精品解析：广东省江门市鹤山市纪元中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

纪元中学2025—2026学年度第一学期期中考试高一数学科试卷 考试时长：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（    ） A. B. C. D. 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，均为实数，则 4. 已知函数，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 0 5. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 设，则“且”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 若两个正实数满足且不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，若，则的取值可能是（ ） A. B. 0 C. D. 3 10. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为或 D. 11. 下列说法正确的是（    ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 若是一次函数，满足，则 C. 若，，，则 D. 函数在上的值域为，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是_________． 13. 若正实数，满足，则的最大值是______． 14. 若函数在上是单调增函数，则的取值范围是_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合. （1）求； （2）若非空集合，且，求实数的取值范围. 16. 已知函数 （1）若，求不等式的解集 （2）若关于x的不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围 17. 已知函数，其中a，b为常数，且，． （1）求a，b的值； （2）利用单调性的定义证明函数在区间上是减函数； （3）求函数在区间上的最大值和最小值． 18. 给定函数 用表示，中的较大者，即， （1）请用图象法表示函数，注：画出： 上的图象即可； （2）写出函数的单调区间和值域； （3）若，求的取值范围. 19. 一家货物公司计划租地建造仓库存储货物，经过市场调查了解到下列信息：每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比；每月土地占地费用（单位：万元）与（单位：km）成反比，当在距离车站5km处建仓库时，和的费用分别为1万元和8万元． （1）若使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过7.2万元，则仓库到车站的距离（单位：km）应该在什么范围？ （2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使得两项费用之和最小？并求出最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 纪元中学2025—2026学年度第一学期期中考试高一数学科试卷 考试时长：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，由条件结合交集的定义求结论. 【详解】因为，又， 所以， 故选：D. 2. 命题“”的否定是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】由全称命题与存在性命题的关系，可得命题的否定为：. 故选：C. 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，均为实数，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值判断AC；作差推理判断BD. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，由，得，，B错误； 对于C，当时，满足，，而，C错误； 对于D，由， 得，D正确. 故选：D． 4. 已知函数，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】代入分段函数解析式计算即可得出结果. 【详解】易知， 所以. 故选：B. 5. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由两个函数定义域相同且对应关系相同，则这两个函数相同，进而判断各选项的正误. 【详解】A：的定义域为，的定义域为，则A错误； B：的定义域为的定义域为，则B错误； C：和的定义域均为，且，则C正确； D：的定义域为的定义域为，则D错误. 故选：C 6. 设，则“且”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质及充分不必要的定义判断即可. 【详解】且，则， 但，不能推出且， 例如：，满足，但. 故选：. 7. 若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由参数范围知，根据一元二次不等式的解法，求解集即可. 【详解】由知：， 由题意，知：，可得. 故选：B 8. 若两个正实数满足且不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】将代数式变形后与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为正实数、满足，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为不等式有解，则，即， 即，解得或. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，若，则的取值可能是（ ） A. B. 0 C. D. 3 【答案】ABC 【解析】 【分析】按照和分类讨论，利用集合关系列方程求解即可. 【详解】，，当时，，符合题意； 当时，因为，，所以或，得或． 故选：ABC 10. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为或 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题中不等式取两边且是大于等于号判断二次函数的开口方向，即可判断选项A；根据题意由韦达定理可得，代入不等式，根据即可判断选项B；根据，代入不等式求解，即可判断选项C；根据，代入不等式，根据即可判断选项D. 【详解】关于的不等式的解集为， 所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确； 且方程的两根为、4， 由韦达定理得，解得. 对于B，，由于，所以， 所以不等式的解集为，故B不正确； 对于C，因为，所以，即， 所以，解得或， 所以不等式的解集为或，故C正确； 对于D，，故D不正确. 故选：AC. 11. 下列说法正确的是（    ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 若是一次函数，满足，则 C. 若，，，则 D. 函数在上的值域为，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用抽象函数定义域计算判断A，应用待定系数法求解析式判断B，应用基本不等式结合一元二次不等式计算判断C，应用二次函数值域判断D. 【详解】对于A，的定义域为，，解得，则的定义域为，故A正确； 对于B，因为是一次函数，设， 则，可得， 解得或，所以或，故B错误； 对于C选项，因为，由基本不等式可得， 即，因为，解得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立，故C正确； 对于D，，其图象开口向下，对称轴为，，， 又函数在上的值域为，所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分母不为，偶次方根的被开方数非负及零指数幂的底数不为得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数，则，解得且， 所以函数的定义域是. 故答案为： 13. 若正实数，满足，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求最大值. 【详解】因为正实数，满足， 可由基本不等式可得：， 当且仅当取等号， 所以的最大值是， 故答案为： 14. 若函数在上是单调增函数，则的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】配方得函数的顶点式，得对称轴，从而求出参数的范围． 【详解】解：∵， 且函数在上是单调增函数， ∴，则， 故答案为： 【点睛】本题主要考查二次函数的单调性，开口方向和对称轴是关键． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合. （1）求； （2）若非空集合，且，求实数的取值范围. 【答案】（1），或. （2） 【解析】 【分析】（1）利用集合的交并补定义，即可得出答案； （2）等价于，再由集合的包含关系与集合非空，即可列出不等式组，解出答案. 【小问1详解】 ； ， 或. 【小问2详解】 已知集合非空，且， 所以满足， . 16. 已知函数 （1）若，求不等式的解集 （2）若关于x的不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得，然后解一元二次不等式即可； （2）按照和分类讨论，利用判别式法列不等式组求解即可. 【小问1详解】 时，， 因为，所以， 即，因为，所以不等式的解集为； 【小问2详解】 当时，恒成立，满足题意； 当时，由题意得，解得； 综上所述，， 即实数m的取值范围是 17. 已知函数，其中a，b为常数，且，． （1）求a，b的值； （2）利用单调性的定义证明函数在区间上是减函数； （3）求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1）； （2） 由（1）得，任取， 则， 由，得，，， 则，即， 所以函数在区间上是减函数. （3）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出方程组求解即得. （2）利用减函数的定义推理得证. （3）利用（2）的结论，求出函数在指定区间上的最值. 【小问1详解】 函数，由，得，解得， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得函数在区间上是减函数， 则当时，，当时，， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 18. 给定函数 用表示，中的较大者，即， （1）请用图象法表示函数，注：画出： 上的图象即可； （2）写出函数的单调区间和值域； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2）的单调递减区间为：，单调递增区间为：，值域为：. （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的解析式，画出分段函数的图象即可； （2）由图象直接写出单调区间及值域即可； （3）分类讨论求解不等式的解集即可. 【小问1详解】 由，解得， 由，解得或， 所以时，， 所以画出图象如图所示： 【小问2详解】 ， 由图可知的单调递减区间为：，单调递增区间为：， 值域为：. 【小问3详解】 当时，， 解得； 当或时，， 解得， 综上：的取值范围为： 19. 一家货物公司计划租地建造仓库存储货物，经过市场调查了解到下列信息：每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比；每月土地占地费用（单位：万元）与（单位：km）成反比，当在距离车站5km处建仓库时，和的费用分别为1万元和8万元． （1）若使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过7.2万元，则仓库到车站的距离（单位：km）应该在什么范围？ （2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使得两项费用之和最小？并求出最小值． 【答案】（1） （2）15km，最小值为7万元． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再由题意列不等式求解； （2）利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 设，， 由题知：当时，和的费用分别为1万元和8万元， 即，，解得，， 所以，． 若使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过7.2万元， 即，解得， 所以若使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过7.2万元， 则仓库到车站的距离的取值范围为（单位：km）． 【小问2详解】 由， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以仓库到车站的距离为15km时，两项费用之和最小，最小值为7万元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $