精品解析：山东省青岛市胶州市2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

2025—2026学年度第一学期阶段性检测试题 九年级数学 （考试时间：120分钟；满分120分） 说明： 1.本试题分第I卷和第II卷两部分，共24题．第I卷为选择题，共9小题，27分；第II卷为填空题、作图题、解答题，共15小题，93分． 2.所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷（共27分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在矩形中，两条对角线相交于点，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 2. ，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于的一元二次方程配方后得到，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 4. 黄金分割（比值约为）具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡美感．如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处点恰好是横画的黄金分割点（），若横画的长为，则的长为（ ）（结果保留到） A. B. C. D. 5. 若一个正方形的对角线长为，则它的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线交点上，点分别是边与网格线的交点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，为的中点，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点，则长为（ ） A. 6 B. C. 12 D. 8. 在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年主题活动中，某班级准备举办一场故事分享会，筹备组制作了张不透明的故事卡片，其中张的故事内容是关于“著名战役”，另外张的故事内容是关于“英雄人物”（卡片除故事内容外其余都相同）．活动环节，将这张卡片背面朝上洗匀，主持人从中随机抽取张，不放回，再从剩余的张中随机抽取张，抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，六边形是正六边形，四边形是正方形，是正三角形，则的度数是（ ） A. B. C. D. 第II卷（共93分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10. 已知，则的值为______． 11. 在现代汉语中，使用频率最高的汉字是“的”．在某本15万字的著作中，随机选取3000字，“的”字出现了120次，再从这本著作中随机选取一个字，这个字是“的”字的概率大约是________． 12. 纸是日常办公与学习中广泛应用的标准打印用纸．沿一张纸较长两边的中点将纸一分为二，所得的两张纸的边缘形状仍然与原来的纸相似，那么纸的长、宽之比是________． 13. 用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏，配得紫色的概率是______．（红色和蓝色配成紫色） 14. 2025年8月19日，以“追光吧⋅少年”为主题的全国新时代好少年先进事迹发布仪式在浙江宁波举行．如图是某校制作的校级“新时代好少年”优秀事迹展示板，该展示板的长为，宽为，十位同学的优秀事迹展牌是10张全等，面积均为的矩形，这10张展牌按两行五列的方式粘贴在展示板上，且相邻展牌之间以及展牌粘贴区域与展示板边缘的距离均相等，则相邻展牌间的距离为________． 15. 如图，在正方形ABCD中，，AE平分∠BAC交BC于点E，过点B作AE的垂线，垂足为G，分别交AC，CD于点H，F．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是__________（只填写序号）． 三、作图题（本题满分4分） 16. 用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图． 求作：菱形ADEF，使D、E、F分别在三角形的三边上． 四、解答题（本大题共8小题，共71分） 17. （1）解方程：； （2）解方程：； （3）解方程：； （4）若方程有两个相等的实数根，求m的值及方程的根． 18. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为．已知，求的度数． 19. 小明和小强做摸球游戏，在一个不透明的盒子中装入2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同．小明从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，小强再从中随机摸出一个球，若两人摸到的球颜色相同，则小明获胜，否则小强获胜．请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 20. 如图，在正方形中，，，分别是，的中点，过点作的垂线交的延长线于点，求的长． 21. 如图，在中，对角线与相交于点，为延长线上一点，且，为延长线上一点，且，连接，，，． （1）求证：； （2）已知__________（从以下两个条件中任选一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：平分． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 22. 2025年国家消费补贴政策已进入第四批资金冲刺阶段，覆盖家电、数码、汽车、家装等领域．在政府消费补贴政策推动下，家电市场销售持续升温．某家电商场采购一批扫地机器人进行销售，每台进货价为1200元．调查发现，当销售价为1500元时，平均每天能售出12台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出6台．商场要想使这种扫地机器人的销售利润平均每天达到4800元，每台扫地机器人的定价应为多少元？ 23. 若一个一元二次方程有两个不相等的实数根，其中一个实数根是另一个实数根的两倍，那么称这个方程是“倍根方程”．例如，关于的一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）下列方程是“倍根方程”的有______（将所有正确的序号填在横线上） ①； ②； ③； ④． （2）若关于的方程是“倍根方程”，则的值为__________； （3）若关于的方程是“倍根方程”，则的值为__________； （4）已知一元二次方程是“倍根方程”，则满足的等量关系为__________． 24. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，动点从点出发沿方向匀速运动，速度为，动点同时从点出发沿方向匀速运动，速度为，连接，设运动时间为．解答下列问题： （1）当时，求的值； （2）设四边形的面积为，求与的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期阶段性检测试题 九年级数学 （考试时间：120分钟；满分120分） 说明： 1.本试题分第I卷和第II卷两部分，共24题．第I卷为选择题，共9小题，27分；第II卷为填空题、作图题、解答题，共15小题，93分． 2.所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷（共27分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在矩形中，两条对角线相交于点，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握矩形的性质是关键． 根据矩形的性质得到，结合题意得到是等边三角形，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：D ． 2. ，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段的定义，解题的关键是根据“成比例线段的比例关系”列方程求解． 根据成比例线段的定义得，代入已知长度列方程，解出的值． 【详解】解：成比例线段的定义是：若成比例，则（或）． 已知，，，代入比例关系： 故选C 3. 已知关于的一元二次方程配方后得到，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，解题的关键是将配方后的方程展开，与原方程对比系数求的值． 先将展开为，整理成一般式，再与原方程对比，得到． 【详解】配方后得到 ， 展开得 ， 即 ， 又原方程为 ， ． 故选B 4. 黄金分割（比值约为）具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡美感．如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处点恰好是横画的黄金分割点（），若横画的长为，则的长为（ ）（结果保留到） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，把，代入求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴． 故选B． 5. 若一个正方形的对角线长为，则它的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的面积与对角线的关系，解题的关键是掌握“正方形面积等于对角线平方的一半”这一公式． 利用正方形面积与对角线的关系，代入对角线长度计算，即面积对角线． 【详解】设正方形的边长为 cm． 对角线长为 cm，且对角线 = ， ， cm． 面积 cm²． 故选A 6. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线交点上，点分别是边与网格线的交点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质及勾股定理的应用，解题关键是先利用网格与勾股定理求出的长度，再结合的条件，得到，再利用相似三角形的性质计算出的长． 【详解】解：在中，， ， ，， ， ， 即， ． 故选：． 7. 如图，在中，，，，为的中点，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点，则长为（ ） A. 6 B. C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质，解题的关键是利用直角三角形斜边中线性质和平行四边形对边相等的特点，结合勾股定理计算线段长度． 先根据直角三角形性质求出和的长度，再判定四边形为平行四边形得到的长度，最后用勾股定理计算的长度． 【详解】解：在中，，，， （对的直角边是斜边的一半）； 是中点， （直角三角形斜边中线等于斜边的一半）． 由，， 四边形是平行四边形 ，； 过点作，过作 为等腰三角形 （三线合一） 在中， 由勾股定理得 在中， ， 由勾股定理得 故选B 8. 在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年主题活动中，某班级准备举办一场故事分享会，筹备组制作了张不透明的故事卡片，其中张的故事内容是关于“著名战役”，另外张的故事内容是关于“英雄人物”（卡片除故事内容外其余都相同）．活动环节，将这张卡片背面朝上洗匀，主持人从中随机抽取张，不放回，再从剩余的张中随机抽取张，抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了树状图法求概率，用表示张的故事内容是关于“著名战役”的卡片，用表示张的故事内容是关于“英雄人物”的卡片，共有种等可能得结果，其中抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的结果数有种，然后利用概率公式即可求解，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键． 【详解】解：用表示张的故事内容是关于“著名战役”的卡片，用表示张的故事内容是关于“英雄人物”的卡片，画树状图为， 共有种等可能得结果，其中抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的结果数有种， ∴抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的概率是， 故选：． 9. 如图，六边形是正六边形，四边形是正方形，是正三角形，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角，正方形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键； 连接，，由正多边形的性质可知是正三角形，再由正方形的性质可知，，可得到，即可求解． 【详解】解：连接，， 是正三角形， ，， 六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理， ， 是正三角形， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ； 故选：C． 第II卷（共93分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10. 已知，则的值为______． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，设，，，，再把a、b、c、d代入所求式子中求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴设，，，， ∴． 故答案为：． 11. 在现代汉语中，使用频率最高的汉字是“的”．在某本15万字的著作中，随机选取3000字，“的”字出现了120次，再从这本著作中随机选取一个字，这个字是“的”字的概率大约是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，解题的关键是通过样本中“的”字出现的频率来估计总体中“的”字出现的概率． 先计算样本中“的”字出现的频率（），化简后得到的频率即为随机选取一个字是“的”字的概率． 【详解】解：在3000字的样本中，“的”字出现120次， “的”字出现的频率为． 简化分数：． 从整本书中随机选取一个字是“的”字的概率大约是． 故答案为． 12. 纸是日常办公与学习中广泛应用的标准打印用纸．沿一张纸较长两边的中点将纸一分为二，所得的两张纸的边缘形状仍然与原来的纸相似，那么纸的长、宽之比是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似的性质，二次根式的化简，理解题意，正确列式求解是关键． 设纸的长为，宽为，原的宽为，长为，由相似的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：设纸的长为，宽为， ∴原的宽为，长为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴原纸的长与宽的比为：， 故答案为： ． 13. 用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏，配得紫色的概率是______．（红色和蓝色配成紫色） 【答案】##0.5 【解析】 【分析】先画出树状图，从而可得出两个转盘转动时的所有可能结果，再找出一个为红色，一个为蓝色的结果，然后利用概率公式即可得． 【详解】解：由题意可知：第一个转盘中红色部分=蓝色部分，第二个转盘中红色部分占，蓝色部分占， 故画树状图如下： 由此可知，两个转盘转动时的所有可能结果共有6种，它们每一种出现的可能性都相等，其中，一个为红色，一个为蓝色的结果只有3种， 则配得紫色的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用列举法求概率，依据题意，正确画出树状图是解题关键． 14. 2025年8月19日，以“追光吧⋅少年”为主题的全国新时代好少年先进事迹发布仪式在浙江宁波举行．如图是某校制作的校级“新时代好少年”优秀事迹展示板，该展示板的长为，宽为，十位同学的优秀事迹展牌是10张全等，面积均为的矩形，这10张展牌按两行五列的方式粘贴在展示板上，且相邻展牌之间以及展牌粘贴区域与展示板边缘的距离均相等，则相邻展牌间的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】设相邻展牌间的距离为，利用x表示出10张全等的、面积为的矩形贴纸的总面积，并据此列方程求解即可．本题考查一元二次方程的实际运用，找准等量关系列方程是解题的关键． 【详解】解：设相邻展牌间的距离为，根据题意得 ， 解得：，（舍去）． ∴相邻展牌间的距离为． 故答案为：． 15. 如图，在正方形ABCD中，，AE平分∠BAC交BC于点E，过点B作AE的垂线，垂足为G，分别交AC，CD于点H，F．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是__________（只填写序号）． 【答案】①④##④① 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形与相似三角形的判定及性质，解题的关键是利用正方形和角平分线的性质构造全等／相似三角形，结合线段关系推导结论． （1）通过证明，推导； （2）利用正方形对角线和线段和差，结合等腰直角三角形性质求； （3）通过相似三角形的比例关系分析与的比值； （4）借助相似三角形的对应边成比例，推导的值． 【详解】解：①四边形是正方形，且边长为2， ，，， 于点， 是直角三角形， 在中，， 又， ， 在和中， ， ， 故结论①正确； ②在中，， 由勾股定理得：， 平分交于点， ， 于点， ， 在和中， ， ， ， 故结论②不正确； ③， ， ， ，， ， 故结论③不正确； ④在和中， ，， ， ， ， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①④． 故答案为：①④． 三、作图题（本题满分4分） 16. 用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图． 求作：菱形ADEF，使D、E、F分别在三角形的三边上． 【答案】 【解析】 【分析】先作∠BAC的平分线交BC于E，再作AE的垂直平分线分别交AB于D，交AC于F，则四边形ADEF为所求，然后证明四边形ADEF为平行四边形，再根据垂直平分线得出DA=DE即可． 【详解】解：作∠BAC的平分线交BC于E，再作AE的垂直平分线分别交AB于D，交AC于F，则四边形ADEF为所求， ∵AE平分∠BAC， ∴∠DAE=∠FAE， ∵DF垂直平分AE， ∴DA=DE，FA=FE， ∴∠DAE=∠DEA，∠FAE=∠FEA， ∴∠DAE=∠DEA=∠FEA=∠FAE， ∴EF∥AD，DE∥AF， ∴四边形ADEF为平行四边形， ∵AD=DE， ∴四边形ADEF为菱形． 【点睛】本题考查尺规作图，作角平分线，线段垂直平分线，菱形的判定，掌握基本作图其积性质，菱形的判定方法是解题关键． 四、解答题（本大题共8小题，共71分） 17. （1）解方程：； （2）解方程：； （3）解方程：； （4）若方程有两个相等的实数根，求m的值及方程的根． 【答案】(1)，；(2) ，；(3) ，；（4），方程的根为 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、根的判别式等知识点，灵活选择解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）直接运用因式分解法求解即可； （2）直接运用配方法求解即可； （3）先把方程写成一般式，然后再运用公式法求解即可； （4）先根据根的判别式列出关于m的方程求得m的值，然后代入方程后解方程即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ∴，； （2）， ， ， ， ∴，； （3）， ， ， ， ∴，； （4）∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴，即， 解得． 18. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为．已知，求的度数． 【答案】的度数为 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边对等角，直角三角形的两个锐角互余，掌握矩形的性质是关键． 根据矩形的性质得到，进而，根据直角三角形的两个锐角互余和等腰三角形的性质可得，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 19. 小明和小强做摸球游戏，在一个不透明的盒子中装入2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同．小明从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，小强再从中随机摸出一个球，若两人摸到的球颜色相同，则小明获胜，否则小强获胜．请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】 不公平，理由如下， 运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来如下， 红1 红2 白 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，白） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，白） 白 （白，红1） （白，红2） （白，白） ∴所有等可能结果有9种，其中颜色相同的5种，颜色不同的有4种， ∴两人摸到的球颜色相同的概率为，颜色不同的概率为， ∵， ∴游戏对双方不公平． 【解析】 【分析】本题主要考查列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来是关键． 运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，结合概率公式计算即可． 【详解】略 20. 如图，在正方形中，，，分别是，的中点，过点作的垂线交的延长线于点，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据正方形的性质得，，勾股定理得，又因为，分别是，的中点，则，再证明，把数值带入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， 则， ∵是的中点， ∴， ∵过点作的垂线交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：1． 21. 如图，在中，对角线与相交于点，为延长线上一点，且，为延长线上一点，且，连接，，，． （1）求证：； （2）已知__________（从以下两个条件中任选一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：平分． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】（1） 证明：四边形为平行四边形， ，， 又，， ， ， 在和中， ， ． （2） 条件①：四边形为矩形，证明过程如下： 四边形为平行四边形， ， ，， ，， ， 四边形为矩形． 条件②：四边形为菱形，证明过程如下： ， ， ， 四边形为平行四边形， 平分， ， ， ， ， ， 是菱形， ， ， 四边形为菱形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，以及特殊四边形（矩形、菱形）的判定，熟练掌握图形的性质与判定定理是解答本题的关键． （1）利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合已知线段关系，通过证明三角形全等得出线段相等； （2）先根据平行四边形的性质判定四边形的基本形状，再结合所选条件，利用特殊四边形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形、对角线垂直的平行四边形是菱形）确定其具体形状． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 条件①：略 条件②：略 22. 2025年国家消费补贴政策已进入第四批资金冲刺阶段，覆盖家电、数码、汽车、家装等领域．在政府消费补贴政策推动下，家电市场销售持续升温．某家电商场采购一批扫地机器人进行销售，每台进货价为1200元．调查发现，当销售价为1500元时，平均每天能售出12台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出6台．商场要想使这种扫地机器人的销售利润平均每天达到4800元，每台扫地机器人的定价应为多少元？ 【答案】1400元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程在销售利润问题中的应用，解题的关键是根据“利润=每台利润×销量”的关系，结合售价与销量的变化规律列方程． 设售价降低元，表达出实际定价、每台利润和每天销量，根据利润公式列方程，求解后得到定价． 【详解】解：设每台扫地机器人的售价降低了元（为正整数）， 则：实际定价为（）元； 每台利润为元； 每天销量为台． 由题意得 整理得 经检验，符合题意 将代入定价公式： 每台扫地机器人的定价应为1400元． 23. 若一个一元二次方程有两个不相等的实数根，其中一个实数根是另一个实数根的两倍，那么称这个方程是“倍根方程”．例如，关于的一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）下列方程是“倍根方程”的有______（将所有正确的序号填在横线上） ①； ②； ③； ④． （2）若关于的方程是“倍根方程”，则的值为__________； （3）若关于的方程是“倍根方程”，则的值为__________； （4）已知一元二次方程是“倍根方程”，则满足的等量关系为__________． 【答案】（1）①④ （2）3或12 （3）18 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程及根与系数的关系，熟练掌握解一元二次方程的方法及根与系数的关系是解题关键． （1）解题干中的一元二次方程，然后看是否符合题意即可； （2）根据题意得出和，然后分情况代入求解即可； （3）设方程的根为和，根据根与系数的关系得出，，即可得出结果； （4）设方程的根为和，根据根与系数关系得出，，即可得出结果． 【小问1详解】 解：①方程的根为和， ， 是倍根方程． ②方程的根为和， 且， 不是倍根方程． ③方程的根为和， 且， 不是倍根方程． ④方程的根为和， ， 是倍根方程． 故答案为：①④． 【小问2详解】 解：方程的根为和． ∵方程是倍根方程， ∴有两种情况： 若，则； 若，则． 故的值为 3 或 12 ． 【小问3详解】 解：设方程的根为和． 根据根与系数关系：， ， ， ， 故的值为18． 【小问4详解】 证明：设方程的根为和． 根据根与系数关系：， ， ，即， 将代入得：， ， ， ， 故满足． 24. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，动点从点出发沿方向匀速运动，速度为，动点同时从点出发沿方向匀速运动，速度为，连接，设运动时间为．解答下列问题： （1）当时，求的值； （2）设四边形的面积为，求与的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，当时，是等腰三角形 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，勾股定理得到，则，当时，，运用解直角三角形的计算列式求解即可； （2）结合（1）中的计算得到，根据，代入计算即可求解； （3）根据等腰三角形的判定和性质，结合解直角三角形的计算，分类讨论即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 在中，， ∵动点从点出发沿方向匀速运动，速度为，动点同时从点出发沿方向匀速运动，速度为，设运动时间为， ∴，则， 当时，， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：由（1）得到，，，， 如图所示，过点作于点， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴ ， ∴； 【小问3详解】 解：存在，当时，是等腰三角形，理由如下， 当时，是等腰三角形， ∴， 解得，， ∵，， ∴该种情况不符合题意，舍去； 当时，是等腰三角形， 如图所示，过点作于点， ∴， ∴，即， 解得，， ∴当时，是等腰三角形； 当时，是等腰三角形， 如图所示，过点作于点， ∴， ∴，即， 解得，，不符合题意，舍去； 综上所述，当时，是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，函数解析式的计算，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的计算，掌握以上知识，数形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $