精品解析：河南省驻马店市正阳县2025—2026学年上学期九年级数学期中试题

2025—2026学年度第一学期期中素质测试 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟．请用黑色水笔或2B铅笔在答题卡上作答． 2．答卷前将相关信息在答题卡上准确填涂． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 河南文化博大精深，各地博物馆（院）更是展示了其中的精髓．下列是与河南相关的博物院，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点D恰好落在的延长线上，则旋转角的度数为(　　) A. B. C. D. 3. 已知点，，都是抛物线（为常数）上的点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线平移变换后顶点在y轴上，则下列变换正确的是（ ） A. 向上平移9个单位长度 B. 向左平移1个单位长度 C. 向下平移9个单位长度 D. 向右平移1个单位长度 5. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（ ） A. B. C. D. 6. 关于的一元二次方程的两个实数根分别为2和，则分解因式等于（　　） A. B. C. D. 7. 定义：如果一元二次方程满足，那么称这个方程为“美妙方程”．已知是“美妙方程”，且有两个相等的实数根，则b的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 如图，是上一个定点，将直角三角板的角顶点与点重合，两边与相交，设交点为，，绕点顺时针旋转三角板，直至其中一个交点与点重合时停止旋转，设，旋转角为，如图所示能反映与关系的为（ ） A. B. C. D. 9. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图在平面直角坐标系中，点A的坐标是，将线段绕点O旋转得到线段，则点B的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为________． 12. 如图，将绕点顺时针旋转一定角度得到，此时点恰好在边上．若，，则______． 13. 如图，是的直径，是的弦．若，则的大小为______________． 14. 如图，抛物线与直线交于A，B两点，则方程的解为______． 15. 如图，二次函数的图象经过和两点，且交y轴于点C．连接A，C，将线段向右平移m个单位，若线段与抛物线有唯一交点，则m的取值范围是_________． 三、解答题（本题8个小题，共75分） 16. （1）解方程： （2）解方程 某同学的解题步骤如下： 解：① ② ③ ④ ∴方程无实数根⑤ ①问：这位同学解方程过程中从第 步开始写错了； ②请你帮他将方程的正确解题过程完整的书写出来． 17. 如图，在直角坐标系中，，，，请解答下列问题 （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出． （2）绕原点顺时针旋转得到，作出． （3）求面积． 18. 已知关于x的方程的根为、． （1）当时，求的值； （2）若方程的一个根，求a的值与另一个根． 19. 我省有很多著名的桥梁，淇淇对此很感兴趣．某天淇淇查阅资料发现家乡的一座拱桥为圆弧的一部分（图1），其示意图可用图2中的来表示． （1）若所在圆的圆心为点，EF是弦的垂直平分线，尺规作图：找出圆心（保留作图痕迹，不写作图过程） （2）若所在圆的半径为米，拱桥的跨度（弦的长）为米，求桥拱拱高（的中点到弦的距离）． 20. 如图，某校劳动实践基地计划用长的栅栏，再借助外墙墙长为墙长为）围成矩形基地． （1）如图1，若围成矩形基地面积为，求边的长． （2）如图2，中间用栅栏分成两块基地用于种植不同的植物，在两块基地边上各开1道1米宽的门，若围成矩形基地面积为，求边的长． 21. 水火箭（图1）又称气压式喷水火箭、水推进火箭，是用废弃的饮料瓶制作而成的一种玩具，水火箭科技含量高，寓教于乐，深受广大青少年喜爱．如图2，该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度y（）与离发射点O的水平距离x（）呈抛物线模型，已知当水平距离为米时，水火箭距离地面的竖直高度最大，为9米． （1）请确定抛物线的表达式； （2）请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，距离地面的竖直高度． 22. 随着2025年春节电影《哪吒2》大火，商家推出哪吒和敖丙的手办深受同学们的喜欢，一组手办（一个哪吒手办和一个敖丙手办为一组）的成本为60元，经过市场调查发现，当一组手办定价为100元时，每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组． （1）若让顾客得到实惠，求每组手办降价多少元时，每天的利润可以达到3500元？ （2）当每组手办降价多少元时，可以使每天的利润最大，最大利润是多少？ 23. 定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α（）得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 【特例感知】（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系 ； ②如图3，当时，则长为 ． 【猜想论证】（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期中素质测试 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟．请用黑色水笔或2B铅笔在答题卡上作答． 2．答卷前将相关信息在答题卡上准确填涂． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 河南文化博大精深，各地博物馆（院）更是展示了其中的精髓．下列是与河南相关的博物院，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点D恰好落在的延长线上，则旋转角的度数为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，根据旋转，得到，根据等边对等角，得到，根据三角形的内角和定理求出，即可得出答案． 【详解】解：由旋转性质可知∶， ∵点D恰好落在的延长线上， ∴， ∴， 即旋转角的度数是， 故选：B． 3. 已知点，，都是抛物线（为常数）上的点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由抛物线解析式可得对称轴为直线，又由可得抛物线开口向上，抛物线的点离对称轴的距离越近，函数值越小，据此解答即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上，抛物线的点离对称轴的距离越近，函数值越小， ∵， ∴， 故选：． 4. 将抛物线平移变换后顶点在y轴上，则下列变换正确的是（ ） A. 向上平移9个单位长度 B. 向左平移1个单位长度 C. 向下平移9个单位长度 D. 向右平移1个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移规律，解题的关键是根据顶点横坐标的变化确定平移方向． 原抛物线顶点横坐标为1，y轴上点的横坐标为0，需将顶点横坐标变为0，即向左平移1个单位． 【详解】解：原抛物线的顶点为，要使顶点在y轴上，需顶点横坐标为0，因此向左平移1个单位． 故选：B． 5. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求得的长，垂径定理可得，进而即可求解． 【详解】解：依题意，， 在中， ∵ ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，熟练掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键． 6. 关于的一元二次方程的两个实数根分别为2和，则分解因式等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的性质，由题意得出方程可以化为，即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为2和， ∴方程可以化为， ∴， 故选：C． 7. 定义：如果一元二次方程满足，那么称这个方程为“美妙方程”．已知是“美妙方程”，且有两个相等的实数根，则b的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，理解“美妙方程”的定义是解答本题的关键．由“美妙方程”的定义得，根据方程有两个相等的实数根得，把代入即可求解． 【详解】∵是“美妙方程”， ∴， ∴， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得， ∴． 故选C． 8. 如图，是上一个定点，将直角三角板的角顶点与点重合，两边与相交，设交点为，，绕点顺时针旋转三角板，直至其中一个交点与点重合时停止旋转，设，旋转角为，如图所示能反映与关系的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆周角的定义及特点即可求解． 【详解】依题意可知∠BMA是圆周角，弦AB为∠BMA所对的弦， 当绕点顺时针旋转三角板时，∠BMA的大小不变，故弦AB长度不变，即y不随的变化而变化， 故选A． 【点睛】此题主要考查圆周角的性质，解题的关键是熟知圆周角的定义． 9. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：，即可求解； 【详解】解：由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：， ∴， 故选：A 10. 如图在平面直角坐标系中，点A的坐标是，将线段绕点O旋转得到线段，则点B的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】顺时针旋转时，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，然后利用一线三等角构造全等模型证明，从而利用全等三角形的性质可得，，即可解答；逆时针旋转时，同理可求． 【详解】解：若顺时针旋转， 过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为， ， ， 点的坐标为， ，， 由旋转得：，， ， ， ， ，， 点的坐标为； 若逆时针旋转， 过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为， 同理可得：， ，， 点的坐标为； 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化旋转，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，有理数的乘方等知识．熟练掌握一元二次方程的根，有理数的乘方是解题的关键． 由题意知，，即，然后代值求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴， 故答案为：． 12. 如图，将绕点顺时针旋转一定角度得到，此时点恰好在边上．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质得，再根据可得结论．解题的关键是掌握：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转一定角度得到，此时点恰好在边上，且，， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，是的直径，是的弦．若，则的大小为______________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了了圆周角定理，三角形的内角和，解题的关键是掌握相关知识．根据直角所对的圆周角是直角得到，进而求出，最后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，抛物线与直线交于A，B两点，则方程的解为______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是利用函数图象解一元二次方程，直接根据图象交点的横坐标可得答案． 【详解】解：∵A，B两点的横坐标为，， ∴方程的解为，， 故答案为：，． 15. 如图，二次函数的图象经过和两点，且交y轴于点C．连接A，C，将线段向右平移m个单位，若线段与抛物线有唯一交点，则m的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，平移的性质，关键是找到临界值． 先利用待定系数法求得抛物线的解析式，进而求出，过点作轴的平行线交抛物线于点，求出点关于直线的对称点的坐标为，数形结合可求出取值范围． 【详解】解：把和两点代入中， 得， 解得， 抛物线的解析式为； 把代入解析式，得， 的坐标为， 过点作轴的平行线交抛物线于点， ， 对称轴为直线， 点关于直线的对称点的坐标为， 当线段经过点Q时，平移距离， 当线段经过点时，平移距离， 由图可知，若线段与抛物线有唯一交点，则取值范围为． 故答案为：． 三、解答题（本题8个小题，共75分） 16. （1）解方程： （2）解方程 某同学的解题步骤如下： 解：① ② ③ ④ ∴方程无实数根⑤ ①问：这位同学解方程过程中从第 步开始写错了； ②请你帮他将方程的正确解题过程完整的书写出来． 【答案】（1）； （2）③； 解：，  ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）先整理，再利用因式分解法解方程即可； （2）①根据一元二次方程的解法依次判断每一步即可； ②根据一元二次方程的解法写出正确的解方程过程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ，； （2） 略 17. 如图，在直角坐标系中，，，，请解答下列问题 （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出． （2）绕原点顺时针旋转得到，作出． （3）求面积． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3）3.5 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据坐标可确定平移方式，即可得出，，即可作出； （2）根据旋转的性质，得出各点的对应点，顺次连接即可； （3）用所在正方形的面积减去三个小三角形的面积即可得答案． 【小问1详解】 解：∵，点的坐标为， ∴平移的方式为：向左平移个单位，再向下平移个单位， ∵，， ∴，， ∴如图所示： 【小问2详解】 解：如图所示． 【小问3详解】 解：． 18. 已知关于x的方程的根为、． （1）当时，求的值； （2）若方程的一个根，求a的值与另一个根． 【答案】（1）7 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练运用根与系数的关系是解题的关键． （1）将代入方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）将代入方程，利用一元二次方程根与系数的关系建立方程组求解即可； 【小问1详解】 ∵当时，方程为， ， ； 【小问2详解】 ∵方程的根为、， 又 ， 即， 解得：， 19. 我省有很多著名的桥梁，淇淇对此很感兴趣．某天淇淇查阅资料发现家乡的一座拱桥为圆弧的一部分（图1），其示意图可用图2中的来表示． （1）若所在圆的圆心为点，EF是弦的垂直平分线，尺规作图：找出圆心（保留作图痕迹，不写作图过程） （2）若所在圆的半径为米，拱桥的跨度（弦的长）为米，求桥拱拱高（的中点到弦的距离）． 【答案】（1）见解析 （2）桥拱拱高为米 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作垂直平分线，垂径定理，垂直平分线的性质及勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出图形． （1）作的垂直平分线，交于，点为所求； （2）连接，设的垂直平分线交于点，交于点，根据垂径定理得出，利用勾股定理求出的长即可得答案． 【小问1详解】 解：如图，作的垂直平分线，交于，点为所求． 【小问2详解】 如图，连接，设的垂直平分线交于点，交于点． 垂直平分，， （米），． 米， （米）． 米， （米）． 即桥拱拱高为4米． 20. 如图，某校劳动实践基地计划用长的栅栏，再借助外墙墙长为墙长为）围成矩形基地． （1）如图1，若围成矩形基地面积为，求边的长． （2）如图2，中间用栅栏分成两块基地用于种植不同的植物，在两块基地边上各开1道1米宽的门，若围成矩形基地面积为，求边的长． 【答案】（1）的长为 （2）的长为或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设的长为，则的长为，根据此时的矩形面积为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设的长为，则的长为，根据此时的矩形面积为，列出一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设的长为，则的长为， 由题得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：的长为； 【小问2详解】 解：设的长为，则的长为， 由题得：， 整理得：， 解得：． 答：的长为或． 21. 水火箭（图1）又称气压式喷水火箭、水推进火箭，是用废弃的饮料瓶制作而成的一种玩具，水火箭科技含量高，寓教于乐，深受广大青少年喜爱．如图2，该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度y（）与离发射点O的水平距离x（）呈抛物线模型，已知当水平距离为米时，水火箭距离地面的竖直高度最大，为9米． （1）请确定抛物线的表达式； （2）请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，距离地面的竖直高度． 【答案】（1） （2）当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为10时，距离地面的竖直高度为． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）依据题意可得，抛物线的顶点为，从而可设抛物线为，又抛物线过，求出a即可得解； （2）依据题意，结合(1) ， 令，代入计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点为， ∴可设抛物线为． 又抛物线过， ∴． ∴ ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：由题意结合（1）， ∴令，则． 答：当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为10时，距离地面的竖直高度为． 22. 随着2025年春节电影《哪吒2》大火，商家推出哪吒和敖丙的手办深受同学们的喜欢，一组手办（一个哪吒手办和一个敖丙手办为一组）的成本为60元，经过市场调查发现，当一组手办定价为100元时，每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组． （1）若让顾客得到实惠，求每组手办降价多少元时，每天的利润可以达到3500元？ （2）当每组手办降价多少元时，可以使每天的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）降价15元 （2）当每组手办降价10元时，可以使每天的利润最大，最大利润是3600元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，正确建立方程和函数关系式是解题关键． （1）设每组手办降价元时，每天的利润可以达到3500元，根据题意建立方程，解方程可得的值，再根据要求让顾客得到实惠确定的值中的较大的数即可得； （2）设当每组手办降价元时，每天的利润为元，根据题意建立函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：设每组手办降价元时，每天的利润可以达到3500元， 由题意得：， 解得或， ∵要求让顾客得到实惠， ∴， 答：每组手办降价15元时，每天的利润可以达到3500元． 【小问2详解】 解：设当每组手办降价元时，每天的利润为元， 由题意得： ， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为3600， 答：当每组手办降价10元时，可以使每天的利润最大，最大利润是3600元． 23. 定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α（）得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 【特例感知】（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系 ； ②如图3，当时，则长为 ． 【猜想论证】（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）①；②4； （2）， 证明：如图，延长至点E使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键． （1）①根据含30度的直角三角形的性质解答； ②证明，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质计算； （2）证明四边形是平行四边形，得到，根据全等三角形的性质得到，得到答案． 【详解】解：（1）①∵是等边三角形， ∴， ∵是的“旋补三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵是的“旋补三角形”， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵，是的“旋补中线”， ∴， 故答案为：4； （2）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $