学易金卷：高二数学上学期第三次月考（北京专用）（范围：人教A版选择性必修第一册第二章直线与圆方程到选择性必修第二册第四章数列）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12． ____________________ 13． ____________________ 14．___________________ 15.____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考（人教A版） 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第二章直线与圆方程到选择性必修第二册第四章数列。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线方程是，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的方程求出直线的斜率，进而求出其倾斜角. 【解析】直线：的斜率，所以直线的倾斜角为. 故选：D 2．点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用点线距离公式求点线距离. 【解析】点到直线的距离是. 故选：B 3．已知等比数列中，，，则（   ） A．16 B．16或 C．32 D．32或 【答案】B 【分析】求出公比后可求的值. 【解析】设等比数列的公比为，则，故， 故， 故选：B. 4．设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，即可求解. 【解析】设等差数列的公差为，因为且， 可得，解得. 故选：A. 5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．”意思是：有一个人要走378里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天刚好走完．则此人第一天走的路程是（    ） A．86里 B．172里 C．96里 D．192里 【答案】D 【分析】根据题意可知，此人每天走的路程形成等比数列，公比为，再根据等比数列的前项和公式即可解出． 【解析】设此人第天走的路程为，，所以此人每天走的路程可形成等比数列，依题可知，公比为，所以，解得，． 故选：D． 6．如果等差数列的前n和项满足：，，那么的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用等差数列的求和公式，结合等差数列的性质可得，，再利用等差数列的性质求解即可. 【解析】由， ， 可得，， 则． 故选：C. 7．已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（    ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据题意，得，，求出，根据双曲线的定义即可求出的值. 【解析】 由题意知，，， ， 双曲线， 点在双曲线的右支上， 由双曲线的定义得，， 故选：B. 8．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的一点，，过点作轴的垂线，垂足为，则（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义，结合两点间距离公式进行求解即可. 【解析】由抛物线，设，则， 该抛物线的准线方程为， 由， 所以， 故选：D 9．自点发出的光线经过轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则满足条件的反射光线所在直线的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出关于轴的对称点的坐标，求出过点圆的切线斜率乘积即可． 【解析】因为关于轴的对称点为， 题中反射光线与圆相切，即为过点的圆的切线，切线斜率显然存在， 设切线方程为，即， 圆标准方程为，即圆心为，半径为， 则，化简得，所以． 故选：D． 10．对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用等比数列的性质，结合充分、必要条件的定义分析判断选项． 【解析】是等比数列，则， ， ，等价于， 当时，，数列为递增数列； 当时，，则数列不一定递增，如时，， 不能推出为单调递增数列，不满足充分性； 若为单调递增数列，则对于任意，有， 令，则， 为单调递增数列能推出，满足必要性， “”是“数列为单调递增数列”的必要不充分条件，故A正确． 故选：A． 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．与4的等差中项为 . 【答案】1 【解析】若与4的等差中项为，则. 故答案为：1 12．若数列的前项和，则 ． 【答案】7 【解析】由与的关系可知． 故答案为：7. 13．已知双曲线，则双曲线的渐近线方程为 ；是双曲线的焦点，点在双曲线上，且，则 . 【答案】 【解析】在双曲线中，，，所以，所以双曲线的渐近线方程为. 因为，所以，所以点在以坐标原点为圆心，为直径的圆上. 因为是的中点，所以.因为， 所以，所以，所以， 所以. 故答案为：； 14．已知直线与抛物线在第一象限交于点，过点作轴的垂线，垂足为抛物线的焦点，则 ；若该抛物线的准线上的点到点与点的距离之和的最小值为，则 . 【答案】 【解析】对于抛物线，其焦点坐标为. 因为过点作轴的垂线，垂足为抛物线的焦点，所以点的横坐标为. 将代入抛物线方程，可得，因为点在第一象限，所以，即. 已知直线过点，将点的坐标代入直线方程可得，因为，两边同时除以得； 当时，已知，焦点，准线为. 设焦点关于准线的对称点，则. 因为，故其最小值为， 又. 所以，可得. 故答案为： ；. 15．已知数列是无穷数列，是数列的前项和.若是递减数列，则称数列具有“和性质”，则下列说法正确的有 ①．若，则数列具有“和性质” ②．若数列具有“和性质”，则， ③．若数列满足，则数列具有“和性质” ④．若数列，具有“和性质”，且，，则数列具有“和性质” 【答案】①③④ 【解析】对于选项①：若，则， 可知数列为等差数列，则， 可得，则是递减数列， 所以数列具有“和性质”，故①正确； 对于选项②：若数列具有“和性质”， 则是递减数列，可得， 等价于，可得，即， 所以对，，故②错误； 对于选项③：令， 则， 因为，即， 可得， 当且仅当或3时，， 可得， 则，且，， 即，所以对任意恒成立， 即，可得， 所以数列具有“和性质”，故③正确； 对于选项④：因为数列，具有“和性质”， 设数列的前和项和为， 令，， 则， 可得 ， 因为且，则， 又因为，， 则， 故数列具有“和性质”，故④正确. 故选：①③④. 3、 解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（13分）已知在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值． 【答案】(1)； (2)时取得最大值为. 【解析】（1）设等差数列的公差为，则， 故， 所以. （2）由，且， 所以， 故时取得最大，最大值为. 17．（14分）已知圆经过，，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线截得圆弦长最短时，求实数的值. 【答案】(1)； (2). 【解析】（1）由题意，设圆心，则圆为（为半径）， 则且，解得， 即圆的标准方程为； （2）已知直线过定点，圆心为， 又，即在圆内， 当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短， 而，所以，即. 18．（14分）已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式: (2)等比数列的首项为1，公比为，在下列三个条件中选择一个，使得的每一项都是中的项.若对任意的，有，求的通项公式和前项和. 条件①:; 条件②:; 条件③:. 注:如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分:如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)选择条件③，， 【解析】（1）由题意，设等差数列的首项为，公差为. 则有， 所以通项公式为 （2）选择条件①:. 由（1）可知，若，则， 显然当为偶数时，不是中的项， 因此，选择条件①不符合要求； 选择条件②：. 等比数列的首项为1，公比为 2，则， 由题意，即 当时，；当时，. 但必须为整数，因此时成立，时不成立. 因此，选择条件②不符合要求； 选择条件③：. 等比数列的首项为1，公比为3，则， 由题意，即 当时，；当时，因为任意均不是中的因子， 所以为奇数，所以为偶数， 所以均为整数，因此条件③符合要求. 于是， 故其前项和为 . 19．（14分）已知的三个顶点的坐标分别为. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)求的平分线所在直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为点、，则， 所以，边上的高所在直线的斜率为， 又，所以边上的高所在直线的方程为，即， 即边上的高所在直线的一般式方程为. （2）    如图，可得，所以的平分线所在直线的倾斜角为，斜率为， 又，所以的平分线所在直线的方程为，即， 即的平分线所在直线的斜截式方程为. 20．（15分）已知点是离心率为的椭圆上的一点. (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为0，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由； (3)斜率为的直线交椭圆于、两点，求当面积为时直线的方程. 【答案】(1) (2)直线和的斜率之积为定值；(3). 【解析】（1）由题可得，，， 将代入椭圆方程得，，所以椭圆方程为； （2）依题意得在椭圆上，直线和的斜率和都存在且不为0， 设，所以，，， ，所以直线和的斜率之积为定值； （3）设直线的方程为，，， 由消去，整理得， ，则，则，， ， 点到直线的距离为， ，，即，此时直线的方程为.    21．（15分）已知数列，记集合. (1)若数列为，数列为，分别写出集合； (2)若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由； (3)若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为，若，求的最大值. 【答案】(1)，； (2)不存在，理由见解析； (3)2013. 【解析】（1）对于数列，，，，所以； 对于数列，，，，所以. （2）假设存在，使得， 则有， 由于与的奇偶性相同，与奇偶性不同， 又， 所以512中必有大于等于3的奇数因子，这与无1以外的奇数因子矛盾， 故不存在，使得. （3）首先证明时，对任意的都有， 因为， 由于与均大于2且奇偶性不同， 所以含有奇数因子， 对任意的都有， 其次证明除形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和， 若正整数，其中， 则当时，由等差数列的性质可得： ，此时结论成立， 当时，由等差数列的性质可得： ，此时结论成立， 对于数列，此问题等价于数列其相应集合中满足有多少项， 由前面证明可知正整数不是中的项， 所以的最大值为2013. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考（人教A版） 参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B B A D C B D D A 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．1 12．7 13． ； 14. 15.①③④(答对1个或2个得3分，错1个0分) 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（13分） 【解析】（1）设等差数列的公差为，则， 故， 所以.（7分） （2）由，且， 所以， 故时取得最大，最大值为.（13分） 17．（14分） 【解析】（1）由题意，设圆心，则圆为（为半径）， 则且，解得， 即圆的标准方程为；（7分） （2）已知直线过定点，圆心为， 又，即在圆内， 当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短， 而，所以，即.（14分） 18．（14分） 【解析】（1）由题意，设等差数列的首项为，公差为. 则有， 所以通项公式为（5分） （2）选择条件①:. 由（1）可知，若，则， 显然当为偶数时，不是中的项， 因此，选择条件①不符合要求； 选择条件②：. 等比数列的首项为1，公比为 2，则， 由题意，即 当时，；当时，. 但必须为整数，因此时成立，时不成立. 因此，选择条件②不符合要求； 选择条件③：. 等比数列的首项为1，公比为3，则， 由题意，即 当时，；当时，因为任意均不是中的因子， 所以为奇数，所以为偶数， 所以均为整数，因此条件③符合要求. 于是， 故其前项和为 .（14分） 19．（14分） 【解析】（1）因为点、，则， 所以，边上的高所在直线的斜率为， 又，所以边上的高所在直线的方程为，即， 即边上的高所在直线的一般式方程为.（7分） （2）    如图，可得，所以的平分线所在直线的倾斜角为，斜率为， 又，所以的平分线所在直线的方程为，即， 即的平分线所在直线的斜截式方程为.（14分） 20．（15分） 【解析】（1）由题可得，，， 将代入椭圆方程得，，所以椭圆方程为；（4分） （2）依题意得在椭圆上，直线和的斜率和都存在且不为0， 设，所以，，， ，所以直线和的斜率之积为定值；（9分） （3）设直线的方程为，，， 由消去，整理得， ，则，则，， ， 点到直线的距离为， ，，即，此时直线的方程为.（15分）    21．（15分） 【解析】（1）对于数列，，，，所以； 对于数列，，，，所以.（4分） （2）假设存在，使得， 则有， 由于与的奇偶性相同，与奇偶性不同， 又， 所以512中必有大于等于3的奇数因子，这与无1以外的奇数因子矛盾， 故不存在，使得.（9分） （3）首先证明时，对任意的都有， 因为， 由于与均大于2且奇偶性不同， 所以含有奇数因子， 对任意的都有， 其次证明除形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和， 若正整数，其中， 则当时，由等差数列的性质可得： ，此时结论成立， 当时，由等差数列的性质可得： ，此时结论成立， 对于数列，此问题等价于数列其相应集合中满足有多少项， 由前面证明可知正整数不是中的项， 所以的最大值为2013.（15分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二数学上学期第三次月考（人教A版) 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【1【/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 12 13. 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共6个小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(13分) 17.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 0.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考（人教A版）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第二章直线与圆方程到选择性必修第二册第四章数列。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线方程是，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 3．已知等比数列中，，，则（   ） A．16 B．16或 C．32 D．32或 4．设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．”意思是：有一个人要走378里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天刚好走完．则此人第一天走的路程是（    ） A．86里 B．172里 C．96里 D．192里 6．如果等差数列的前n和项满足：，，那么的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（    ） A． B．6 C．8 D．10 8．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的一点，，过点作轴的垂线，垂足为，则（    ） A．6 B．8 C． D． 9．自点发出的光线经过轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则满足条件的反射光线所在直线的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 10．对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ） A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．与4的等差中项为 . 12．若数列的前项和，则 ． 13．已知双曲线，则双曲线的渐近线方程为 ；是双曲线的焦点，点在双曲线上，且，则 . 14．已知直线与抛物线在第一象限交于点，过点作轴的垂线，垂足为抛物线的焦点，则 ；若该抛物线的准线上的点到点与点的距离之和的最小值为，则 . 15．已知数列是无穷数列，是数列的前项和.若是递减数列，则称数列具有“和性质”，则下列说法正确的有 ①．若，则数列具有“和性质” ②．若数列具有“和性质”，则， ③．若数列满足，则数列具有“和性质” ④．若数列，具有“和性质”，且，，则数列具有“和性质” 3、 解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（13分）已知在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值． 17．（14分）已知圆经过，，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线截得圆弦长最短时，求实数的值. 18．（14分）已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式: (2)等比数列的首项为1，公比为，在下列三个条件中选择一个，使得的每一项都是中的项.若对任意的，有，求的通项公式和前项和. 条件①:; 条件②:; 条件③:. 注:如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分:如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 19．（14分）已知的三个顶点的坐标分别为.………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)求的平分线所在直线的斜截式方程. 20．（15分）已知点是离心率为的椭圆上的一点. (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为0，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由； (3)斜率为的直线交椭圆于、两点，求当面积为时直线的方程. 21．（15分）已知数列，记集合. (1)若数列为，数列为，分别写出集合； (2)若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由； (3)若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为，若，求的最大值. 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考（人教A版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第二章直线与圆方程到选择性必修第二册第四章数列。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线方程是，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 3．已知等比数列中，，，则（   ） A．16 B．16或 C．32 D．32或 4．设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．”意思是：有一个人要走378里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天刚好走完．则此人第一天走的路程是（    ） A．86里 B．172里 C．96里 D．192里 6．如果等差数列的前n和项满足：，，那么的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（    ） A． B．6 C．8 D．10 8．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的一点，，过点作轴的垂线，垂足为，则（    ） A．6 B．8 C． D． 9．自点发出的光线经过轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则满足条件的反射光线所在直线的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 10．对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．与4的等差中项为 . 12．若数列的前项和，则 ． 13．已知双曲线，则双曲线的渐近线方程为 ；是双曲线的焦点，点在双曲线上，且，则 . 14．已知直线与抛物线在第一象限交于点，过点作轴的垂线，垂足为抛物线的焦点，则 ；若该抛物线的准线上的点到点与点的距离之和的最小值为，则 . 15．已知数列是无穷数列，是数列的前项和.若是递减数列，则称数列具有“和性质”，则下列说法正确的有 ①．若，则数列具有“和性质” ②．若数列具有“和性质”，则， ③．若数列满足，则数列具有“和性质” ④．若数列，具有“和性质”，且，，则数列具有“和性质” 3、 解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（13分）已知在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值． 17．（14分）已知圆经过，，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线截得圆弦长最短时，求实数的值. 18．（14分）已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式: (2)等比数列的首项为1，公比为，在下列三个条件中选择一个，使得的每一项都是中的项.若对任意的，有，求的通项公式和前项和. 条件①:; 条件②:; 条件③:. 注:如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分:如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 19．（14分）已知的三个顶点的坐标分别为. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)求的平分线所在直线的斜截式方程. 20．（15分）已知点是离心率为的椭圆上的一点. (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为0，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由； (3)斜率为的直线交椭圆于、两点，求当面积为时直线的方程. 21．（15分）已知数列，记集合. (1)若数列为，数列为，分别写出集合； (2)若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由； (3)若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为，若，求的最大值. / 学科网（北京）股份有限公司 $