黑龙江省哈尔滨市第六中学校2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

哈尔滨市第六中学校2023级上学期12月测试 高三数学试题 一．单选题（共40分） 1．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ） A. B. C. D. 2.设集合，，，则集合（     ） A. B. C. D. 3.已知焦点在轴上的椭圆的焦距为，则的值为（    ） A. B. C. D. 4.已知圆锥的母线与底面所成角为，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5.设是上的奇函数，且关于直线对称，当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6.若函数在区间上恰有唯一极值点，则的取值范围为（     ） A. B. C. D. 7.在中，分别为的中点， 且交于点.则下列说法不正确的是（ ) A. B. C. D. 8.已知函数，若，，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 二．多选题（共18分） 9.下列说法正确的是（     ） A.若，则 B.若数列为等差数列，且为定值，则数列的前9项和为定值 C.命题，的否定为， D.若，且，则的最小值为 10.已知圆，则（ ） A.与圆一定相交 B.圆与圆的公共弦的方程为 C.若，，则在上存在两个点使得 D.过上一动点向圆引切线，则切线长的最小值为 11.在棱长为的正方体中，分别为的中点，点是正方体侧面上的一动点（含边界），则下列说法正确的是（     ） A.异面直线与所成角的余弦值为 B.当点为棱的中点时，直线与直线平行 C. 若保持，则点在侧面内运动路径的长度为 D. 过直线的平面截该正方体的内切球所得截面圆的面积的最小值为 三．填空题（共15分） 12.已知，，则的值为________. 13.已知椭圆的左顶点为，右焦点为，为椭圆上一点，，，则椭圆的离心率为______. 14.已知，过点可作3条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是________. 四．解答题（共77分） 15. （本题共13分）在中，内角的对边分别为，且满足. （1） 求角的大小； （2） 若,求的取值范围. 16.（本题共15分）已知圆，点在圆上运动，且为动线段的中点. （1） 求点的轨迹的方程； （2） 已知点，求过点且与（1）中曲线相切的直线方程； （3）过定点的动直线与（1）中曲线交于两点且三点不共线，求面积的最大值. 17.（本题共15分）已知数列满足，. （1） 求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式； （2） 设，求数列的前项和，并证明. 18.（本题共17分）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面，，点分别为棱的中点，是棱上一点，且. （1） 求证：平面； （2） 求平面与平面夹角的余弦值； （3） 若为线段上一动点，当直线与平面所成角取得最大值时，求的值. 19.（本题共17分）已知函数（其中）. （1）讨论函数的单调区间； （2）当时，若对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，若对任意，都有恒成立，求的最小值. 一．选择题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A D B B D C D C BCD ABD AD 2． 填空题答案 12.____________ 13.______________ 14._________ 解答题： 15.解：（1）=-------------2分 ,-----------------------6分 （3） 已知 ，，由正弦定理： ----------------------7分 因此 ，. =4）=-----------------11分 在 中，，故 . （4） 由于 在 上的值域为 ，因此： ---------------------------13分 16：解（1）设点 在圆 上，， 为 的中点。由中点坐标公式： 解得 ，-----------------------------------------------------------2分 因为 在圆 上，代入 ： 化简得： 轨迹 的方程为 -----------------------------------------------4分 （2）曲线 是圆心为 ，半径 的圆. 斜率存在时：设切线方程为 ，即 . 圆心到直线的距离 . 解得 ，切线方程为 ----------------------------------------7分 斜率不存在时：直线 到圆心 的距离为 ，等于半径，故 也是切线. 切线方程为 和 -----------------------------------------------9分 （3）设圆心 到直线 的距离为 ，则弦长 ，面积 . 直线 过定点 ，故 .计算 ： --------------------------------------11分 因此 .令 ，求导或用二次函数性质得： 当 时，. 面积最大值为 -----------------------------------------------------------------------------------15分 17.解（1）设，需证为等差数列，即证常数. 已知（），代入： 化简分母： 故： 因此（常数），即是公差为1的等差数列. ------------------------2分 由是等差数列，首项，公差，故： 即，解得： - -----------------------------------------------------------------------------4分 （2）由，且，则： 故： 化简： -----------------------------------------7分 因此： -------------------------------------------------9分 前项和： -------------------------11分 由于，故.--------------------------------------13分 当时，；当时，，故（）. 综上，.-------------------------------------------------------------------------15分 18. 解（1）建立空间直角坐标系：以D为原点，DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 则各点坐标为：D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,4,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4) 求DE向量：E为PA中点，PA=(4,0,-4)，故E(2,0,2)，----------------2分 ， ；又平面 所以平面----------------------------------------------------------------------------4分 （2）求G点坐标：PB向量为(4,4,-4)，PG=PB，故G(3,3,1).----------------------------------6分 平面PDC内向量，， 所以平面PDC法向量为(1,0,0)）.---------------------------------------------------------------7分 ，， 设平面EDG的法向量为,可求 计算夹角余弦值： .--------------------------------------------------10分 （5） 设，则 设与平面所成的线面角为，则----------------------------------------------------------13分 令，则 当即时，取得最大值，此时=.----------------------------------17分 19解：（1）函数 的定义域为 ，求导得： ，当 时： 对任意 恒成立，故 在 上单调递增----------2分 当 时：令 ，解得 当 时，， 单调递增； 当 时，， 单 综上： ， 的单调递增区间为 ； ， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ----4分 （2）当 时，，不等式 可化为： 对 恒成立，即 .-------------------------------------------------6分 设 ，求导得： 令 ，解得 （验证知 是唯一解）。 当 时，， 单调递增； 当 时，， 单调递减。 故 在 处取得最大值 。因此 .--------------10分 （3）不等式 即 ，对 恒成立。设 ，则 ，代入不等式得： 因 ，需 .为使不等式恒成立，需 的最小值非负. 设 ，求导得 。令 ，得 。代入 并整理得： --------------------------------------13分 将 和 代入 ，化简得： 设 ，则 。求导分析可知，当 （即 ）时， 取得最小值 。 结论： 的最小值为 .------------------------------------------------------------17分 高三测试 数学试题 第 页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $