期末 学情评估试卷 2025-2026学年华东师大版（2012）九年级数学下册

期末 学情评估卷 一、选择题(每题3分，共30分) 1. 以下调查中，调查方式选择最合理的是(　　) A．对某市市民知晓“一盔一带”交通新规情况的调查，采用普查 B．了解全班50名同学每天体育锻炼的时间，采用抽样调查 C．学校招聘教师，对应聘人员进行面试，采用普查 D. 对社区80名党员进行“大走访、大调研”，采用抽样调查 2. 抛物线y＝x2－10x＋16的顶点坐标是(　　) A．(5，－9) B．(－5，－9) C．(5，－13) D．(－5，－13) 3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若所对圆心角的度数为80°，则∠C＝(　　) A．110° B．120° C．135° D．140° (第3题) (第4题) (第5题) 4．如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的两点，连结AB，BC，CD，BD，若∠A＋∠D＝80°，则∠ACB的度数为(　　) A．40° B．50° C．60° D．80° 5．二次函数y＝ax2＋bx和反比例函数y＝的图象如图，则一次函数y＝x－b的图象经过(　　) A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 6．如图，在⊙O中，半径AO⊥BO，C为上一点，连结AC，BC，AB，OC，若∠ABC＝15°，CO＝2，则的长度为(　　) A. B. C. D. (第6题) (第7题) 7. 小飞家去年上半年的各项生活支出情况的扇形统计图如图①，去年下半年增加了生活支出的总费用，相应支出情况的扇形统计图如图②.下列说法正确的是(　　) A．下半年教育支出的费用没有变化 B．下半年只有旅游支出的费用增加了 C．下半年食品支出的费用一定减少了 D．下半年其他支出的费用可能增加了 8．如图，在扇形MON中，∠MON＝105°，半径OM＝6，将扇形MON沿过点N的直线折叠，点O恰好落在上的点Q处，折痕交OM于点P，则阴影部分的面积为(　　) A．9 B．9(π－ ) C. D.－9 9. 已知抛物线y＝ax2－2ax＋4(a>0)．若A(m－1，y1)，B(m，y2)，C(m＋2，y3)为抛物线上三点，且总有y1>y3>y2，则m的取值范围可以是(　　) A．m<1 B．m> C．0<m< D．1<m< 10．如图，点A在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线m，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB＝60°，设OP＝x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是(　　) 二、填空题(每题3分，共15分) 11. 为了调查某校七年级同学的视力情况，从七年级的10个班共540名学生中，每班随机抽取了5名同学进行调查．在这个问题中，样本是______________________________. 12．若将抛物线y＝ax2－4向右平移3个单位，经过点(2，－6)，则a的值是____________. 13．“北斗”是中国自行研制的全球卫星导航系统，如图①是“北斗”的标识，表示太空的部分可以抽象出一条长为10π的弧，若该弧所在扇形可围成高为12的圆锥(如图②)，则该圆锥的母线长AB为________. 14．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝且经过点(2，0)．下列说法：①abc＞0；②－2b＋c＝0；③ax2＋bx＋c>0的解集是－1＜x＜2；④a＋b≥m(am＋b)(m为任意实数)．其中正确的是________．(填序号) (第14题) (第15题) 15．如图，在正方形ABCD中，AB＝，点E在边AD上，AE＝1，将线段AE绕点A旋转，得到线段AP，连结BP，CP，当∠ABP最大时，CP的长为______________. 三、解答题(本大题共8个小题，满分75分) 16. (5分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E.求证：∠BAD＝∠CAD. 17．(9分)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，其中点A的坐标为(－3，0)，与y轴交于点C，点D(－2，－3)在抛物线上. (1)求抛物线的表达式； (2)若抛物线的对称轴上有一动点P，求PA＋PD的最小值． 18.(10分)倡导经典诵读，传承中华文化．某校为了解七年级学生每月借阅图书的数量，随机抽取了40名学生进行调查． 【收集数据】(1)下面的抽样方法中，最具代表性和广泛性的是(　　) A．抽取40名男生每月借阅图书的数量组成样本 B．抽取40名成绩较好的学生每月借阅图书的数量组成样本 C．按学号随机抽取40名学生每月借阅图书的数量组成样本 【整理数据】依据调查结果绘制了如下不完整的统计图表： 每月借阅图书的数量t/本 频数 2≤t＜3 4 3≤t＜4 10 4≤t＜5 a 5≤t＜6 8 6≤t＜7 12 【分析数据】(2)频数分布直方图的组距为________； (3)补全频数分布直方图； (4)若该校七年级共有600名学生，估计每月借阅图书的数量至少为4本的学生有多少名. 19. (9分) 某户外实践活动小组欲测量球罐外斜梯的长度，一人站在球罐最高点C处，看到斜梯末端F处恰好被斜梯顶端E遮挡(此时EF与⊙O相切)，已知过切点B恰有一水平横梁交于斜梯末端F处，如图所示. (1)连结OE，求证：∠DOE＝∠BFD； (2)若眼睛D与点C的距离为1.5米，sin D＝，求斜梯EF的长． 20．(9分)某电商销售一批皮衣，进价是每件220元，售价是每件320元，平均每天可售出100件．调查发现，如果每件皮衣降价1元，平均每天可多售出2件，但每件不得低于300元． (1)若每件皮衣降价x元(x≥0且取整数)，平均每天盈利y元，求y与x之间的函数关系式． (2)每件皮衣降价多少元时，该电商平均每天盈利最多？求出最大盈利. 21．(10分)在圆内接正六边形ABCDEF中，AC，EC分别交BD于点H，G. (1)如图①，求证：点H，G三等分BD； (2)如图②，过点O作AC的垂线，垂足为K，以点O为圆心，OK的长为半径作圆；(保留作图痕迹，不写作法) (3)在(2)所作图形中，求证：CE是所作圆的切线. 　 22．(11分)如图，镜面l与半圆O相切于点C，延长直径AB与l交于点D，P是OB上的动点，PC为入射光线，其反射光线CQ与半圆和直径AB围成的封闭图形交于点Q，连结AC，∠DAC＝15°，AB＝8. (1)∠D的度数为________； (2)当反射光线CQ与AB平行时，求CQ的长度； (3)在点P从点O运动到点B的过程中，直接写出点Q的运动路径长. 　 23．(12分)如图①是某个拱形彩灯门，抽象为数学模型是由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段AB，CD构成的，如图②，以地面BC所在直线为x轴，过抛物线的最高点M且垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，其中BC＝12 m，OM＝7 m，AB＝3 m，O为BC的中点. (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图②，为支撑拱形彩灯门的结构，需要制作3条支撑杆EF，GH，FG，其中EF和GH长度相等且垂直于地面BC，求所需支撑杆长度和的最大值； (3)如图③，工作人员计划在拱形彩灯门上悬挂灯笼，挂满后成轴对称分布，且灯笼到地面的垂直距离不低于4 m，相邻灯笼间的水平距离相等且至少间隔1 m，若灯笼高度忽略不计，请直接写出最多可以悬挂灯笼的数量．(参考数据： ≈1.73) 　　 答案 1．C　2.A　3.D　4.B　5.D　6.A　7.D　8.D　9.C　10.D 11. 抽取的50名同学的视力情况 12. －2　13. 13　14. ②③④　 15.或 16．证明：∵AD是⊙O的直径， AD⊥BC， ∴＝.∴∠BAD＝∠CAD. 17．解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(－3，0)，D(－2，－3)两点， ∴解得 ∴抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3. (2)∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝－1.令x＝0，则y＝－3，∴C(0，－3)． ∵D(－2，－3)，∴点C，D关于直线x＝－1对称． 连结AC，当点P在AC与对称轴的交点处时PA＋PD的值最小，等于AC的长． ∵AC＝＝3 ， ∴PA＋PD的最小值是3 . 18．解：(1)C　(2)1 (3)a＝40－4－10－8－12＝6. 补全频数分布直方图如图． (4)600×＝390(名)． 答：估计每月借阅图书的数量至少为4本的学生有390名． 19．(1)证明：∵BF，EF均与⊙O相切， ∴∠OEF＝∠OBF＝90°， ∵四边形OBFE内角和为360°， ∴∠BOE＋∠BFD＝180°， 又∵∠BOE＋∠DOE＝180°， ∴∠DOE＝∠BFD. (2)解：设⊙O的半径为r米，在Rt△DOE中，OE＝OD·sin D， 即r＝，解得r＝6， 在Rt△DBF中，BD＝1.5＋6＋6＝13.5(米)，∵sin D＝， ∴可设BF＝4t，DF＝5t， ∴BD＝＝3t， ∴tan D＝＝， ∴BF＝BD·tan D＝13.5×＝18(米)． ∵BF，EF均与⊙O相切，∴根据切线长定理可知EF＝BF＝18(米)． 答：斜梯EF的长为18米． 20．解：(1)根据题意，得 y＝＝－2x2＋100x＋10 000. (2)因为每件最低价不得低于300元， 所以320－x≥300，解得x≤20， 所以0≤x≤20， 因为y＝－2x2＋100x＋10 000＝－22＋11 250， 所以当x＜25时，y随x的增大而增大． 所以当x＝20时，盈利最多， 最大盈利为－2×(20－25)2＋11 250＝11 200(元)． 答：每件皮衣降价20元时，该电商平均每天盈利最多，最大盈利为11 200元． 21．(1)证明：在圆内接正六边形ABCDEF中，CD＝BC＝AB＝DE， ∠CDE＝∠DCB＝∠ABC＝120°， ∴∠CDB＝∠CBD＝∠ACB＝ ∠DCE＝30°， ∴∠ACE＝120°－30°－30°＝60°， CG＝DG，CH＝BH， 在△CDG和△CBH中，∠CDG＝∠CBH，CD＝CB，∠DCG＝∠BCH， ∴△CDG≌△CBH.∴CG＝CH， ∴△CGH是等边三角形， ∴CG＝HG＝DG＝CH＝BH， ∴点H，G三等分BD. (2)解：如图所示． (3)证明：如图，过点O作OP⊥CE，垂足为P，连结OC，则∠DCO＝∠BCO＝60°. 由(1)知∠ECD＝∠ACB＝30°， ∴∠PCO＝∠KCO＝30°. ∵OK⊥AC，OP⊥CE，∴OP＝OK， ∴OP为所作圆的半径，∴CE是所作圆的切线． 22．解：(1)60° (2)如图，连结OC，过点O作OE⊥CQ于点E，∴CE＝QE＝CQ. ∵AB＝8，∴OC＝AB＝4， ∵∠DAC＝15°，∴∠COD＝30°. ∵CQ∥AB，∴∠ECO＝∠COD＝30°， ∴CE＝OC·cos 30°＝2， ∴CQ＝2CE＝4， 即CQ的长度为4. (3)点Q的运动路径长为4＋. 23．解：(1)因为OM＝7 m， 所以抛物线顶点M的坐标是， 因为BC＝12 m，O为BC的中点，AB＝3 m，所以点A的坐标是， 设抛物线的函数表达式为y＝nx2＋7，则有36n＋7＝3，解得n＝－， 所以抛物线的函数表达式是 y＝－x2＋7. (2)设点F的坐标是， 则EF＝GH＝－a2＋7，FG＝－2a， 设支撑杆的长度和为l m，则l＝ 2－2a， 整理得l＝－2＋， 所以当a＝－时，所需支撑杆长度和取得最大值，最大值为 m. (3)11个． 学科网（北京）股份有限公司 $