截距型最值（如） 1.转化为直线方程：； 2.直线与圆有交点→圆心到直线距离； 3.列不等式→解关于的不等式； 4.得到的最值（边界值）. 【典例1】【多选题】（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知实数满足圆的方程，则（    ） A．圆心，半径为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】由圆的标准方程判断圆心与半径知A错误；用y表示x并利用可求得x的范围判断B；将转化为圆上点到定点的距离，利用几何意义进行求解可判断C；利用圆的方程将转化为一元二次函数，再利用二次函数的性质求最大值判断D. 【详解】表示圆心为，半径为的圆，A错误； ，解得，即的最大值为，B正确； 表示圆上点到定点的距离，圆心到定点的距离为，圆上点到定点的距离的最大值为，C正确； 由得，代入得，，因为函数在上单调递增，所以的最大值为，D错误. 故选：BC 【典例2】【多选题】 （23-24高二上·贵州·月考）已知是圆上一点，是直线上一点，为坐标原点，则（    ） A．直线不经过第二象限的充要条件是 B．线段的中点的轨迹方程为 C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 【答案】BC 【分析】举判断A；利用相关点法求轨迹方程判断B；当到直线的距离最小时，为最小值判断C；作关于直线的对称点，将转换为得到最小值判断D. 【详解】显然当时，直线的方程为，也不经过第二象限，所以A不正确； 设的中点为，则 因为，所以， 即线段的中点的轨迹方程为，故B正确； 圆心，半径为，当时，直线的方程为， 因为圆心到直线的距离为，所以的最小值为，故C正确； 设关于直线的对称点为，则解得即， 因为，所以， 所以的最小值为，故D不正确. 故选：BC. 【变式1】【多选题】（22-23高二上·福建宁德·期中）已知点是圆：上的动点，则下面说法正确的是（    ） A．圆的半径为2 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为6 【答案】BD 【分析】利用配方法，结合换元法、一元二次方程根的判别式逐一判断即可, 【详解】A：， 因此该圆的半径为，所以本选项不正确； B：因为点是圆：上的动点， 所以， 设代入中，化简得： ，因为该方程有实根， 所以， 因此的最大值为，所以本选项正确； C：由B可知：， ， 由A可知：， 因为点在圆上，所以，于是 ，其中， 显然的最小值为，所以本选项不正确； D：由B可知：， 令，代入中，化简得： ，因为该方程有实根， 所以，因此的最大值为6， 所以本选项正确， 故选：BD 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法，根据一元二次方程有实根的性质进行求解. 【变式2】（24-25高三上·重庆·期末）已知点，点为圆上的动点，且.记线段中点为，则的最大值为 . 【答案】 【分析】分析给定条件的几何关系，求出的轨迹方程，再利用圆的性质求出最大值. 【详解】圆的圆心，半径， 由，得，而为中点，则， ，于是，设， 因此，整理得， 即点在以为圆心，半径为的圆上，则， 所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：分析题设信息，求出点的轨迹是解决问题的关键. 【变式3】（24-25高二上·重庆长寿·期末）已知点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A．5 B．6 C．25 D．36 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用目标函数的几何意义，结合圆上的点与定点距离的最大值求解即可. 【详解】圆的圆心，半径， 目标函数表示圆上的点与定点距离的平方， 而， 所以的最大值为36. 故选：D 题型七 求直线与圆相交的弦长以及弦长的最值 答｜题｜模｜板 （1）求弦长 1.确定圆的圆心和半径； 2.求圆心到直线的距离（直线为）； 3.验证相交条件：（若则无弦长）； 4.代入弦长公式：→计算结果. （2）弦长的最值 1.分析的取值范围： 固定圆与动直线：的最值由直线位置决定（如过定点的直线，为圆心到定点距离，）； 固定直线与动圆：为定值，变化时弦长随变化； 2.弦长与成反比： 最大值：时，（直径）； 最小值：时，. 【典例1】（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 【答案】2 【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 【典例2】【多选题】 （24-25高二下·河南周口·期末）已知圆，直线，则下列说法正确的是（   ） A．当时，被圆截得的弦长为 B．恒过点 C．当被圆截得的弦长最大时，的斜率为 D．被圆截得的弦长的最小值为 【答案】BCD 【分析】利用勾股定理可判断A选项；求出直线所过定点的坐标，可判断B选项；分析可知直线过圆心时，可得出直线的斜率，可判断C选项；分析可知，当时，被圆截得的弦长的最小值，求出弦长的最小值，结合勾股定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，圆的圆心为，半径为， 当时，直线的方程为，则圆心到直线的距离为， 此时，被圆截得的弦长为，A错； 对于B选项，将直线的方程可化为， 由，解得，因此，恒过点，B对； 对于C选项，当被圆截得的弦长最大时，直线过圆心， 则，解得， 此时，直线的方程为，即，即直线的斜率为，C对； 对于D选项，记点，则， 当时，且直线的斜率为，此时，即当时， 圆心到直线距离取最大值，被圆截得的弦长取最小值，且 因为，弦长的最小值为，D对. 故选：BCD. 【变式1】【多选题】（22-23高二上·江苏连云港·期末）若一个圆的圆心在直线上，此圆与轴相切，且被直线截得的弦长为，则此圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的方程. 【详解】设圆心坐标为，半径， 到直线的距离， 所以，解得或. 当时，圆的方程为； 当时，圆的方程为. 故选：BD 【变式2】（24-25高三上·天津·期末）已知，直线恒过定点，圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于两点，且，则圆的半径为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由直线过定点可得点的坐标，从而可得点的坐标，再由圆的弦长公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】直线的方程可化为， 令，解得，所以点的坐标为， 又圆的圆心与点关于直线对称，则， 设圆的方程为， 且圆的圆心到直线的距离为， 又，则. 即圆的半径为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，存在四点． (1)求过三点的圆的方程，并判断点与圆的位置关系； (2)若过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程． 【答案】(1)，D在圆M内 (2)或. 【分析】（1）设出圆的一般方程,利用待定系数法计算可得圆的方程，把D坐标代入圆的方程判定位置关系即可； （2）对直线分类讨论，设出直线方程，利用直线与圆相交，已知弦长求直线方程. 【详解】（1）设圆M方程为， 把A，B，C三点坐标代入可得： 解得，，， 所以圆M方程是, 把D点坐标代入可得：，故D在圆M内； （2）由（1）可知圆M：，则圆心，半径， 由题意可知圆心到直线l的距离是， 当直线l斜率存在时，设直线l方程为：， 所以由点到直线的距离公式得，解得，故直线l的方程为； 当直线l斜率不存在时，则直线l方程为：， 此时圆心到直线l的距离是3，符合题意. 综上所述，直线l的方程为或. 题型八 求圆的切线方程以及切点弦方程 答｜题｜模｜板 （1）求圆的切线方程 ①过圆上一点 圆标准式：切线方程； 圆一般式：切线方程； 直接代入点坐标，化简得方程. ②过圆外一点 1.设切线斜率为，方程为（斜截式）； 2.圆心到直线距离→列方程； 3.解（可能有两解、一解）； 4.补充斜率不存在的情况：若直线与圆相切，需纳入结果. （2）求切点弦方程（过圆外一点作圆的两条切线，切点连线方程） 1.设圆方程为； 2.切点弦方程：（与圆上一点切线方程形式相同）； 3.化简即可（本质是两圆：原圆与以为直径的圆的公共弦方程）. 【典例1】（23-24高二上·辽宁抚顺·期末）已知圆经过三点. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与直线垂直，且与圆相切，求在轴上的截距. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）运用待定系数法进行求解即可 （2）根据圆的切线性质，结合互相垂直的直线的性质进行求解即可. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 因为该圆过三点， 所以有 所以该圆的方程为. （2）由题意得，所以的斜率为. 设，即. 由点到的距离为，得或， 所以在轴上的截距为或. 【典例2】【多选题】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点为圆的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心坐标为，半径为 B．切线 C．直线的方程为 D． 【答案】AC 【分析】将圆的方程配方易得A项正确；利用圆的切线的性质和勾股定理易求得；设出切线方程，由圆心到切线的距离等于半径求出值，回代入直线方程与圆的方程联立，求出点的坐标，再利用斜率关系即可求得直线的方程；先判断，求出的正余弦，再求即得. 【详解】对于A项，由可得：，知圆心为,半径为， 故A项正确；    如图，点为圆的两条切线, 切点分别为. 对于B项，分别连接,在中，,则,故B项错误； 对于C项，设过点的圆的切线方程为：，即：， 由圆心到直线的距离，解得：， 取，则切线方程为代入整理得：， 解得：，代入可得：，即得：， 因,直线的斜率为1，则直线的斜率为，故直线的方程为：，即：，故C项正确； 对于D项，由对称性可知,由上分析知，,则， 于是，.故D项错误. 故选：AC. 【点睛】思路点睛：本题主要考查直线与圆相切产生的切线长，直线方程和夹角问题，属于较难题. 解决此类题目的思路即是，作出图形，利用图形的几何性质，借助于直线与圆的方程联立，求出相关点坐标和相关角的三角函数值即可依次求得. 【变式1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆的圆心在直线上，且经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)求过原点且与圆相切的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，求出线段的中垂线与圆心所在直线的交点即为圆心，即可得解； （2）判断直线斜率不存在时符合题意，当切线斜率存在时，设出切线的方程，利用点到直线的距离公式来求得正确答案. 【详解】（1）线段的中点，直线的斜率， 则线段的中垂线斜率为，方程为，即， 由，解得，，因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. （2）过原点且斜率不存在的直线为，点到直线的距离为， 即直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即，点到该直线距离为， 解得，因此切线方程为， 所以经过原点且与圆相切的直线方程为或. 【变式2】（24-25高三上·河北沧州·月考）已知点，点在圆上运动，的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数形结合得出最大角及最小角，利用三角恒等变换得解. 【详解】如图， 过点向圆引两条切线，切点分别为， 则与分别为的最大､最小角，设， 由，可得， 由可知, 所以. 故选：D. 【变式3】已知点是直线上的一点，过点作圆的切线，切点分别为、，则直线恒过定点 ，四边形面积的最小值 . 【答案】 【解析】设点的坐标为，求出以为圆心，为半径的圆的方程，将该圆的方程与圆的方程作差，可得出直线的方程，进而可求得直线所过定点的坐标； 【详解】如下图所示： 设点，连接、，则，， 由勾股定理可得， 以点为圆心，为半径的圆的方程为， 即， 将圆的方程与圆的方程作差并化简得， 即直线的方程为，即， 由，解得，所以，直线恒过定点； 由切线长定理可得，又，，， 所以，四边形的面积为， 当时，取最小值，即， 因此，四边形的面积的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】结论点睛：本题考查切点弦问题，过圆外一点作圆的切线、，则切点、与、四点共圆，则可视为以为直径的圆与圆的公共弦. 题型九 圆上的点到某直线距离为定值的点的个数问题 答｜题｜模｜板 1.提取核心参数 圆：确定圆心、半径（题目中为未知量）； 直线：将直线方程化为一般式. 2.计算圆心到原直线的距离 用点到直线距离公式： 3.构造平行直线并计算其到圆心的距离 设圆上点到直线的定值距离为，作与原直线平行且距离为的两条直线，这两条直线到圆心的距离分别为： 4.根据点的个数确定半径范围 圆上到原直线距离为的点的个数，等于两条平行直线与圆的交点总数，结合直线与圆的位置关系（相交→2个点；相切→1个点；相离→0个点），对应不同情况： 若点的个数为2：需一条平行线与圆相交、另一条相离，即； 若点的个数为1：需一条平行线与圆相切、另一条相离，即或； 若点的个数为4：需两条平行线均与圆相交，即； 若点的个数为0：需两条平行线均与圆相离，即. 【典例1】（24-25高二上·江苏宿迁·期末）圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆心到直线的距离等1求解即可； 【详解】因为圆的半径为2， 由题意可知：圆心到直线的距离为1， 即，解得：， 故选：C 【典例2】（24-25高二上·河南三门峡·期末）若圆上存在到直线的距离等于1的点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的标准方程可得圆心与半径，分直线与圆的位置为相离、相切与相交三种情况，建立不等式，可得答案. 【详解】由圆可得圆心，半径， 圆心到直线的距离， 当直线与圆相离或相切时，即，圆上的点到直线的距离最小值为， 由题意可得，解得或； 当直线与圆相交时，即，圆上的点到直线的距离最小值为，最大值为， 由题意可得，由，不等式显然成立，由不等式，解得. 综上所述，的取值范围为. 故选：A. 【变式1】（24-25高二上·北京平谷·期末）已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为2，则可以是（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据题意，只需使圆心到直线的距离，解得的范围，根据选项逐一判断即得. 【详解】由圆方程可得圆心坐标为， 依题意需使点到直线的距离，解得. 故选：D. 【变式2】（24-25高二下·上海杨浦·期末）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先确定圆心到直线的距离，再利用圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个，则，然后解不等式即可. 【详解】圆心到直线的距离， 又圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，即，解得. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·江苏南京·期末）若上恰有个点到直线的距离为．则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用平行线间距离公式根据圆上满足题意的点的个数即可求得结果. 【详解】如图所示： 设与直线平行且与直线之间的距离为的直线方程为， 则，解得或， 圆心到直线的距离为， 圆到直线的距离为， 由图可知，圆与直线相交，与直线相离， 所以，即. 因此，的取值范围是. 故答案为：. 题型十 直线和圆相交的最值问题 答｜题｜模｜板 1.设含参数的直线方程（如，为参数或为参数）； 2.求圆心到直线的距离； 3.由相交条件→列关于参数的不等式； 4.解不等式得参数范围，结合目标函数（如截距、斜率）求最值； 5.验证最值对应的直线是否与圆相交（边界值需满足）. 【典例1】【多选题】（25-26高二上·福建福州·期中）设动直线交圆于，两点（点为圆心），则下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．当取得最小值时， C．当最小时，其余弦值为 D．的最大值为24 【答案】ACD 【分析】A令可得；BC根据直线与过点和的直线垂直判断；D利用数量积的几何意义求出. 【详解】对于A：由有， 令有，所以，所以直线过定点，故A正确； 对于B：点在圆内，圆的圆心为， 当取得最小值时，直线与过点和的直线垂直， 所以，解得，故B错误； 对于C：当最小时，此时最小， 则， 由余弦定理有，故C正确； 对于D：， 即的最大值为24，故D正确. 故选：ACD. 【典例2】【多选题】（24-25高二上·安徽·期末）已知实数x、y满足方程，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为0 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件的几何意义，结合圆与直线位置关系，逐项求解判断. 【详解】方程为，表示以为圆心，为半径的圆， 对于AB，设，直线与圆有公共点，由，解得，A正确，B错误； 对于C，表示圆上的点到原点的距离的平方， 又，因此，C正确； 对于D，设，直线与圆有公共点， 由，解得，则的最大值为，D正确. 故选：ACD 【变式1】（22-23高一上·陕西延安·期末）已知点在圆. （1）求的最大值和最小值； （2）求的最大值与最小值； 【答案】（1），；（2）最大值为，最小值. 【解析】（1）圆的方程化为标准形式得到圆心和半径，看作与该圆上的点确定的直线的斜率，通过圆与直线的位置关系求出斜率的范围可得答案； （2）由表示点与距离的平方加上2，转化为圆外点到圆心的距离的问题可得答案. 【详解】（1）为， 即该圆以为圆心，以2为半径， ∵，∴即为与该圆一点确定直线的斜率， 设过与圆相切的直线 为（斜率不存在时直线与圆是相离的）， 则有，解得， ∴，. （2）表示点与距离的平方加上2， 因为点在圆上，点在圆外，所以可以转化为到圆心的距离的问题， ∴所求最大值为， 所求最小值. 【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，对于圆外的点到圆的距离的问题可以转化为圆外点到圆心距离再加减半径的问题，考查了学生的转化能力、分析问题、解决问题的能力. 【变式2】（23-24高二上·浙江·期末）已知实数满足：，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】设，由题意可得可得点圆上，根据结合数量积的坐标公式可得两点重合，则，点到直线和的距离之和的倍，再结合圆上的点到直线和点的最值问题即可得解. 【详解】设， 由， 可得点在以为圆心为半径的圆上， ， 所以，所以， 所以两点重合，故， 则， 表示，点到直线的距离的倍， 表示，点到直线的距离的倍， 故 表示点到直线和的距离之和的倍， 设直线和的交点为，则， 设点到直线和的距离分别为， 则， 因为， 所以， 当且仅当时，取等号， 而， 所以， 此时，， 所以的最大值是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是将代数问题转化为几何问题，数形结合，再借助三角函数的性质求出最值. 【变式3】（23-24高二上·陕西咸阳·月考）已知实数满足，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据点和圆的位置关系求得正确答案. 【详解】方程可化为， 所以是以为圆心，半径为的圆上的点， 与的距离是， 所以的最小值是. 故答案为：    题型十一 直线和圆的实际问题 答｜题｜模｜板 1.建模： 确定原点、坐标轴，将实际中的定点（如车站、障碍物中心）转化为坐标； 将实际条件（如“距离不超过”“最短路径”）转化为圆的方程（定点+半径）、直线方程（路径）； 2.求解： 利用前面的模板（如距离最值、位置关系判定）计算几何量； 3.还原： 将几何结果转化为实际问题的答案（如长度、位置、方案）. 【典例1】（22-23高二上·四川绵阳·期中）如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆C经过O、A、B三点． (1)求圆C的标准方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛40千米处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】(1) (2)该船没有触礁的危险 【分析】（1）由图中坐标系得坐标，设出圆的一般方程，代入三点坐标求解，然后把一般方程配方得标准方程； （2）先求出航行方向所在直线方程，再求出圆心到直线的距离，与半径比较可得． 【详解】（1）如图所示，， 设过O、A、B三点的圆C的方程为， 得：，解得， 故所以圆C的方程为， 圆心为，半径， （2）该船初始位置为点D，则， 且该船航线所在直线l的斜率为, 故该船航行方向为直线， 由于圆心C到直线l的距离， 故该船没有触礁的危险 【典例2】（21-22高二上·湖北武汉·期末）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系． (1)试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离； (2)某日经观测发现，在该平台O正南10km C处，有一艘轮船正以每小时km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？ 【答案】(1)； (2)会驶入安全预警区，行驶时长为半小时 【分析】（1）先求出A，B的坐标，再由距离公式得出A，B之间的距离； （2）由三点的坐标列出方程组得出经过三点的圆的方程，设轮船航线所在的直线为，再由几何法得出直线与圆截得的弦长，进而得出安全警示区内行驶时长. 【详解】（1）由题意得，∴； （2）设圆的方程为， 因为该圆经过三点，∴，得到. 所以该圆的方程为：， 化成标准方程为：. 设轮船航线所在的直线为，则直线的方程为：， 圆心（6，8）到直线的距离， 所以直线与圆相交，即轮船会驶入安全预警区. 直线与圆截得的弦长为，行驶时长小时. 即在安全警示区内行驶时长为半小时. 【变式1】（21-22高二上·福建泉州·期末）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米．在建筑物底面中心O的东北方向米的点A处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度． (1)在西辅道上距离建筑物1米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内？ (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度． 【答案】(1)不在 (2)17.5米 【分析】（1）以O为原点，正东方向为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系，求出直线AB方程，判断直线AB与圆O的位置关系即可； （2）摄像头监控不会被建筑物遮挡，只需求出过点A的直线l与圆O相切时的直线方程即可. 【详解】（1）以O为原点，正东方向为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系 则，观景直道所在直线的方程为 依题意得：游客所在点为 则直线AB的方程为，化简得， 所以圆心O到直线AB的距离， 故直线AB与圆O相交， 所以游客不在该摄像头监控范围内. （2）由图易知：过点A的直线l与圆O相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡， 所以设直线l过A且恰与圆O相切， ①若直线l垂直于x轴，则l不可能与圆O相切； ②若直线l不垂直于x轴，设，整理得 所以圆心O到直线l的距离为，解得或， 所以直线l的方程为或， 即或， 设这两条直线与交于D，E 由，解得，由，解得， 所以， 观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为17.5米. 【变式2】（21-22高一下·辽宁锦州·期末）已知在某滨海城市A附近的海面出现台风活动，据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向，距城市A300km的海面点P处，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移动．已知该台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为km．则城市A受台风影响的时间为（    ） A．5h B．h C．h D．4h 【答案】B 【分析】先求得台风中心距离城市A的最短距离，再利用直线截圆的弦长即可求得城市A受台风影响的时间 【详解】如图，，，台风中心沿方向以的速度移动， 台风中心距离城市A的最短距离为 又台风中心为圆心的圆形区域，半径为km． 则台风中心在以城市A为圆心半径为km的圆内时，城市A受台风影响 以城市A为圆心半径为km的圆截直线所得弦长为 km 则城市A受台风影响的时间为 故选：B 【变式3】（23-24高二上·吉林长春·期末）某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.已知经过O,A,B三点的圆为圆C. (1)求圆C的方程. (2)规定圆C及其内部区域为安全预警区,经观测发现,在平台O的正南方向200m的P处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,小汽车会不会进入安全预警区?说明理由. 【答案】(1)；（或） (2)小次车会进入安全预警区，理由见解析 【分析】（1）设圆的一般方程用待定系数法将三个点代入求解. （2）根据题意写出小汽车行驶轨迹的直线方程，求出圆心到直线的距离 与半径做比较并判断直线与圆的位置关系，从而得到答案. 【详解】（1）由题意得,, 设圆C的方程为,因为圆C经过O,A,B三点, 所以解得 所以圆C的方程为；（或） （2）圆C化成标准方程为,圆心为C,半径, 因圆C到直线的距离. 所以直线与圆C相交,即小次车会进入安全预警区. 题型十二 直线和圆相交的定点定值问题 答｜题｜模｜板 （1）定点问题（直线过定点，与参数无关） 1.设含参数的直线方程（如）； 2.整理为“参数×（系数）+不含参数项=0”的形式：； 3.令参数系数和常数项均为0：； 4.解得定点坐标（与无关），验证该点是否在圆内（保证相交）. （2）定值问题（如斜率之积、距离之和为定值） 1.设直线与圆的交点为、，联立直线与圆的方程； 2.消去（或）得关于（或）的一元二次方程，写出韦达定理、； 3.化简目标表达式（如），代入韦达定理； 4.消去参数，证明结果为常数. 【典例1】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知圆，直线：. (1)求证：直线与圆O有两个不同的交点； (2)记直线与圆交于两点， ①当时，求直线的方程； ②记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）利用直线过定点且定点在圆内部，可证明直线与圆必有两个交点； （2）①利用圆心距来求弦长，即可由点到直线的距离公式求解直线方程； ②利用分类讨论斜率是否存在，然后设直线方程与圆联立方程组，利用根与系数关系来求解定值即可. 【详解】（1）原方程可化为，令, 解得：定点P，， 所以定点P在圆内，所以直线与圆相交; （2）①由圆心原点到直线的距离， 结合弦长公式：，可得，解得， 所以，解得， 即可得直线方程为：， ②由题意知，，    当直线斜率不存在时，，， 不妨取， 则，此时 直线斜率存在时，设方程为， 代入圆的方程可得， 设，则， 又， 所以 综上，为定值. 【典例2】（24-25高二上·贵州六盘水·期中）若圆与圆相交于P，Q两点，，且为线段PQ的中点，则称是的m等距共轭圆.已知点，均在圆上，圆心在直线上. (1)求圆的标准方程. (2)若圆是圆的8等距共轭圆，设圆心的轨迹为. （i）求的方程. （ii）已知点，直线l与曲线交于异于点H的E，F两点，若直线HE与HF的斜率之积为3，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）直线过定点 【分析】（1）设，根据解得，即可得圆心和半径，进而可得圆的方程； （2）（i）分析可知，可知圆心的轨迹为是以为圆心，半径的圆；（ii）分类讨论直线l的斜率是否存在，根据斜率公式以及韦达定理分析求解即可. 【详解】（1）因为圆心在直线上，设， 且点，均在圆上，则， 可得，解得， 即圆心为，半径， 所以圆的标准方程为. （2）（i）因为，由题意可得：， 可知圆心的轨迹为是以为圆心，半径的圆， 所以的方程为； （ⅱ）若直线l的斜率存在，设直线l：，， 联立方程，消去y可得， 则，且， 因为， 整理可得， 则 可得，即或， 当，直线过定点； 当，直线过定点，不合题意； 可知直线过定点； 若直线l的斜率不存在，设， 则，即， 且在圆上，则， 即，解得，不合题意； 综上所述：直线过定点. 【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 1.动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将b用k表示为，得，故动直线过定点； 2.动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 【变式1】（24-25高二上·江苏南京·月考）已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点． (1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； (2)过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； (3)若为圆上异于的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值． 【答案】(1) (2)或． (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，设，，由向量的坐标运算可得的坐标，代入计算，表示出点的坐标，然后代入圆的方程，计算化简，即可得到轨迹方程； （2）根据题意，分直线的斜率存在于不存在讨论，然后结合圆的弦长公式代入计算，即可得到结果； （3）分别由直线的方程得到点的坐标，代入计算，即可证明. 【详解】（1）根据题意，，． 设，，则，， 由于，所以， 得 将其代入，得， 故点的轨迹方程为． （2）根据垂径定理可得． ①当斜率不存在时，直线的方程为：， 直线截点轨迹所得弦长弦长为，符合题意； ②当斜率存在时，设直线， 圆心到直线的距离为，解得． 直线的方程为或． （3）设，则， 直线方程是，令，得， 直线方程是，令得， 所以 ． 即为定值． 【变式2】（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知圆的圆心在轴上，且过． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点（点位于轴上方），在轴上是否存在点，使得当直线变化时，均有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，且 【分析】（1）设出圆的方程，借助代入所过点的坐标计算即可得； （2）圆问题可转化为在轴上是否存在点，使，设出直线方程，联立曲线，借助韦达定理与斜率公式计算即可得. 【详解】（1）设圆为，则有， 解得，故圆的方程为； （2）由题意可得，直线斜率不为，故可设，，， 联立，有， ， ，， 设，，由，则有， 即， 即， ， 即， 则当时，恒成立， 故存在定点，使得当直线变化时，均有. 【变式3】（22-23高二上·四川内江·期中）在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上的圆经过点，且被轴截得的弦长为．经过坐标原点的直线与圆交于两点． (1)求圆的方程； (2)求当满足时对应的直线的方程； (3)若点，直线与圆的另一个交点为，直线与圆的另一个交点为，分别记直线、直线的斜率为，，求证：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】 （1）由题意设圆方程为，然后由已知点坐标和轴上的弦长列方程组，得方程； （2）过点C作于D，由是中点，由平面向量的性质得，从而利用勾股定理求得，再设出直线方程，由点到直线距离公式求得参数值得直线方程； （3）设，，，，写出直线方程，与圆方程联立求得点坐标（用表示），同理得点坐标，然后计算斜率进行证明． 【详解】（1） 由已知圆的圆心在轴上，经过点， 且被轴截得的弦长为．设圆， 所以，解得， 所以圆的方程为； （2） 过点C作CD⊥MN于D，由是中点， 由得到，， 所以， 即， 所以 设直线l的方程为（直线l与x轴重合时不符题意） 由圆心到直线距离公式得，， 所以直线l的方程为． （3） 设，，，， 直线的方程为，其中． 与联立得， 由韦达定理得， 所以，， 所以，同理， 所以 ， 所以． 题型十三 圆和圆的位置关系共切线问题 答｜题｜模｜板 （1）判定圆与圆的位置关系 1.提取两圆核心参数： 圆：圆心，半径；圆：圆心，半径； 2.计算圆心距：； 3.判定位置关系（对应共切线条数）： 外离（）：4条共切线（2外+2内）； 外切（）：3条共切线（2外+1内）； 相交（）：2条共切线（仅外切）； 内切（）：1条共切线（仅外切）； 内含（）：0条共切线. （2）求共切线方程 ①外公切线方程（两圆同侧，切线到两圆心距离分别等于对应半径） 1.设外公切线斜率为，方程为（一般式：）； 2.列距离方程（圆心到切线距离=半径）： ； 3.消去，得、； 4.解方程组求和（可能有两解，对应两条外公切线）； 5.补充斜率不存在的情况：若直线满足到两圆心距离等于半径，纳入外公切线. ②内公切线方程（两圆异侧，切线到两圆心距离分别等于对应半径） 1.设内公切线斜率为，方程为； 2.列距离方程（与外公切线形式相同，但符号相反，因内公切线在两圆之间）： （解方程时注意绝对值内符号相反）； 3.解方程组求和（外离时两解，外切时一解）； 4.补充斜率不存在的内公切线（若存在）. 易错提醒 混淆外公切线与内公切线的方程求解逻辑（符号错误）； 遗漏斜率不存在的共切线（如两圆圆心在同一水平线上时，可能有垂直于x轴的公切线）. 【典例1】【多选题】（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知圆与圆交于两点，则（    ） A．两圆有2条公切线 B．圆与圆的公共弦所在直线的方程是 C． D．四边形的面积为2 【答案】ABD 【分析】求出圆心距后可判断A的正误，两圆方程相减后可得公共弦方程，故可判断B的正误，利用弦长公式求出可判断C的正误，利用面积公式求出四边形的面积后可判断D的正误. 【详解】由题设可圆，故， 而，故. 对于A，, 而，故两圆相交，故两圆有2条公切线，故A正确； 对于B，两圆方程相减后可得公共弦方程为即，故B正确； 对于C，到直线的距离为， 故，故C错误； 对于D，因为， 故四边形的面积为，故D正确， 故选：ABD. 【典例2】（2023·河南郑州·模拟预测）已知圆与圆，则圆和圆的一条公切线的方程为 . 【答案】（写出或或其中一条即可） 【分析】设两圆的公切线方程为，根据圆心到直线的距离均为求解方程. 【详解】解：因为圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 因为，所以，圆和圆外切， 故圆和圆有三条公切线， 若两圆公切线的斜率不存在，设公切线的方程为，则，无解. 所以，两圆公切线的斜率存在，设公切线方程为，即， 由题意可得，可得，所以，或， 当时，可得； 当，代入可得，解得， 所以，两圆公切线方程为或或. 故答案为：（写出或或其中一条即可） 【变式1】（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】设两圆心，由圆心到切线距离等于半径求出，再结合求出即可计算. 【详解】两圆的一条公切线的方程为 即过点， 不妨设两圆心，则， 则，， 则，故. 故选：D 【变式2】【多选题】（24-25高二上·浙江丽水·期末）已知圆，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，圆与圆相离 B．当时，是圆与圆的一条公切线 C．当时，圆与圆相交 D．当时，圆与圆的公共弦所在直线方程是 【答案】ABD 【分析】通过计算两圆的圆心距，再与两圆半径之和、半径之差比较来判断位置关系；对于公切线，需要判断两圆圆心到直线的距离是否等于半径；对于公共弦，可通过两圆方程相减得到. 【详解】圆的圆心坐标为，半径；圆的圆心坐标为，半径为. 则两圆的圆心距. 对于A，当时，.，知圆与圆相离，A正确； 对于B，当时，，由可得两圆相离. 因圆心到的距离为；圆心到的距离为， 故是圆与圆的一条公切线，B正确； 对于C，当时，，因为，两圆相离，C错误； 对于D，当时，将两圆方程相减得：， 整理得，即圆与圆的公共弦所在直线方程是，D正确. 故选：ABD. 【变式3】【多选题】（23-24高二上·四川雅安·月考）圆与圆的公切线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据圆心距和半径的关系可判断两圆相交，结合圆的半径相等，可得切线斜率，即可由点到直线的距离公式求解. 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径， 由题意得，圆与圆的半径之和为，半径之差为0， 因为，所以圆与圆的位置关系为相交． 由题意得，因为圆与圆的半径相等，所以公切线的斜率为2． 设公切线的方程为，即，由，得， 所以公切线的方程为或． 故选：CD 题型十四 由圆和圆的位置关系求参数 答｜题｜模｜板 1.提取两圆核心参数（含参数）： 圆：圆心，半径（为待求参数）； 圆：圆心，半径（已知或含参数）； 2.计算圆心距公式： ； 3.明确位置关系对应的数量关系（设）： 外离：； 外切：； 相交：； 内切：（）； 内含：（）； 4.代入参数表达式，列方程或不等式： 若为“相切”（外切/内切），列等式求解参数（可能有两解）； 若为“相交/外离/内含”，列不等式求解参数范围； 5.验证参数合理性： 半径需满足、； 相交时需保证（恒成立，无需额外验证）； 6.整理参数结果（方程解或不等式范围）. 【典例1】（24-25高二上·河南·期末）若圆与圆恰有一个公共点，则的值为 ． 【答案】或6 【分析】根据两圆的方程，先得到圆心坐标和半径，由两圆相切，讨论内切和外切两种情况，即可得出结果. 【详解】圆，该圆的圆心坐标为，半径（）. 而圆的圆心坐标为，半径. 根据两点间距离公式，两圆的圆心距. 因为两圆恰有一个公共点，所以两圆内切或外切. 当两圆外切时， ，可得，解得； 当两圆内切时， ，可得. 当时，解得. 当时，（不成立，因为算术平方根是非负的）. 故的值为或. 故答案为：或. 【典例2】（24-25高二上·北京·期末）已知圆和圆相交于A，B两点，则半径r可以是 ．（写出一个符合题目要求的取值即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】由两圆相交位置关系列出关于r不等式即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为r， 因为圆和圆相交于A，B两点， 所以. 故答案为：3（答案不唯一） 【变式1】（24-25高二上·天津·期末）已知圆：与圆：外切，此时直线：被圆所截的弦长为 . 【答案】 【分析】根据两圆外切可得，即可根据点到直线的距离公式以及圆的弦长公式求解. 【详解】：的圆心和半径分别为，， ：圆心和半径分别为，， 由于两圆外切，故，解得， 故直线的距离为， 故弦长为， 故答案为： 【变式2】（24-25高二下·云南曲靖·期末）若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆的公切线数量得出两点间距离范围，再结合一元二次不等式求解即可. 【详解】因为圆：与圆：有且仅有2条公切线， 所以圆：与圆：相交， 所以， 所以或. 故选:D. 【变式3】（24-25高一下·重庆·期末）已知，若两圆和恰有一条公切线，则的最大值为（    ）． A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】将两圆方程化为标准方程，根据两圆恰有一条公切线得出两圆的位置关系，进而得到满足的关系式，最后利用三角换元求出的最大值. 【详解】圆，即，圆心，半径 圆，即，圆心，半径 两圆恰有一条公切线，说明两圆内切，圆心距等于半径之差： 令，则最大值为 故选：B. 题型十五 隐圆问题 答｜题｜模｜板 1.识别隐圆类型（常见类型及转化方法）： 类型1：定点定长（动点到定点距离为定值）→圆：； 类型2：圆周角为直角（，A、B为定点）→圆：以为直径，圆心为中点，半径； 类型3：距离比为定值（，，A、B为定点）→圆（阿波罗尼斯圆）：设坐标列方程化简得标准式； 类型4：向量条件（如）→直角圆周角圆；（常数）→平方化简得圆； 2.求隐圆的圆心和半径： 直接转化型（类型1、2）：直接写出圆心和半径； 化简型（类型3、4）：设动点，代入条件列方程，整理为标准圆方程； 3.明确问题目标（结合隐圆求解）： 最值问题（如最值、斜率/截距最值）：套用“圆的最值模板”（）； 交点个数问题（如直线与隐圆交点个数）：计算圆心到直线距离与的关系； 参数范围问题（如动点满足某条件，求参数范围）：转化为直线与隐圆有交点（）. 【典例1】（24-25高一下·重庆·期末）已知点，，若圆上存在点满足，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的加法运算和向量模的运算得，所以点是两圆的公共点，由圆与圆的位置关系求得的最大值. 【详解】若为坐标原点，则， 所以， 所以点在以原点为圆心，以为半径的圆上， 又因为点在以为圆心，以为半径的圆上， 所以点是两圆的公共点，即两圆有公共点， 由圆与圆的位置关系得到，解得， 所以的最大值为. 故选：A. 【典例2】（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知点，若圆上存在点，使得，其中为坐标原点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设出点的坐标，根据得出点的轨迹方程，再根据圆与圆的位置关系求出实数的取值范围. 【详解】设点，因为为坐标原点，，且. 根据两点间距离公式，则，. 所以，展开整理可得：. 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 已知圆，其圆心为，半径. 因为圆上存在点满足条件，所以两圆有公共点. 根据两圆位置关系，两圆的圆心距. 两圆有公共点，则，即. 对于，两边平方得，展开整理得，， 因为，函数图象开口向上，所以恒成立. 对于，两边平方得，即， 解得.   综上可得实数的取值范围为. 故选：C. 【变式1】（24-25高二上·江苏苏州·期末）若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】问题转化为两圆相交，进而可得，求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为. 设圆， 由题意，两圆有两个公共点，即两圆相交，所以， 解得，即或. 所以实数a的取值范围是. 故选：D. 【变式2】（24-25高二上·安徽·期末）已知点，，点满足，同时满足，则点到轴的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】设，利用平面向量数量积的坐标运算求出点的轨迹方程，可知点的轨迹为圆；再由点满足，得到轨迹方程为圆，点是两个曲线的公共点，联立求出直线方程，得解. 【详解】根据题意可知，点满足，设， 因为，所以可得，计算可得，， 又因为点满足，所以， 计算可得，，所以点是两个曲线的公共点， 联立两式相减可得， 代入圆可得，，所以点到轴的距离为． 故选：D. 【变式3】（24-25高三上·河南漯河·期末）已知，若圆上存在点满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，先求出的轨迹方程，分析可得圆与圆有公共点，结合圆与圆的位置关系分析可得答案． 【详解】根据题意，设点，，点满足， 则有，变形可得，则的轨迹方程为， 若圆上存在符合题意的点， 则圆与圆有公共点， 又圆的圆心为，半径为2， 圆的圆心为，半径为3， 则有，解得，即的取值范围是． 故选：C 期末基础通关练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．（24-25高一下·重庆·期末）若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化成，再利用条件列不等式求解即可. 【详解】因为方程可变形为， 由题知，解得，实数的取值范围是. 故选：C 2．（24-25高二下·四川泸州·期末）已知直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．2 【答案】A 【分析】由几何法求出弦长，再由面积公式计算． 【详解】圆的标准方程是，圆心为，半径为， 到直线的距离为， 所以， 所以， 故选：A． 二、多选题 3．（24-25高一下·重庆·期末）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．若直线在轴上的截距为，则 C．若直线与直线垂直，则 D．若，则直线的倾斜角的取值范围为 【答案】AB 【分析】求出直线过定点坐标即可判断A，将点坐标代入直线方程求解即可判断B，根据直线垂直的关系列式求解即可判断C，根据正切函数的单调性求解倾斜角范围判断D. 【详解】直线，令即，得， 所以直线恒过定点，故A正确； 若直线在轴上的截距为，则直线过点，代入直线方程得， 解得，故B正确； 若直线与直线垂直，则，解得，故C不正确； 设直线的倾斜角为，则， 又，所以由正切函数的单调性可知，故D不正确； 故选：AB 4．（24-25高二上·全国·单元测试）已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．若，则直线，一定相交 【答案】AD 【分析】根据两直线平行求出的值，可判断A选项；利用平行线间的距离公式可判断B选项；根据两直线垂直求出的值，可判断C选项；根据两直线相交求出的范围，可判断D选项. 【详解】两条直线，的方程分别为与，它们不重合， 若，则，得，检验符合，故A选项正确； 若，由A选项可知，：，直线的方程可化为， 故两条平行直线之间的距离为，故B选项不正确； 若，则，得，故C选项不正确； 由A选项知，当时，，所以若，则直线，一定相交，故D选项正确. 故选：AD. 5．（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）已知圆：和圆：，则下列说法正确的是（   ） A．若，则圆和圆相离 B．若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是 C．若圆和圆外切，则或 D．若圆和圆内切，则 【答案】BD 【分析】根据两圆的位置关系判断ACD，利用相交圆公共弦求法判断B. 【详解】圆：，圆心，半径为， 圆：，圆心，半径为， 对于A，当时，，因为， 故两圆相交，故A错误； 对于B，当时，两圆相交，公共弦所在直线的方程是， 即，故B正确； 对于C，由两圆外切，得，解得，故C错误； 对于D，由两圆内切，得，解得，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 6．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，则圆的标准方程是 . 【答案】 【分析】设圆的标准方程为，根据点在圆上、圆心在直线上列方程求解即可. 【详解】设圆的标准方程为， 则，解得， 所以圆的标准方程为. 故答案为： 7．（24-25高三上·山东枣庄·期末）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 . 【答案】3 【分析】利用切线长公式，将问题转化为求圆心到直线的距离即可. 【详解】设切点为，则， 而的最小值为点到直线的距离，即，则的最小值为，故切线长的最小值为. 故答案为：. 8．（24-25高二上·甘肃酒泉·期末）圆与圆相交于A、B两点，则两圆公共弦AB所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】两圆方程作差即可得到公共弦方程. 【详解】圆，即，圆心为，半径； 圆，即，圆心为，半径， 又，所以，所以两圆相交， 则两圆方程作差得到，即公共弦所在直线的方程为. 故答案为： 四、解答题 9．（23-24高二上·贵州·期中）已知直线l经过点，且与直线平行． (1)求直线l的方程； (2)已知圆C与y轴相切，直线l被圆C截得的弦长为，圆心在直线上，求圆C的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由两直线平行可求得斜率为，再利用直线的点斜式方程即可求得结果； （2）设出圆C的标准方程，由弦长即圆心位置等即可解出圆的标准方程为. 【详解】（1）因为直线l与直线平行，所以直线l的斜率为， 则直线l的方程为， 化简可得． 即直线l的方程为 （2）设圆C的方程为，则， 因为圆C与y轴相切，所以， 又圆心C到l的距离，所以， 即， 解得，． 故圆C的方程为． 10．（24-25高二上·四川凉山·期末）平面内一动点到点与的距离之比为． (1)求动点的轨迹方程； (2)斜率为1的直线与曲线交于、两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设动点，根据结合两点间距离公式运算求解； （2）设直线，根据垂径定理可得圆心到直线的距离，列式求解即可. 【详解】（1）设动点， 因为，则， 整理可得， 所以动点的轨迹方程为. （2）由（1）可知：曲线是以圆心为，半径的圆， 设直线，即， 由题意可得：圆心到直线的距离， 则，解得， 所以直线的方程为. 期末重难突破练（测试时间：45分钟） 一、单选题 1．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为.则“将军饮马“的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出图形，求出点关于直线的对称点的坐标，在直线上取点，利用、、三点共线时取得最小值即可得解. 【详解】如下图所示，设点关于直线的对称点为， 由题意可得，解得，即点， 在直线上取点，由对称性可得， 所以，， 当且仅当、、三点共线时，等号成立， 因此，“将军饮马“的最短总路程为. 故选：C. 【点睛】思路点睛：本题考查“将军饮马”最短路径问题，求解此类问题的基本思路就是求得动点关于所在直线的对称点后，利用三角形两边之和大于第三边的特点，利用三点共线时求得最值来求解. 2．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件得到曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，结合条件，数形结合，即可求解. 【详解】由，得到， 所以曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，图象如图， 当直线过点时，，此时与曲线有两个不同的交点， 当直线与曲线相切时，由，解得或（舍）， 由图可知，实数的取值范围是， 故选：C. 3．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可 详解：直线分别与轴，轴交于，两点 ,则 点P在圆上 圆心为（2，0），则圆心到直线距离 故点P到直线的距离的范围为 则 故答案选A. 点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题． 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解. 【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 故选：B.      5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 【答案】C 【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可. 【详解】法一：令，则， 代入原式化简得， 因为存在实数，则，即， 化简得，解得， 故 的最大值是， 法二：，整理得， 令，，其中， 则， ，所以，则，即时，取得最大值， 法三：由可得， 设，则圆心到直线的距离， 解得 故选：C. 6．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 二、多选题 7．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】ACD 【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误. 【详解】圆的圆心为，半径为， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误； 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， ，，由勾股定理可得，CD选项正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是. 8．（24-25高二上·陕西渭南·期末）下列说法正确的是（    ） A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件 C．不经过原点的直线都可以用方程表示 D．已知直线过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】BD 【分析】A根据方向向量与斜率的关系判断；B利用直线垂直的判定求参数即可判断；C注意不过原点且垂直于坐标轴的直线；D利用两点式求线段端点处斜率，数形结合确定斜率范围. 【详解】A：由方向向量与斜率的关系知，该直线的斜率为，错； B：直线与直线互相垂直， 有或，故已知条件间关系为充分不必要条件，对； C：对于不过原点且垂直于坐标轴的直线，不能用表示，错； D：由，， 由图知斜率的取值范围是，对. 故选：BD. 三、填空题 9．（21-22高二上·浙江绍兴·期末）如图，在等腰直角△ABC中，，点P是边AB上异于A､B的一点，光线从点P出发，经BC､CA反射后又回到原点P.若光线QR经过△ABC的内心，则 . 【答案】 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设出点的坐标，求得△的内心坐标，根据△内心以及关于的对称点三点共线，即可求得点的坐标，则问题得解. 【详解】根据题意，以为坐标原点，建立平面直角坐标系， 设点关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，如下所示： 则，不妨设，则直线的方程为， 设点坐标为，则，且，整理得， 解得，即点，又； 设△的内切圆圆心为，则由等面积法可得，解得； 故其内心坐标为， 由及△的内心三点共线，即，整理得， 解得（舍）或，故. 故答案为：. 10．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知圆，一条过点的直线将圆分成面积相等的两部分，且该直线在碰到直线后反射，射出的直线恰好和圆相切，则的值为 ． 【答案】 【分析】首先求出过的直线方程，然后求出反射后的直线的方程，最后利用圆心到直线的距离等于圆的半径，即可求出半径的值. 【详解】因为一条过点的直线将圆分成面积相等的两部分， 所以该直线经过圆心. 所以该直线的斜率为. 所以该直线的方程为，倾斜角为. 因为该直线碰到直线后反射，那么射出的直线与轴的夹角为， 中，当时，， 从而射出的直线的斜率为，且射出的直线经过点. 所以射出的直线方程为，即. 又该射出的直线恰好与圆相切，所以圆心到该直线的距离为圆的半径， 即. 故答案为：.    四、解答题 11．（23-24高二下·上海·期中）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心､垂心､重心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，若其欧拉线的方程为， (1)求三角形外心的坐标； (2)求顶点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得边的垂直平分线的所在的直线方程为，结合题意联立方程求解即可； （2）设，根据题意结合重心坐标公式可得，由外心可得，联立方程求解即可. 【详解】（1）由题意可知：边的中点坐标为，， 边的垂直平分线的所在的直线方程为，即， 联立方程，解得 所以的外心的坐标为. （2）设，则的重心为， 代入欧拉线方程得，整理得， 由（1）可知：的外心坐标为， 可知，则， 整理得， 联立方程，解得或， 当时，点B，C重合，舍去， 所以顶点C的坐标是. 12．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知圆心在直线上的圆经过点，且与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)设为直线上的点，满足：过点引圆的切线，切点分别为和，，试求所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆的标准方程为，根据题意和直线与圆相切求出方程； （2）根据题意，可知点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，其轨迹方程为，与直线方程联立可求点的坐标． 【详解】（1）设圆的标准方程为， 因为圆心在直线上，所以，           因为圆经过点，所以，   因为圆与直线相切，所以，    联列方程组，解得， 所以圆的标准方程为； （2）因为，由对称性可知， 所以， 所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，其轨迹方程为，    又因为在直线上， 联列方程组，解得或 所以点的坐标为或. 期末综合拓展练（测试时间：60分钟） 一、单选题 1．（22-23高一下·天津·期末）已知向量满足，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直角坐标系将向量转化为坐标，进而转化为点关于直线对称，从而求出结果. 【详解】 建立如图所示直角坐标系，其中, 则令， 设，则， ，， ， 问题等价于当点在线段上运动时，求的最小值， 设点关于的对称点为， 则，解得， , 当且仅当为直线与线段的交点时取得最小值. 这时由，得，符合题意. 故选：D. 2．（24-25高二上·四川成都·期中）已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直线过定点及两直线位置关系先确定的轨迹，令，可求出点坐标，根据两点之间线段最短可求解. 【详解】直线过定点， 直线过定点， 且直线与直线垂直，所以点的轨迹是以为直径的圆， 故圆心是，半径为则点的方程是 令，因为， 所以， 则 所以，可得点 则.      3．（2025·上海金山·二模）已知点在圆上，点在圆上，且为坐标原点.对于以下两个命题，判断正确的是（    ） ①在坐标平面内存在点，使得恒成立； ②三角形面积的最小值为. A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【分析】对于①，注意到， 则可想到当时满足题意；对于②，设， 则，后由可得，利用三角函数知识可得，据此可判断命题正误. 【详解】 ，则当时，，， ， 即当时，恒成立，则①是真命题； 设， 则， 又， 则. 因， 则， 则，令， 则， 即， 则 ，其中， ，则， 因，则 ， 则， 则，故②是真命题. 故选：A. 【点睛】关键点睛：对于命题①，关键为注意到； 对于命题②，难点在于确定的范围，为此首先将看作整体，随后将从相关等式中分离出来，最后利用三角函数的值域确定范围. 4．（24-25高二上·广西·月考）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，，.点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论不正确的是（   ） A．C的方程为 B．在C上存在点D，使得D到点的距离为3 C．在C上不存在点M，使得 D．C上的点到直线的最小距离为1 【答案】D 【分析】根据两点的距离公式表示，化简计算即可判断A；根据点与圆的位置关系计算即可判断B；根据和两点求距离公式求出点M的轨迹方程，结合圆与圆的位置关系计算即可判断C；根据点到直线的距离公式计算即可判断D. 【详解】对于A，设点， ，，整理得， 故C的方程为，故A正确； 对于B，的圆心，半径， 点到圆心的距离， 圆上一点到点的距离的取值范围为， 而，故在C上存在点D，使得D到点的距离为3，故B正确； 对于C，设点，，则， 整理得，点M的轨迹方程为， 即M是以为圆心，半径的圆， 又，两圆内含，没有公共点， 在上不存在点，使得，故C正确； 对于D，圆心到直线的距离， 上的点到直线的最小距离为，故D不正确. 故选：D. 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 5．（23-24高三上·辽宁大连·期中）已知圆：和直线：，点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意，利用等面积法表示出，通过分析转化为圆心到直线的距离最小，再利用四点共圆的知识求得动点的轨迹，联立两个圆的方程就可以得到直线的方程. 【详解】由题意可得: , 所以, 要使得最小，只需直线上的动点到点的距离最小，其最小值是圆心到直线的距离，此时，且满足. 所以此时直线的方程为：，即， 联立，解得：，即， 由于四点共圆，以为直径的圆的方程：， 即：，联立两个圆的方程， 得到直线的方程为：. 故选：A. 二、多选题 6．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（ ） A．曲线与直线有3个公共点； B．的最大值为4 C．曲线所围成的图形的面积为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】对于A，联立，根据解的个数即可判断；对于B，作出曲线的图形，令，则，确定该直线与相切时直线与轴的截距最大，利用直线与圆的位置关系计算即可判断；对于C，求出一个弓形的面，则可求出曲线所围成的图形的面积，即可判断；对于D，确定可表示为曲线上的点与定点的距离的平方，利用两点距公式计算即可判断. 【详解】对于A，由，得， 所以，即， 解得或，所以或或， 即曲线与直线有3个公共点，故A正确； 对于B，， 如图所示： 由图可知，所在圆的圆心为，半径为2，. 令，则，即， 如图，当该直线与相切时，直线与轴的截距最大， 由，得，解得，即的最大值为4，故B正确； 对于C，由选项B知，曲线所围成的图形的面积为四个全等弓形的面积之和， 设弓形的面积为， 在中，， 所以， 所以扇形的面积， ，所以， 所以曲线所围成的图形的面积为，故C错误； 对于D，可表示为曲线上的点与定点的距离的平方， 由图可知，最大距离为定点到圆心的距离与半径之和， 即， 所以的最大值为，故D正确. 故选：ABD 【点睛】难点点睛：本题的难点是对C选项的判断，求出一个弓形的面积. 三、填空题 7．（23-24高二上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点是坐标原点，点在圆上，点在直线上．在这个定义下，给出下列结论： ①若点的横坐标为，则；　②的最大值是； ③的最小值是2；　④的最小值是． 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】对于①,求出的坐标即可判定为正确；对于②，利用圆的参数方程和辅助角公式即可判定正确；对于③④，利用绝对值放缩和绝对值不等式即可判定③错④对. 【详解】对于①，由题得出的纵坐标为，所以，故①正确； 对于②，设，，则，结合对称性，取 分析即可， 此时，显然当时，取最大值，故②正确； 对于③，设，则， 当的时候等号成立，所以的最小值是，故③错误； 对于④，设，，，则 ，其中， 所以当时，取最小值，此时，故④正确； 故答案为：①②④. 8．（23-24高二上·湖北·期末）已知直线与直线相交于点，其轨迹记为曲线，曲线的方程为，点，分别在曲线，上运动，点在直线上，若直线经过点，且与两曲线，的公共弦所在的直线垂直，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由题意首先得，，取点关于直线的对称点为，结合三角形三边关系即可求解. 【详解】 由题意即，即， 所以， 注意到点不满足和， 所以化简得， 又， 两式相减得公共弦方程为， 所以直线的方程为，即， 设点关于直线的对称点为， 所以，解得， 所以 ， 当且仅当点与与直线的交点重合时，等号成立， 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：关键是取点关于直线的对称点为，由此即可顺利得解. 四、解答题 9．（24-25高二上·河南周口·月考）如图，将一块三角形的玉石置于平面直角坐标系中，已知，，点，图中阴影三角形部分为玉石上的瑕疵，为了将这块玉石雕刻成工艺品，要先将瑕疵部分切割掉，可沿经过点的直线进行切割．    (1)求直线的倾斜角的取值范围． (2)是否存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上？ (3)设玉石经切割后剩余部分的面积为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）观察点运动时，直线与线段（不包括端点）有无公共点，数形结合可得出直线的倾斜角的取值范围； （2）假设存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上，求出直线的斜率，由题意可知，求出直线的斜率，结合（1）中的结论判断即可； （3）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当轴时，直接求出的值；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，求出点、的坐标，可求出面积的取值范围，进而可得出的取值范围，综合可得出结论. 【详解】（1）解：由图可知，点在第一象限，设点， 因为，，则， 所以，，解得，即点， 由题图可知，当点从原点沿着轴的正方向移动时，直线的倾斜角在逐渐增大， 当直线与直线重合时，设直线交轴的交点为，如下图所示：    当点在线段上运动时，直线与线段（不包括端点）没有公共点， 当点在线段（不包括点）上运动时，直线与线段（不包括端点）有公共点， 且直线的斜率为，直线的倾斜角为， 综上所述，直线倾斜角的取值范围是. （2）解：由（1）可知，、，则直线的斜率为， 假设存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上， 此时，，则， 此时，直线的倾斜角满足，不合乎题意， 因此，不存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上. （3）解：当轴时，此时，为线段的垂直平分线， 此时，； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，其中， 直线的方程为，即， 联立可得，即点， 联立可得，即点， 所以，， 所以， ， 因为，则，所以，， 综上所述，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问在求解三角形面积的取值范围时，要注意对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在设出直线的方程后，关键要求出点、的坐标，再利用三角形的面积公式以及函数思想求范围. 10．（23-24高二上·湖南·月考）如图，已知圆，为直线上一动点，为坐标原点，过点作圆的两条切线，切点分别为，.    (1)证明直线过定点，并求出定点的坐标； (2)求线段中点的轨迹方程； (3)若两条切线，与轴分别交于点，，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析，定点； (2) (3) 【分析】（1）求出以为圆心，为半径的圆的方程，再根据线段为圆和圆的公共弦，将两圆的方程相减可得直线的方程，令直线方程中参数项的自变量为0得解； （2）设的中点为点，直线过的定点为点，根据几何性质可得始终垂直于，进而求得方程即可； （3）设切线方程为，根据直线与圆相切化简可得，设，的斜率分别为，，则，，为的两根，表达出，再代入韦达定理，结合函数的范围求解即可. 【详解】（1）由题，圆的圆心坐标，半径为1， 所以，，， 故以为圆心，为半径的圆的方程为， 显然线段为圆和圆的公共弦， 则直线的方程为， 即，所以， 所以直线过定点； （2）由（1）知，直线过定点，的中点为直线与直线的交点， 设的中点为，直线过的定点为， 易知始终垂直于，所以点的轨迹是以为直径的圆， ，， ∴点的轨迹方程为；    （3）设过点P的圆M的切线方程为，即， 故到直线的距离，即， 设，的斜率分别为，，则，， 把代入，得， 则， 故当时，取得最小值为. 49 / 108 学科网（北京）股份有限公司 $