精品解析：湖南省长沙市岳麓实验中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

长沙市岳麓实验中学高二期中考试数学 一、单选题 1. 已知，，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】中，，故为1，为1或2，而中，，为1，为1或2，用列举法写出和，再求即可． 【详解】因为，，且，， 所以，， 所以. 故选：A. 2. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦函数的最值、指数函数的单调性及对数函数的单调性，利用中间值法比较大小即可. 【详解】，且，， 所以． 故选：A． 3. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图象变换的规律求得，进而根据已知可得，计算可求得的最小值. 【详解】由函数， 将函数的图象向右平移个单位长度， 得到， 因为的图象关于轴对称，可得， 解得， 又因为，所以的最小值为． 故选：A． 4. 在中，角，，的对边分别为，，，为的面积.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理、三角形面积公式得，即可求解. 【详解】因为，， 若，则，而， 所以，. 故选：D. 5. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得的值. 【详解】因为，故. 故选：B. 6. 在四面体中，是边长为2的等边三角形，是内一点，四面体的体积为，则对，的最小值是（ ） A. B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据共面向量定理将所求最小值转化为点到平面的距离，再利用体积求解即可. 【详解】设，由共面向量定理得点为平面内任意一点， 且， 所以， 求的最小值，即求点到平面的距离， 设点到平面的距离为， 由题意知， 四面体的体积， 解得，故所求最小值为6． 故选：D． 7. 如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】问题可转化为圆和圆相交，解不等式即得解. 【详解】解：问题可转化为圆和圆相交， 两圆圆心距， 由得， 解得，即. 故选：D 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的对称性及定义，求出、长度，由直角三角形求解可得解. 【详解】如图， 因为双曲线，所以， 由双曲线的对称性知， 所以， 由双曲线定义可得， 所以，又， 所以，即， 所以, 故， 故选：A 二、多选题 9. 在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则面 B. 若，则 C. 若，则到平面的距离为 D. 若时，直线与平面所成角为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用面面平行判断线面平行，即可判断A，建系后写出相关点的坐标，对于B，利用向量的数量积的坐标公式计算即可判断；对于C，利用空间中点到平面的距离公式计算即可：对于D，由条件求得，利用线面角的向量求法得到，借助于函数的单调性即可求得的范围. 【详解】连结，由可知，点在线段上， 因为，平面，平面，所以平面， 同理平面，且，且平面， 所以平面平面，平面，所以平面，故A正确； 如图以为原点建立空间直角坐标系，则 ，， 对于A，， 则，得，则， ，A正确： 对于B，由A分析可得， 故不与垂直，故B错误； 对于C，时，，又， 设平面的法向量为，则， 故可取，又， 则到平面的距离为，故C正确： 对于D，当时，，则， 又由C已得平面的法向量为， 则 当， 当， 因在上单调递减，则，则有， 则，则当时，，故D正确. 故选：ACD. 10. 数学里常研究一些形状特殊的曲线，常用到数形结合的思想方法.比如形状酷似“星星”的曲线（如图所示），则下列关于曲线的说法正确的有（ ） A. 周长大于25 B. 共有4条对称轴 C. 围成的封闭图形面积小于14 D. 围成的封闭图形内能放入圆的最大半径为1 【答案】ABC 【解析】 【分析】分析曲线在第一象限内的性质，可判断ABD的真假，根据曲线方程的特点，可判断B的真假. 【详解】对A：由题意，在第一象限曲线的方程为， 即， 当时，曲线在圆的下方，理由如下： 因为，可设，， 则 而 （只有当或时取“”）. 所以（只有和时取“”）. 故时，曲线在圆的下方. 即第一象限曲线的长度大于圆周长的， 即曲线的周长大于圆的周长，而，则A选项正确； 对B：由曲线的方程为可知， 因为，，，代入方程，方程都不变， 所以曲线关于轴，轴，直线和对称，共有4条对称轴，则选项B正确； 对C：由A选项的推证可知：曲线围成的封闭图形的面积， 则选项C正确； 对D：第一象限曲线的方程为， 所以，，（都是当且仅当时取“”）. 所以曲线上距离原点的最短距离为，因此围成的封闭图形内最大能放入半径为的圆， 则选项D错误. 故选：ABC 11. 用平面截圆柱面，圆柱的轴与平面所成角记为，当为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切．下列结论中正确的有（ ） A. 椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等 B. 椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距相等 C. 所得椭圆的离心率 D. 其中为椭圆长轴，为球半径，有 【答案】ABC 【解析】 【分析】过点作线段，分别与球、切于点、，结合球的切线的性质与椭圆定义即可得A、B，借助离心率的定义可得C，借助正切函数的定义可得D. 【详解】 对A，B：过点作线段，分别与球、切于点、， 由图可知，、分别与球、切于点、， 故有， 由椭圆定义可知，该椭圆以、为焦点，为长轴长，故B正确， 由与球切于点，故， 有， 即有椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等，故A正确； 对C:由题意可得，则，故C正确； 对D：由题意可得，， 故，即，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于作出线段，从而可结合球的切线的性质与椭圆定义逐项判断. 三、填空题 12. 一只青蛙在正方形的四个顶点间跳跃，每次跳跃总是等可能地跳至与当前所在顶点相邻的两个顶点之一，且各次跳跃是独立的．若青蛙第一次跳跃前位于顶点，则它第6次跳跃后恰好仍位于顶点的概率为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意分析跳跃6次回到的情况，再应用组合数、独立事件乘法及互斥事件加法公式求概率. 【详解】在正方形各顶点上，每次跳跃都只有横向、纵向两种跳跃方式，则概率均为， 要使青蛙从出发跳跃6次回到，只需保证纵向、横向都跳跃偶数次即可， 若纵向跳跃6次，概率为，则横向跳跃6次的概率也为； 若纵向跳跃4次、横向跳跃2次，概率为，同理，横向跳跃4次、纵向跳跃2次概率也为， 综上，6次跳跃后回到原点的概率为． 故答案为： 13. 在空间直角坐标系中，若三点A（1，-1，a），B(2，a，0)，C(1，a，-2)满足：，则实数a的值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】 先根据点的坐标得到，的坐标表示，再根据向量垂直对应的数量积为零计算出的值即可. 【详解】由题意， 所以， 解得. 故答案为： 14. 已知抛物线的准线为，点在上，直线，点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值是_________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，把问题转化为点到直线的距离求解. 【详解】由题意，抛物线的焦点为， 由抛物线的定义知，点到直线的距离等于点到点的距离， 因此点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值， 即为点到直线的距离，即为. 故答案为：3 四、解答题 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知为钝角 （1）求角A的大小； （2）若则： ①求b的值； ②求的值. 【答案】（1） （2）①3；② 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式结合正弦定理即可求得； （2）①由同角三角函数的基本关系和正弦定理即可求得； ②由二倍角公式与两角差的正弦公式计算即可求得． 【小问1详解】 因为所以 因为为钝角，所以为锐角，所以 所以所以 因为所以由正弦定理有： 所以因为为钝角，所以； 【小问2详解】 ①因为且B为锐角，所以 由得； ②因为 所以 16. 某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量（单位：），并绘制频率分布直方图如下： （1）请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数、中位数和平均数；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表） （2）一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能90%地满足顾客的需求（在10天中，大约有9天可以满足顾客的需求）.请问每天应该进多少千克苹果？ 【答案】（1）众数为85，中位数89.375，平均数89.75；（2）102.5千克. 【解析】 【分析】（1）根据图中最高矩形可求众数，利用频率是0.5可求中位数，利用区间中点的值和频率可求平均数； （2）先确定进货量的范围，结合能90%地满足顾客的需求，可求结果. 【详解】（1）如图示：区间频率最大，所以众数为85， 中位数设为x，则，可得. 平均数为： （2）日销量[60，100)的频率为，日销售量[60，110)的频率为， 故所求的量位于 由得 故每天应该进102.5千克苹果 17. 如图，是的直径.与所在的平面垂直，，C是上的一动点（不同于A，B），M为线段的中点，点N在线段上，且. （1）求证：； （2）当时，求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以， 因为是的直径，所以， 又，且，平面，所以平面. 又因为平面，所以. 因为，且，，平面，所以平面， 因为平面，所以. 故. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直和线面垂直的相互转化即可得出； （2）可以直接作出线线角，然后再用余弦定理计算得出，也可以直接用空间向量来求线线角. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解法一：因为，所以在等腰直角三角形中，，得. 又在直角三角形中，，得. 因为为等腰直角三角形，M为的中点，且，得，所以， 取的中点为S，连接，则，且， 所以为异面直线与所成的角或其补角， 在中，，，所以， 在中，，，，所以， 故直线与直线所成角的余弦值为. 解法二：当时，，分别是和的中点，所以. 又与所在的平面垂直，所以平面，平面，所以. 此时，，两两垂直. 分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图： 得，，，， 故，. 则， 故直线PC与直线AM所成角的余弦值为. 18. 已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为. （1）求的方程； （2）已知直线与相交于A，B两点，若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到关于的方程组，解出即可； （2）先联立直线方程和椭圆方程，得出根与系数的关系，再结合弦长公式代入计算求解参数. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 故的方程为. 【小问2详解】 联立，得. ，解得. 设，则， ， 解得，即的值为. 19. 已知且，函数，． （1）方程的两根为和，且，求a的值； （2）当时，对任意的，都存在，使得，求m的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）解含有对数的方程，结合求参数值即可； （2）依题意将问题转化为在上的值域是在上值域的子集，结合指对数函数、二次函数性质求其在给定区间上的值域，再由包含关系列不等式求解即得. 【小问1详解】 令，解得或， 解得，，则，所以； 【小问2详解】 当时，， 因，则，， 又函数在上单调递减，则， 由任意的，都存在，使得， 则在上的值域是在上值域的子集， 故，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市岳麓实验中学高二期中考试数学 一、单选题 1. 已知，，设，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角，，的对边分别为，，，为的面积.若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 6. 在四面体中，是边长为2的等边三角形，是内一点，四面体的体积为，则对，的最小值是（ ） A. B. C. D. 6 7. 如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（ ） A. B. C. D. 4 二、多选题 9. 在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则面 B. 若，则 C. 若，则到平面的距离为 D. 若时，直线与平面所成角为，则 10. 数学里常研究一些形状特殊的曲线，常用到数形结合的思想方法.比如形状酷似“星星”的曲线（如图所示），则下列关于曲线的说法正确的有（ ） A. 周长大于25 B. 共有4条对称轴 C. 围成的封闭图形面积小于14 D. 围成的封闭图形内能放入圆的最大半径为1 11. 用平面截圆柱面，圆柱的轴与平面所成角记为，当为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切．下列结论中正确的有（ ） A. 椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等 B. 椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距相等 C. 所得椭圆的离心率 D. 其中为椭圆长轴，为球半径，有 三、填空题 12. 一只青蛙在正方形的四个顶点间跳跃，每次跳跃总是等可能地跳至与当前所在顶点相邻的两个顶点之一，且各次跳跃是独立的．若青蛙第一次跳跃前位于顶点，则它第6次跳跃后恰好仍位于顶点的概率为_____． 13. 在空间直角坐标系中，若三点A（1，-1，a），B(2，a，0)，C(1，a，-2)满足：，则实数a的值为_________. 14. 已知抛物线的准线为，点在上，直线，点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值是_________. 四、解答题 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知为钝角 （1）求角A的大小； （2）若则： ①求b的值； ②求的值. 16. 某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量（单位：），并绘制频率分布直方图如下： （1）请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数、中位数和平均数；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表） （2）一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能90%地满足顾客的需求（在10天中，大约有9天可以满足顾客的需求）.请问每天应该进多少千克苹果？ 17. 如图，是的直径.与所在的平面垂直，，C是上的一动点（不同于A，B），M为线段的中点，点N在线段上，且. （1）求证：； （2）当时，求直线与直线所成角的余弦值. 18. 已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为. （1）求的方程； （2）已知直线与相交于A，B两点，若，求的值. 19. 已知且，函数，． （1）方程的两根为和，且，求a的值； （2）当时，对任意的，都存在，使得，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $