精品解析：河北省保定市定州市2025-2026学年八年级上学期数学期中考试

2025－2026学年度第一学期期中质量监测 八年级数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在人字梯的中间一般会设计一拉杆，这样做的原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 两点确定一条直线 D. 两直线平行，同位角相等 3. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，边上的高为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要说明，需要证明和全等，则这两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点在上，，，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 7. 将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（ ）处截断． A. ①或② B. ①或③ C. ②或③ D. ③或④ 8. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 勾股定理的逆定理 D. 等腰三角形的“三线合一” 9. 已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（ ） A. 16 B. 8 C. 16或8 D. 8或4 11. 如图，， 平分 ，过 作， 交 于点 ，若点 在 上，且满足 ，则 的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 12. 有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（ ） A. 方案一：√、方案二：√ B. 方案一：×、方案二：× C. 方案一：×、方案二：√ D. 方案一：√、方案二：× 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若， 则的周长为________________． 14. 如图所示，数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片沿向下折叠，点A落在点处，当时， _______度． 15. 如图，在四边形中，分别是和的平分线，若，则__________． 16. 如图，在中，，，点在边上（点与，不重合），作，与边相交于点．若是等腰三角形，则度数为_____． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O，求证：． 18. 如图，中，平分，P为延长线上一点，于E，已知． （1）的度数为_______； （2）求的度数． 19. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，．画出关于y轴对称的，并写出点的坐标． 20. 如图，在中，，是的平分线，于点，点在AC上，，证明： （1）； （2）． 21. 如图，在等腰三角形中，是的高线，边的垂直平分线分别交于点，连接． （1）若，求的长度； （2）求的度数． 22. 如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，，垂足为点F． （1）求证：； （2）若，求的周长． 23. 【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P． （1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．则∠A＝　 　度，∠P＝　 　度． （2）∠A与∠P的数量关系为　 　，并说明理由． 【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为　 　． 24. 如图，与相交于点，，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点同时从点出发，沿方向以的速度运动，当点到达点时，P、Q两点同时停止运动，设点的运动时间为． （1）当点在运动时，_____；（用含的代数式表示） （2）求证： （3）当，，三点共线时，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期期中质量监测 八年级数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：选项A、B、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 如图，在人字梯的中间一般会设计一拉杆，这样做的原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 两点确定一条直线 D. 两直线平行，同位角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性，直线的性质，线段的性质，平行线的性质，关键是掌握三角形的稳定性．由三角形具有稳定性，即可得到答案． 【详解】解：在人字梯的中间一般会设计一拉杆，可以使人字梯稳定， 这样做所蕴含的数学原理是三角形的稳定性． 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，熟练掌握坐标的轴对称变换规律是解题的关键：关于轴对称，不变，互为相反数；关于轴对称，不变，互为相反数． 根据“关于轴对称，不变，互为相反数”即可求解． 【详解】解：∵点与关于轴对称， ∴的坐标为， 故选：． 4. 如图，在中，边上的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的高，熟练掌握三角形的高的画法是解题的关键；因此此题可根据“过三角形的一个顶点作该顶点所对边的垂线段即为三角形的高”进行求解即可． 【详解】解：在中，边上的高为； 故选B． 5. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要说明，需要证明和全等，则这两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作一个角等于已知角的作法，理解作法的依据是关键；根据作法过程即可作出判断． 【详解】解：由作法知：，， ∴， ∴， 即； 故选：B． 6. 如图，点在上，，，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等． 由得，进而可得，利用线段的和差即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为：A． 7. 将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（ ）处截断． A. ①或② B. ①或③ C. ②或③ D. ③或④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论即可． 【详解】解：当4厘米为腰时，则底为厘米， 此时能组成三角形， ∴第二次可以在②处截断； 当当4厘米为底时，则腰为厘米， 此时能组成三角形， ∴第二次可以在③处截断； 综上， 第二次可以在②或③处截断， 故选：C． 8. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 勾股定理的逆定理 D. 等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质：等腰三角形的“三线合一”，即可得到答案． 【详解】解：， 是等腰三角形， 是的中点， ， 故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一” 故选：D． 9. 已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图——基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法；观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线、角平分线、垂线的性质，逐项判断即可. 【详解】解：A、作图痕迹可知，D为中点，不能确定，故A不符合题意； B、作图痕迹可知，D在的平分线上，能确定，故B符合题意； C、作图痕迹可知，是边上的高，不能确定，故C不符合题意； D、作图痕迹可知，D在的垂直平分线上，不能确定，故D不符合题意. 故选：B. 10. 在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（ ） A. 16 B. 8 C. 16或8 D. 8或4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、中线的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，，则，再分且和且两种情况分别列出一元一次方程求解并运用三角形的三边关系判断即可解答． 【详解】解：设，则， 当且时，即，解得：， ∴，， ∵， ∴能组成三角形，即符合题意； 当且时，即，解得：； ∴，， ∵， ∴三边不能组成三角形，即不符合题意； 综上，的长是16． 故选A． 11. 如图，， 平分 ，过 作， 交 于点 ，若点 在 上，且满足 ，则 的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平行线的性质和角平分线的定义求得，再求得，如图，分两种情况求解即可． 【详解】解：如图，， ∵， 平分 ， ∴， ∵， ∴, ∴， 根据角的对称性知， ∴； 当点位于点处时，∵， ∴， 综上， 的度数为或， 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的定义和角的对称性质、平行线的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的对称性时解答的关键． 12. 有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（ ） A. 方案一：√、方案二：√ B. 方案一：×、方案二：× C. 方案一：×、方案二：√ D. 方案一：√、方案二：× 【答案】D 【解析】 【分析】对于方案一，可以运用“角边角”的判定定理证明两个阴影部分的三角形全等；对于方案二，只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等． 【详解】解：如图，方案一： ∵，，， ∴． 又∵，， ∴在与中， ， ∴， 即方案一正确； 方案二： 只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等， ∴方案二中两个阴影部分的三角形不一定全等． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若， 则的周长为________________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和作图，由作图可得垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴， ∴的周长为， 故答案为：16． 14. 如图所示，数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片沿向下折叠，点A落在点处，当时， _______度． 【答案】70 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理．先根据已知条件求出的度数，然后根据折叠可知：∠AED＝∠A′ED＝45°，再利用平行线的性质求出，最后利用三角形内角和求出即可． 【详解】解：由折叠可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：70． 15. 如图，在四边形中，分别是和的平分线，若，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的判定与性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 延长，于点，先证明，再证明，即可得到． 【详解】解：延长，于点， ∵， ∴ ∴， ∴ ∵分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，点在边上（点与，不重合），作，与边相交于点．若是等腰三角形，则度数为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，分情况讨论：①；②；③以的等腰三角形不存在；由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 则， ①如图，，即是等腰三角形， ∵， ∴， ∴； ②如图，，即是等腰三角形， ∴， ∴； ③∵D不与B、C重合，， ∴以的等腰三角形不存在； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O，求证：． 【答案】 证明： ， ， ， 在与中， ． 【解析】 【分析】由∠1＝∠2可得∠AEC＝∠BED，进而由“”即可证得． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 18. 如图，中，平分，P为延长线上一点，于E，已知． （1）的度数为_______； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及对顶角，利用三角形内角和定理及角平分线的定义，求出的度数是解题的关键． （1）在中，利用三角形内角和定理可求出的度数； （2）结合角平分线的定义可得出的度数，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，结合对顶角相等可得出的度数，再在中利用三角形内角和定理可求出的度数． 【小问1详解】 解：∵中，， ， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵平分， ， 在中，， ， ， ， ， ． 19. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，．画出关于y轴对称的，并写出点的坐标． 【答案】 如图， 为求作的． ． 【解析】 【分析】本题考查作图一轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 根据轴对称的性质作图，即可得出答案． 【详解】略 20. 如图，在中，，是的平分线，于点，点在AC上，，证明： （1）； （2）． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答的关键． （1）根据角平分线的性质得出，利用证明，根据全等三角形的性质即可得结论； （2）利用证明，得出，结合（1）中结论，利用线段的和差关系即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵是的平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：在和中， ， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴． 21. 如图，在等腰三角形中，是的高线，边的垂直平分线分别交于点，连接． （1）若，求的长度； （2）求的度数． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据三线合一得到垂直平分，则，再由是边的垂直平分线得到，即可得到； （2）根据三线合一得到，而，再由等边对等角即可求解． 【小问1详解】 解：∵，是的高线， ∴， ∴垂直平分， ∴ ∵是边的垂直平分线 ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的高线， ∴ ∵， ∴． 22. 如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，，垂足为点F． （1）求证：； （2）若，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）的周长为48． 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质可知，再证明，即可得出结论； （2）由可得出，故可得出的长，进而可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵为等边三角形，是中线， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． ∵为等边三角形，是中线， ∴， ∴的周长． 23. 【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P． （1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．则∠A＝　 　度，∠P＝　 　度． （2）∠A与∠P的数量关系为　 　，并说明理由． 【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为　 　． 【答案】【探究】（1）50，115；（2）（2）∠P﹣∠A＝90°，理由详见解析；【应用】∠Q＝90°﹣∠A． 【解析】 【分析】探究：（1）由三角形内角和定理进行计算即可； （2）由角平分线定义得∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，再根据三角形内角和定理，即可得到结论； 应用：由角平分线定义可得∠CBQ＝90°−∠ABC，∠BCQ＝90°−∠ACB，再根据三角形内角和定理，即可得到结论． 【详解】探究：解：（1）∵∠ABC＝80°，∠ACB＝50°， ∴∠A＝180°﹣80°﹣50°＝50°， ∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P， ∴∠CBP＝∠ABC，∠BCP＝∠ACB， ∴∠BCP＋∠CBP＝（∠ABC＋∠ACB）＝×130°＝65°， ∴∠P＝180°﹣65°＝115°， 故答案为：50，115； （2）∠P﹣∠A＝90°．理由如下： ∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB， ∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°∠P＋∠PBC＋∠PCB＝180°， ∴∠P＋（∠ABC＋∠ACB）＝180°， ∴∠P＋（180°﹣∠A）＝180°， ∴∠P﹣∠A＝90°； 故答案为：∠P﹣∠A＝90°； 应用：解：∠Q＝90°﹣∠A．理由如下： ∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q， ∴∠CBQ＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠ABC， ∠BCQ＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB， ∴△BCQ中，∠Q＝180°﹣（∠CBQ＋∠BCQ）＝180°﹣（90°﹣∠ABC＋90°﹣∠ACB）＝（∠ABC＋∠ACB）， 又∵∠ABC＋∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠Q＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A； 故答案为：∠Q＝90°﹣∠A． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质的应用等知识，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，能正确进行推理计算是解题的关键． 24. 如图，与相交于点，，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点同时从点出发，沿方向以的速度运动，当点到达点时，P、Q两点同时停止运动，设点的运动时间为． （1）当点在运动时，_____；（用含的代数式表示） （2）求证： （3）当，，三点共线时，求t的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3）8或 【解析】 【分析】本题主要考查代数式和全等三角形的判定和性质，解一元一次方程，解题的关键是分类讨论思想， （1）根据题题意求得，则； （2）根据题意即可利用证明，则； （3）根据题意得，，，结合（1）可得和，由三点共线得，即可证明，得，利用分类讨论列方程求解即可． 【小问1详解】 解：点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q同时从点D出发，沿方向以的速度运动，设点P的运动时间为.根据题意得： ，则， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：在和中， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：根据题意得：，，则， 如图， ∵， ∴，， ∵P，Q，C三点共线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当时，， 解得：， 当时，， ∴， 解得：， ∴综上所述，当P、C、Q三点共线时，t的值为8或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $