精品解析：福建省福州市台江区九校2025-2026学年高三上学期期中联考数学试题

2025-2026学年第一学期期中考试 高三数学试卷 满分：150分；考试时间：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定，再计算交集得到答案. 【详解】，，，故. 故选：B. 2. 若复数，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法、共轭复数的概念、模的计算公式即可求解. 【详解】，. 故选：A. 3. 若椭圆的焦距为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由焦距得，可判断，由离心率公式计算可得. 【详解】由得， 又， 所以，，得， 所以． 故选：A． 4. 质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量(即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位).设开始时点P的坐标为，则5秒后点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量坐标的意义求解. 【详解】设，5秒后P点的坐标为，则， 由题意有. 即 所以解得 故选: C 5. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据两角和与差的正弦公式进行化简求值即可. 【详解】由于， 那么， ，则， 故选：C． 6. 已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到斜高，从而得到四棱锥体高，由体积计算公式即可求解. 【详解】如图，在正四棱锥中，为四棱锥的高，为侧面的高， 因为正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍， 所以，解得， ， 所以， 故选：A. 7. 若圆：上有四个不同的点到直线的距离为3，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，确定圆心与半径，要使得圆上有四个不同的点到直线距离为3，将问题转化为圆心到直线的距离小于3即可． 【详解】圆， 故圆心为，半径为6． 设圆心到直线的距离为， 要使圆上有四个不同的点到直线的距离为3， 则与直线平行且距离为3的两条直线都必须与圆相交于两个不同的点， 所以，得，即， 解得， 故选：C． 8. 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【详解】[方法一]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路一：从定义入手． 所以． [方法二]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期． 所以． 故选：D． 【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据，，，，，，，的第80百分位数为10 B. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 C. 已知随机变量服从正态分布，越大，则随机变量越集中 D. 若随机变量，随机变量，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据百分位数的计算公式即可求解求解A，根据相关系数的性质即可求解B，根据正态分布中的含义和性质即可求解C，根据二项分布的期望公式以及期望的性质即可求解D. 【详解】对于A，将数据，，，，，，，从小到大排列为，由于，故第80百分位数为第7个数10，A正确， 对于B，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于1，B错误， 对于C，正态分布，表示标准差，故越大，随机变量越分散，C错误， 对于D，随机变量，则,故随机变量，则，D正确， 故选：AD 10. 定义空间两个非零向量的一种运算：，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，可举出反例，当不共线且为负数时，；B选项，根据定义得到B正确；C选项，根据题意得到共线；D选项，结合正弦函数的值域得到D正确. 【详解】对于A，，， 若不共线,且为负数，则，而， 此时，故A错误； 对于B，由定义知，，故B正确； 对于C，若，则，共线，故C错误； 对于D，由定义知，又， 故，当且仅当时，等号成立，故D正确． 故选：BD 11. 双纽线是卡西尼卵形线的一类分支， 在数学曲线领域占有至关重要的地位， 同时也具有特殊的有价值的艺术美. 双纽线的图形轮廓像 “ ”，是许多艺术家设计作品的主要几何元素. 已知在平面直角坐标系中， ，满足 的动点 的轨迹为曲线 . 则下列结论正确的是（ ） A. 曲线 既是中心对称又是轴对称图形 B. 曲线 上满足 的点 有 2 个 C. D. 曲线 上存在四个不同的点，使曲线在该点处切线的斜率为 0 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意中等式结合两点间距离公式表示出曲线方程可得A正确；由可得这样的 点只有 1 个，即为原点可得B错误；由曲线方程整理出可得C正确；由图象观察可得D正确；也可由导数的意义求出. 【详解】对于A，设 点坐标为则曲线 ，故 正确； 对于 ，若 ，则 ，这样的 点只有 1 个，即为原点， 故 错误； 对于C，由 得， 整理得， ，所以 ，故C正确； 对于D，从双纽线的图形上，可以观察有四个点处切线的斜率为 0， 另外，由 得 ，则 ， 令 或 0，经计算曲线 在原点处的切线方程为 ，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题C选项的关键是能利用曲线方程整理出两点间公式，再求出范围. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的二项展开式中，项的系数为________（结果用数值表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式的展开式，求出指定项的系数. 【详解】展开式的第项为， 则当时，，所以项的系数为21. 故答案为：21. 13. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，， ，则的面积为________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用余弦定理，结合已知求出，再利用三角形面积公式计算即得. 【详解】在中，由余弦定理，得，则， 于是，解得， 所以的面积为. 故答案为：3 14. 来自国外的博主，，三人决定来中国旅游，计划打卡北京故宫、西安兵马俑等个著名景点．他们约定每人至少选择个景点打卡，每个景点都有且仅有一人打卡，其中在北京故宫、西安兵马俑中至少选择个，则不同的打卡方案种数为_____． 【答案】88 【解析】 【分析】先安排再安排，根据选择北京故宫、西安兵马俑中个数，分类讨论，利用分类加法计数原理即可求解. 【详解】当只选择北京故宫、西安兵马俑中的个，且只去个景点时，有种选择， 再将其他个景点分给，，有种选择，共有种选择； 当只选择北京故宫、西安兵马俑中的个，且去个景点时，有种选择， 再将其他个景点分给，，有种选择，共有种选择； 当只选择北京故宫、西安兵马俑中的个，且去个景点时，有种选择， 再将其他个景点分给，，有种选择，共有种选择； 当选择北京故宫、西安兵马俑这个且只去个景点时， 只需将其他个景点分给，，有种选择； 当选择北京故宫、西安兵马俑且去个景点时，有种选择， 只需将其他个景点分给，，有种选择，共有种选择， 种， 故共有种不同的打卡方案． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为，且，． （1）求的通项公式： （2）若，，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用关系求通项公式即可； （2）应用裂项相消法求. 【小问1详解】 由，得， 两式相减得，则； 【小问2详解】 由（1）可知，则， 所以 . 16. 人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让教师更加重视人工智能，某校随机抽取30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表： 男教师 女教师 总计 优秀 20 10 30 非优秀 10 10 20 总计 30 20 50 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ （2）从样本中成绩优秀的30名教师中，随机抽取2人进行调研，记抽取的2人中女教师的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）不能认为这次成绩是否优秀与性别有关 （2） 0 1 2 【解析】 【分析】（1）根据题意，代入的计算公式，根据独立性检验的概念求解即可； （2）根据题意随机变量的可能取值为0，1，2，分别利用古典概型的概率公式结合组合知识计算出对应的概率，进而可解出答案. 【小问1详解】 零假设：这次成绩是否优秀与性别无关， 由列联表中的数据，可得， 因为，所以根据判断，我们可以推断成立， 即不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. 【小问2详解】 由题意得，随机变量的可能取值为0，1，2， 则；；， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 所以期望为. 17. 如图，在直三棱柱中，点在上，． （1）证明：平面； （2）若，二面角的大小为． ①求与平面所成角的正弦值； ②点在侧面内，且三棱锥的体积为，求的轨迹的长度． 【答案】（1） 在直三棱柱中，平面ABC, 因为平面，所以 又因为，，平面， 所以平面 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据直棱柱的性质及线面垂直的判定定理即可得证； （2）以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，①中求出平面的法向量，利用向量夹角得出直棱柱的高，再由线面角的向量求法求解； ②中根据三棱锥体积求出点到平面的距离，再由向量法求距离，化简可得轨迹方程，利用轨迹方程确定轨迹为线段，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①在直三棱柱中，平面，， 以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设, 设平面的法向量， 由，取，得， 所以平面的一个法向量， 又平面的法向量， 所以，解得 所以， 所以 设与平面所成角为，则 ②因为， 所以 因为三棱锥的体积为， 所以到平面的距离为 因为在侧面上，可设, 到平面的距离为， 即轨迹方程为，而, 所以在侧面上的运动轨迹是线段， 所以的轨迹长度为. 18. 已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C. （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G. （i）证明：是直角三角形； （ii）求面积的最大值. 【答案】（1）曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为； （2）（i）[方法一]【分别求得斜率的表达式利用斜率之积为即可证得题中的结论】 依题意设， 直线的斜率为，则， 所以． 又，所以， 进而有，即是直角三角形． [方法二]【利用三点共线和点差法真的斜率之积为即可证得题中的结论】 由题意设，则． 因为Q，E，G三点共线，所以， 又因为点P，G在椭圆上，所以， 两式相减得， 所以，所以． （ii） 【解析】 【分析】（1）分别求出直线AM与BM的斜率，由已知直线AM与BM的斜率之积为−，可以得到等式，化简可以求出曲线C的方程，注意直线AM与BM有斜率的条件； （2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出P，Q两点的坐标，进而求出点的坐标，求出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出的坐标，再求出直线的斜率，计算的值，就可以证明出是直角三角形； （ii）由（i）可知三点坐标，是直角三角形，求出的长，利用面积公式求出的面积，利用导数求出面积的最大值. 【详解】（1）直线的斜率为，直线的斜率为， 由题意可知：， 所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为； （2）（i）略 （ii）[方法一]【求得面积函数，然后求导确定最值】 设，则直线的方程为，联立解得 所以直线的方程为． 联立直线的方程和椭圆C的方程，可得， 则， 所以． 令，即 ． 注意到，得，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以当时，． [方法二]【利用弦长公式结合韦达定理求得面积表达式，然后求导确定最值】 设的中点为N，直线的斜率为k，则其方程为． 由解得．由（Ⅰ）得．直线的方程为，直线的方程为，联立得，． 又，从而，进而．以下同解法一． 【整体点评】(2)(i)方法一：斜率之积为是证明垂直的核心和关键； 方法二：利用三点共线和点差法使得问题的处理更加简单. (ii)导数是求最值的一种重要方法，在求最值的时候几乎所有问题都可以考虑用导数求解； 19. 给定函数，若过点恰能作曲线的条切线，则称是的“秩点”，切点的横坐标为的“秩数”. （1）若是函数的“秩点”，求其“秩数”； （2）证明：是函数的“0秩点”； （3）记使函数的“1秩数”小于0的“1秩点”构成的集合为.证明：对，，且，有. 【答案】（1）0和2 （2）证明：假设过点存在切线与函数相切，设切点为，且有， 所以切线方程为， 又切线过点，所以， 令，，则. 令，解得，，0，或， 当时，，当时，， 故在区间，，上单调递减，在区间，，上单调递增， 所以，又，， 故，故，，即方程无实数解，假设不成立. 故是的“0秩点”. （3）证明：由已知得，则曲线在点处的切线方程为. 故点当且仅当关于的方程， 即恰有一个实数解，且该解为负值. 设，则点当且仅当恰有一个零点，且该零点小于0. ①若，则在上是增函数，，要想恰有一个零点，且该零点小于0，需满足； ②若，因为，令，解得或，列表如下： 0 0 0 极大值 极小值 所以，即； ③若，同理可得，即. 综上所述，， 所以对，，若，则；若，则（）. ①当时，，所以，即. ②当时，，所以. 令，，则，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以，所以. ③当时，，所以. 令，，则，所以单调递增， 所以，所以. 综上所述，对，，且，有. 【解析】 【分析】（1）先根据导数的几何意义求出曲线在切点处的切线方程，再将点代入切线方程，通过求解方程得到切点横坐标，即可得解. （2）要证明是函数的“0秩点”， 可假设过点存在与函数相切的切线，求出切线方程， 将点代入后得到关于切点横坐标的方程，再通过研究该方程对应的函数在上是否有解，即可得证. （3）要证明对，，且，有，首先根据“1秩数”小于0的定义，再结合导数的几何意义，得到关于切点横坐标的方程，再通过研究函数的零点情况确定集合的表达式，最后分不同情况讨论，即可得证. 【小问1详解】 设切点为，由已知得，所以切线方程为， 又切线过点，将其代入切线方程得，即， 所以或2，则“秩数”为0和2. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中考试 高三数学试卷 满分：150分；考试时间：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 3. 若椭圆的焦距为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量(即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位).设开始时点P的坐标为，则5秒后点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 6. 已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 若圆：上有四个不同的点到直线的距离为3，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据，，，，，，，的第80百分位数为10 B. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 C. 已知随机变量服从正态分布，越大，则随机变量越集中 D. 若随机变量，随机变量，则 10. 定义空间两个非零向量的一种运算：，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 11. 双纽线是卡西尼卵形线的一类分支， 在数学曲线领域占有至关重要的地位， 同时也具有特殊的有价值的艺术美. 双纽线的图形轮廓像 “ ”，是许多艺术家设计作品的主要几何元素. 已知在平面直角坐标系中， ，满足 的动点 的轨迹为曲线 . 则下列结论正确的是（ ） A. 曲线 既是中心对称又是轴对称图形 B. 曲线 上满足 的点 有 2 个 C. D. 曲线 上存在四个不同的点，使曲线在该点处切线的斜率为 0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的二项展开式中，项的系数为________（结果用数值表示） 13. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，， ，则的面积为________． 14. 来自国外的博主，，三人决定来中国旅游，计划打卡北京故宫、西安兵马俑等个著名景点．他们约定每人至少选择个景点打卡，每个景点都有且仅有一人打卡，其中在北京故宫、西安兵马俑中至少选择个，则不同的打卡方案种数为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为，且，． （1）求的通项公式： （2）若，，求． 16. 人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让教师更加重视人工智能，某校随机抽取30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表： 男教师 女教师 总计 优秀 20 10 30 非优秀 10 10 20 总计 30 20 50 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ （2）从样本中成绩优秀的30名教师中，随机抽取2人进行调研，记抽取的2人中女教师的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17. 如图，在直三棱柱中，点在上，． （1）证明：平面； （2）若，二面角的大小为． ①求与平面所成角的正弦值； ②点在侧面内，且三棱锥的体积为，求的轨迹的长度． 18. 已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C. （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G. （i）证明：是直角三角形； （ii）求面积的最大值. 19. 给定函数，若过点恰能作曲线的条切线，则称是的“秩点”，切点的横坐标为的“秩数”. （1）若是函数的“秩点”，求其“秩数”； （2）证明：是函数的“0秩点”； （3）记使函数的“1秩数”小于0的“1秩点”构成的集合为.证明：对，，且，有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $