精品解析：河北省承德市九校联考2025-2026学年高三上学期11月期中数学试题

2026届高三年级上学期中调研考试数学 本试卷共19题，满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合中不等式的解集，然后根据交集的定义进行计算即可. 【详解】因为， ， 所以. 故选：B. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断得解. 【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求的否定是. 故选：C 3. 已知两个线性相关变量x与y的统计数据如下表： x 3 4 5 6 7 y 2.4 m 4 4.6 5.2 其经验回归方程为 则m=（ ） A. 2.8 B. 3 C. 3.2 D. 3.4 【答案】A 【解析】 【分析】利用经验回归方程经过求出. 【详解】，，经验回归方程经过点， 所以，解得. 故选：A. 4. 若点为函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正切函数的性质求出函数图象的对称中心，再求出最小值. 【详解】由，得， 因此函数图象的对称中心为， 而，则，， 所以的最小值为. 故选：D 5. 已知函数，则f(x)的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，令，得，利用基本不等式即可求解. 【详解】由， 令，得，， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以，当时，即时，等号成立， 故选：B. 6. 在△ABC中，点 D 为BC的中点，若 则 （ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题干信息得到，，对进行化简求值，再根据，即可得到答案. 【详解】因为点为的中点，所以， 又， 则， 又，则. 故选：B. 7. 已知正三棱锥的底面边长是高的倍，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，作出与平面所成的角，再利用余弦定理求解即得. 【详解】在正三棱锥中，令底面正的中心为，连接，连并延长交于，连接， 则平面，，而平面， 因此平面，而平面，则平面平面， 又平面平面，于是直线在平面内的射影为直线， 则是与平面所成的角，令，则， ，由，得， 在中，由余弦定理得， 所以与平面所成角的正弦值为. 故选：D 8. 已知且，若函数的图象与的图象在第一象限恰好有两个不同的交点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将两个图象交点问题转化为方程有两个不等正根求解，再取对数构造函数，利用导数分析求解. 【详解】由函数的图象与的图象在第一象限恰好有两个不同的交点， 得方程有两个不等正根， 令函数，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为， 当时，，直线与函数的图象只有一个交点， 方程只有1个解，不符合题意； 当时，，直线与函数的图象有两个交点， 方程在内各有1个解，则； 当时，，方程只有1个解，不符合题意； 当时，，直线与函数的图象有两个交点， 方程在内各有1个解，则， 所以实数a的取值范围为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，其中为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 是z为纯虚数的充要条件 C. 若，则 D. 若，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数的除法求出，再逐项求解判断. 【详解】复数，， 对于A，由，得，则，A正确； 对于B，当时，是纯虚数，B错误； 对于C，，则，C正确； 对于D，由，得，则， 当且仅当时取等号，，因此的最大值为. 故选：ACD 10. 某校高一、高二、高三3个年级的学生人数分别占该校学生总人数的40%，30%，30%，其中高一、高二、高三3个年级眼睛近视的学生人数分别占各自年级人数的60%，70%，80%，现从该校学生中随机调查一名学生，则下列结论正确的有（ ） A. 该学生的眼睛近视的概率为0.69 B. 该学生是高三年级且眼睛近视的概率为0.8 C. 如果该学生是高二年级，那么该学生的眼睛不近视的概率为0.3 D. 如果该学生的眼睛近视，那么该学生不是高一年级的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据概率乘法公式及对立事件的概率对选项逐一分析即可. 【详解】对于：该学生的眼睛近视的概率为，故正确； 对于：该学生是高三年级且眼睛近视的概率为，故错误； 对于：如果该学生是高二年级，那么该学生的眼睛不近视的概率为，故正确； 对于：如果该学生的眼睛近视，那么该学生不是高一年级的概率为，故错误. 故选：AC. 11. 已知直线与抛物线交于不同的两点为抛物线的焦点，点是抛物线上异于的一点，弦的中点为，则（ ） A. 点的坐标为 B. 当时，点在抛物线上 C. 若，则m的取值范围为 D. 若，则△ABC 面积的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用抛物线的方程可判断；联立直线与抛物线的方程，得到一元二次方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式得到的坐标，进而可判断；由可求出点的坐标，根据点在抛物线上得到，再结合根的判别式可求出的取值范围，进而可判断；由得，利用弦长公式、点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式得到面积的表达式，构造函数，利用导数求解函数的最大值，进而得到的最大值，即可判断. 【详解】对于：由得，故点的坐标为，故错误； 对于：设， 由，得， 所以，， 则， 故， 当时，，显然在抛物线上，故正确； 对于：设，由得， 故，又， 所以，故，则， 由，得， 又因为点是抛物线上异于的一点， 当时，点与点或点重合，所以， 所以，故错误； 对于：由易得不重合， 连接，则， ， 令， 则， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 故面积的最大值为，故正确. 故选：. 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的一条渐近线为，则的值为________. 【答案】16 【解析】 【分析】求出渐近线的方程为即可求解. 【详解】由题意得，， 双曲线的渐近线方程为，又渐近线方程为， 所以，故. 故答案为：16. 13. 若函数 (其中)在上单调递增，则实数a的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性列式求解即可. 【详解】当时，在上单调递增，但，不符合题意， 当时，由题可得，解得. 故答案为： 14. 现有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片各4张，有放回地抽取4次，每次抽一张，则4次抽取的卡片颜色种数X的数学期望为________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定的可能取值，分别计算每个取值的概率，再根据数学期望公式计算. 【详解】由题意知，四次抽取的卡片颜色种数的所有可能取值为， 当，即次抽取的卡片颜色相同，故， 当，即次抽取到种不同颜色的卡片，故， 当，即次抽取到种不同颜色的卡片，故， 当，即次抽取到的卡片颜色均不同，故， 所以四次抽取的卡片颜色种数的数学期望. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知中，角的对边分别是，且. （1）证明：成等差数列; （2）若为锐角三角形且，求c 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式推理得证. （2）利用正弦定理，结合差角的正弦公式及锐角三角形条件，借助正切函数求出范围. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理， 得， 整理得，而，因此，而， 则，，所以成等差数列. 【小问2详解】 由（1）知，由锐角，得，则， 由正弦定理得， 而，则，， 所以c 的取值范围. 16. 如图，圆锥CO 的底面直径，其侧面展开图为半圆，AD 是底面圆的一条弦. （1）当时，证明：； （2）若二面角的余弦值为求AD. 【答案】（1） 在圆锥中，连接，平面，平面，则， 而，平面，因此平面， 又平面，则，而是圆的圆心，所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定、性质，圆锥的结构特征推理得证. （2）由已知求出母线长，再作出二面角的平面角，利用直角三角形边角关系求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由圆锥CO的侧面展开图为半圆，得，则，， 取中点，连接，而，则， 是二面角的平面角，即，， 而，因此， 所以. 17. 已知数列 的前n项和为 ，且满足 . （1）求数列 的通项公式； （2）已知函数 ，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入等式得到，然后利用累乘法求出，进而得到数列的通项公式. （2）先求出的表达式，然后求导，利用裂项相消法求出结果即可. 【小问1详解】 因为，， 所以当时，，化简得， 所以，利用累乘法，， 将代入得. 所以当时，. 当时，符合上式，所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 因为，求导得 . 所以 18. 已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）若为椭圆上的动点，求的取值范围; （3）若点在椭圆上，点在直线上，且 (O为坐标原点)，判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论. 【答案】（1） （2） （3）直线与圆相切，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出，再根据的关系及椭圆的标准方程求解即可； （2）将取值范围问题转化为直线与椭圆有公共点问题，联立方程，结合判别式求的取值范围即可； （3）设点到直线的距离为，则，根据点在椭圆上化简前者可得，故直线与圆相切. 【小问1详解】 由题可得，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 令，则直线与椭圆有公共点， 由，得， 则，解得， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 设，若，则， 此时即为轴，此时不在直线上，舍； 若，则，此时，故，， 设到的距离为，则， 故，此时直线与圆相切. 若，则直线，故， 故直线，故， 故，， 故， 而，故，故 故即，故直线与圆相切. 19. 已知函数 （1）当m=3时，求f(x)在 上的最大值； （2）当m=2时，解不等式 （3）当m=2时，不等式在 上恒成立，求整数a的最大值.(参考数据：1 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）求导，利用两角和差的余弦公式进行化简，讨论单调性即可求得最大值； （2）构造函数，求导得出单调性，再结合即可解不等式； （3）先由时原不等式成立，代入得出，再证明时成立即可，其中时，利用三角函数的符号来证明，时，构造函数求导来证明. 【小问1详解】 当m=3时，， ， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以. 【小问2详解】 当m=2时, , 不等式即， 设， ， 则单调递减， 又因为， 所以的解集为， 即原不等式的解集为. 【小问3详解】 由题意，在 上恒成立， 当时，代入可得，则， 当时，代入可得显然成立， 当时，当时，，， 成立， 当时，， 设， 则， 单调递增，， 所以成立， 综上整数a的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三年级上学期中调研考试数学 本试卷共19题，满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 已知两个线性相关变量x与y的统计数据如下表： x 3 4 5 6 7 y 2.4 m 4 4.6 5.2 其经验回归方程为 则m=（ ） A. 2.8 B. 3 C. 3.2 D. 3.4 4. 若点为函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则f(x)的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 6. 在△ABC中，点 D 为BC的中点，若 则 （ ） A. B. 3 C. D. 2 7. 已知正三棱锥的底面边长是高的倍，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知且，若函数的图象与的图象在第一象限恰好有两个不同的交点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，其中为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 是z为纯虚数的充要条件 C. 若，则 D. 若，则的最大值为 10. 某校高一、高二、高三3个年级的学生人数分别占该校学生总人数的40%，30%，30%，其中高一、高二、高三3个年级眼睛近视的学生人数分别占各自年级人数的60%，70%，80%，现从该校学生中随机调查一名学生，则下列结论正确的有（ ） A. 该学生的眼睛近视的概率为0.69 B. 该学生是高三年级且眼睛近视的概率为0.8 C. 如果该学生是高二年级，那么该学生的眼睛不近视的概率为0.3 D. 如果该学生的眼睛近视，那么该学生不是高一年级的概率为 11. 已知直线与抛物线交于不同的两点为抛物线的焦点，点是抛物线上异于的一点，弦的中点为，则（ ） A. 点的坐标为 B. 当时，点在抛物线上 C. 若，则m的取值范围为 D. 若，则△ABC 面积的最大值为 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的一条渐近线为，则的值为________. 13. 若函数 (其中)在上单调递增，则实数a的取值范围为________. 14. 现有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片各4张，有放回地抽取4次，每次抽一张，则4次抽取的卡片颜色种数X的数学期望为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知中，角的对边分别是，且. （1）证明：成等差数列; （2）若为锐角三角形且，求c 的取值范围. 16. 如图，圆锥CO 的底面直径，其侧面展开图为半圆，AD 是底面圆的一条弦. （1）当时，证明：； （2）若二面角的余弦值为求AD. 17. 已知数列 的前n项和为 ，且满足 . （1）求数列 的通项公式； （2）已知函数 ，求. 18. 已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）若为椭圆上的动点，求的取值范围; （3）若点在椭圆上，点在直线上，且 (O为坐标原点)，判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论. 19. 已知函数 （1）当m=3时，求f(x)在 上的最大值； （2）当m=2时，解不等式 （3）当m=2时，不等式在 上恒成立，求整数a的最大值.(参考数据：1 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $