第2章 再练1课(范围：§2.3)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦圆的标准方程、两圆位置关系、直线与圆相切及弦长问题等核心知识点，前承圆的基本概念与方程，后启圆锥曲线位置关系应用，作为解析几何中圆的巩固与提升学习支架，系统梳理圆的性质及综合应用。 资料通过多样题型覆盖不同难度，如结合充分必要条件考查逻辑推理（数学思维），将斜率转化为直线与圆相切问题培养几何直观（数学眼光），光线反射题联系现实情境发展应用意识（数学语言）。课中助力教师精准检测学情，课后学生可借解析查漏补缺，强化知识迁移能力。

再练一课(范围：§2.3) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.与x轴相切，且圆心为(0，－5)的圆的标准方程为(　　) A.x2＋(y－5)2＝25 B.(x＋5)2＋y2＝25 C.x2＋(y＋5)2＝25 D.(x－5)2＋y2＝25 答案　C 解析　由题意知圆的半径r＝5，圆心为(0，－5)， 故该圆的标准方程为x2＋(y＋5)2＝25. 2.已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋5－a2＝0(a>0)外切，则a的值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　B 解析　对于圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，其圆心C1(－1，1)，半径r1＝1. 对于圆C2：x2＋y2－4x－2y＋5－a2＝0(a>0)，即 (x－2)2＋(y－1)2＝a2，其圆心C2(2，1)，半径r2＝a. 两圆的圆心距d＝＝3. 因为两圆外切，根据两圆外切性质d＝r1＋r2，即3＝1＋a，解得a＝2. 3.“0<r<2”是“过点(1，0)有两条直线与圆C：x2＋y2＝r2(r>0)相切”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　由题意，点(1，0)在圆C：x2＋y2＝r2(r>0)外，则有0<r<1， (0，1)(0，2)，所以“0<r<2”是“过点(1，0)有两条直线与圆C：x2＋y2＝r2(r>0)相切”的必要不充分条件. 4.过圆x2＋y2＝4外一点P(4，2)作圆的两条切线，切点为A，B，则△ABP的外接圆方程是(　　) A.(x－2)2＋(y－1)2＝4 B.(x－2)2＋(y＋1)2＝5 C.(x－4)2＋(y－2)2＝4 D.(x－2)2＋(y－1)2＝5 答案　D 解析　圆x2＋y2＝4的圆心O(0，0)，半径r＝2， 由圆的几何性质可知△OPA≌△OPB， 且均为直角三角形， ∴以OP为直径的圆就是△ABP的外接圆， ∵P(4，2)， ∴|OP|＝＝2， 且线段OP的中点坐标为(2，1)， ∴△ABP的外接圆方程是(x－2)2＋(y－1)2＝5. 5.若实数x，y满足x2＋y2－4x－14y＋45＝0，则下列关于的最值的判断正确的是(　　) A.最大值为2＋，最小值为－2－ B.最大值为2＋，最小值为2－ C.最大值为－2＋，最小值为－2－ D.最大值为2－，最小值为－2＋ 答案　B 解析　x2＋y2－4x－14y＋45＝0可化为(x－2)2＋(y－7)2＝8. 可看作圆上任意一点P(x，y)与定点Q(－2，3)连线的斜率. 记k＝，则kx－y＋2k＋3＝0，记为直线l. 当直线l与圆(x－2)2＋(y－7)2＝8相切时，k可以取得最值. 此时圆心到直线l的距离d＝＝2，解得k＝2±. 所以2－≤≤2＋. 6.已知M，N是圆C：x2＋y2－2y－3＝0上的两个点，且|MN|＝2，P为MN的中点，Q为直线l：x－y－3＝0上的一点，则|PQ|的最小值为(　　) A.2 B. C.2－ D.－1 答案　B 解析　圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝4，圆心C(0，1)，半径为2， 由|MN|＝2，可得|CP|＝， 所以点P在以C(0，1)为圆心，为半径的圆上， 又点C到直线l：x－y－3＝0的距离d＝＝2， 所以|PQ|的最小值为2. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.若点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝16上，则(　　) A.两个圆的圆心所在直线的斜率为－ B.两个圆的相交弦所在直线的方程为3x－4y－5＝0 C.两圆的公切线有两条 D.|PQ|的最小值为0 答案　AD 解析　圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝16的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝4. 两个圆的圆心所在直线的斜率为＝－，所以A选项正确；因为|C1C2|＝＝5，r1＋r2＝5，所以两圆外切，故没有相交弦，两圆的公切线有三条，当点P、点Q运动到切点时，|PQ|取最小值0，所以BC选项不正确，D选项正确. 8.已知圆C：x2＋y2－6x＋4y－3＝0，则下列说法正确的是(　　) A.圆C的半径为16 B.x轴被圆C所截得的弦长为4 C.圆C与圆E：(x－6)2＋(y－2)2＝1外切 D.若圆C上有且仅有两点到直线3x＋4y＋m＝0的距离为1，则实数m的取值范围是(－26，－21)∪(19，24) 答案　BC 解析　由圆C：x2＋y2－6x＋4y－3＝0，可得圆C的标准方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝16， 所以圆C的半径为4，故A错误； 令y＝0，得x2－6x－3＝0，设圆C与x轴交点的横坐标分别为x1，x2， 则x1，x2是方程x2－6x－3＝0的两个根，所以x1＋x2＝6，x1x2＝－3， 所以|x1－x2|＝＝4，故B正确； 两圆圆心距|CE|＝＝5＝4＋1，故C正确； 由圆C上有且仅有两点到直线3x＋4y＋m＝0的距离为1，则3<<5，解得－26<m<－16或14<m<24， 即实数m的取值范围是(－26，－16)∪(14，24)，故D错误. 9.已知圆的圆心在直线x＝－2上，且与直线l1：x＋y－2＝0相切于点Q(－1，)，过点D(－1，0)作该圆两条互相垂直的弦AE，BF，线段AE，BF的中点分别为M，N，则下列结论正确的是(　　) A.圆的方程为(x＋2)2＋y2＝4 B.弦AE的长度的最大值为2 C.直线MN恒过定点 D.存在点G，使得|NG|为定值 答案　ACD 解析　对于A，设圆心为C(－2，b)，圆的半径为r， 由题设可知， 解得b＝0，所以r＝＝2， 故圆的方程为(x＋2)2＋y2＝4，故A正确； 对于B，当AE过圆心C时，AE长度最长，为圆的直径4，故B错误； 对于C，当AE与BF均不是直径时，如图， 线段AE，BF的中点分别为M，N， 所以CM⊥AE，CN⊥BF， 又AE⊥BF，所以四边形MDNC为矩形， 所以MN与CD互相平分， 即MN过CD的中点，当AE与BF一条为直径时，直线MN即为直线CD，也过点，故C正确； 对于D，存在G， 使|NG|＝|CD|＝，为定值，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.已知圆C：x2＋y2＋ax－2ay－5＝0恒过定点A，B，则直线AB的方程为　　　　　　　.  答案　x－2y＝0 解析　方程x2＋y2＋ax－2ay－5＝0可化为a(x－2y)＋x2＋y2－5＝0， 所以点A，B为直线x－2y＝0与圆x2＋y2＝5的交点， 所以直线AB的方程为x－2y＝0. 11.圆C1：(x－1)2＋y2＝1与圆C2：(x－5)2＋(y－3)2＝36的公切线的方程为　　　　　　　.  答案　4x＋3y＋1＝0 解析　圆C1的圆心坐标为(1，0)，半径为1，圆C2的圆心坐标为(5，3)，半径为6， 因为|C1C2|＝＝5＝6－1，所以两圆内切，只有一条公切线， 将圆C1，C2化为一般式得圆C1：x2＋y2－2x＝0，圆C2：x2＋y2－10x－6y－2＝0， 两式相减得8x＋6y＋2＝0，即4x＋3y＋1＝0， 所以圆C1，C2的公切线的方程为4x＋3y＋1＝0. 12.已知圆C：x2＋y2＝8，MN为圆C的动弦，且满足|MN|＝4，G为弦MN的中点，两动点P，Q在直线l：y＝x－4上，且|PQ|＝4，当MN运动时，∠PGQ始终为锐角，则线段PQ中点的横坐标的取值范围是　　　　　　　　.  答案　(－∞，0)∪(4，＋∞) 解析　由题意，可得圆心坐标为C(0，0)，半径r＝2，因为|MN|＝4，G为弦MN的中点，所以|CG|＝2，又由两动点P，Q在直线l：y＝x－4上，且|PQ|＝4，设PQ的中点E(a，a－4)，因为当M，N在圆C上运动时，∠PGQ恒为锐角，所以以C为圆心，以2为半径的圆与以E为圆心，2为半径的圆外离，则>2＋2，即a2－4a>0，解得a<0或a>4，所以线段PQ中点的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞). 四、解答题(共37分) 13.(12分)在平面直角坐标系中，已知点A(－1，0)，B(1，0)，动点P满足PA⊥PB. (1)求动点P的轨迹方程；(4分) (2)若过点Q(1，2)的直线l与点P的轨迹(并上点A和点B)有且只有一个交点，求直线l的方程.(8分) 解　(1)方法一　设P(x，y)，因为PA⊥PB， 所以·＝0，得(x＋1，y)·(x－1，y)＝x2－1＋y2＝0， 所以动点P的轨迹方程为x2＋y2＝1(y≠0). 方法二　由题意得|AB|＝2，PA⊥PB，所以P点的轨迹是以AB的中点(0，0)为圆心，1为半径的圆去掉点A，B得到的， 所以动点P的轨迹方程为x2＋y2＝1(y≠0). (2)因为直线l与点P的轨迹(并上点A和点B)有且只有一个交点(如图)， ①当斜率不存在时，此时直线l方程为x＝1，与圆x2＋y2＝1切于点B， ②当斜率存在时，设l的方程为y＝k(x－1)＋2，即kx－y＋2－k＝0， 根据圆心到切线距离等于半径可得 ＝1，得k＝， 所以此时直线l的方程为3x－4y＋5＝0. 综上，直线l的方程为x＝1或3x－4y＋5＝0. 14.(12分)已知圆C：x2＋y2－4x＋3＝0. (1)求过点M(2，1)的圆的切线方程；(3分) (2)直线l过点N且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程；(4分) (3)已知圆E的圆心在直线y＝1上，与y轴相切，且与圆C外切，求圆E的标准方程.(5分) 解　(1)圆C：x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，其圆心为C(2，0)，半径为1. 因为点(2，1)在圆上，如图， 所以切线方程为y＝1. (2)由题意得，圆的直径为2， 所以直线l过圆心C(2，0)， 由直线的两点式方程，得， 即直线l的方程为x＋y－2＝0. (3)由题意，设圆E的圆心E(a，1)(a>0)， 半径为R， 由圆E与y轴相切，得R＝a， 又圆E与圆C外切，所以|CE|＝a＋1， 由两点间距离公式得|CE|＝， 所以a＋1＝，解得a＝， 所以圆心E，R＝， 所以圆E的标准方程为＋(y－1)2＝. 15.(13分)在平面直角坐标系中，圆C的半径为1，其圆心在射线y＝x(x≥0)上，且|OC|＝2. (1)求圆C的标准方程；(3分) (2)若直线l过点P(1，0)，且与圆C相切，求直线l的方程；(5分) (3)自点A(－3，3)发出的光线m射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆C相切，求光线m所在直线的方程.(5分) 解　(1)设圆心C(a，a)(a≥0)， 由于|OC|＝2， 所以|OC|＝a＝2，所以a＝2， 即圆心C的坐标为(2，2)， 则圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1. (2)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝1， 圆心C到直线x＝1的距离d＝2－1＝1，此时满足直线l和圆C相切； 若直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0， 因为直线l和圆C相切， 所以圆心C到直线l的距离 d＝＝1， 解得k＝，此时直线l的方程为3x－4y－3＝0， 所以直线l的方程为x＝1或3x－4y－3＝0. (3)取圆C关于x轴的对称的圆C'：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，即圆心C'(2，－2)，半径r'＝1， 可知光线m所在的直线与圆C'相切， 若直线的斜率不存在， 则直线的方程为x＝－3，此时圆心C'(2，－2)到直线的距离d＝5≠r'，不符合题意； 所以直线的斜率存在，设为k1， 则直线的方程为y－3＝k1(x＋3)， 即k1x－y＋3k1＋3＝0， 则＝1，整理得12＋25k1＋12＝0， 解得k1＝－或k1＝－， 所以光线m所在直线的方程为3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $