精品解析：广东省广州市黄埔区科学城中学2025-2026学年高二上学期期中教学质量监测数学试卷

2025-2026学年第一学期期中教学质量监测 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，再用2B铅笔将考生号、座位号对应的信息点涂黑. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合斜率的定义即可求得直线的倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，由直线斜率的定义可知：，则. 故选：B. 【点睛】本题主要考查直线倾斜角的定义，特殊角的三角函数值，属于基础题. 2. 已知圆的方程为，则圆心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将圆的方程配成标准方程，可求得圆心坐标. 【详解】圆的标准方程为，圆心的坐标为. 故选：A. 3. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量运算的坐标表示，列式计算即得. 【详解】向量，，则， 所以. 故选：A 4. 已知点到直线的距离为1，则m的值为（ ） A. 或 B. 或15 C. 5或 D. 5或15 【答案】D 【解析】 【分析】利用点到直线距离公式即可得出. 【详解】解：点到直线的距离为1， 解得：m=15或5． 故选：D. 5. 已知直线在轴、轴上的截距相等，则直线与直线间的距离为（ ） A. B. C. 或 D. 0或 【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用直线的截距的定义求得m的值，再利用两条平行线之间的距离公式，计算即可． 【详解】直线在轴、轴上的截距相等， 令，得，令，得，所以，解得， 故直线，即，化简为， 则直线与直线间的距离为 故选：A． 【点睛】本题主要考查直线的截距的定义，两条平行线之间的距离公式，属于基础题． 6. 设，，，，且，，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直和平行的坐标公式即可得到方程，最后利用向量模的坐标公式即可得到答案. 【详解】因为，则，解得，则 因为，则，解得， 则，则，则. 故选：C. 7. 平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算可得，进而结合数量积运算求模长. 【详解】由题意可知：， 则 ， 所以. 故选：C. 8. 已知直线，圆，若直线上存在两点，圆上存在点，使得，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意将原问题等价转换为圆心在直线上且半径为的动圆与圆有交点，分直线与圆的位置关系讨论，利用圆心到直线的距离即可得解. 【详解】若直线上存在两点，圆上存在点，使得，且， 则条件等价于圆心（设为D）在直线上且半径为的动圆与圆有交点， 圆的圆心为 到直线的距离， 当圆与直线相离时，即时， 则圆上的动点到直线的最小距离为， 此时只需满足即可，所以； 当时，圆与直线有交点，此时圆和直线上一定分别存在点，使得，符合题意. 综上，. 故选：C. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 设是两个空间向量，则一定共面 B. 设是三个空间向量，则一定不共面 C. 设是两个空间向量，则 D. 设是三个空间向量，则 【答案】AC 【解析】 【分析】直接利用空间向量的定义、数量积的定义，空间向量的应用逐一判断A、B、C、D的结论即可． 【详解】对于A：因为是两个空间向量，则一定共面，故A正确； 对于B：因为是三个空间向量，则可能共面也可能不共面，故B错误； 对于C：因为是两个空间向量，则，故C正确； 对于D：因为是三个空间向量，则与向量共线，与向量共线，则D错误． 故选：AC． 10. 已知点P在圆上，点，，则（ ） A. 直线与圆C相交 B. 直线与圆C相离 C. 点P到直线距离小于5 D. 点P到直线距离大于1 【答案】BC 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式即可判断直线与圆的位置关系，进而判断选项A和B，再由圆上一点到直线距离的最大最小值即可判断选项C和D. 【详解】解：圆 所以圆心为，半径为 因为， 所以直线的方程为： 对A，圆心到直线的距离为，所以直线与圆C相离，故A错误； 对B，由选项A的分析知，直线与圆C相离，故B正确； 对C，由选项A的分析知，圆心到直线的距离为，所以圆上一点到直线的距离的最大值和最小值分别为和，因为，所以点P到直线距离小于5，故C正确； 对D，由选项C的分析知，圆上一点到直线的距离的最小值为，故D错误. 故选：BC. 11. 如图，一个漏斗形状的几何体上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，四棱锥的四条侧棱都相等，两部分的高都是，公共面是一个边长为1的正方形，则（ ） A. 该几何体的体积 B. 直线PD与平面ABCD所成角的正切值为 C. 异面直线AP与CC1的夹角正弦值为 D. 存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上 【答案】ABCD 【解析】 【分析】对于A，根据长方体和棱锥的体积公式求解即可；对于B，连接交于，连接，则可得为直线与平面所成角，然后求解即可；对于C，由于,则可得的补角为异面直线与的夹角，然后在中求解即可；对于D，先求出长方体的外接球半径，然后判断点是否在该球上即可. 【详解】对于A，该几何体的体积为，故A正确； 对于B，连接交于，连接， 由题意可知四棱锥为正四棱锥， 所以平面， 所以为直线与平面所成角， 因为正方形的边长为1， 所以， 所以，故B正确； 对于C，设， 因为， 所以或其补角为异面直线与的夹角, 且， 所以， 所以异面直线与的夹角余弦值为,正弦值为，故C正确； 对于D，设长方体的外接球的球心为，半径为， 则为的中点， 且，得， 因为， 所以点长方体的外接球上， 所以存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上，故D正确. 故选：ABCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线：与直线：平行，则实数_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平行关系得到方程，求出答案. 【详解】由题意得，解得，检验符合. 故答案为： 13. 已知点关于坐标平面的对称点为，点关于坐标平面的对称点为，点关于轴的对称点为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】依次写出，，，利用空间两点间距离公式求出答案. 【详解】由题意得，，， 故. 故答案为： 14. 已知是空间单位向量，.若空间向量满足，且对于任意，则___________，___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】问题转化为当且仅当时取到最小值1，利用数量积求向量的模，且当模最小时，求出相关的数值. 【详解】因为， 由于，所以， 问题等价于当且仅当时，取到最小值1， ， 则，解得. 故答案为：；. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，．求： （1）BC边上的中线所在的直线方程； （2）AB边垂直平分线方程； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据中点坐标公式求出中点，然后利用两点坐标写出直线方程即可； （2）利用垂直平分线经过的中点，且和垂直求解即可. 【小问1详解】 由于，，则中点坐标为，直线的斜率， 所以BC边上的中线所在的直线方程为，整理得； 【小问2详解】 由于，，所以直线的斜率，中点坐标为 所以，AB边垂直平分线的斜率且过， 故AB边垂直平分线方程为整理得． 16. 已知△ABC的三个顶点坐标为，， (1)求△ABC的外接圆的方程； (2) 若圆与圆相交,求两圆的公共弦长. 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据题意，设出圆的一般方程，将三个点的坐标分别代入，得到关于的三元方程组，求解即可得结果； （2）将两圆方程相减，得到两圆公共弦所在直线的方程，利用点到直线的距离求得弦心距，利用勾股定理求得弦长，得到结果. 【详解】（1）设圆的方程为把△ABC各个顶点代入得， ，解得， 故所求△ABC的外接圆的方程为 （2）设两圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2),则M,N的坐标满足方程组 两式相减得两圆的公共弦所在直线的方程为 圆心到直线的距离 则弦长 . 【点睛】该题考查的是有关圆的问题，涉及到的知识点有待定系数法求圆的方程，两圆的位置关系，两个圆相交时公共弦所在直线的方程的求解，直线被圆截得的弦长问题，属于简单题目. 17. 已知圆． （1）过点作圆C的切线l，求l的方程； （2）若直线AB方程为与圆C相交于A、B两点，求． （3）在（2）的前提下，若点Q是圆上的点，求面积的最大值． 【答案】（1）或； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）讨论切线l斜率是否存在设方程，利用相切时圆心到直线的距离等于半径列关系计算即得结果. （2）计算到直线AB的距离d，再利用弦三角形的勾股定理，即得弦长. （3）求出点到直线的距离最大值，再求出三角形面积. 【小问1详解】 圆方程可化为，则圆心，半径为1， 由，可得点在圆外， 当过点的直线斜率存在时，设l的方程为，即， 则圆心到直线l的距离为，解得， 此时的方程为，即， 当过点的直线斜率不存在时，的方程为，此时与圆相切， 所以直线的方程为或. 【小问2详解】 直线方程为， 则圆心到直线的距离，直线与圆相交， . 【小问3详解】 圆的圆心，半径， 点到直线：的距离， 点到直线距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 18. 如图所示，直角梯形中，，四边形为矩形，，平面平面． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出线段的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 因为四边形为矩形，平面平面， 平面平面， 所以，则平面， 根据题意可以以为原点，所在直线为轴， 所在直线为轴建立空间直角坐标系， 如图，易知，， 设平面的法向量， 不妨令，则， 又，， 又平面平面． （2） （3）存在；2 【解析】 【分析】（1）根据条件先判定垂直关系再建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量判定线面关系即可； （2）利用空间向量结合（1）的结论计算面面夹角即可； （3）利用空间向量研究线面夹角计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由上可知，设平面的法向量， ，令，则， ， 平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 设， ， 又平面的法向量， 由直线与平面所成角的余弦值为， ， ，或． 当时，； 当时，． 综上，． 19. 在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中． （1）求经过的直线的点方向式方程； （2）已知平面，平面，平面，若，证明：； （3）已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小． 【答案】（1） （2） 由平面可知，平面的法向量为， 由平面可知，平面的法向量为， 设交线的方向向量为，则， 令，则，可得， 由平面可知，平面的法向量为， 因为，即， 且，所以． （3） 【解析】 【分析】（1）先求直线的方向向量，结合题意即可得直线方程； （2）根据题意可得平面、、的法向量，进而可求交线的方向向量，利用空间向量判断线面关系； （3）根据题意可得平面、的法向量，进而可求交线的方向向量，根据线面关系可得，利用空间向量求面面夹角. 【小问1详解】 由得，直线的方向向量为， 故直线的点方向式方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因平面经过三点，可得， 设侧面所在平面的法向量， 则，令，解得，可得， 由平面可知，平面法向量为， 设平面与平面的交线的方向向量为， 则，令，则，可得， 由平面可知，平面的法向量为， 因为，解得，即， 则， 故平面与平面夹角的大小为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中教学质量监测 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，再用2B铅笔将考生号、座位号对应的信息点涂黑. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆的方程为，则圆心的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知点到直线的距离为1，则m的值为（ ） A. 或 B. 或15 C. 5或 D. 5或15 5. 已知直线在轴、轴上的截距相等，则直线与直线间的距离为（ ） A. B. C. 或 D. 0或 6. 设，，，，且，，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 7. 平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（ ） A. 3 B. C. D. 8. 已知直线，圆，若直线上存在两点，圆上存在点，使得，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 设是两个空间向量，则一定共面 B. 设是三个空间向量，则一定不共面 C. 设是两个空间向量，则 D. 设是三个空间向量，则 10. 已知点P在圆上，点，，则（ ） A. 直线与圆C相交 B. 直线与圆C相离 C. 点P到直线距离小于5 D. 点P到直线距离大于1 11. 如图，一个漏斗形状的几何体上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，四棱锥的四条侧棱都相等，两部分的高都是，公共面是一个边长为1的正方形，则（ ） A. 该几何体的体积 B. 直线PD与平面ABCD所成角的正切值为 C. 异面直线AP与CC1的夹角正弦值为 D. 存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线：与直线：平行，则实数_____________. 13. 已知点关于坐标平面的对称点为，点关于坐标平面的对称点为，点关于轴的对称点为，则______． 14. 已知是空间单位向量，.若空间向量满足，且对于任意，则___________，___________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，．求： （1）BC边上的中线所在的直线方程； （2）AB边垂直平分线方程； 16. 已知△ABC的三个顶点坐标为，， (1)求△ABC的外接圆的方程； (2) 若圆与圆相交,求两圆的公共弦长. 17. 已知圆． （1）过点作圆C的切线l，求l的方程； （2）若直线AB方程为与圆C相交于A、B两点，求． （3）在（2）的前提下，若点Q是圆上的点，求面积的最大值． 18. 如图所示，直角梯形中，，四边形为矩形，，平面平面． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出线段的长度，若不存在，请说明理由． 19. 在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中． （1）求经过的直线的点方向式方程； （2）已知平面，平面，平面，若，证明：； （3）已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $