第13章勾股定理 同步优生辅导训练题 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

2025-2026学年华东师大版八年级数学上册《第13章勾股定理》 同步优生辅导训练题（附答案） 一、单选题 1．，，为三边，下列条件中不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．汉代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．如图是小辰用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若，，则正方形的面积为（  ） A． B． C． D． 4．如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是的长方体的顶点爬到顶点，则它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在长方形中，，动点P从点A出发，沿运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t秒，当是以为腰的等腰三角形时，t的值为（   ） A．3或5或7 B．4或 C．4或或7 D．4或7 6．如图，已知消防云梯最长只能伸长到，消防车高，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的A处救援后，还要完成比A处高的点C处的救援，则消防车需要从点B处向点D处移动的距离为（   ）． A．8 B．7 C．4 D．3 7．如图是一个港湾，港湾两岸有，两个码头，千米，千米，现有一艘货船从码头出发，根据计划，货船应先停靠岸的处装货，再停靠 岸的处装货，最后到达码头． 小明根据所学的知识，合理安排两岸的装货地点，发现使货船行驶的水路最短距离为，那么这个港湾两岸的夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，在数轴上，点所对应的实数为0，点对应的实数为2，过作数轴的垂线段，使得，再以为圆心，长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点对应的实数为 9．如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，使点C落在点F处，那么图中阴影部分的面积是 ． 10．如图所示的网格是正方形网格，和的顶点都是网格线交点，那么 ． 11．如图，在长方形中，，，沿过点A的折痕折叠长方形，使点D落在边上，折痕与边交于点E，则的长为 ． 12．如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点为圆心，的长为半径画弧，交于点；（2）分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；（3）画射线交于点.若，，，则的长为 . 13．小明想研究某品牌笔记本电脑（屏幕可开合）的屏幕开合情况，如图2，他先将屏幕完全打开平放在桌面上，即电脑键盘面的侧边在处，电脑屏幕面的侧边在处，，再将屏幕面的侧边从处绕着O点逆时针旋转至处（即为图1所示状态），此时点相对于点A水平方向移动的距离，点到桌面的高度，则该电脑屏幕面的侧边长度 ． 14．勾股定理有着悠久的历史，它神秘而美妙，曾引起很多人的兴趣．如图所示，为的斜边，四边形，，均为正方形，四边形是长方形，点M，G，E，D，Q，P均在长方形的边上．若，，则长方形内空白部分的面积之和是 ． 三、解答题 15．如图，在中， ，点D是外一点，连接，且． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 16．在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 17．如图，点D为等腰直角三角形斜边上一动点（点D不与线段两端点重合），将绕点B顺时针方向旋转到，连接、、． (1)求证：； (2)若，，求的长； 18．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)______； (2)过点C作，垂足为D，_______，海港_______（填“会”、“不会”）受台风影响； (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 19．【问题探究】 （1）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒的速度沿运动，设运动时间为秒． ①求斜边上的高的长度． ②点为边上的中点，过点作边的垂直平分线交于点，连接，在点在运动的过程中，当点运动到线段的垂直平分线上时，求出此时的值，并求出的长度； 【问题解决】 （2）如图为某社区的直角三角形花园，其中，可移动喷头从点出发，以每秒的速度沿的路线巡视，设巡视时间为秒，为了覆盖整个草坪，在直角顶点处安装了一根垂直于斜边的供水管，当喷头移动到上时，连接，若是以为腰的等腰三角形时，喷头会暂停并切换为全功率洒水模式，已知，，则喷头从点出发后，当为何值时，会触发全功率洒水模式？ 20．背景材料 平移、轴对称、旋转是初中阶段学习的三种全等变换，它们只改变图形的位置，不改变形状和大小．利用这一性质，我们可以借助一种或多种全等变换，将图中相对“分散”的条件“集中”起来，从而构建新的联系以解决问题． 理解应用 （1）如图1，M是正方形内一点，且，小宁猜想是等边三角形，为了验证猜想，做了如下探究： 正方形中，，． 将进行旋转与翻折得，则，连接． ，， ， 是等边三角形．…… 请继续完成小宁的后续推理，以验证猜想． 迁移创新 （2）如图2，Q是等边内一点，若，，，请尝试借助旋转变换，推算_______°（直接写出答案）． 参考答案 1．解：A、∵，且， ∴，能判定为直角三角形，此选项不符合题意； B、∵，即， 又， ∴，能判定为直角三角形，此选项不符合题意； C、设，，，则，， ∵，且，不满足三角形三边关系（无法构成三角形），不可能为直角三角形，此选项符合题意； D、∵，由勾股定理的逆定理，能判定为直角三角形，此选项不符合题意． 故选：C． 2．C 【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得，，，推出是等腰直角三角形，，过点A作于点H，得到，利用勾股定理求出的长． 【详解】解：由旋转得，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形，， 过点A作于点H， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．D 【分析】本题考查了勾股定理的应用；根据勾股定理求得，进而可得，根据正方形的面积，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ 依题意， ∴ ∴正方形的面积为， 故选：D． 4．C 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可． 要求所用蚂蚁走的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：如图，， 故它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程为， 故选：C． 5．D 【分析】本题考查了勾股定理的应用和等腰三角形，解题关键是熟练掌握利用分类讨论的数学思想解答问题． 当点的运动时间为秒时，分两种情况讨论：①，②，然后根据勾股定理求出长，由此即可解题． 【详解】解：当点的运动时间为秒时，分两种情况讨论： ①当点在上时，， ， ； ， 时，， ②当点在上时，， 同理可得：， ， 时，， 综上可知：当或时，是以为腰的等腰三角形． 故选D． 6．A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，运用勾股定理求解是解题的关键． 由题意得，，，，，则，，先在中求出，再在中求出，即可由求解． 【详解】解：由题意，得，，，， ∴，， 在中，由勾股定理，得 ， 在中，由勾股定理，得 ， ∴， 即消防车需要从点处向点处移动的距离为． 故选：A． 7．B 【分析】分别作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，交于，交于，则、为两岸的装货地点，是货船行驶的水路最短路程，利用勾股定理的逆定理证明，构造等边三角形可求出，根据对称性可知，则可解决问题． 【详解】解：分别作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，交于，交于，则、为两岸的装货地点，是货船行驶的水路最短路程， ， ， ， 延长至点，使， ， 则， 且是的垂直平分线， ， ， 则为等边三角形， ， 由对称的性质知： ． 故选：B． 8． 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求出的长是解题的关键． 先根据数轴上点的位置求出的长，然后利用勾股定理求出的长即可得到的长，从而可以得到答案． 【详解】解：∵数轴上A、C表示的数分别是0、2， ∴， ∵，， ∴， 由作图方式可知，， ∴点D表示的实数为， 故答案为：． 9．/ 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等角对等边，熟练掌握矩形的性质，是解题的关键．根据矩形的性质得出，，，根据折叠得出，，根据等角对等边得出，设，则，，根据勾股定理得出，再解方程即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠的性质，可得，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵，即， 解得， ∴． 故答案为：． 10．解：如图，连接， 由勾股定理得：，，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11．3 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠，解题的关键是熟练掌握折叠的不变性． 由折叠可得，，在中，由勾股定理求出，设，则，然后在中，运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：∵长方形， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴在中，由勾股定理得， ∴ 设，则 ∴在中，由勾股定理得， 解得， ∴， 故答案为：． 12．解：连接，如图所示： 结合作图过程，得出是的垂直平分线， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 则， 在中，， 故答案为：8． 13．解：由题意，得 ，，， ∵， ∴， 解得． 故答案为：25． 14．解：在中，，根据勾股定理得， ∴． 如图，延长交于点O， ∵四边形均为正方形，四边形是长方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴， ∴ ． ∴空白部分的面积为． 故答案为：． 15．（1）解：在中，，，， ∴． ∴． （2）∵，，∴． 由（1）知， ∴． ∴是直角三角形，且． ∴． 由（1）知在中，，，， ∴． ∴． 16．(1) (2)不能成功，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键． （1）过点A作于点E，在中，根据勾股定理即可求解； （2）假设能上升，作图，根据勾股定理可得，再根据题意，，即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示，过点A作于点E，则，，， 在中，， ∴； （2）解：不能成功，理由如下： 假设能上升，如图所示，延长至点F，连接，则， ∴， 在中，， ∵，余线仅剩， ∴， ∴不能上升，即不能成功． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的知识点是旋转性质、等腰直角三角形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）由旋转性质得：，，结合等腰直角三角形性质可利用证明，最后由全等三角形性质即可得证； （2）结合全等三角形性质、等腰直角三角形性质推得是直角三角形，由勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵将绕点B顺时针方向旋转到， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴（）， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． 18．(1)400 (2)240；会 (3)海港受台风影响的时间会持续h． 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理求出即可； （2）过点作，利用等面积法得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （3）假设当时，正好影响港口，利用勾股定理得出，再得出的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解： ，，， ； 故答案为：400； （2）解：海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，， 海港受台风影响； 故答案为：240；会； （3）解：如图，假设当时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为， （h）， 答：海港受台风影响的时间会持续h． 19．解：（1）①在直角中，，，， ， ， ， （1）②由题意得：点为边上的中点，垂直平分， ，， 点P运动到点N处，则， 设，则，， 在直角中，,即， 解得：， 若点运动到点处，则， 或． 在直角中， ． （2）在直角中，，，， ， , ， 在直角中， 若是以为腰的等腰三角形时，有以下两种情况： ①当时，点运动时间， ②当时， ， ， 在直角中，， ，此时， 综上所述，当或时，会触发全功率洒水模式． 20．解：（1）正方形中，，． 将进行旋转与翻折得，则， 连接． ，， ， 是等边三角形． ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形． （2）如图，将绕B点顺时针旋转至，连接, 则，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵中，，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：150 学科网（北京）股份有限公司 $