精品解析：广东省广州市广雅学校2025-2026学年七年级上学期数学周练二（第二章 有理数的运算）

2025学年七年级上学期数学素养练2 第二章：有理数的运算 一．单选题（每小题3分，共30分） 1. 在－1，12，—20，0，－（－5），+（－π），－中，负数的个数有 （ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 计算，运算中运用的运算律为（ ）． A. 乘法交换律 B. 乘法分配律 C. 乘法结合律 D. 乘法交换律和乘法结合律 3. 若a是最小的正整数，b是最大的负整数，则－a+b的值为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. -2 4. 下列各组数中，相等的一组是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 5. a、b是有理数，下列各式中成立的是( ) A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 我国第十四个五年规划和2035年远景目标纲要中阐释了“坚持农业农村优先发展，全面推进乡村振兴”的具体目标：坚持最严格的耕地保护制度，实施高标准农田建设工程，建成10.75亿亩集中连片高标准农田，下列关于10.75亿的说法正确的是（ ） A. 10.75亿是精确到亿位 B. 10.75亿是精确到十亿位 C. 10.75亿用科学记数法表示，则a=1.075，n=9 D. 10.75亿用科学记数法表示为，则a=10.75，n=8 7. 《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”这句话意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第10天截取后木棍剩余的长度是（ ） A. B. C. D. 8. 若a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为2，则的值为（ ） A. 1 B. 1或 C. D. 或 9. 下列结论：①一个数和它的倒数相等，则这个数是±1和0；②若﹣1＜m＜0，则m＜m2＜；③若a+b＜0，且＞0，则|5a+2b|＝﹣5a﹣2b；④若m是有理数，则|m|+m是非负数；⑤若c＜0＜a＜b，则（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0；其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 已知，，的积为负数，和为正数，且，则的值为(　　) A. B. ，2 C. ，， D. ，，， 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 近似数7.03×106精确到____位． 12. 比较大小___．（填“”，“ ”或“” ） 13. 若a为有理数，则为___________． 14. 若a为有理数，数轴上表示a与的点之间（不包含a与）共有2021个整数点，求a的取值范围___________． 15. 已知为任意有理数，则的最小值为______． 16. 把有理数a代入得到，称为第一次操作，再将作为a的值代入得到，称为第二次操作，…，若，经过第次操作后得到的是__________． 三．解答题 17 计算： （1）； （2）． 18. 如果用符号“”规定一种新运算：，求的值． 19. 某个体商人小王购进一批货物进行销售，卖出货物时的价格（售价）与购进货物价格（进价）有一定的差距（高于进价用正数表示，低于进价用负数表示），情况如下表： 售价与进价之差（元） 货物件数 （1）如果不考虑其它的因素，问小王卖出这批货物是盈利是亏了？ （2）如果考虑每件货物的其他成本为元，小王是盈利是亏了？盈、亏的数目是多少？ 20. 观察下面三行数： ① 2， －4， 8， －16， 32， －64 ……； ② 3， －3， 9， －15， 33， －63 ……； ③ －1， 2， ﹣4， 8， －16， 32 ……； 取每一行第n个数，依次记为x、y、z．如上图中，当n＝2时，x＝－4，y＝－3，z＝2 （1） 当n＝7时，请直接写出x、y、z的值，并求这三个数中最大的数与最小的数的差 （2） 已知n为偶数，且x、y、z这三个数中最大的数与最小的数的差为384，求n的值 （3） 若m＝x＋y＋z，则x、y、z这三个数中最大的数与最小的数的差为_________（用含m的式子表示） 21. 如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形的长是个单位长度，长方形的长是个单位长度，点在数轴上表示的数是，且、两点之间的距离为个单位长度．若，回答下列问题． （1）填空：点在数轴上表示的数是________；点在数轴上表示的数是_______； （2）若线段的中点为，线段上一点，，点以每秒个单位的速度向右匀速运动，点以每秒个单位长度的速度同时向左匀速运动，经过几秒后，有． （3）若长方形以每秒个单位的速度向右匀速运动，长方形固定不动，当两个长方形重叠部分的面积为时，求长方形运动的时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年七年级上学期数学素养练2 第二章：有理数的运算 一．单选题（每小题3分，共30分） 1. 在－1，12，—20，0，－（－5），+（－π），－中，负数的个数有 （ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】负数就是小于0的数，依据定义即可求解． 【详解】解：-（-5）=5，+（-π）=-π，-=-2， 在-1，12，-20，0，-（-5），+（-π），-中， 负数有-1，-20，+（-π），-共4个， 故选C． 【点睛】此题考查了正数与负数，判断一个数是正数还是负数，要把它化简成最后形式再判断是解答此题的关键． 2. 计算，运算中运用的运算律为（ ）． A. 乘法交换律 B. 乘法分配律 C. 乘法结合律 D. 乘法交换律和乘法结合律 【答案】D 【解析】 【分析】解答时，运用了乘法交换律和乘法结合律． 【详解】∵运用的运算律为乘法交换律和乘法结合律， 故选D． 【点睛】本题考查了用运算律进行有理运算，熟练掌握运算律的使用规律是解题的关键． 3. 若a是最小的正整数，b是最大的负整数，则－a+b的值为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. -2 【答案】D 【解析】 【分析】根据a是最小的正整数，b是最大的负整数，可得：a=1，b=-1，据此求出-a+b的值为多少即可． 【详解】解：∵a是最小的正整数，b是最大的负整数， ∴a=1，b=-1， ∴-a+b=-1+（-1）=-2． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数的加法运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确最小的正整数和最大的负整数是多少． 4. 下列各组数中，相等的一组是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数的乘方运算，绝对值，相反数，先根据有理数的乘方运算，绝对值化简各个数字，再比较大小即可． 【详解】解：A．，，∴，故此选项不符合题意； B．∵，，∴，故此选项符合题意； C．∵，，∴，故此选项不符合题意； D．∵，∴，故此选项不符合题意； 故选：B． 5. a、b是有理数，下列各式中成立的是( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值的性质逐项判断即可得． 【详解】A、如，但，此项不成立； B、若，则，此项成立； C、如，但，此项不成立； D、如，但，此项不成立； 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题关键． 6. 我国第十四个五年规划和2035年远景目标纲要中阐释了“坚持农业农村优先发展，全面推进乡村振兴”的具体目标：坚持最严格的耕地保护制度，实施高标准农田建设工程，建成10.75亿亩集中连片高标准农田，下列关于10.75亿的说法正确的是（ ） A. 10.75亿是精确到亿位 B. 10.75亿是精确到十亿位 C. 10.75亿用科学记数法表示为，则a=1.075，n=9 D. 10.75亿用科学记数法表示为，则a=10.75，n=8 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法与精确度的定义即可判断求解． 【详解】解：10.75亿精确到百万位，故A、B选项不符合题意； 10.75亿用科学记数法表示为10.75亿=1.075×109，则a=1.075，n=9，故C选项符合题意，D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，解题关键是正确确定a的值以及n的值和精确度的定义． 7. 《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第10天截取后木棍剩余的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，先分别求出第一、二、三天截取后木棍剩余的长度，从而找出规律，按照此规律进行解答即可． 【详解】解：由题意可知：第一天截取后木棍剩余长度为：； 第二天截取后木棍剩余长度为：； 第三天截取后木棍剩余长度为：； …， n天截取后木棍剩余长度：， ∴第10天截取后木棍剩余长度为：， 故选：C． 8. 若a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为2，则的值为（ ） A. 1 B. 1或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，相反数、倒数和绝对值的知识点，解题的关键是根据相反数、倒数和绝对值的定义得到，再分类讨论代入求值即可． 【详解】解：由题意得， ∴， 当时，； 当时，； ∴ 值为1或， 故选：B． 9. 下列结论：①一个数和它的倒数相等，则这个数是±1和0；②若﹣1＜m＜0，则m＜m2＜；③若a+b＜0，且＞0，则|5a+2b|＝﹣5a﹣2b；④若m是有理数，则|m|+m是非负数；⑤若c＜0＜a＜b，则（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0；其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据倒数与绝对值的意义以及有理数的运算法则对各个选项逐个判断即可． 【详解】解：①一个数和它的倒数相等，则这个数是±1，故①错误； ②若﹣1＜m＜0，则＜m＜m2，故②错误； ③若a+b＜0，且＞0，则a＜0，b＜0，∴|5a+2b|＝﹣5a﹣2b，故③正确； ④m＞0，则|m|+m＝2m＞0，若m≤0，则|m|+m＝﹣m+m＝0，由此可得|m|+m是非负数，故④正确； ⑤若c＜0＜a＜b，则a﹣b＜0，b﹣c＞0，c﹣a＜0，∴（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0，故⑤正确， ∴正确的有③④⑤，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了倒数与绝对值的意义以及有理数的运算法则，熟练掌握相关概念以及运算法则是解决本题的关键． 10. 已知，，的积为负数，和为正数，且，则的值为(　　) A. B. ，2 C. ，， D. ，，， 【答案】A 【解析】 【分析】先判断出的符号，再化简绝对值运算即可得． 【详解】积为负数 的符号为三负或两正一负 的和为正数 的符号为两正一负 因此，分以下三种情况： （1）当时 （2）当时 （3）当时 综上，的值为0 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值的化简，依据已知条件，判断出的符号是解题关键． 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 近似数7.03×106精确到____位． 【答案】万 【解析】 【分析】由于近似数7.03×106中数字3在万位上，则得到近似数7.03×106精确到万位． 【详解】解：近似数7.03×106精确到到万位． 故答案为：万． 【点睛】本题考查了科学记数法：用a×10n（1≤a＜10，n是正整数）的形式表示的数的方法叫科学记数法．科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数． 12. 比较大小___．（填“”，“ ”或“” ） 【答案】> 【解析】 【分析】利用有理数的乘方运算分别计算出两个式子的值，然后比较即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：>． 【点睛】题目主要考查有理数的乘方运算及大小比较，熟练掌握有理数的乘方运算是解题关键． 13. 若a为有理数，则为___________． 【答案】0或##或0 【解析】 【分析】分，，三种情况，先去绝对值，再进行加减运算． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：0或． 【点睛】本题考查整式的加减运算、去绝对值，解题的关键是注意分情况讨论． 14. 若a为有理数，数轴上表示a与的点之间（不包含a与）共有2021个整数点，求a的取值范围___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了数轴的整数点覆盖问题，数形结合是解题的关键．根据题意，可知a与关于原点对称，那么除了原点，还有2020个整数点，0的左边有1010个，0的右边有1010个，从而推出a的取值范围． 【详解】解：数轴上表示a与的点之间（不包含a与）共有2021个整数点，a与关于原点对称， ∴除了原点，还有2020个整数点，0的左边有1010个，0的右边有1010个， ∵不包含a与， ∴或， 故答案为：或． 15. 已知为任意有理数，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】表示到距离加上倍到的距离再加上倍到的距离，由此可得在，，，的范围内分别求代数式的值，比较即可求解． 【详解】解：当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 故答案为： 【点睛】本题考查了数轴和绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离是解题的关键． 16. 把有理数a代入得到，称为第一次操作，再将作为a的值代入得到，称为第二次操作，…，若，经过第次操作后得到的是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，通过计算前几次操作，发现从第五次操作开始，结果始终为 ，因此第2020次操作的结果也是； 【详解】解：第一次操作：， 第二次操作：， 第三次操作：， 第四次操作：， 第五次操作：， 第六次操作：， …… 从第五次操作开始，结果恒为 ，故第次操作的结果为 ； 故答案为： 三．解答题 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）;（2）． 【解析】 【分析】（1）有理数的混合运算，先做乘除，然后做加减； （2）有理数的混合运算，先做乘方，然后根据乘法分配律做乘法使得运算简便，最后做加减． 【详解】解：（1） = = = （2） = = = 【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序和计算法则及运用乘法分配律使得计算简便是本题的解题关键． 18. 如果用符号“”规定一种新运算：，求的值． 【答案】6 【解析】 【分析】根据，可以求得所求式子值． 【详解】 故 ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 19. 某个体商人小王购进一批货物进行销售，卖出货物时的价格（售价）与购进货物价格（进价）有一定的差距（高于进价用正数表示，低于进价用负数表示），情况如下表： 售价与进价之差（元） 货物件数 （1）如果不考虑其它的因素，问小王卖出这批货物是盈利是亏了？ （2）如果考虑每件货物的其他成本为元，小王是盈利是亏了？盈、亏的数目是多少？ 【答案】（1）这批货物是盈利，见解析；（2）这批货物亏了，亏了元 【解析】 【分析】（1）让进价与售价相差的数值乘以相应的件数的积相加，看结果的正负，若正则盈利，若负则亏损； （2）让（1）中得到的数目-0.8×总货物件数，看结果的正负，若正则盈利，若负则亏损； 【详解】（1） 这批货物是盈利． （2） 这批货物亏了，亏了元． 【点睛】本题考查正数和负数的意义以及有理数的计算，理解把进价看作标准的意思，求得变化的量的和，是解决本题的关键． 20 观察下面三行数： ① 2， －4， 8， －16， 32， －64 ……； ② 3， －3， 9， －15， 33， －63 ……； ③ －1， 2， ﹣4， 8， －16， 32 ……； 取每一行的第n个数，依次记为x、y、z．如上图中，当n＝2时，x＝－4，y＝－3，z＝2 （1） 当n＝7时，请直接写出x、y、z的值，并求这三个数中最大的数与最小的数的差 （2） 已知n为偶数，且x、y、z这三个数中最大的数与最小的数的差为384，求n的值 （3） 若m＝x＋y＋z，则x、y、z这三个数中最大的数与最小的数的差为_________（用含m的式子表示） 【答案】(1) 193；(2) 8；(3) m或-m+1 【解析】 【分析】(1)根据第一行的数的规律是，第二行的数是第一行的数加1，第三行的数的规律是 ，依次写出x,y,z. (2)列出方程，求n. (3)列方程找到关系式. 【详解】(1)x=27,y=27+1,z=-26,y-z=193. (2) 2n-1-(-2n)=384,n=8. （3）①当n为奇数时，x,y,z分别为2n,2n+1,-2n-1, m= x＋y＋z=2n+2n+1-2n-1=2n+1-2n-1+1=3×2n-1+1 则最大的数减去最小的数为2n+1－(-2n-1)= 2n+2n-1+1=3×2n-1+1=m． ②当n为偶数时，x,y,z分别为-2n, -2n+1, 2n-1, m= x＋y＋z=-2n-2n+1＋2n-1=-3×2n-1+1. 最大的数减去最小的数为2n-1-（-2n）=2n-1＋2n=3×2n-1=-m+1. 【点睛】本题考查了幂的乘方的运算法则,熟练掌握运算法则是本题的解题关键. 21. 如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形的长是个单位长度，长方形的长是个单位长度，点在数轴上表示的数是，且、两点之间的距离为个单位长度．若，回答下列问题． （1）填空：点在数轴上表示的数是________；点在数轴上表示的数是_______； （2）若线段的中点为，线段上一点，，点以每秒个单位的速度向右匀速运动，点以每秒个单位长度的速度同时向左匀速运动，经过几秒后，有． （3）若长方形以每秒个单位的速度向右匀速运动，长方形固定不动，当两个长方形重叠部分的面积为时，求长方形运动的时间． 【答案】（1）13， （2）或3 （3）4秒或秒 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质得出的值，由数轴上两点间距离即可求得两点对应的有理数； （2）设运动时间为秒，首先可求得两点对应的数，分两种情况：当两点相遇时，由相遇问题知识即可解决；当两点分别在原点O的两侧时，则这两个数互为相反数，其和为0，可求得x的值； （3）分两种情况：边在长方形的边的左边且距离1个单位长度时；边在长方形的边的右边且距离1个单位长度时；无论哪种情况均可求得长方形运动的距离，则可求得运动的时间． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∵，则点H对应的有理数为：； 由于点在数轴上表示的数是5．且E、D两点之间的距离为个单位长度，， 则， 所以点A表示的数为：， 故答案为：， 【小问2详解】 解：设运动时间为秒， 因，，则点M、N对应的数为、，， 由题意知，它们运动x秒后M、N点对应数分别为：、， 当时有两种情况： 若、两点相遇，则两点运动的距离之和为，即，解得； 若、两点在原点的两侧，则它们对应的数互为相反数，即， 解得：； 综上，当时，的值为或； 【小问3详解】 解：当边在长方形的边的左边且距离为1个单位长度时，即时， 如图1所示；则，重叠部分面积为； 此时长方形的运动距离为：，运动时间为：（秒）； 当边在长方形的边的右边且距离1个单位长度时，即时； ，重叠部分面积为； 此时长方形的运动距离为：，运动时间为：（秒）； 综上，长方形的运动时间为4秒或秒． 【点睛】本题是数轴动点问题，考查了数轴上的点表示的数，数轴上两点间的距离，有理数的运算等知识，掌握数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $