重庆市永川中学校2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

永川中学高2026届高三上期第三次调研考试（12月月考）数学试题 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. 2 D. A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 设向量，，则（   ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 4. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是（    ） A．若α⊥β，mα，nβ，则直线m与n一定平行 B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交､平行或异面 C．若m⊥α，nα，则直线m与n一定垂直 D．若mα，nβ，αβ，则直线m与n一定平行 5. 设分别是中所对边的边长，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 6. 晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术杰出代表，图1是该建筑的剖面画图.圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”．现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中为矩形，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为5m，圆心角为．已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（ ） A m2 B. m2 C. m2 D. m2 7. 定义在R上的奇函数，满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8.已知，，其中，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于正项数列，定义 为数列的“匀称值”.已知数列的“匀称值”为，的前项和为，则下列关于数列的描述正确的有（　　） A．数列为递增数列 B．数列为等比数列 C． D．记，当且仅当n=3时取最大 10. 已知的三个内角分别为，，，在线段上，且满足平分．则（ ） A. B. C. D. 11.在四边形中，，，，将沿折起，使点到达点的位置，下而正确的是（    ） A．直线与平面所成角的最大值为 B．若平面平面，则到平面的距离为 C．异面直线与所成角的余弦值取值范围 D．三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积的最小值为 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.已知实数，满足，则的最小值为________. 13.已知正方形的边长为，对角线、相交于点，动点满足，若，其中、．则的最大值为 14. 若对，恒成立，则实数的取值范围为______. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.） 15.已知圆与直线相切于坐标原点，且为圆与轴的一个交点. (1)求圆的方程； (2)求与圆相切且在坐标轴上截距相等的直线的方程. 16.如图，在等边中，分别为边上的点（不含端点），记分别为的内角的对边，且. (1)若为锐角三角形，求的取值范围； (2)若，，求面积的最大值 . 17.如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，平面，是的中点，是的中点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求证：； (3)在（2）的条件下，且平面与平面的夹角余弦值为，求四棱锥的体积． 18.已知，． (1)证明：为等差数列，并求的通项公式； (2)令，为的前项之积，求证： 19.已知函数 （1）若函数f(x)在点(1,f(1)) 处的切线过点(-1,3),求a 的值； (2)试给出a的一个整数值，使f(x) 存在唯一的极值点，并说明理由； (3)若存在 使不等式f(x)+a-b≤0 对任意的x∈(0,+∞)成立，求b 的最小值. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永川中学高2026届高三上期第三次调研考试（12月月考） 数学试题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A D B C C D D C AC ACD ABD 12. 5 13. 14. 6. 由题意可知区域和全等，且都是底面半径为5m，高为的圆柱的侧面的一部分.将区域还原到如图所示圆柱中，可知，，.由扇形的弧长公式可知，，由圆柱的侧面积公式可知，，被瓦片覆盖的区域和的总面积为. 7.令且定义域为R，则， 所以为偶函数，在上， 所以在上单调递减，结合偶函数的对称性知，其在上单调递增， 由，则，且，则， 由的零点个数等价于与的交点个数，函数大致图象如下， 其中，且该函数关于对称，在、上分别单调递减、单调递增， 显然时，在上单调递增，则时恒成立， 在上单调递减，且，所以使， 综上，与的交点横坐标有，即有3个零点. 8.令，则，故当时，，单调递增， 当时，，单调递减，因为，，所以， 又，不妨设. 解法一：记，，设，， 则在上恒成立， 所以在上单调递减，所以，， 则，又因为，，且在上单调递减， 所以，则，所以. 解法二：由，，两式相减，可得，令， 则，，，所以. 令，，则， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增，因为在上恒成立， 所以在上单调递增，则，即，所以 9.由已知可得，所以， 所以时，，得时，， 即时，，当时，，满足．所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，故B错误，该等差数列是递增数列，所以A正确，所以，所以 故，故C正确．，假设是最大项， 则有，因此数列有最大项为， 10.对于A，在中，由正弦定理可得，所以，故A正确； 对于B，因为，则，则，故B错误； 对于C，由于，，则， 由于，，则， 则， 在中，由余弦定理：，即，故C正确； 对于D，由于，则，， 由于，解得（负数舍去）； 因为在线段上，且满足平分．则在中，由等面积可得： ， 即，解得：，故D正确. 11.对于A，，，，， 且，所以直线与平面所成角的最大值为； 对于C，，，又平面， 所以平面，又，所以直线与平面的夹角为， 则直线与所成角最小角为，此时在直线上，直线与所成角最大角为，当平面平面垂直时，，平面平面，平面，平面，，所以异面直线与所成角的余弦值取值范围，故C错误； 对于B，由C知当平面平面垂直时，平面，， 平面，，，又，所以，，设到平面的距离为，则， 解得，故B正确；对于D，因为，所以为直角三角形， 外接圆半径分别为，故三棱锥外接球半径最小为2，此时球心在中点处，表面积为， 14.原式整理得，当时，在上恒成立， 令，则， 所以单调递增，故， 所以时，原不等式恒成立； 当时，易知函数在上单调递增，令得， 若原不等式在恒成立，则，解得， 此时，令，得， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增；因为， 故当时，，所以当时，原不等式在恒成立， 综上实数的取值范围为 15.（1）设圆C的标准方程为，因为圆C过点，且圆与直线相切于坐标原点，所以，，，解得，半径. 所以圆C的标准方程为； （2）当直线过原点时，由题意得直线为； 当直线不过原点时，切线方程为，则，所以，所以直线为或..所以切线的方程为或或. 16.（1）由，由正弦定理得， 又因为，所以， 因为，所以，故，解得（舍）或， 因为，所以，得， 因为为锐角三角形，所以， 故，得，所以的取值范围为. （2）因为，所以当取得最大值时，的面积取得最大值， 设，因为，所以， 在中，由正弦定理得，得， 在中，由正弦定理得，得， ，其中， 所以当时，取得最大值，所以面积的最大值为 17.（1）取的中点，连接， 在中，且，又，， 所以，，所以四边形是平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． （2）过点作的垂线，垂足为， 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面PMC，又平面，所以． 因为平面，平面，所以． 因为，平面，平面， 所以平面．又平面，所以． （3）设，过点作，以点为坐标原点，为坐标轴建空间直角坐标系， 因为，为的中点，所以， 设，，所以， ， 设平面的法向量， 取； 同理设平面的法向量， 取； 设平面与平面的夹角为， 所以，， . 18.（1）由，又由题意知，，左右同时除以得， 又因为，则，则，故是以3为首项，3为公差的等差数列， 所以，可得. （2）因为，则，所以， 令函数，求导得，所以在上单调递增，，即，取，则，于是， 所以， 则。 19 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $