第一单因式分解元复习题 2025-2026学年鲁教版(五四制)(2012)数学八年级上册

第一单因式分解元复习题 一、单选题 1．下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于的二次三项式能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是，则另一个一次多项式是（   ） A． B． C． D． 3．将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 4．已知的三边长a，b，c满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形 5．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 6．已知实数满足，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 7．下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 8．下列各式中，分解因式正确的是（   ） A． B． C． D． 9．若，则M的最小值是（   ） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 10．多项式加上一个单项式后，使它成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是①，②，③，④中的（   ） A．② B．①③ C．②④ D．①②③④ 11．分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 12．在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（    ） A．141414 B．141315 C．131413 D．151415 13．已知，，则代数式的值是（　　） A．2 B． C．15 D． 14．若，则的值为（    ） A．13 B．18 C．5 D．1 15．若有理数满足，则的值等于（    ） A． B．1 C． D．2 16．已知，，，则的值是（   ） A．3 B． C．2025 D． 二、填空题 17．若能分解为两个一次因式的乘积，则的一个可能值是 18．因式分解： ． 19．分解因式 ． 20．若是自然数，和都是完全平方数，那么 ． 21．分解因式： ． 22．已知有理数a、b、x、y满足，且，那么 三、解答题 23．分解因式： (1) (2) (3) (4) 24．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现．如图②，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形纸板A，2块是边长为的小正方形纸板B，5块是长为，宽为的小长方形纸板C，且． (1)观察图②，从面积恒等变形的角度考虑，可以将代数式因式分解为__________． (2)若图②中大长方形纸板的周长为，则__________．； (3)在(2)的条件下，若图②中阴影部分的面积为，求图①中一张纸板A和一张纸板B的面积和． 25．利用公式简便运算： (1)； (2)． 26．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0，利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求k的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)在（2）的条件下，直接写出多项式因式分解的结果． 27．阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 以上解法中，在的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与的值相等，必须减去同样的一项.请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 28．阅读与思考：“配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式．巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如： ． (1)【解决问题】运用配方法将多项式进行因式分解：； (2)【深入研究】试说明多项式的值总是一个正数； (3)【拓展运用】对于任意实数，是否存在一个值，使多项式的值最小，如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第一单因式分解元复习题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C A C D D B C C 题号 11 12 13 14 15 16 答案 C B D A B A 1．B 【分析】本题考查因式分解的基本定义，需注意变形后必须是整式的乘积． 因式分解是将多项式分解为几个整式的乘积的形式．根据定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； B、是因式分解，符合题意； C、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； D、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选B． 2．D 【分析】本题主要考查了因式分解．设另一个一次多项式为，根据因式分解后与原式系数对应求解即可． 【详解】解：设另一个一次多项式为， ∴， ∵能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是， ∴， ∴， ∴， ∴另一个一次多项式为， 故选：D 3．C 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的定义及确定公因式的方法是解题的关键：公因式的定义：多项式的各项都有一个公共的因式p，我们把因式p叫做这个多项式的公因式；需要注意：①公因式必须是每一项中都含有的因式；②公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式；③某个或某些项中含有，而其他项中没有的因数或因式不能成为公因式的一部分；确定公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 根据公因式的定义及确定公因式的方法即可直接得出答案． 【详解】解：将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是， 故选：C． 4．A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、因式分解的应用和三角形三边关系的应用，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键． 通过因式分解给定方程，得出只有符合三角形三边关系，进而即可判断． 【详解】解：由题意得， ∴或， ∴或． ∵是的三边长， ∴由三角形三边关系，（两边之和大于第三边）， ∴不成立， ∴只有成立， ∴是等腰三角形． 故选：A． 5．C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则与提取公因式，找出公因式是解决本题的关键．先提取，再根据同底数幂的运算法则进行变形求解即可． 【详解】解： ． 故选：C． 6．D 【分析】本题主要考查因式分解及整体思想，熟练掌握利用整体思维及因式分解求解整式的值． 由已知可得，然后通过变形以及整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选D． 7．D 【分析】本题考查公式法因式分解，主要利用平方差公式 或完全平方公式 ，检查各选项是否符合公式形式即可． 【详解】解：选项 A∶ ，两个平方项的符号不一致，不符合完全平方公式，也无法直接应用平方差公式，不能用公式法分解． 选项B∶，整理为，两个平方项的符号不一致，不符合完全平方公式，也无法直接应用平方差公式，不能用公式法分解． 选项C∶，仅为两个平方项相加，不符合平方差公式或完全平方公式，不能用公式法分解． 选项D∶，可改写为，符合平方差公式，，能用公式法分解． 故选D． 8．B 【分析】本题考查因式分解的方法，因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式），掌握相关知识是解决问题的关键．分别对每个选项按照因式分解的方法和定义进行分析，判断其是否正确． 【详解】解：A、，该选项因式分解不彻底，错误； B、，因式分解正确； C、，该选项因式分解后漏项，错误； D、该选项原式右边不是几个整式积的形式，不符合因式分解的定义，错误． 故选：B． 9．C 【分析】本题考查了完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式变形得到，再根据非负数的性质即可求出M的最小值． 【详解】解： ， ∵，， ∴， ∴M的最小值是2020． 故选：C． 10．C 【分析】本题考查了完全平方公式的应用知识点，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 本题根据完全平方公式，分析原式与完全平方公式结构的差异，得出结论，即可解决确定多项式成为完全平方式所需添加项的问题． 【详解】解：①加上后，多项式为，是平方差不是完全平方，不符合题意； ②加上后，多项式为，是完全平方，符合题意； ③加上后，多项式为，不是完全平方，不符合题意； ④加上后，多项式为，是完全平方，符合题意； 综上，加上②或④能成为完全平方． 故选：C． 11．C 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题的关键．先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 12．B 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及提公因式法和平方差公式，理解新定义，正确因式分解，是解答的关键． 对多项式先进行因式分解，再代值求出各因式的值，然后组合成密码． 【详解】， 当时，，，， 密码可能为14、13、15的组合，即141315． 故选：B． 13．D 【分析】本题考查因式分解的应用以及用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．本题的关键是把所求代数式分解因式．由题意利用分组分解的方法把因式分解，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵ ， ∵，， ∴， 故选：D． 14．A 【分析】先将代数式前三项利用完全平方公式适当变形，然后将代入计算即可． 【详解】解： ∵ ∴原式 故选A 【点睛】本题考查代数式求值，完全平方公式．做此类题，首先必须做到心中牢记公式的“模型”，在此前提下认真地对具体题目进行观察，想方设法通过调整项的位置和添括号等变形技巧，把式子凑成公式的“模型”，然后就可以应用公式进行计算了． 15．B 【分析】本题考查了利用完全平方公式因式分解及几个非负数的和为零的问题．先利用完全平方公式对方程进行处理，化为两个非负数的和为零的情况，两个非负数之和为零，则它们均为零，据此即可求出x，y的值，从而可求． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， 即， ∴， 故选：B． 16．A 【分析】本题考查了完全平方公式分解因式，求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式将式子进行变形，得到，再代入数据计算即可得出答案． 【详解】解： ， ∵，，， ∴，，， ∴原式． 故选：A． 17．2（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了因式分解，正确得出等式是解题关键． 设，可得，从而得到，，即可求解． 【详解】解：设， ∴， ∴，， 当，时， ． 此时，能分解为两个一次因式的乘积． 故答案为：2（答案不唯一） 18． 【分析】本题主要考查了提公因式分解因式，提公因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 19． 【分析】本题考查了因式分解． 将看做整体，直接根据完全平方公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 20． 52或388 【分析】本题主要考查“完全平方数的定义”“因式分解”，用字母分别表示这两个完全平方数，找到这两个数的联系是解题关键． 设 ，（其中 、 是自然数），则 ，即 ．由于 ，且 的正整数因子对为 和 ，分别解方程组求 和 ，再代入求 即可． 【详解】设 ，（、 为自然数），则 ， 即 ． 由于 ，且 和 均为正整数， 则可能的情况为： ① ② 解方程组①：相加得 ，；相减得 ，． 则 ． 解方程组②：相加得 ，；相减得 ，． 则 ，故 或 ． 经检验， 时，，； 时，，，均满足条件． 故答案为 ：52 或 388． 21． 【分析】本题考查了因式分解． 观察表达式，将后三项分组并提取负号，形成完全平方公式，再运用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 22． 【分析】本题主要考查了分解因式，代数式求值，非负数的性质，根据题意可得和 ，代入方程得到关于和的方程，利用完全平方公式结合非负数的性质得到和，再求出和，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴，， 解得，． ∴，． ∴， 故答案为：． 23．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用提公因式法分解因式即可； （2）先利用、凑出完全平方公式，然后利用平方差公式对其进行因式分解即可； （3）首先去括号，再移项凑出完全平方公式，然后利用提公因式法分解因式即可； （4）首先通过移项凑出完全平方公式，然后提公因式，得出，再把分解为，得出，然后把看作整体，利用完全平方公式变形，得出，然后再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查了因式分解，解本题的关键在熟练掌握因式分解的方法． 24．(1) (2)9 (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式的应用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）代数式所表示的面积正好是长方形的面积，即长乘宽，即可得到因式分解的结果； （2）根据长方形的周长即可得出的值； （3）根据阴影部分的面积求出，由（2）可得，再求出的值即可得解． 【详解】（1）解：观察图②，从面积恒等变形的角度考虑，可以将代数式因式分解为， 故答案为：； （2）解：∵图②中大长方形纸板的周长为， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵图②中阴影部分的面积为， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴， ∴图①中一张纸板A和一张纸板B的面积和为． 25．(1)1 (2)900 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，掌握公式的逆用是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算，即可求解； （2）根据完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 26．(1) (2)的值为，的值为 (3) 【分析】本题考查因式分解的创新应用、解一元一次方程、解二元一次方程组等知识，熟练掌握因式分解的原理是解题的关键． （1）将代入多项式并使多项式等于0，求解即可得答案； （2）将和分别代入多项式并使多项式等于0，解二元一次方程组，即可获得答案； （3）将（2）中解得的的值代入多项式，然后设，利用待定系数法求出k即可． 【详解】（1）解：∵是多项式的一个因式， ∴当时，得， 解得：； （2）解：∵和是多项式的两个因式， ∴可有，整理可得， 解得， 即的值为，的值为； （3）解：由（2）可知，的值为，的值为， ∴多项式为， ∵和是多项式的两个因式，的次数最高项的次数为3，次数最高项的系数为1， ∴设， 右边展开式的常数项为，左边的常数项为， ∴， 解得：， ∴． 27．(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解、完全平方公式、平方差公式，首先阅读材料、掌握材料分解因式的方法，类比材料中提供的解题思路解答即可． 首先在原式中凑出完全平方式，先完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式； 在原式中凑出完全平方式，先完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： 28．(1) (2)见解析 (3)存在， 【分析】本题考查配方法的应用． （1）根据配方法将原式变形为，然后利用平方差公式分解即可； （2）根据配方法将原式变形为，然后利用平方的非负性即可求证； （3）根据配方法将原式变形为，然后利用平方的非负性即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： ∵， ∴ ∴多项式的值总是一个正数 （3）解：存在；理由： ∵， ∴， ∴当时，多项式的值最小，且最小值是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $