《5.5一次函数与二元一次方程》 同步练习题 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

2025-2026学年苏科版八年级数学上册《5.5一次函数与二元一次方程》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．若方程组没有解，则一次函数与的图象必定（    ） A．重合 B．平行 C．相交 D．无法确定 2．已知直线与轴交于点，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，将直线向左平移个单位长度得到直线，直线与轴的交点为，则的值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 3．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象交于点，则关于的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 4．如果实数满足，那么在直角坐标系中，过不同点与点的直线方程是（　　） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，一次函数和的图象交于点，若将点的坐标看作某个二元一次方程组的解，则这个方程组可以是（   ） A． B． C． D． 6．若用图象法解二元一次方程组时所画的图象如图所示，则该方程组的解是（    ） A． B． C． D． 7．如图，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是 （    ） A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 二、填空题 8．已知直线过点，那么关于的二元一次方程的一组解为 ． 9．一次函数与的图象与y轴围成的三角形的面积是 ． 10．在平面直角坐标系中，直线，，围成三角形的面积为 ． 11．已知直线与直线相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 12．写出一个以如图所示的直线的交点坐标为解的二元一次方程组： ． 13．已知直线与直线都经过，直线交y轴于点B，交x轴于点A，直线交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接、，则以下结论： ①方程组的解为； ②若点是直线上的点，点是直线上的点，则当时，； ③的面积为6； ④当点P从点O运动到点B时，的值先减小再增大； ⑤当的值最小时，点P的坐标为． 其中正确结论的序号是 ． 14．如图1，11月10日晚，“深爱万物”—2023深圳人才嘉年华活动正式启动，千余架无人机在深圳人才公园上空上演“天空之舞”，为人才喝彩、向人才致敬． 如图2的平面直角坐标系中，线段分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度与飞行时间x的函数关系，其中，，线段与相交于点P，轴于点B，点A的横坐标为25． 则在第 秒时1号和2号无人机在同一高度． 三、解答题 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向上平移得到，且经过点，与直线相交于点．直线和直线分别与轴交于点，． (1)求这个一次函数的解析式及交点的坐标； (2)求的面积． 16．已知直线与直线，且直线与轴交于点． (1)若与交于点，求和的值及关于的方程组的解． (2)若，求的值及关于的方程组的解的组数． (3)若与重合，求和的值并写出关于的方程组的任意一组解． 17．已知直线与直线都经过，直线交y轴于点，交x轴于点A，直线交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接，．    (1)试猜测的形状，并说明理由； (2)当的值最小时，求点P的坐标． 18．如图，直线与x轴、y轴分别交于两点，为直线上一点，另一直线经过点P． (1)求点的坐标； (2)求点P的坐标和k的值； (3)若C是直线与x轴的交点，Q是直线上一点，当的面积等于3时，求出点Q的坐标． 19．如图，直线的解析表达式为，且与x轴交于点．直线经过点A、，直线，交于点． 如图，直线的解析式为，且与轴交于点D，直线经过点A、B，直线、交于 (1)求点的坐标； (2)求直线的解析表达式； (3)求的面积； (4)在直线上存在异于点的另一个点，使得与的面积相等，求点的坐标． 20．【材料阅读】二元一次方程有无数组解，如：，，，．如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 （1）请在图1中画出二元一次方程组 中的两个二元一次方程的图象，并直接写出该方程组的解为 ； （2）已知关于x，y的二元一次方程组 无解，请在图2中画出符合题意的两条直线，设方程①图象与x，y轴的交点分别是A、B，方程②图象与x，y轴的交点分别是C、D，计算的度数，并直接写出k的值． 【拓展应用】 （3）图3中包含关于x，y的二元一次方程组 的两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解及m的值； 参考答案 1．B 【分析】该题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，根据方程组无解的条件，转化为一次函数后分析两直线的位置关系． 【详解】解：将方程组中的两个方程转化为一次函数形式：第一个方程 可化为 ；第二个方程 两边除以2，得 ，即 ． ∵方程组没有解， ∴一次函数与的图象无交点， ∴一次函数与的图象必定平行． 故选：B． 2．A 【分析】本题考查一次函数与几何综合，涉及待定系数法确定一次函数表达式、一次函数图象平移等知识，根据直线与坐标轴围成的面积求出直线的表达式，再利用平移后的直线与轴的交点为，求出，分类讨论求解得出．熟练掌握待定系数法确定一次函数表达式是解决问题的关键． 【详解】解：直线与轴交于点，设其解析式为， 当时，直线与轴交点的横坐标为， 直线与坐标轴围成的三角形面积为4， ，则， 解得， 的解析式为或； 将向左平移个单位，得到的解析式为：， 直线与轴的交点为， ，则， 解得； 当时，则（由，舍去）； 当时，则（符合条件）； 综上所述，的值为8， 故选：A． 3．B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．由两函数图象交点坐标即为对应方程组的解，先求出交点A的坐标即可． 【详解】解：∵一次函数与的图象交于点， ∴ 解得： ∴交点坐标为， ∴方程组的解为：， 故选：B． 4．B 【分析】题目主要考查一次函数与二元一次方程（组）的关系，理解题意是解题关键． 首先根据条件列出方程组，然后根据过P和Q两点情况，观察可以得到方程组中方程的系数，即可得出该直线方程． 【详解】解：根据条件可知． 设同时过点与点的直线方程是， 根据题意得：该直线方程的系数与方程组中方程的系数一致， 即， ∴该直线方程为 ． 故选：B． 5．B 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解与图形交点的关系，解题关键是利用给定交点验证各选项方程组，判断该点是否同时满足两方程，从而确定正确选项．将P点坐标代入各选项方程，检验等式是否成立，最终确定唯一符合条件的方程组即可． 【详解】解：A．，将点代入①得，，不成立，故此选项不符合题意； B．，将点代入①得，，成立；代入②得，成立，故此选项符合题意； C．，将点代入①得，，不成立，故此选项不符合题意； D．，将点代入①得，，成立，代入②得，不成立，故此选项不符合题意 综上，只有选项B的方程组解为P点． 故选：B． 6．A 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，掌握二元一次方程组的解就是两个二元一次方程转化为函数的图象的交点坐标是解题的关键． 先观察图象，找出两条直线的交点坐标，再写出方程组的解． 【详解】观察图象可得：直线和直线交点的坐标为， ∴二元一次方程组的解为：， 故选：A． 7．B 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程组，图象法确定方程的解，不等式的解集和二元一次方程组的解，逐一进行判断即可． 【详解】解：由题意和图象可知： 关于x的方程的解是；故A正确； 关于x的不等式的解集是；故B错误； 当时，函数的值比函数的值大；故C正确； 关于x，y的方程组的解是，故D正确； 故选B． 8． 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程之间的关系，一次函数图象上的点的横纵坐标即为一次函数解析式对应的二元一次方程的解，据此可得答案． 【详解】解：∵直线过点， ∴关于的二元一次方程的一组解为， 故答案为：． 9．16 【分析】首先求出两直线与y轴的交点坐标，再求出两直线的交点坐标，进而求出三角形的面积． 【详解】解：在中，令x=0，则y=1； 在中，令x=0，则y=-7； ∴两个一次函数与y轴的交点坐标分别为（0，1）和（0，-7）， 解方程组，得， 两直线的交点坐标为(4，)， ∴两直线与y轴围成的三角形面积为×4×(1+7)=16． 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上的交点坐标以及直线与y轴围成的三角形的面积，解题的关键是求出两直线交点坐标，此题难度不大． 10． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、解二元一次方程组以及三角形的面积，通过解方程组，求出三条直线的交点坐标是解题的关键． 设直线，交于点，直线，交于点，直线，交于点，通过解方程组，可求出点，，的坐标，再利用三角形的面积公式，即可求出结论． 【详解】解：设直线，交于点，直线，交于点，直线，交于点， 联立直线，的解析式组成方程组得：， 解得：， 点的坐标为， 同理：点的坐标为，点的坐标为． 过点作轴于点，过点作轴于点，则，，如图所示， ， ， 直线，，围成三角形的面积为． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查二元一次方程组与一次函数，先求得交点坐标，再根据两条直线的交点的坐标即为由两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解，进行求解即可． 【详解】解：由题意，把代入，得：， ∴ 即直线与直线相交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是； 故答案为：． 12．（答案不唯一） 【分析】本题考查二元一次方程组解集与一次函数交点的问题，由图知：直线、相交于，那么以两个函数的解析式为方程组的二元一次方程组的解即为两个函数图象的交点坐标，分别根据待定系数法求解出两个函数表达式，并联立得到方程组． 【详解】解：设直线的解析式是，已知直线经过， 根据题意可得，由图可知，， 满足这个条件的二元一次方程解为（答案不唯一）， 符合条件的函数表达式为（答案不唯一）， 设直线的函数解析式是，已知直线经过，， 代入解析式得， 解得， 直线的函数解析式是， 所求的方程组是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 13．①②④ 【分析】①由题意得两条直线的交点坐标即为直线表达式组成方程组的解； ②由图象得，当时，直线在直线上面，进而求解即可； ③首先求出已知两直线的表达式，进而可得点A，B，D的坐标，进一步即可求出的面积； ④如图所示，作点关于y轴的对称点，连接，得到，当点A，P，三点共线时，有最小值，即的长度，然后由图象即可判断； ⑤首先求出过点A，的直线为，然后将代入求解即可． 【详解】①∵直线与直线都经过 ∴ 方程组的解为，故①正确； ②∵直线与直线交于点 ∴由图象得，当时，直线在直线上面 ∵点是直线上的点，点是直线上的点， ∴当时，，故②正确； ③将代入得， 解得， ∴ ∴当时， ∴； ∴当时， 解得 ∴ ∴ 将代入得， 解得， ∴ ∴当时， ∴； ∴ ∴ 的面积为：，故③错误； ④如图所示，作点关于y轴的对称点，连接， ∴ ∴ ∴当点A，P，三点共线时，有最小值，即的长度 ∴由图象可得，当点P从点O运动到点B时，的值先减小再增大，故④正确； ⑤设过点A，的直线为： 将点A，的坐标代入，得 解得 ∴过点A，的直线为， ∴当时， ∴ 点P的坐标为，故⑤错误． 综上所述，其中正确结论的序号是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查一次函数的性质，一次函数和二元一次方程组的关系，一次函数和几何综合，关键在理解一次函数交点、垂直和对称问题，需要仔细审题． 14．15 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式以及一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 根据题意求出点A的坐标，从而求出的解析式，再将两个解析式联立，即可得到答案． 【详解】解：对于， 当时，， ∴点B的坐标为， ∵轴于点B，点A的横坐标为25， ∴点A的坐标为， 设飞行高度与飞行时间x的函数关系式为， 把点代入得：， 解得：， ∴飞行高度与飞行时间x的函数关系式为， 联立得：， 解得：， ∴点P的坐标为， 即在第15秒时1号和2号无人机在同一高度． 故答案为：15 15．(1)， (2)3 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，求一次函数解析式，一次函数图象的平移问题，求两个一次函数的交点坐标，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据题意可得，再利用待定系数法可求出对应的函数解析式，再联立两函数解析式可求出点P的坐标； （2）求出A、B的坐标，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象向上平移得到， ∴； 点在直线上， ， 解得， 一次函数的解析式为； 联立，解得， 的坐标为． （2）解：在中，令得， ， 在中，令得， ， ， 的面积为． 16．(1) (2)，解的组数为0 (3) 【分析】（1）直线与轴交于点，可求出直线的解析式；将两直线的交点坐标分别代入两直线解析式中可求出，，； （2）两直线平行，比例系数相等，方程组无解； （3）两直线重合，和都相等，可根据解析式写出任意一组解. 【详解】解：∵直线与轴交于点， ∴直线的表达式为，即． （1）∵与交于点， ∴将点代入到中，得， 解得． 将点代入到中，得， 解得， ∴， 所以关于的方程组为此方程组的解为， （2）∵， ∴， 关于的方程组无解， ∴解的组数为0． （3）∵与重合， ∴． 示例：关于的方程组的一组解为 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与方程组的关系等知识，解题的关键是理解题意. 17．(1)为直角三角形，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数的图像和性质，数量掌握一次函数与二元一次方程组的应用是解题的关键． （1）将，代入直线，得到函数解析式，得到直线与直线互相垂直，即可证明； （2）求出的坐标，根据对称轴的性质以及两点之间，线段最短即可得到答案． 【详解】（1）解：把，代入直线， 可得， 解得， 直线， 又直线， 直线与直线互相垂直，即， 为直角三角形； （2）解：点A关于y轴对称的点为， 设过点C，的直线为，则，解得， ， 令，则， 当的值最小时，点P的坐标为． 18．(1)． (2)， (3)点Q的坐标为或． 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的综合运用和面积问题，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据一次函数的解析分别令，即可得到答案； （2）先把点的纵坐标代入解析式，即可求得点的横坐标，再根据待定系数法求出即可； （3）根据三角形的面积公式列出方程即可； 【详解】（1）解：在中，令，得；令，得， 所以． （2）解：∵为直线上一点， ∴，解得， ∴点P的坐标为， 将点代入，得，解得． （3）解：∵直线与x轴的交点为C， ∴， ∴． 设点Q的坐标为， 则． ∵， ∴， 解得或， ∴点Q的坐标为或． 19．(1) (2) (3) (4)点的坐标是． 【分析】本题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式是解题关键． （1）已知的解析式，令求出的值即可； （2）设的解析式为，由图联立方程组求出，的值； （3）联立方程组，求出交点的坐标，继而可求出； （4）与底边都是，根据与的面积相等，可得点的坐标． 【详解】（1）解：由，令，得， ， ； （2）解：设直线的解析表达式为， 由图象知：，；，，代入表达式， ， ， 直线的解析表达式为； （3）解：由， 解得， ， ， ； （4）解：与底边都是，与的面积相等， 高就是点到直线的距离， ∵点纵坐标的绝对值为3，则到距离也为3， ∵直线上存在异于点的另一个点， 点纵坐标是3，当时，则， ∴． 20．（1）见解析，；（2）见解析，，；（3）， 【分析】此题考查了一次函数与二元一次方程组． （1）首先画出图象，然后根据两条直线的交点坐标求解即可； （2）根据关于，的二元一次方程无解得到两条直线平行，然后得到直线经过点，然后画出图象即可；然后根据平行线的性质求解即可； （3）首先得到直线为直线，直线为直线，进而得到直线与直线的交点坐标为，可知的解，最后将代入计算即可． 【详解】解：（1）在方程中，当时，；当时，， 如图所示， 由图象可知，直线与直线交于点， ∴同时是方程和方程的解， ∴是方程组的解， 故答案为：； （2）∵方程组无解， ∴直线与直线没有交点， ∴直线与直线平行，即 在方程中，当时，， ∴直线经过点， 如图所示，直线和直线即为所求； ∵， ∴， ∵， ∴； 由图可知经过点， ∴， 解得 （3）如图所示， 在方程中，当时，，解得， 当时，，解得， ∴直线为直线，，是方程的解， 在方程中，当时，则，即此时， ∴是方程的解，即直线经过点； ∴直线为直线， 由图可知直线与直线的交点横坐标为， ∴直线与直线的交点坐标为， ∴二元一次方程组的解为， 将代入得， 解得： 学科网（北京）股份有限公司 $