1.4.1.2 有理数的加法运算律（课件）- 2025--2026学年沪科版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦有理数的加法运算律，通过知识回顾小学加法交换律和结合律，以问题驱动引导学生计算具体有理数加法实例，探究运算律在有理数范围内的适用性，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于结合抽象能力和运算能力，通过“问题探究—实例验证—应用拓展”的教学方法，如酥梨称重、小麦试验田产量等实际情境题，培养学生的应用意识。学生在探究和练习中提升运算技巧与解决实际问题的能力，教师可借助丰富例题和考法参考优化教学。

沪科版（新教材）数学七年级上册 第1章 有理数 1.4.1.2有理数的加法运算律 知识回顾 它们在有理数范围内还成立吗？ 加法交换律 加法结合律 a + b = b + a (a + b) + c = (a + c) + b 沪科版七年级上册 1.4.1 有理数的加法 1.4.1 有理数的加法 沪科版七年级上册数学 授课人：XXX 情境导入：生活中的“正负相加” 我们已经会比较有理数的大小，今天来解决有理数的加法问题。生活中很多场景都涉及正负数相加，比如： 足球比赛净胜球：某队第一场比赛赢2球（记为+2），第二场赢1球（记为+1），两场总净胜球是多少？若第一场赢2球，第二场输1球（记为-1），总净胜球又如何？ 电梯升降：电梯从1楼上升5层（记为+5），再上升3层（记为+3），最终位置是多少？若上升5层后再下降2层（记为-2），最终位置又在哪里？ 思考：这些问题本质是“正数+正数”“正数+负数”的运算，如何根据有理数的符号特征总结加法规律？ 新知探究一：同号两数相加（都正或都负） 先研究“正数+正数”和“负数+负数”的情况，结合数轴理解运算过程： 1. 正数+正数：以“+2 + (+1)”为例 数轴解释：从原点出发，先向右移动2个单位（表示+2），再向右移动1个单位（表示+1），最终停在3的位置，即+2 + (+1) = +3。 2. 负数+负数：以“(-2) + (-1)”为例 数轴解释：从原点出发，先向左移动2个单位（表示-2），再向左移动1个单位（表示-1），最终停在-3的位置，即(-2) + (-1) = -3。 同号相加法则：取相同的符号，并把绝对值相加。 试一试：计算① (+3) + (+5) ② (-4) + (-6) ③ (+0.7) + (+0.3) 新知探究二：异号两数相加（一正一负） 异号相加是重点，分“正数绝对值大”和“负数绝对值大”两种情况，结合数轴分析： 1. 正数绝对值大：以“(+5) + (-2)”为例 数轴解释：从原点向右移5个单位（+5），再向左移2个单位（-2），最终停在3的位置，即(+5) + (-2) = +3。核心：5的绝对值（5）大于2的绝对值（2），取正数符号，用5-2=3。 2. 负数绝对值大：以“(+2) + (-5)”为例 数轴解释：从原点向右移2个单位（+2），再向左移5个单位（-5），最终停在-3的位置，即(+2) + (-5) = -3。核心：5的绝对值（5）大于2的绝对值（2），取负数符号，用5-2=3。 异号相加法则：取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 试一试：计算① (+7) + (-3) ② (-8) + (+5) ③ (+1.2) + (-2.5) 新知探究三：一个数与0相加及法则总结 先看特殊情况——与0相加，再整合所有规律： 1. 与0相加：例：(+4) + 0 = +4；(-3) + 0 = -3；0 + 0 = 0。 结论：一个数与0相加，仍得这个数。 2. 有理数加法法则总表 加数符号特征 和的符号 和的绝对值 举例 两数同正 正 两数绝对值相加 3+2=5 两数同负 负 两数绝对值相加 (-3)+(-2)=-5 一正一负（正绝对值大） 正 大绝对值减小绝对值 3+(-2)=1 一正一负（负绝对值大） 负 大绝对值减小绝对值 2+(-3)=-1 一个数与0 与原数相同 与原数绝对值相同 0+(-3)=-3 易错点辨析：避开加法运算的“陷阱” 陷阱1：异号相加时，符号判断错误 反例：(-5) + 3 = 2（错误，负绝对值大，应取负号） 纠正：先比绝对值大小，5>3，取“-”，5-3=2，正确结果为-2。 陷阱2：同号相加时，漏加绝对值 反例：(-4) + (-1) = -4（错误，未将绝对值相加） 纠正：同号取相同符号，绝对值相加4+1=5，正确结果为-5。 陷阱3：忽略“+”号的省略规则 反例：3 + -2 = 1（书写错误，异号相加需规范括号） 纠正：应写成3 + (-2)，运算时明确加数符号，避免混淆。 陷阱4：与0相加时，错误改变原数 反例：(-6) + 0 = 6（错误，与0相加应保持原数） 纠正：一个数与0相加得原数，正确结果为-6。 典例剖析一：基础加法运算（分步演示） 例1：计算下列各式，写出详细步骤： 1. (-12) + (-8) 解：① 类型：同号两数相加；② 符号：取负号；③ 绝对值：12+8=20；④ 结果：-20 2. (+15) + (-7) 解：① 类型：异号两数相加；② 绝对值比较：15>7；③ 符号：取正号；④ 绝对值：15-7=8；⑤ 结果：+8（即8） 3. (-0.9) + (+1.5) 解：① 类型：异号两数相加；② 绝对值比较：1.5>0.9；③ 符号：取正号；④ 绝对值：1.5-0.9=0.6；⑤ 结果：0.6 4. (-3/4) + 0 解：① 类型：与0相加；② 结果：-3/4 方法总结：先定类型，再判符号，最后算绝对值，步骤清晰可避免错误。 典例剖析二：有理数加法的实际应用 例2：某超市一周内的盈亏情况如下（盈余为正，亏损为负，单位：元）：+1200、-800、+1500、-500、+2000、-1000、+300。该超市这一周总的盈亏情况如何？ 解题过程： 总盈亏 = (+1200) + (-800) + (+1500) + (-500) + (+2000) + (-1000) + (+300) 分步计算：① 1200-800=400；② 400+1500=1900；③ 1900-500=1400；④ 1400+2000=3400；⑤ 3400-1000=2400；⑥ 2400+300=2700 结果为正数，说明该超市这一周盈余2700元。 例3：数轴上点A表示的数是-4，将点A先向右移动6个单位，再向左移动3个单位，求移动后点A表示的数。 解：-4 + (+6) + (-3) = (-4-3) + 6 = -7 + 6 = -1，移动后点A表示-1。 课堂练习一：基础达标 1. 计算下列各式： ① (+5) + (+7) = ______ ② (-6) + (-9) = ______ ③ (+8) + (-3) = ______④ (-10) + (+6) = ______ ⑤ (-0.5) + (+0.5) = ______ ⑥ (-2.3) + 0 = ______ 2. 下列计算正确的是（ ） A. (-3) + (-5) = 8 B. (+3) + (-8) = 5 C. (-4) + (+6) = 2 D. (-6) + 0 = 6 参考答案：1.①12 ②-15 ③5 ④-4 ⑤0 ⑥-2.3 2.C 课堂练习二：能力提升 1. 已知|a|=3，|b|=5，且a、b同号，求a+b的值； 2. 一口井深10米，一只蜗牛从井底向上爬，白天爬3米（记为+3），夜间下滑2米（记为-2），蜗牛第几天能爬出井口？ 3. 探究：若a与b互为相反数，c与d互为相反数，求a + b + c + d的值。 1. a=3、b=5时，a+b=8；a=-3、b=-5时，a+b=-8，故a+b=±8； 2. 前7天每天净爬1米（3-2=1），第8天白天爬3米，7+3=10米，故第8天爬出； 3. 因a+b=0，c+d=0，故a+b+c+d=0。 课堂小结：知识梳理 - 核心法则：有理数加法分三类——同号相加“取同号，加绝对值”；异号相加“取大符号，减绝对值”；与0相加“得原数”。 - 关键步骤：一判类型（同号/异号/与0）→ 二定符号 → 三算绝对值。 - 易错提醒：异号相加先比绝对值大小再定符号，避免符号错误；书写时规范括号，如“+(-2)”而非“+-2”。 - 数学思想：数形结合（用数轴理解加法意义）、分类讨论（按符号分情况探究法则）。 有理数加法是有理数运算的基础，掌握法则是后续学习减法、乘法的关键 1.4.1.2 有理数的加法运算律 情境引入：运算顺序的影响 回顾小学所学的加法运算律，思考：在有理数加法中，这些运算律是否仍然适用？先看两个问题： 1. 计算：(+3) + (-5) 和 (-5) + (+3)，两次结果相同吗？ 2. 计算：[(+2) + (-3)] + (-7) 和 (+2) + [(-3) + (-7)]，两次结果相同吗？ 观察计算结果，你能发现什么规律？ 新知探究一：加法交换律 通过多组实例验证规律： 第一组加数 第二组加数 a + b b + a 结果是否相等 +5 -2 5 + (-2)=3 -2 + 5=3 是 -4 -3 -4 + (-3)=-7 -3 + (-4)=-7 是 0 -6 0 + (-6)=-6 -6 + 0=-6 是 加法交换律：两个有理数相加，交换加数的位置，和不变。 字母表示：a + b = b + a（a、b为任意有理数） 结论：有理数加法中，交换律依然成立，与加数的符号无关。 新知探究二：加法结合律 同样通过实例验证结合律的适用性： 1. 计算[(+8) + (-5)] + (-4) 和 (+8) + [(-5) + (-4)] 解：[(+8) + (-5)] + (-4)=3 + (-4)=-1；(+8) + [(-5) + (-4)]=8 + (-9)=-1，结果相等。 2. 计算[(-12) + (+3)] + (+7) 和 (-12) + [(+3) + (+7)] 解：[(-12) + (+3)] + (+7)=-9 + 7=-2；(-12) + [(+3) + (+7)]=-12 + 10=-2，结果相等。 加法结合律：三个有理数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 字母表示：(a + b) + c = a + (b + c)（a、b、c为任意有理数） 易错点辨析：运算律应用的“误区” 误区1：交换加数位置时漏带符号 反例：(-3) + 5 - 2 = (-3) + 2 - 5（错误，-2的符号未随位置移动） 纠正：(-3) + 5 + (-2) = (-3) + (-2) + 5，符号与数字绑定，不可拆分。 误区2：结合时忽略符号导致计算错误 反例：(+7) + (-5) + (-7) = [(+7) + (+7)] + (-5)（错误，-7符号判断失误） 纠正：应结合相反数，(+7) + (-7) + (-5)=0 + (-5)=-5。 典例剖析：运算律的简便应用 核心技巧：利用运算律凑“整数”“相反数”“同号数”，简化计算。 例1：用简便方法计算下列各式： 1. (-13) + (+25) + (+13) + (-15) 解：结合相反数和同号数 → [(-13) + (+13)] + [(+25) + (-15)] = 0 + 10 = 10 2. (+1.2) + (-0.8) + (-3.5) + (+0.8) + (+2.5) 解：结合相同小数和凑整 → (+1.2) + [(-0.8) + (+0.8)] + [(-3.5) + (+2.5)] = 1.2 + 0 + (-1) = 0.2 3. (-2/3) + (+1/2) + (+4/3) + (-1/2) 解：结合同分母和相反数 → [(-2/3) + (+4/3)] + [(+1/2) + (-1/2)] = 2/3 + 0 = 2/3 简便运算思路：① 互为相反数的先加（和为0）；② 同号数先加（减少符号变化）；③ 能凑整的先加（简化绝对值计算）。 课堂练习：运算律应用 1. 基础题：用运算律计算 ① (-5) + (+8) + (+5) + (-2) ② (-0.5) + (+3.25) + (+2.75) + (-5.5) 2. 提升题：某仓库一周内货物进出情况如下（进为正，单位：吨）：+12、-15、+18、-10、-20、+17、-8。用简便方法计算一周内货物的净变化量。 1. ① [(-5)+(+5)] + [(+8)+(-2)]=0+6=6；② [(-0.5)+(-5.5)] + [(+3.25)+(+2.75)]=-6+6=0； 2. (+12+18+17) + (-15-10-20-8)=47 + (-53)=-6，净变化量为减少6吨。 运算律小结 - 核心内容：交换律a+b=b+a，结合律(a+b)+c=a+(b+c)，有理数中普遍适用； - 核心作用：改变运算顺序，简化计算，减少错误； - 关键技巧：优先结合相反数、同号数、凑整数的加数。 谢谢观看！ 疑问反馈：XXX@XX.com 下节课预告：1.4.2 有理数的减法 情景导入 计算： （1）(-5)+ 6，6 +(-5)； 问 题 1 （2） ， . 1 1 再换一些数试试 探究新知 一般地，有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变. 加法交换律：a + b = b + a. 探究新知 计算： 问 题 2 （1）[(-2)+ (-8)]+(-7)，(-2)+[(-8)+(-7)]； （2） . -17 -17 再换一些数试试 探究新知 一般地，有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c). 探究新知 例 3 计算：(-22)+(-5.5)+ 22 +(-4.5). 解 (-22)+(-5.5)+ 22 +(-4.5). = [(-22)+ 22]+[(-5.5) +(-4.5)]. = 0 + (-10) = -10. 探究新知 某生态农业公司应用现代技术手段，加强对品牌酥梨的全产业链管理，探索数字农业发展新模式. 现对一种热销的酥梨逐个称重，超过标准质量(300 g)的用正数表示，不足的用负数表示，其中 1 盒 12 个酥梨的检测结果如下表: 例 4 样品编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 与标准质量的差/g +10 -20 +15 -10 +40 -20 +50 -20 -15 -8 +10 +6 求这盒酥梨的总质量. 探究新知 样品编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 与标准质量的差/g +10 -20 +15 -10 +40 -20 +50 -20 -15 -8 +10 +6 解 10+(-20)+15+(-10)+ 40 +(-20)+ 50 +(-20)+(-15)+(-8)+ 10 + 6 = [10 +(-10)]+[15 +(-15)]+[(-20)+ 40 +(-20)]+ 50 +(-20)+(-8)+ 10 + 6 = 38(g). 300×12 + 38 = 3638(g). 即这盒酥梨的总质量为 3638 g. 探究新知 在进行多个有理数相加时，可根据需要交换加数的位置，从而简化运算。 探究新知 练 习 1. 计算： （1）(-3)+ 12 + (-17)+ (+8)； 解 (-3)+ 12 + (-17)+ (+8) = [(-3) + (-17)]+ [12 + (+8)] = (-20)+ 20 = 0 【教材P24 练习 第1题】 探究新知 （2） ； = (-6)+ 6 = 0 探究新知 （3）(-3.14)+ (+4.96)+ (+2.14)+(-7.96)； (-3.14)+ (+4.96)+ (+2.14)+(-7.96) =[(-3.14) +(+2.14)]+ [(+4.96)+ (-7.96)] =(-1)+(-3) =-4 探究新知 （4） . = -7 +(-2) = -9 探究新知 2. 某村共有 8 块小麦试验田，每块试验田今年的收成与去年相比情况如下（增产为正，减产为负，单位：kg）：55，-40，10，-16，27，-5，-23，38. 今年的小麦总产量与去年相比是增加了还是减少了？增加或减少了多少？ 55 +(-40)+ 10 + (-16)+ 27 + (-5)+(-23)+38 = 46 答：今年的小麦总产量与去年相比增加了 46 kg. 【教材P24 练习 第2题】 课堂练习 知识点1 有理数加法的运算律 1.下列运算不符合加法交换律的是( ) D A. B. C. D. 考试考法 16 2.小磊解题时，将式子 先变成 ，再计算，他运用了( ) C A.加法交换律 B.加法交换律和加法结合律 C.加法结合律 D.无法判断 考试考法 17 【变式题】 ［2025·东莞模拟］若和 互为相反数，则 的值为___. 3 考试考法 18 3.计算 的结果为( ) B A. B.10 C.50 D. 考试考法 19 4.(12分)运用加法的运算律进行计算： (1) ； 解：原式 . (2) ； 解：原式 . 考试考法 20 (3) . 解：原式 . 考试考法 知识点2 有理数加法运算律的应用 5.［2025年1月合肥期末］某商店去年四个季度盈亏情况如下 (盈余为正)万元，万元， 万元， 万元，这个商店去年的总盈利情况是( ) C A.盈余644万元 B.亏本173万元 C.盈余173万元 D.亏本64万元 考试考法 22 6.(8分)某公交车上原来有22人，经过4个站点时上下车情况 如下(上车为正，下车为负)， ， ， ，则经过这4个站点后车上还有多少人？ 解：由题意，得 (人). 答：经过这4个站点后车上还有12人. 考试考法 23 谢谢观看！ $