2.2.1双曲线及其标准方程 教学设计-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

课题 2.2.1 双曲线及其标准方程 学科 数学 教材 北师大版（2019）选择性必修第一册 章节 第二章第二部分第一节 课程类型 新授 课时安排 1课时 年级 高二 教学目标及教学重点、难点 教学目标： 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程. 2.掌握双曲线的标准方程及其求法. 3.会利用双曲线解决一些简单的实际问题. 教学重、难点： 重点：双曲线的定义及其标准方程； 难点：双曲线标准方程的推导； 教材分析 本节课是高中数学北师大版（2019）选择性必修第一册第二章《圆锥曲线》中的双曲线及其标准方程，是在理解了曲线与方程的关系、应用坐标法研究了椭圆的标准方程及几何性质之后的一节课，双曲线是重要的曲线模型，本节课是双曲线的起始课，主要研究双曲线的定义及其标准方程.概念是通过实物演示点的轨迹而生成的，演示过程有利于学生理解定义中的变量和不变量.在操作、观察的过程中抽象双曲线概念的本质特征，在推导双曲线方程时，根据有关椭圆的研究经验，建系比较容易，但运算比较复杂，这是培养学生逻推理、直观想象、数学运算等素养的良好载体. 核心素养 1.数学抽象 学生能够理解双曲线的定义，即与两个定点（焦点）的距离之差的绝对值等于常数（且这个常数小于两定点之间的距离）的点的轨迹。这一过程中，学生需要抽象出双曲线的本质特征，排除非本质因素。 2. 逻辑推理 学生能够根据双曲线的定义，通过逻辑推理推导出双曲线的标准方程。这一过程需要学生具备严密的逻辑思维能力，能够准确运用数学语言进行推导。 3. 数学建模 学生能够将实际问题抽象为数学问题，建立双曲线的数学模型。根据具体问题的需求，选择合适的模型进行求解，并解释模型的结果。 教学方法和手段 教学方法：启发法、练习法、讨论法 教学手段：多媒体辅助教学 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 复习导入 教师提问：椭圆的定义及标准方程是什么？ 学生回答：与两个定点的距离之和为常数(大于两个定点间的距离)的点的轨迹是椭圆.根据焦点位置的不同，其标准方程为或 教师追问：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会是什么样的？今天就让我们带着疑问来学习新课内容--双曲线的定义及其标准方程。 通过复习导入，建立知识间的联系，为后面分析双曲线的定义和标准方程做下铺垫。 探究新知 知识点1：双曲线的定义 知识点2：双曲线的标准方程 【师生共同探究双曲线的定义】 （1） 教师出示PPT，创设情景进行演示分析。 如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，点F1到点F2的长为2c(c>0).把笔尖放在拉链开口的咬合处M，点M到点F1的距离与点M到点F2的距离之差等于2a(c>a>0). 随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖就画出一条曲线.这条曲线上的点M满足下面的条件： |MF1| - |MF2| = 2a. （2） 学生仔细观察教师的演示，同理，小组合作动手画出另一支（如图）。 这条曲线上的点M满足下面的条件： |MF2| - |MF1| = 2a. （3）教师对学生的演示进行鼓励，并说明这两条曲线合起来叫作双曲线，每一条曲线叫作双曲线的一支. 教师讲解： 双曲线的定义：平面上两个定点、的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于|F1F2|）的点的集合（或轨迹）叫作双曲线。 ①两个定点、---双曲线的焦点. ②两个焦点间的距离|F1F2|---焦距. 【师生共同探究双曲线的标准方程】 （1）教师提问：请仿照求椭圆标准方程的方法，根据双曲线的定义，并选择恰当的平面直角坐标系来求双曲线的标准方程. （2）学生回顾椭圆的标准方程的推导过程，总结出建系、设点、列式、化简四个步骤，教师与学生根据这四个步骤共同推导双曲线的标准方程。 （3）①建系：以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立坐标系. ②设点：设P(x , y)，根据双曲线的定义，可得| |PF1|-|PF2| |=2a，即|PF1|-|PF2| =±2a. ③列式： ④化简： 根据双曲线的定义可知，2c＞2a＞0,∴c2-a2＞0. 令其中b＞0. 代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2. 整理得： ① 双曲线上任意一点的坐标(x，y)都是方程①的解; 以方程①的解为坐标的点(x，y)与双曲线的两个焦点F1(-c，0)，F2(c，0)的距离之差的绝对值都为2a， 即以方程①的解为坐标的点都在双曲线上． 教师讲解：方程是双曲线的标准方程，它表示焦点在 x 轴上，两个焦点分别是 F1（- c，0），F2（c，0）的双曲线，这里 教师提问：如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分別为(0，-c)，(0，c)，那么双曲线的方程是什么？ 师生活动：教师引导学生通过类比的方法，推导焦点在y轴的双曲线的标准方程；若以两定点的连线为y轴，其垂直平分线为x轴，则双曲线的焦点在y轴上，那么双曲线的标准方程为： 教师总结归纳双曲线焦点分别在x轴和y轴的标准方程，并出示表格让学生共同巩固。 通过生动形象的演示提高了学生学习兴趣、激活学生思维、加深概念理解。使学生的注意、记忆、思维凝聚在一起，提高参与程度，为后续学习做好准备。 求曲线的方程时，学生学会建立适当的坐标系，构造数与形的桥梁，学会用解析的方法来解决问题，渗透数形结合的数学思想。 在化简方程时，让学生体会数学美中简洁性和对称性，来突破难点； 学生通过讨论，利用类比的方法来探究焦点在y轴上的双曲线标准方程 例题典析 例1、 已知双曲线的两个焦点分别是F1(-5，0)，F2(5，0)，该双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值是6，求该双曲线的标准方程. 【师生活动】 学生自主思考，根据双曲线的标准方程来完成题目，教师出示解题过程并总结求双曲线标准方程的步骤. 【解析】 解：∵双曲线的焦点在x轴上， ∴可设它的标准方程为 又c=5，a=3，∴b2=c2-a2=16. ∴所求双曲线的标准方程为 例2、 相距2km的两个哨所A，B听到远处传来的炮弹爆炸声，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4s.已知当时的声速为340m/s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程. 【师生活动】 学生分析题意，设点，再构建平面直角坐标系进行解答，教师给予帮助，并出示解题过程. 【解析】 解：设爆炸点为P，由已知，得|PA|-|PB|=340×4=1360(m). ∵|AB|=2km=2000m>1360m，|PA|＞|PB|， ∴点P在以点A，B为焦点的双曲线并靠近点B的那一支上. 以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). 由2a=1360，2c=2000，得a=680，c=1000， ∴b2=c2-a2=537600. ∴点P所在曲线是双曲线的右支，它的方程是 通过例题讲解，让学生理解怎样解决问题，提高学生解决问题的能力。 当堂练习 教师PPT出示练习题，学生自主完成，教师点评 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。 课堂总结 回顾本节课知识点，总结概括 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。 板书设计 一、引入 二、知识精讲 知识点一 ：双曲线的定义 知识点二：双曲线的标准方程 三、例题点拨-通过例题进行讲解，便于理解 四、方法总结-开拓学生解题思路 五、当堂练习 六、课堂小结 七、教学反思 教学设计反思 1. 引入方式的创新 可以设计一系列由易到难的问题链，引导学生从已知（如椭圆）出发，通过类比、猜想、验证的方式逐步探索双曲线的定义。 2. 概念理解的深化 强调双曲线定义中的“到两定点（焦点）距离之差为常数（且大于两定点间距离）”这一核心，通过图形变换、课件演示等方式帮助学生直观理解。 3. 标准方程的推导与应用 详细展示标准方程的推导过程，注意每一步的逻辑推理和数学表达，同时引导学生思考不同推导方法（如焦点在x轴、y轴上）的异同点。 应用实践：设计多样化的练习题，包括基础题、综合题和开放题，让学生在解决实际问题的过程中巩固标准方程的应用，提高解题能力。 总之，双曲线及其标准方程的教学应注重学生的主体地位，通过创新教学方法、深化概念理解、强化应用实践以及融合信息技术等手段，激发学生的学习兴趣和潜能，培养其数学素养和综合能力。 学科网（北京）股份有限公司 $