精品解析：内蒙古敖汉旗新惠第六中学（蒙古族中学）2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年度高二上学期期中数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 为了了解所加工的一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，则200个零件的长度是 A. 总体 B. 个体 C. 总体的一个样本 D. 样本容量 2. 在斜三棱柱中，（ ） A. B. C. D. 3. 从装有2个白球和3个红球的袋子中任取2个球，则（ ） A. “都是红球”与“都是白球”是互斥事件 B. “至少有一个红球”与“都是白球”是对立事件 C. “恰有一个白球”与“恰有一个红球”是互斥事件 D. “至少有一个红球”与“至少有一个白球”是互斥事件 4. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 从中任取2个不同的数，则的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，若，则的值为（　　） A. 1 B. C. D. 7. 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为（ ） A. 2 B. 0 C. D. 1 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 给定一组数据5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则这组数据的（　　） A. 平均数为3 B. 标准差为 C. 众数为2和3 D. 中位数为3 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛场，甲胜场 B. 某医院治疗一种疾病的治愈率为，前个病人没有治愈，则第个病人一定治愈 C. 随机试验的频率与概率相等 D. 用某种药物对患有胃溃疡的名病人治疗，结果有人有明显疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其会有明显疗效的可能性为 11. 利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的件产品，其中一等品有件，合格品有件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件为“是一等品”， 为“是合格品”， 为“是不合格品”，则下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，三点共线，则__________. 13. 数据的分位数是__________，分位数是__________. 14. 已知某一段公路限速70千米/时，现抽取400辆通过这一段公路的汽车的速度，其频率分布直方图如图所示，则这400辆汽车中在该路段超速的有________辆. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某单位有A，B两条生产线生产同一种产品．为了了解两条生产线产品质量的稳定性，要在两条生产线的产品中抽取一定数量的样品进行调查．每次在两条生产线的产品中各抽取100个样品，共抽取五次．已知在五次抽取中，A，B两条生产线合格产品的数量如下表： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 A 91 89 93 95 92 B 94 91 87 92 96 （1）分别计算五次抽取的样品中两条生产线合格产品数量的平均数； （2）试通过计算方差，说明哪条生产线的产品质量更为稳定． 16. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率. 17. 在棱长为1的正方体中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点． （1）求点B到直线AC1的距离； （2）求直线FC到平面AEC1的距离． 18. 2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50）、[50，60）、[60，70）、、[90，100]，统计结果如图所示： （1）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）； （2）试估计这100名学生得分的中位数（结果保留两位小数）； （3）现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，试求两组各有一人被抽取的概率. 19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二上学期期中数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 为了了解所加工的一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，则200个零件的长度是 A. 总体 B. 个体 C. 总体的一个样本 D. 样本容量 【答案】C 【解析】 【分析】根据样本概念得到结果即可. 【详解】由样本的概念，知这200个零件的长度是总体的一个样本． 【点睛】一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本()，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本． 2. 在斜三棱柱中，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用空间向量的线性运算即可解. 【详解】三棱柱中，. 故选：C. 3. 从装有2个白球和3个红球的袋子中任取2个球，则（ ） A. “都是红球”与“都是白球”是互斥事件 B. “至少有一个红球”与“都是白球”是对立事件 C. “恰有一个白球”与“恰有一个红球”是互斥事件 D. “至少有一个红球”与“至少有一个白球”是互斥事件 【答案】AB 【解析】 【分析】根据互斥事件与对立事件的定义辨析即可 【详解】“都是红球”与“都是白球”不能同时发生，是互斥事件，A对； “至少有一个红球”与“都是白球”不能同时发生，且必有一个发生，是对立事件，B对； “恰有一个白球”与“恰有一个红球”能够同时发生（如1红1白），不是互斥事件，C错； “至少有一个红球”与“至少有一个白球” 能够同时发生（如1红1白），不是互斥事件，D错 故选：AB. 4. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 5. 从中任取2个不同的数，则的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列举从中任取2个不同的数的所有结果，共6个基本事件，符合条件的共2个基本事件，结合古典概型计算结果． 【详解】从中任取2个不同的数，共有个基本事件，取出的2个数之差的绝对值为4有个基本事件，所以所求概率为 故选：B． 6. 已知向量，，若，则的值为（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量数量积运算律与空间向量数量积的坐标运算公式计算即可求出的值. 【详解】由已知得，， 且， 由得，， 即，解得 故选：D 7. 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作图，找到直线在平面上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之间的关系，继而得到线面角；也可将三条射线截取出来放在正方体中进行分析. 【详解】解法一： 如图，设直线在平面的射影为， 作于点G，于点H，连接， 易得，又平面，则平面，又平面，则， 有 故． 已知， 故为所求． 解法二： 如图所示，把放在正方体中，的夹角均为． 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则， 所以， 设平面的法向量，则 令，则，所以， 所以． 设直线与平面所成角为，所以， 所以． 故选B． 8. 已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为（ ） A. 2 B. 0 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的共面定理计算即可. 【详解】由题意可知四点共面，且， 则，所以实数的值为1. 故选：D 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 给定一组数据5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则这组数据的（　　） A. 平均数为3 B. 标准差为 C. 众数为2和3 D. 中位数为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据几个数的平均数、众数、中位数、标准差的定义直接计算即可. 【详解】平均数为； 众数为2和3； 标准差为； 中位数为． 故选：ACD． 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛场，甲胜场 B. 某医院治疗一种疾病的治愈率为，前个病人没有治愈，则第个病人一定治愈 C. 随机试验的频率与概率相等 D. 用某种药物对患有胃溃疡的名病人治疗，结果有人有明显疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其会有明显疗效的可能性为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据概率和频率的概念即可判断答案. 【详解】概率只是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性，则A，B是错的.频率受试验次数的影响，不稳定，但当试验次数较多时频率会稳定在概率附近，则C错误，D正确. 故选：ABC. 11. 利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的件产品，其中一等品有件，合格品有件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件为“是一等品”， 为“是合格品”， 为“是不合格品”，则下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】依题意可得、、为互斥事件，即可判断B、C，再根据古典概型的概率公式得到、、，即可判断A，最后根据和事件的概率公式判断D； 【详解】解：由题意知、、为互斥事件，∴，故B正确、C错误； ∵从件中抽取产品符合古典概型的条件，∴、、， 则，∴A、D正确， 故选：ABD. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，三点共线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标运算求解即可. 【详解】由，，可得：，, 因为，，三点共线， 所以， 即，解得， 所以， 故答案为： 13. 数据的分位数是__________，分位数是__________. 【答案】 ①. ; ②. . 【解析】 【分析】利用百分位数的概念求解即可. 【详解】数据 按从小到大排列为： 由于共有12个数据，所以， 故分位数是， 分位数是， 故答案为：. 14. 已知某一段公路限速70千米/时，现抽取400辆通过这一段公路的汽车的速度，其频率分布直方图如图所示，则这400辆汽车中在该路段超速的有________辆. 【答案】80 【解析】 【分析】先求得区间对应的频率，由此计算出频数. 【详解】速度在[70，80]之间的频率为 1－(0.01×10＋0.03×10＋0.04×10)＝0.2， ∴在[70，80]内的频数为0.2×400＝80. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某单位有A，B两条生产线生产同一种产品．为了了解两条生产线产品质量的稳定性，要在两条生产线的产品中抽取一定数量的样品进行调查．每次在两条生产线的产品中各抽取100个样品，共抽取五次．已知在五次抽取中，A，B两条生产线合格产品的数量如下表： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 A 91 89 93 95 92 B 94 91 87 92 96 （1）分别计算五次抽取的样品中两条生产线合格产品数量的平均数； （2）试通过计算方差，说明哪条生产线的产品质量更为稳定． 【答案】（1）生产线合格产品数量的平均数均为； （2），生产线产品质量更为稳定. 【解析】 【分析】（1）根据已知数据，结合平均数的计算公式，直接求解即可； （2）根据（1）中所求平均数，结合方差的计算公式，直接求解并进行比较即可. 【小问1详解】 根据抽样数据可知： 生产线合格产品数量的平均数为， 生产线合格产品数量的平均数为. 【小问2详解】 生产线合格产品数量的方差： ， 生产线合格产品数量的方差： ， 因为，故生产线的产品质量更为稳定. 16. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率. 【答案】 【解析】 【分析】 两轮活动猜对3个成语,相当于事件“甲猜对1个,乙猜对2个”、事件“甲猜对2个,乙猜对1个”的和事件发生,根据独立事件概率求法,即可得解. 【详解】设分别表示甲两轮猜对1个,2个成语的事件,分别表示乙两轮猜对1个,2个成语的事件.根据独立事件的性质,可得 设A=“两轮活动‘星队’猜对3个成语”,则,且与互斥,与,与分别相互独立,所以 因此,“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是. 【点睛】本题考查了独立事件概率的求法,互斥事件中的求和应用,属于基础题. 17. 在棱长为1的正方体中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点． （1）求点B到直线AC1的距离； （2）求直线FC到平面AEC1的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间坐标系，用向量法求解即可； （2）用向量法求解即可 【小问1详解】 以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间坐标系， 则，，，，，， ∴，，，，，， 取，， ， 则点B到直线AC1的距离为； 【小问2详解】 ∵， ∴， 而平面，平面， ∴平面， ∴点到平面的距离即为直线到平面的距离， 设平面的法向量为，则， ∴， ∴，取，则，， ∴， 又， ∴点到平面的距离为. 【点睛】 18. 2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50）、[50，60）、[60，70）、、[90，100]，统计结果如图所示： （1）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）； （2）试估计这100名学生得分的中位数（结果保留两位小数）； （3）现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，试求两组各有一人被抽取的概率. 【答案】（1）70.5 （2）71.67 （3）0.6 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数计算公式可得； （2）根据频率分布直方图中中位数计算公式可得； （3）先计算每个分组中的人数，再根据分层抽样的方法选出[80，90）中3人和[90，100]中2人，再计算两组各有一人被抽取的概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数 【小问2详解】 因为成绩在[40，70)的频率为0.45，成绩在[70，80)的频率为0.3，所以中位数为 【小问3详解】 在[80，90）和[90，100]两组中的人数分别为和人，故在[80，90）分组中抽取的人数为人，故在[90，100]分组中抽取的人数为2人，两组各有一人被抽取的概率为. 19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 【答案】（1） 因为底面，，底面， 所以，， 又底面是正方形，所以， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 设． 依题意得，，，． 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则有 即取，则， 因为平面，因此平面． （2） 依题意得， 因为， 所以． 由已知，且，平面， 所以平面． （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，由证明； （2）由，结合，利用线面垂直的判定定理证明； （3）求得平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为，由求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意得，且，． 设平面的一个法向量为， 则 即，取． 易知平面的一个法向量为， 所以． 所以平面与平面的夹角为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $