精品解析：黑龙江省绥化市哈尔滨师范大学青冈实验中学校2025-2026学年高三上学期11月份考试数学试题

哈师大青冈实验中学2025-2026学年度11月份考试 高三数学试题 一、单选题：每小题5分，满分40分 1. 已知复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由复数除法运算计算z，再根据虚部定义求解. 【详解】根据题意，， 则z的虚部为. 故选：B 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分子分母为一次齐次式，分子分母同除以转化为的表达式，代入求解即可. 【详解】因为，分子分母同除， ， 故选：D. 3. 若，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】化简完命题，然后根据必要不充分条件含义直接判断即可. 【详解】由，得， 由，得， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 4. 若在 上是增函数，则的取值范围是 A. {2} B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据二次函数的性质求出函数的单调增区间，使是其单调增区间的子集，建立不等关系，解之即可． 【详解】函数是开口向下的二次函数 ∴函数在上单调递增函数 ∵在上是增函数， ∴，解得; 故的取值范围是：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用，以及二次函数的性质的运用，属于基础题． 5. 如图，正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，，则正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用解等腰梯形可求得棱台的高，从而利用台体体积公式即可求解. 【详解】因为是正四棱台，，， 侧面以及对角面为等腰梯形， 故，， ，所以， 所以该四棱台的体积为， 故选：B. 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助指数函数与对数函数的单调性可得、、范围，即可得解. 【详解】由，，即， ，故. 故选：A. 7. 已知向量，，且，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】求出的坐标后可求的值. 【详解】， 由可得，解得， 故选：C 8. 已知函数，若对任意两个不相等的实数，，都有，则a的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】结合单调性定义可得函数单调递增，则恒成立，即恒成立，构造函数，借助导数研究其单调性从而得其最值即可得解. 【详解】不妨设，因为，所以， 构造函数，则，所以单调递增， 恒成立，即恒成立， 令函数，， 当时，，当，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，故． 故选：B. 二、多选题（每小题6分，满分18分） 9. 下列选项中，正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 若不等式的解集为，则 C. 若，，则， D. 函数恰有1个零点． 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，根据指数函数的图象与性质即可求解；对于B，根据一元二次不等式的解集求参数判断；对于C，由特称命题的否定为全称命题即可得出结论；对于D，由函数零点存在定理和函数单调性即可求解. 【详解】对于A，因为， 所以函数（且）的图象恒过定点，故A错误； 对于B，若不等式的解集为， 则，且和是方程的两个实数根， 所以，解得，，所以，故B错误； 对于C，因为特称命题的否定是全称命题， 若：，，则：，，故C正确； 对于D，因为函数和在均单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以由函数零点存在定理可知，存在唯一，使得， 即函数恰有1个零点，故D正确. 故选：CD. 10. 已知函数，则（   ） A. 在上单调递减 B. 的极大值点是 C. 的图象关于对称 D. 方程有三个实数根 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数求函数的单调区间判断A选项；由单调区间判断极值点，求出极大值判断选项B；由函数奇偶性判断选项C，由单调性和极值判断函数零点个数判断选项D. 【详解】函数，， 对于A，解得或，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减，故A正确； 对于B，时有极大值， 即的极大值点是，故B错误； 对于C，的定义域为，， 则函数是奇函数，图象关于对称，故C正确； 对于D，时有极大值，时有极小值， 又， ， 所以函数的图象与轴有三个交点，即方程有三个实数根，故D正确. 故选：ACD 11. 在数列中，如果对任意，都有（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差.则下列说法错误的是（ ） A. 等比数列一定是比等差数列，且比公差 B. 等差数列一定不是比等差数列 C. 若数列是等差数列，是等比数列，则数列一定是比等差数列 D. 若数列满足，，则该数列不是比等差数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据比等差数列定义直接验证可判断A；令，依定义验证可判断B；令，，然后依定义验证可判断C；根据递推公式求出前4项，然后依定义验证可判断D. 【详解】若为等比数列，公比，则，， 所以，故选项A错误； 若，是等差数列，则，故为比等差数列，故选项B错误； 令，，则，此时无意义，故选项C错误； 因为数列满足，， 所以，，故， 所以不是比等差数列，故选项D正确. 故选：ABC. 三、填空题（每小题5分，满分15分） 12. 已知集合，，则集合中元素的个数为__________个. 【答案】2 【解析】 【分析】 利用交集的定义即可. 【详解】由已知，，所以集合中元素的个数为2. 故答案为：2 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查学生对交集概念的理解，是一道容易题. 13. 已知点为角的终边上一点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据点为角的终边上一点，可得，再根据二倍角的正切公式，即可求出结果. 【详解】因为点为角的终边上一点，则， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了任意角三角函数值的求法和二倍角的正切公式的应用，属于基础题. 14. 正方体的棱长为2，是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦），为正方体表面上的动点，当弦最长时，的最大值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】设球心为，球的半径为，则，根据极化恒等式，得即可求解. 【详解】设球心为，球的半径为，则，根据极化恒等式， 得． 因为为正方体表面上的动点，所以的最大值为正方体对角线长的一半，即， 所以的最大值为2． 故答案为：2. 四、解答题（共5小题，满分77分.） 15. 已知是公差为的等差数列，其前项和是，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和； 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由题设有求、，写出的通项公式； （2）应用裂项相消法，求的前项和即可. 【详解】（1）由题意，，解得， ∴. （2）由， ∴. 16. 如图，在四棱锥中，底面为梯形， ，，为等边三角形，为的中点，且平面平面，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，则，结合条件可得平面，从而，又，可得平面，，建立空间直角坐标系，计算得，，从而且，进而可得结论； （2）求出平面的法向量，利用向量法求直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 如图，取中点，连接，， 在正三角形中，， ∵平面平面，平面平面， ∴平面，且平面， ∴， 在梯形中，，∴四边形为平行四边形， ∴，又∵，∴， 又，平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴， 如图，以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， ∵， ， ∴且，且，平面，平面， ∴平面. 【小问2详解】 由（1）可知， ∴，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，即， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求的面积； （2）若，求b． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可； （2）由正弦定理得，即可求解. 【小问1详解】 由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又， 则，，则； 【小问2详解】 由正弦定理得：，则，则，. 18. 已知数列满足，. （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）若记为满足不等式的正整数的个数，求数列的前项和； （3）在（2）的条件下，，若不等式对都成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题干等式变形得出，结合等差数列的定义可证得结论成立，进而可求得数列的通项公式； （2）根据解出满足条件的正整数的个数，可得出数列的通项公式，再利用错位相减法可求得的表达式； （3）求出数列的通项公式，对分奇数和偶数两种情况讨论，分析数列的单调性，求出数列最大值和最小值，结合已知条件可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 ，即， 又，为等差数列，其首项为，公差为. ，. 【小问2详解】 由得，， ，满足不等式的正整数的个数为， ，， ①， ②， ①②得：， . 【小问3详解】 由已知可得， 当为奇数时，， 因为数列为递增数列，所以当时，取最小值，此时， 当为偶数时，， 因为数列为递减数列，所以当时，取最大值，此时， 所以且，所以，解得. 因此，实数的取值范围为. 19. 已知函数． （1）当时，曲线与关于点中心对称，求函数的解析式； （2）讨论在上的单调性； （3）若关于x的不等式在上恒成立，求实数λ的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）设点为图象上任一点，根据点P关于点的对称点为在的图象上，即可求解； （2）分，，，三种情况即可； （3）将在上恒成立，化为恒成立，构造函数再分类讨论即可． 【小问1详解】 当时，，设点为图象上任一点， 则点P关于点的对称点为在的图象上， 所以，即， 所以； 【小问2详解】 因为，所以； ①当时，在上恒成立，所以在上单调递减； ②当时，在[上恒成立，所以在上单调递增； ③当时，令，解得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 不等式在上恒成立，则恒成立， 所以恒成立，设， 则，令， 则，令， 则，故在上单调递增，且， 所以，所以在上单调递增，， 当时，，则，故在上单调递增， 且，故恒成立，满足题意； 当时，，则存在，使得， 且当，，则在上单调递减， 又，则当时，，不满足题意． 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈师大青冈实验中学2025-2026学年度11月份考试 高三数学试题 一、单选题：每小题5分，满分40分 1. 已知复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若在 上是增函数，则的取值范围是 A. {2} B. C. D. 5. 如图，正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，，则正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，，且，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 已知函数，若对任意两个不相等的实数，，都有，则a的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 0 二、多选题（每小题6分，满分18分） 9. 下列选项中，正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 若不等式的解集为，则 C. 若，，则， D. 函数恰有1个零点． 10. 已知函数，则（   ） A. 在上单调递减 B. 的极大值点是 C. 的图象关于对称 D. 方程有三个实数根 11. 在数列中，如果对任意，都有（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差.则下列说法错误的是（ ） A. 等比数列一定是比等差数列，且比公差 B. 等差数列一定不是比等差数列 C. 若数列是等差数列，是等比数列，则数列一定是比等差数列 D. 若数列满足，，则该数列不是比等差数列 三、填空题（每小题5分，满分15分） 12. 已知集合，，则集合中元素的个数为__________个. 13. 已知点为角的终边上一点，则______. 14. 正方体的棱长为2，是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦），为正方体表面上的动点，当弦最长时，的最大值为______． 四、解答题（共5小题，满分77分.） 15. 已知是公差为的等差数列，其前项和是，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和； 16. 如图，在四棱锥中，底面为梯形， ，，为等边三角形，为的中点，且平面平面，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求的面积； （2）若，求b． 18. 已知数列满足，. （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）若记为满足不等式的正整数的个数，求数列的前项和； （3）在（2）的条件下，，若不等式对都成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数． （1）当时，曲线与关于点中心对称，求函数的解析式； （2）讨论在上的单调性； （3）若关于x的不等式在上恒成立，求实数λ的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $