精品解析：北京市朝阳外国语学校2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题

北京市朝阳外国语学校2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题 2025.11 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 比较，，的大小关系，结果为（ ） A. B. C. D. 5. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（　　） A. 向上平移1个单位长度 B. 向下平移1个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 6. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）的关系为，其中，k是常数.如果在前5h消除了的污染物，那么污染物减少需要花多少时间（精确到）？（，）（ ） A. B. C. D. 7. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知，，则下列不成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 已知集合，若，且对任意的，，均有，则中元素个数的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 11. 函数的定义域为______． 12. 若函数的值域是，则实数取值范围为__________. 13. 已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 ____________ . 14. 已知函数．若恒成立，则的取值范围是__________. 15. 若，满足，则的取值范围是__________． 16. 已知函数与，其中实数．给出下列四个结论： ①函数在区间上单调递增； ②对任意的与的图象都只有一个公共点； ③若与的图象没有公共点，则的取值范围是； ④当与的图象有两个公共点时，这两个公共点横坐标的差大于1． 其中所有正确结论的序号是___________． 三、解答题（共5小题，共70分） 17. 已知集合，. （1）分别求，； （2）已知集合，若，求实数的取值范围. 18. （1）； （2）. 19. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）判断奇偶性，并加以证明； （3）若，求实数的取值范围. 20. 已知函数是上的偶函数． （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； （3）如果对，都有成立，求的取值范围． 21. 已知正整数，若正整数集的子集同时满足 条件①：对任意，存在唯一，使得； 条件②：对任意整数，及任意，均存在，使得，则称为 “可表集合组”． （1）若，则是否为“7可表集合组”？说明理由， （2）若为 “可表集合组”，求的最小值； （3）若为“15可表集合组”，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市朝阳外国语学校2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题 2025.11 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知，再由补集以及交集定义可得结果. 【详解】由题可知， 易知，所以. 故选：D 2. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件由含有一个量词的命题的否定方法直接写出p的否定判断作答. 【详解】由题意得，因为全称命题的否定是特称命题， 故则命题的否定是. 故选：D 3. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出各个函数的定义域，代入判断函数奇偶性，再判断单调性，得出结论. 【详解】设，，，. 对于A项，易知定义域为R， 且，所以为偶函数， 根据二次函数的性质可知，在上单调递增.故A正确； 对于B项，定义域为R， 且，所以不是偶函数，故B错误； 对于C项，定义域为，定义域不关于原点对称，非奇非偶，故C错误； 对于D项，定义域为， 且，所以为奇函数，故D错误. 故选：A 4. 比较，，的大小关系，结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数，对数函数的性质，在中插入中间值进行比较. 【详解】根据指数函数的性质知， 因为是增函数，所以，故； 因为是减函数，所以， 于是，即. 故选：B. 5. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（　　） A. 向上平移1个单位长度 B. 向下平移1个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】把化简为后可得平移方法. 【详解】因为即为， 故只需把函数的图象上所有的点向上平移1个单位长度即可，故A对B错； 对于C，把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度后所得图象对应的解析式为，故C错误； 对于D，把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度后所得图象对应的解析式为，故D错误； 故选：A. 6. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）的关系为，其中，k是常数.如果在前5h消除了的污染物，那么污染物减少需要花多少时间（精确到）？（，）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设条件可得，据此可求污染物减少到需要的时间. 【详解】由题设有，故，故， 令，故，故， 所以， 故选：C. 7. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式判断充分性，根据举反例说明必要性不成立，即可得结论. 【详解】因为，，则，当且仅当时等号成立，故充分性成立； 若，满足，但，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 8. 已知，，则下列不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设条件可得，，故可判断B的正误，结合基本不等式可判断AC的正误，利用不等式的性质结合指数函数的单调性可判断D的正误. 【详解】因为，故，同理. 由题设有，故， 而，故即，故B必成立， 对于A，由基本不等式可得， 而，故等号不可取，故，故A必成立； 对于C，，故C必成立； 对于D，因为，故，， 故不成立，故D不成立. 故选：D. 9. 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分段函数为增函数，保证每段都增，比较端点即可. 【详解】是上的单调递增函数，则满足 ，解得. 故选：B. 10. 已知集合，若，且对任意的，，均有，则中元素个数的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知可得集合，由可知与异号或其中至少有一个为，通过列举可得集合，即可求解. 【详解】因为集合， 所以 ， 由得， 所以与异号或其中至少有一个为， 又，，， 所以满足条件的集合或 或 或 ， 所以集合中元素个数的最大值为. 故选：. 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 11. 函数的定义域为______． 【答案】且 【解析】 【分析】 根据分母不为以及根号里的被开方数要大于等于即可求出. 【详解】由题知，且.定义域为为且. 故答案为：且 【点睛】思路点睛：首先分母不能为，再根号里的被开方数要大于等于求交集. 12. 若函数的值域是，则实数取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出当时，函数值的范围，然后根据已知条件列出不等式，利用对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】当时，， 要使得函数的值域为， 只需的值域包含于， 所以，结合，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 ____________ . 【答案】 【解析】 【分析】利用分解因式求出方程的两个根，再结合题意，列出不等关系求解即可. 【详解】方程，可得， 故方程的两个根分别为或. 由于两根一个比2大另一个比2小， 故,解得， 故答案为：. 14. 已知函数．若恒成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用恒成立的不等式分离参数，借助二次函数求出最大值即可. 【详解】当时，不等式， 依题意，恒成立， 而当时，，当且仅时取等号， 因此. 故答案为： 15. 若，满足，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】就、分类讨论后可求实数的取值范围. 【详解】当时，在上为减函数， 故，当时，有，符合题意； 当时，在上为增函数，在上为增函数， 当即时，的图象如图所示： 则存在，且， 综上所述，实数的取值范围是． 故答案为： 16. 已知函数与，其中实数．给出下列四个结论： ①函数在区间上单调递增； ②对任意的与的图象都只有一个公共点； ③若与的图象没有公共点，则的取值范围是； ④当与的图象有两个公共点时，这两个公共点横坐标的差大于1． 其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据题意，按的不同取值范围，分类作图，逐一判断即可解出. 【详解】题意，分类作图如下： （1） （2） （3） （4）当时，，，两函数的图象只有一个交点， 对于①，根据图象，在区间上单调递增，所以①正确； 对于②，根据图象，时，与的图象仅有一个公共点，所以②正确； 对于③，根据图象，在时，与的图象可能没有交点， 此时，解得，即的取值范围是，所以③正确； 对于④，根据图象，在时，与的图象可能有两个交点，此时解得公共点横坐标为，则两个公共点横坐标的差为，所以④错误. 故答案为：①②③. 三、解答题（共5小题，共70分） 17. 已知集合，. （1）分别求，； （2）已知集合，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由指数函数单调性解不等式，再由交、并补运算即可； （2）通过讨论，即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 又，所以. 【小问2详解】 当时，， 当时，，因为，所以 又，所以. 综上，. 18. （1）； （2）. 【答案】（1）4；（2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算； （2）根据指数幂和对数的运算法则计算． 【详解】（1） ． （2） ． 19. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）判断奇偶性，并加以证明； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数； （3）或 【解析】 【分析】（1）由且求解； （2）利用函数奇偶性的定义判断； （3）将转化为求解. 【小问1详解】 由题意得：且， 解得，所以函数定义域为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 则，化简得 ， 解得或， 故实数的取值范围为或. 20. 已知函数是上的偶函数． （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； （3）如果对，都有成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）单调递增，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的性质进行求解即可； （2）根据单调性的定义进行判断证明即可； （3）根据偶函数的性质，结合单调性先求出函数的值域，再解不等式即可. 【小问1详解】 因为函数是上的偶函数， 所以有， 因为，所以； 【小问2详解】 由（1）可知：，即，该函数单调递增，理由如下： 设是上任意两个实数，且，即， ， 因为，所以， 所以函数在区间上单调递增； 【小问3详解】 由（2）可知：函数在区间上单调递增， 而函数是偶函数，所以函数在上单调递减， 因为，， 所以在上的值域为， 由恒成立，即， 也就是， 则，得， 所以的取值范围为. 21. 已知正整数，若正整数集的子集同时满足 条件①：对任意，存在唯一，使得； 条件②：对任意整数，及任意，均存在，使得，则称为 “可表集合组”． （1）若，则是否为“7可表集合组”？说明理由， （2）若为 “可表集合组”，求的最小值； （3）若为“15可表集合组”，求的最大值． 【答案】（1）不是“7可表集合组”，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“7可表集合组”的定义可得，即可判断结果； （2）先给出的例子，再根据“可表集合组”的定义结合反证法证明不符合题意即可； （3）先给出的例子，再根据“可表集合组”的定义结合反证法证明不符合题意即可. 【小问1详解】 不是“7可表集合组”. 因为，其元素中仅有一个奇数， 则，若为偶数，则必为中两个偶数元素之和，至少为， 可得，所以不是“7可表集合组”． 【小问2详解】 的最小值为7．首先给出的例子： 令， 可知则为“7可表集合组”． 下面假设某个满足题设要求，则对任意，存在，使得． 注意到6表示为两个不同正整数的和只能是， 不妨设， 因为对任意，存在，使得， 注意到7表示为两个不同正整数的和只能是， 所以， 注意到8表示为两个不同正整数的和只能是， 所以对任意，均有， 与是“可表集合组”矛盾． 所以假设不成立，综上所述：的最小值为7． 【小问3详解】 的最大值为3． 首先给出的例子： 令，， ， 则为“15可表集合组”． 下面假设某个满足题设要求， 显然也满足题设要求，故可不妨设， 令， 显然对任一下标这10个数中任一数均可写成的两个元素之和， 从而中元素至少有五个， 注意的元素个数之和为23，从而必存在某个，使得的元素个数不大于5， 设， 可知中两个不同元素之和所表示的这10个数恰可被中两个不同元素之和所表示， 则这些数的和为， 与均为正整数矛盾，所以假设不成立． 综上所述：的最大值为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $