2025年江西省抚州市四校联考中考数学模拟试卷

2025年江西省抚州市四校联考中考数学模拟试卷 　 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）每小题只有一个正确选项． 1．（3分）﹣的倒数是（　　） A． B．﹣ C．﹣ D． 2．（3分）下列计算中，结果正确的是（　　） A．（2a）•（3a）=6a B．a6÷a2=a3 C．（a2）3=a6 D．a2•a3=a6 3．（3分）与如图所示的三视图对应的几何体是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）中国老龄办公布的《“十一五”期间中国老龄事业发展状况》称，“十一五”期间，中国养老保障制度不断完善．截至2011年初，全国城镇基本养老保险参保人数为25673 0000人，保留两个有效数字后为（　　） A．260000000 B．2.6×108 C．26×107 D．300000000 5．（3分）在△ABC中，已知∠C=90°，BC=4，sinA=，那么AC边的长是（　　） A．6 B．2 C．3 D．2 6．（3分）如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=，∠C=120°，则点B′的坐标为（　　） A．（3，） B．（3，） C．（，） D．（，） 7．（3分）函数y=ax+1与y=ax2+bx+1（a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m．按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（　　） A．2m B．3m C．6m D．9m 　 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（3分）分解因式：3mn2﹣12m=　 　． 10．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB=　 　度． 11．（3分）函数y=中自变量x的取值范围是　 　． 12．（3分）某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为　 　%． 13．（3分）该试题已被管理员删除 14．（3分）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为　 　． 　 三、（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 15．（5分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 16．（5分）先化简，再求代数式的值．（﹣）÷，其中﹣sin30°＜a＜tan260°，请你取一个合适的整数作为a的值代入求值． 　 四、（本大题共2小题，每小题7分，共14分） 17．（7分）如图，小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD，点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45°，延长AB与楼房垂直相交于点E，测得BE=21米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD．（结果保留根号） 18．（7分）有3张背面相同的纸牌A，B，C，其正面分别画有三个不同的几何图形（如图）．将这3张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张． （1）求出两次摸牌的所有等可能结果（用树状图或列表法求解，纸牌可用A，B，C表示）； （2）求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率． 　 五、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 19．（8分）如图（1），在四边形ABCD内，如果点P满足∠APD=∠APB=α，且∠BPC=∠CPD=β，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点，按要求用直尺在图（2）中画图． （1）画出正方形ABCD的一个半等角点P，且满足α≠β； （2）画出四边形ABCD的一个半等角点P，保留画图痕迹． 20．（8分）如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数（x＞0）的图象经过点B． （1）求k的值； （2）将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC′、NA′BC．设线段MC′、NA′分别与函数（x＞0）的图象交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式． 　 六、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．（9分）如图①，将四边形纸片ABCD沿两组对边中点连线剪切为四部分，将这四部分镶嵌可得到如图②所示的四边形O1O2O3O4． （1）试判断四边形O1O2O3O4的形状，并证明． （2）若要镶嵌后的平行四边形O1O2O3O4为矩形，则四边形ABCD需要满足什么条件，并证明． 22．（9分）某中学为了解全校学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查．问卷给出了五种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且不能不选．同时把调查得到的结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）．请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，“公交车”部分所对应的圆心角是多少度？ （4）若全校有1600名学生，估计该校乘坐私家车上学的学生约有多少名？ 　 七、（本大题共2小题，第23题10分，第24题10分，共20分） 23．（10分）如图，已知：∠MAN=60°，AP平分∠MAN，且AP=4．请探究： （1）如图＜1＞，若以AP为直径作⊙O，分别交AM、AN于B、C，求AB+AC的长； （2）如图＜2＞，若以AP为弦（不是直径），任作⊙O1分别交AM、AN于B1、C1点，则AB1+AC1的长是否不变？请说明理由； （3）如图＜3＞，若以AP为弦（不是直径）作⊙O2与AM切于A点，交AN于C2点，则AC2的长是多少？请说明理由． 24．（10分）如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上．直线CB的表达式为y=﹣x+，点A、D的坐标分别为（﹣4，0），（0，4）．动点P自A点出发，在AB上匀速运行．动点Q自点B出发，在折线BCD上匀速运行，速度均为每秒1个单位．当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动．设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为s（不能构成△OPQ的动点除外）． （1）求出点B、C的坐标； （2）求s随t变化的函数关系式； （3）当t为何值时s有最大值？并求出最大值． 　 2025年江西省抚州市四校联考中考数学模拟试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）每小题只有一个正确选项． 1．（3分）﹣的倒数是（　　） A． B．﹣ C．﹣ D． 【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数． 【解答】解：﹣的倒数是﹣， 故选：B． 【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键． 　 2．（3分）下列计算中，结果正确的是（　　） A．（2a）•（3a）=6a B．a6÷a2=a3 C．（a2）3=a6 D．a2•a3=a6 【分析】A、原式利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可做出判断； B、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断； C、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断； D、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断． 【解答】解：A、2a•3a=6a2，错误； B、a6÷a2=a4，错误； C、（a2）3=a6，正确； D、a2•a3=a5，错误， 故选C 【点评】此题考查了单项式乘单项式，同底数幂的乘法，幂的乘方及积的乘方，以及同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 　 3．（3分）与如图所示的三视图对应的几何体是（　　） A． B． C． D． 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 【解答】解：从正视图可以排除C，故C选项错误； 从左视图可以排除A，故A选项错误； 从左视图可以排除D，故D选项错误； 符合条件的只有B． 故选：B． 【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及对立体图形的认知能力，可通过排除法进行解答． 　 4．（3分）中国老龄办公布的《“十一五”期间中国老龄事业发展状况》称，“十一五”期间，中国养老保障制度不断完善．截至2011年初，全国城镇基本养老保险参保人数为25673 0000人，保留两个有效数字后为（　　） A．260000000 B．2.6×108 C．26×107 D．300000000 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于25673 0000有9位，所以可以确定n=9﹣1=8． 有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字． 用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关． 【解答】解：25673 0000=2.5673×108≈2.6×108． 故选B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法． 　 5．（3分）在△ABC中，已知∠C=90°，BC=4，sinA=，那么AC边的长是（　　） A．6 B．2 C．3 D．2 【分析】根据三角函数的定义及勾股定理求解． 【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，BC=4， ∴sinA===， ∴AB=6． ∴AC==2． 故选B． 【点评】此题主要考查运用勾股定理和三角函数的定义解直角三角形． 　 6．（3分）如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=，∠C=120°，则点B′的坐标为（　　） A．（3，） B．（3，） C．（，） D．（，） 【分析】首先根据菱形的性质，即可求得∠AOB的度数，又由将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，可求得∠B′OA的度数，然后在Rt△B′OF中，利用三角函数即可求得OF与B′F的长，则可得点B′的坐标． 【解答】解：过点B作BE⊥OA于E，过点B′作B′F⊥OA于F， ∴∠BE0=∠B′FO=90°， ∵四边形OABC是菱形， ∴OA∥BC，∠AOB=∠AOC， ∴∠AOC+∠C=180°， ∵∠C=120°， ∴∠AOC=60°， ∴∠AOB=30°， ∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置， ∴∠BOB′=75°，OB′=OB=2， ∴∠B′OF=45°， 在Rt△B′OF中， OF=OB′•cos45°=2×=， ∴B′F=， ∴点B′的坐标为：（，﹣）． 故选D． 【点评】此题考查了平行四边形的性质，旋转的性质以及直角三角形的性质与三角函数的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 　 7．（3分）函数y=ax+1与y=ax2+bx+1（a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据a的符号，分类讨论，结合两函数图象相交于（0，1），逐一排除； 【解答】解：当a＞0时，函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象开口向上，函数y=ax+1的图象应在一、二、三象限，故可排除D； 当a＜0时，函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象开口向下，函数y=ax+1的图象应在一二四象限，故可排除B； 当a=0时，两个函数的值都为1，故两函数图象应相交于（0，1），可排除A． 正确的只有C． 故选C． 【点评】应该识记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 　 8．（3分）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m．按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（　　） A．2m B．3m C．6m D．9m 【分析】根据：△ABC的面积=△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积即可求解． 【解答】解：在直角△ABC中，BC=8m，AC=6m． 则AB===10． ∵中心O到三条支路的距离相等，设距离是r． △ABC的面积=△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积 即：AC•BC=AB•r+BC•r+AC•r 即：6×8=10r+8r+6r ∴r==2． 故O到三条支路的管道总长是2×3=6m． 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角形的内心的性质，三角形内心到三角形的各边的距离相等，利用三角形的面积的关系求解是解题的关键． 　 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（3分）分解因式：3mn2﹣12m=　3m（n+2）（n﹣2）　． 【分析】先提取公因式3m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【解答】解：3mn2﹣12m， =3m（n2﹣4）， =3m（n+2）（n﹣2）． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 　 10．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB=　72　度． 【分析】欲求∠CPB，可根据菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法． 【解答】解：先连接AP， 由四边形ABCD是菱形，∠ADC=72°， 可得∠BAD=180°﹣72°=108°， 根据菱形对角线平分对角可得：∠ADB=∠ADC=×72°=36°，∠ABD=∠ADB=36度． EP是AD的垂直平分线，由垂直平分线的对称性可得∠DAP=∠ADB=36°， ∴∠PAB=∠DAB﹣∠DAP=108°﹣36°=72度． 在△BAP中，∠APB=180°﹣∠BAP﹣∠ABP=180°﹣72°﹣36°=72度． 由菱形对角线的对称性可得∠CPB=∠APB=72度． 【点评】本题开放性较强，解法有多种，可以从菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法，在这些方法中，最容易理解和表达的应为对称法，这也应该是本题考查的目的．灵活应用菱形、垂直平分线的对称性，可使解题过程更为简便快捷． 　 11．（3分）函数y=中自变量x的取值范围是　x＜3　． 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 【解答】解：根据题意得：3﹣x＞0， 解得：x＜3． 故答案是：x＜3． 【点评】本题考查了函数的自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 　 12．（3分）某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为　10　%． 【分析】设出四、五月份的平均增长率，则四月份的市场需求量是1000（1+x），五月份的产量是1000（1+x）2，据此列方程解答即可． 【解答】解：设四、五月份的月平均增长率为x， 根据题意得，1000（1+x）2=1210， 解得x1=0.1，x2=﹣2.1（负值舍去）， 所以该厂四、五月份的月平均增长率为10%． 【点评】本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”． 　 13．（3分）该试题已被管理员删除 　 14．（3分）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为　2　． 【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系S=|k|即可判断． 【解答】解：过A点作AE⊥y轴，垂足为E， ∵点A在双曲线上， ∴四边形AEOD的面积为1， ∵点B在双曲线y=上，且AB∥x轴， ∴四边形BEOC的面积为3， ∴矩形ABCD的面积为3﹣1=2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 　 三、（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 15．（5分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【分析】首先解每个不等式，然后确定两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． 【解答】解：解不等式①得：x≤2 解不等式②得：x＞ ∴不等式组的解集是：＜x≤2 【点评】把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 　 16．（5分）先化简，再求代数式的值．（﹣）÷，其中﹣sin30°＜a＜tan260°，请你取一个合适的整数作为a的值代入求值． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用特殊角的三角函数值确定出a的值，代入计算即可求出值． 【解答】解：原式=•=•=， ∵﹣sin30°=﹣＜a＜tan260°=3，且a为整数， ∴a=2， 则当a=2时，原式=． 【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 　 四、（本大题共2小题，每小题7分，共14分） 17．（7分）如图，小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD，点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45°，延长AB与楼房垂直相交于点E，测得BE=21米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD．（结果保留根号） 【分析】易得CE=BE，利用30°的正切值即可求得CE长，进而可求得DE长．CE减去DE长即为广告屏幕上端与下端之间的距离． 【解答】解：∵∠CBE=45°，CE⊥AE， ∴CE=BE． ∴CE=21， ∴AE=AB+BE=21+6=27． 在Rt△ADE中，∠DAE=30°， ∴DE=AE×tan30°=27×=9， ∴CD=CE﹣DE=21﹣9． 答：广告屏幕上端与下端之间的距离约为（21﹣9）m． 【点评】本题考查了仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形；难点是充分找到并运用题中相等的线段． 　 18．（7分）有3张背面相同的纸牌A，B，C，其正面分别画有三个不同的几何图形（如图）．将这3张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张． （1）求出两次摸牌的所有等可能结果（用树状图或列表法求解，纸牌可用A，B，C表示）； （2）求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率． 【分析】（1）此题为不放回实验，可以采用树状图或列表法求解．注意做到不重不漏； （2）由于B（圆）与C（平行四边形）是中心对称图形，可得摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的有4种，继而利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：（1）画树状图得： ∴一共有9种情况， （2）B与C是中心对称图形， ∴摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌有4种； ∴摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率是． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验． 　 五、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 19．（8分）如图（1），在四边形ABCD内，如果点P满足∠APD=∠APB=α，且∠BPC=∠CPD=β，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点，按要求用直尺在图（2）中画图． （1）画出正方形ABCD的一个半等角点P，且满足α≠β； （2）画出四边形ABCD的一个半等角点P，保留画图痕迹． 【分析】（1）利用正方形的性质以及借助网格求出即可； （2）利用对称的性质画点B关于AC的对称点B′，延长DB′交AC于点P，即可得出答案． 【解答】解：（1）所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点．（如图（2））； （2）画点B关于AC的对称点B′，延长DB′交AC于点P，点P为所求． 【点评】此题主要考查了应用设计与作图，借助已知定义利用对称点的性质得出是解题关键． 　 20．（8分）如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数（x＞0）的图象经过点B． （1）求k的值； （2）将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC′、NA′BC．设线段MC′、NA′分别与函数（x＞0）的图象交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式． 【分析】（1）根据正方形的面积公式可求得点B的坐标，从而求得k值． （2）先根据正方形的性质求得点F的纵坐标和点E的横坐标，代入反比例函数解析式求得其坐标，利用待定系数法求得直线EF的解析式． 【解答】解：（1）∵四边形OABC是面积为4的正方形， ∴OA=OC=2， ∴点B坐标为（2，2）， 将x=2，y=2代入反比例解析式得：2=， ∴k=2×2=4． （2）∵正方形MABC′、NA′BC由正方形OABC翻折所得， ∴ON=OM=2AO=4， ∴点E横坐标为4，点F纵坐标为4． ∵点E、F在函数y=的图象上， ∴当x=4时，y=1，即E（4，1）， 当y=4时，x=1，即F（1，4）． 设直线EF解析式为y=mx+n，将E、F两点坐标代入， 得， ∴m=﹣1，n=5． ∴直线EF的解析式为y=﹣x+5． 【点评】此题综合考查了反比例函数与一次函数的性质，综合性比较强，注意反比例函数上的点向x轴y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的k值．要会熟练地运用待定系数法求函数解析式，这是基本的计算能力． 　 六、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．（9分）如图①，将四边形纸片ABCD沿两组对边中点连线剪切为四部分，将这四部分镶嵌可得到如图②所示的四边形O1O2O3O4． （1）试判断四边形O1O2O3O4的形状，并证明． （2）若要镶嵌后的平行四边形O1O2O3O4为矩形，则四边形ABCD需要满足什么条件，并证明． 【分析】（1）利用平行四边形的判定方法得出即可； （2）首先认真读题，理解题意．密铺后的平行四边形成为矩形，必须四个内角均为直角，据此需要判定中点四边形EFGH为菱形，进而由中位线定理判定四边形ABCD的对角线垂直． 【解答】解：（1）平行四边形， 理由：∵将四边形纸片ABCD沿两组对边中点连线剪切为四部分，将这四部分镶嵌可得到如图②所示的四边形O1O2O3O4， ∴∠O1=∠O3，∠O2=∠O4， ∴四边形O1O2O3O4是平行四边形； （2）对角线AC=BD时，密铺后的平行四边形为矩形． 理由：根据密铺后的平行四边形成为矩形，必须四个内角均为直角． 如解答图所示，连接EF、FG、GH、HE，设EG与HF交于点O， 连接AC、BD，由中位线定理得：EF∥AC∥GH，且EF=GH=AC， EH∥BD∥FG，且EH=FG=BD， ∵AC=BD， ∴中点四边形EFGH为菱形， ∴EG⊥HF， 故要镶嵌后的平行四边形O1O2O3O4为矩形，则四边形ABCD需要满足的条件为AC=BD． 【点评】本题考查图形剪拼与中点四边形．解题关键是理解三角形中位线的性质，熟练应用矩形、菱形等特殊四边形的判定与性质． 　 22．（9分）某中学为了解全校学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查．问卷给出了五种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且不能不选．同时把调查得到的结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）．请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，“公交车”部分所对应的圆心角是多少度？ （4）若全校有1600名学生，估计该校乘坐私家车上学的学生约有多少名？ 【分析】（1）上学方式为自行车的人数除以所占的百分比，即可得到调查的学生数； （2）根据总人数乘以步行的百分比求出步行的人数，补全条形统计图即可； （3）求出“公交车”所占的百分比，乘以360度即可得到结果； （4）求出“私家车”上学的百分比，乘以总人数1600即可得到结果． 【解答】解：（1）24÷30%=80（名）， 答：这次调查一共抽取了80名学生； （2）80×20%=16（名）， 补全条形统计图，如图所示； （3）根据题意得：360°×=117°， 答：在扇形统计图中，“公交车”部分所对应的圆心角为117°； （4）根据题意得：1600×=200（名）， 答：估计该校乘坐私家车上学的学生约有200名． 【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键． 　 七、（本大题共2小题，第23题10分，第24题10分，共20分） 23．（10分）如图，已知：∠MAN=60°，AP平分∠MAN，且AP=4．请探究： （1）如图＜1＞，若以AP为直径作⊙O，分别交AM、AN于B、C，求AB+AC的长； （2）如图＜2＞，若以AP为弦（不是直径），任作⊙O1分别交AM、AN于B1、C1点，则AB1+AC1的长是否不变？请说明理由； （3）如图＜3＞，若以AP为弦（不是直径）作⊙O2与AM切于A点，交AN于C2点，则AC2的长是多少？请说明理由． 【分析】（1）根据∠MAN=60°，AP平分∠MAN，即可得出∠BAP=30°，再利用AB=AC=APcos30°求出即可； （2）首先利用HL定理证明Rt△PBB1≌Rt△PCC1，即可得出B1B=C1C，进而得出AB1+AC1=AB﹣B1B+AC+C1C=AB+AC=4， （3）先得出△APC2为等腰三角形，即可求出∠ACP=90°，即PC⊥AC2，进而得到AC=CC2=2，即可得出答案． 【解答】解：（1）连接PB、PC． ∵AP为ΘO的直径， ∴∠ABP=∠ACP=90°， ∵AP平分∠MAN， ∴∠BAP=30°， ∴AB=AC=APcos30°=4×， ∴AB+AC=4； （2）AB1+AC1的长度不变． 理由：连接PB1、PB，PC，PC1， 在△PBB1和△PCC1中， ∵∠B1AP=∠C1AP=30°， ∴， ∴PB1=PC1， ∵∠ABP=∠C1CP=90°， ∴PB=PC， ∴Rt△PBB1≌Rt△PCC1， ∴B1B=C1C， ∴AB1+AC1=AB﹣B1B+AC+C1C=AB+AC=4， （3）连接AO2并延长交ΘO2于D，连接PD、PC2， ∴∠APD=90°则∠D+∠PAD=90°， ∵ΘO2与AM切于A点， ∴∠PAD+∠BAP=90°， ∵∠D=∠BAP=∠CAP=30°， ∵∠D=∠AC2P， ∴∠AC2P=∠CAP， ∴△APC2为等腰三角形， ∵∠ACP=90°，即PC⊥AC2， ∴AC=CC2=2， ∴AC2=AC+CC2=4． 【点评】此题主要考查了切线的性质以及全等三角形的判定与解直角三角形等知识，根据题意得出Rt△PBB1≌RtPCC1与△APC2为等腰三角形是解题关键． 　 24．（10分）如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上．直线CB的表达式为y=﹣x+，点A、D的坐标分别为（﹣4，0），（0，4）．动点P自A点出发，在AB上匀速运行．动点Q自点B出发，在折线BCD上匀速运行，速度均为每秒1个单位．当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动．设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为s（不能构成△OPQ的动点除外）． （1）求出点B、C的坐标； （2）求s随t变化的函数关系式； （3）当t为何值时s有最大值？并求出最大值． 【分析】（1）把y=4代入y=﹣x+，求得x的值，则可得点C的坐标，把y=0代入y=﹣x+，求得x的值，即可得点B的坐标； （2）作CM⊥AB于M，则可求得CM与BM的值，求得∠ABC的正弦值，然后分别从0＜t＜4时，当4＜t≤5时与当5＜t≤6时去分析求解即可求得答案； （3）在（2）的情况下s的最大值，然后比较即可求得答案． 【解答】解：（1）把y=4代入y=﹣x+，得x=1． ∴C点的坐标为（1，4）． 当y=0时，﹣x+=0， ∴x=4． ∴点B坐标为（4，0）． （2）作CM⊥AB于M，则CM=4，BM=3． ∴BC===5． ∴sin∠ABC==． ①0＜t＜4时，作QN⊥OB于N， 则QN=BQ•sin∠ABC=t． ∴S=OP•QN=（4﹣t）×t=﹣t2+t（0＜t＜4）． ②当4＜t≤5时，（如图1）， 连接QO，QP，作QN⊥OB于N． 同理可得QN=t． ∴S=OP•QN=×（t﹣4）×t=t2﹣t（4＜t≤5）． ③当5＜t≤6时，（如图2）， 连接QO，QP． S=×OP×OD=（t﹣4）×4=2t﹣8（5＜t≤6）． （3）①在0＜t＜4时， 当t=﹣=2时， S最大==． ②在4＜t≤5时，对于抛物线S=t2﹣t，当t=﹣=2时， S最小=×22﹣×2=﹣． ∴抛物线S=t2﹣t的顶点为（2，﹣）． ∴在4＜t≤5时，S随t的增大而增大． ∴当t=5时，S最大=×52﹣×5=2． ③在5＜t≤6时， 在S=2t﹣8中， ∵k=2＞0， ∴S随t的增大而增大． ∴当t=6时，S最大=2×6﹣8=4． ∴综合三种情况，当t=6时，S取得最大值，最大值是4． 【点评】此题考查了点与函数的关系，三角形面积的求解方法以及利用二次函数的知识求函数的最大值的问题．此题综合性很强，难度较大，解题时要注意分类讨论思想，方程思想与数形结合思想的应用． 　 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $