第二十八章 锐角三角函数 习题课件 2025-2026学年人教版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦“锐角三角函数（正弦）”核心知识点，通过课前自主学习从直角三角形边的关系引入正弦定义，以30°角直角三角形对边与斜边的比为具体实例，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接直角三角形性质，为后续三角函数学习奠定基础。 其亮点在于分层设计（课前自主、课时达标、速效提能、中考体验），结合数学思维（如第7题推理正弦值与边缩放无关）和数学语言（如第12题函数综合应用求正弦），通过概念辨析、规范解答培养学生运算能力与应用意识。教师可直接用于分层教学，学生能逐步提升数学眼光与探究能力。

第二十八章 锐角三角函数 28.1　锐角三角函数 第三课时　特殊锐角三角函数 学考精练·数学·八年级下册·配北师大版 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课前自主学习 课时达标演练 速效提能集训 中考真题体验 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课前自主学习 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则下列式子中正确的是 (　　) A.sin A＝ B.cos A＝ C.tan A＝ D.tan A＝ 课前自主学习 B 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 2.填表 课前自主学习 锐角α 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课时达标演练 知识点：特殊锐角三角函数 1.若sin∠1＝，∠1是锐角，则∠1＝________°. 2.已知3tan A－＝0，则∠A＝________°. 3.锐角A满足sin A＝，则∠A＝________°. 4.在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则cos A＝______. 5.已知∠A为锐角，tan(90°－A)＝，则∠A的度数为__________. 课时达标演练 60 30 30 30° 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 6.若(tan A－3)2＋＝0，则△ABC是 (　　) A.直角三角形 B.等边三角形 C.含有60° 角的任意三角形 D.顶角为钝角的等腰三角形 课时达标演练 A 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 7.计算： (1)tan 45°－2cos 30°·sin 60°； (2). 课时达标演练 解：原式＝1－2××＝－. 解：原式＝ ＝＝. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 8.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝，求∠A，∠B的度数. 课时达标演练 解：在Rt△ABC中，∵tan A＝＝＝， ∴∠A＝30°，∠B＝90°－∠A＝60°. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 速效提能集训 9.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则∠B的度数是(　　) A.30°　　 B.45°　 C.60°　 D.75° 10.下列计算错误的个数是(　　) ①sin 60°－sin 30°＝sin 30°；②sin245°＋cos245°＝1； ③＝；④tan 30°＝. A.1个　 B.2个　 C.3个　 D.4个 速效提能集训 C C 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边.已知c＝2，b＝，那么∠A的度数为__________. 12.已知∠α是锐角，tan＝，则sin α的值为______. 13.在△ABC中，∠B＝75°，tan A＝，则∠C的度数为__________. 速效提能集训 45° 45° 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 14.等腰三角形ABC的腰长为2，底角为30°，则底边上的高为______，周长为__________. 15.若∠α为锐角，且满足 tan2α－4tan α＋＝0，则∠α的度数为___________. 速效提能集训 4＋6 30°或60° 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 解：∵∠A＝30°，∠BDC＝60°，∴∠ABD＝∠BDC－∠A＝30°. ∴BD＝AD＝20. 在Rt△BCD中，∵sin∠BDC＝，即sin 60°＝＝， ∴BC＝10. 16.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， 点D在AC上，且∠BDC＝60°，AD＝20，求BC的长. 速效提能集训 (第16题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 速效提能集训 17.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延长CA至点D，使AD＝AB，连接BD. (1)求∠D的度数； (第17题) 解：∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠D. 又∵∠BAC＝∠ABD＋∠D＝30°， ∴∠D＝∠ABD＝15°. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 解：设BC＝x.在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°， ∴AD＝AB＝2BC＝2x，AC＝＝＝x. ∴DC＝AD＋AC＝2x＋x. ∴tan D＝＝＝2－. 速效提能集训 (2)求tan D的值. (第17题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 中考真题体验 1.(2024·天津)cos 45°－1的值等于 (　　) A.0 B.1 C.－1 D.－1 中考真题体验 A 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 2.(2023·深圳)计算：(1＋π)0＋2－｜－3｜＋2sin 45°. 中考真题体验 解：(1＋π)0＋2－｜－3｜＋2sin 45° ＝1＋2－3＋2× ＝0＋ ＝. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 3.(2024·大庆)求值：｜－2｜－(2024＋π)0＋tan 60°. 中考真题体验 解：原式＝2－－1＋＝1. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 4.(2024·哈尔滨)先化简，再求代数式(－)÷的值，其中x＝2cos 30°－tan 45°. 中考真题体验 解：由题意，原式＝·－· ＝－ ＝ ＝ ＝. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 又x＝2cos 30°－tan 45° ＝2×－1 ＝－1， ∴原式＝＝. 中考真题体验 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 $第二十八章 锐角三角函数 28.1　锐角三角函数 第四课时　用计算器计算锐角三角函数 学考精练·数学·八年级下册·配北师大版 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课前自主学习 课时达标演练 速效提能集训 中考真题体验 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课前自主学习 1.用计算器求已知锐角的三角函数值：sin 30°20'24″≈_________ (结果精确到0.000 1). 2.由已知锐角三角函数值求锐角：已知tan A＝0.501 8，则∠A≈________°(填小数，结果精确到0.000 1°)≈____°____'___″(结果精确到1″). 课前自主学习 0.505 1 26.6475 26 38 51 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课时达标演练 ◆知识点1：求已知锐角的三角函数值 1.用计算器求下列锐角的三角函数值(结果精确到0.001)： (1)sin 47°≈___________； (2)sin 12°30'≈___________； (3)cos 74°28'≈___________； (4)tan 80°25'43″≈___________. 课时达标演练 0.731 0.216 0.268 5.930 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 2.计算下列式子的值(结果精确到0.01)： (1)sin 20°＋cos 70°； (2)sin 18°＋cos 50°－tan 59°； 　　 　　 (3)sin 15°32'＋cos 74°28'； (4)tan 3°8'＋tan 80°25'43″. 　　 　　 课时达标演练 0.68 －0.71 0.54 5.99 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 ◆知识点2：由锐角的三角函数值求锐角 3.已知sin A＝0.647 5，用计算器求相应的锐角A，∠A≈_________(结果精确到1'). 4.已知tan A＝4.842 5，用计算器求相应的锐角A，∠A≈__________ (结果精确到1'). 课时达标演练 40°21' 78°20' 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 5.已知cos B＝0.165 9，用计算器求相应的锐角A，∠A≈__________(结果精确到1″). 6.已知tan B＝0.888 8，用计算器求相应的锐角A，∠A≈___________ (结果精确到1″). 课时达标演练 80°27'2″ 41°37'51″ 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 速效提能集训 速效提能集训 7.若∠A是锐角，tan A＞，则 (　　) A.0°＜∠A＜30° B.30°＜∠A＜90° C.0°＜∠A＜60° D.60°＜∠A＜90° 8.比较大小：8cos 31°________(填“＞”“＜”或“＝”). B ＞ 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 速效提能集训 9.如图，某湖中有一个孤立小岛，湖边有一条笔直的观光 小道AB.现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD， 小张在小道上测得如下数据：AB＝80.0 m，∠PAB＝38.5°，∠PBA＝26.5°.请帮助小张求出小桥PD的长，并确定小桥在小道上的位置.(以点A，B为参照点，结果精确到0.1 m.参考数据：sin 38.5°≈0.62， cos 38.5°≈0.78，tan 38.5°≈0.80，sin 26.5°≈0.45， cos 26.5°≈0.89，tan 26.5°≈0.50) (第9题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 速效提能集训 解：设PD＝x m.∵PD⊥AB，∴∠ADP＝∠BDP＝90°. 在Rt△PAD中，tan∠PAD＝， ∴AD＝≈＝1.25x. 在Rt△PBD中，tan∠PBD＝，∴DB＝≈＝2x. 又∵AB＝80.0 m，∴1.25x＋2x＝80.0. 解得x≈24.6，即PD≈24.6 m. ∴DB＝2x＝49.2 m. ∴小桥PD的长约为24.6 m，位于AB之间距点B约49.2 m处. (第9题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 中考真题体验 (2023·山东威海)如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为28°，高为 7 m.用计算器求AB的长，下列按键顺序正确的是(　　) A.7 × sin 2 8 ＝ B.7 ÷ sin 2 8 ＝ C.7 × tan 2 8 ＝ D.7 ÷ tan 2 8 ＝ 中考真题体验 B 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 $第二十八章 锐角三角函数 28.2　解直角三角形及其应用 第二课时　仰角和俯角问题 学考精练·数学·八年级下册·配北师大版 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课前自主学习 课时达标演练 速效提能集训 中考真题体验 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课前自主学习 如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做______；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做__________. 课前自主学习 仰角 俯角 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课时达标演练 知识点：俯角和仰角问题1.如图，某数学小组要测量校园内旗杆AB的高度，其中一名同学站在距离旗杆12 m的点C处，测得旗杆顶端A的仰角是30°，此时该同学的眼睛到地面的高CD为1.5 m，则旗杆的高度为____m.(结果精确到0.1 m.参考数据：≈1.73) 课时达标演练 (第1题) 8.4 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 2.如图，在高出海平面100 m的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得观测的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC＝_____m. 课时达标演练 (第2题) 100 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 3.如图，在高度是90 m的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物CD的高度是 (　　) A.30(3＋)m B.45(2＋)m C.30(1＋3)m D.45(1＋)m 课时达标演练 (第3题) A 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 4.周末，身高都为1.6 m 的小芳、小丽来到溪江公园，准备 用她们所学的知识测算南塔的高度.如图，小芳站在A处测得 她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处测得她看塔顶的仰角 β为30°.她们又测出A，B两点的距离为30 m.假设她们的眼睛离头顶都为10 cm，则可计算出塔高约为(　　)(结果精确到0.01 m.参考数据：≈1.414，≈1.732) A.36.21 m B.37.71 m C.40.98 m D.42.48 m 课时达标演练 (第4题) D 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 速效提能集训 5.无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测.如图， 某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监 测作业时，在距地面高度为135 m的A处测得试验田右侧 边界N处的俯角为43°，无人机垂直下降40 m至B处，又测得试验田左侧边界M处的俯角为35°，则M，N两处之间的距离为(　　)(参考数据： tan 43°≈0.9，sin 43°≈0.7，cos 35°≈0.8，tan 35°≈0.7，结果保留整数) A.188 m　　　　　B.269 m　　　　　C.286 m　　　D.312 m 速效提能集训 (第5题) C 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 6.在升旗结束后，小铭想利用所学数学知识测量学校旗杆 的高度.如图，旗杆的顶端垂下一条绳子，将绳子拉直钉在 地上，末端恰好至点C处且与地面成60°角，小铭从C处拿 起绳子末端后退至点E，此时绳子末端拉至点D处.已知小铭的身高为 1.6 m，求旗杆AB的高度和小铭后退的距离.(结果精确到0.1 m.参考数据：≈1.41，≈1.73) 速效提能集训 (第6题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，则EB＝DF，BF＝ED＝1.6 m. 设绳子AC的长为x m，则AD＝AC＝x m. 在△ABC中，AB＝AC·sin 60°＝x·sin 60°，∵∠ADF＝45°， ∴△ADF是等腰直角三角形. ∴AF＝DF＝x·sin 45°.∵AB－AF＝BF＝1.6， 即x·sin 60°－x·sin 45°＝1.6， 解得x≈10.0.∴AB＝10.0×sin 60°≈8.7m， EC＝EB－CB≈10.0×－10.0×＝2.1 m. ∴旗杆AB的高度约为8.7 m，小铭后退的距离约为2.1 m. 速效提能集训 (第6题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 速效提能集训 7.如图，在斜坡PA的坡顶平台处有一座信号塔BC，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°，在坡底P处测得塔顶B的仰角为45°，已知斜坡长PA＝26 m，过点A作AH⊥PQ，垂足为H，且AH ∶PH＝1 ∶2.4，点A与点C在同一水平面上，且AC∥PQ，BC⊥AC.请解答以下问题： (第7题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 速效提能集训 (1)求坡顶A到地面PQ的距离； (第7题) 解：∵AH ∶PH＝1 ∶2.4， 即 ＝＝. 设AH＝5k，则PH＝12k， 在Rt△AHP中，由勾股定理，得 AP＝＝＝13k. ∴13k＝26，解得k＝2.∴AH＝10 m. ∴坡顶A到地面PQ的距离为10 m. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 速效提能集训 (2)求信号塔BC的高度.(结果精确到1 m.参考数据：sin 76°≈0.97， cos 76°≈0.24，tan 76°≈4.00) (第7题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 解：如图，延长BC交PQ于点D， 由题意可知四边形AHDC是矩形，∴CD＝AH＝10 m，AC＝DH. ∵∠BPD＝45°，∠BDP＝90°，∴PD＝BD.∵PH＝12×2＝24m， 设BC＝x，则x＋10＝24＋DH.∴AC＝DH＝(x－14)m. 在Rt△ABC中，tan∠BAC＝tan 76°＝，即≈4.00. 解得x≈19 m. ∴信号塔BC的高度约为19 m. 速效提能集训 (第7题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 中考真题体验 1.(2024·德阳)某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30° (AB，CD在同一平面内，B，D在同一水平面上)，则建筑物CD的高为(　　)米. A.20 B.15 C.12 D.10＋5 中考真题体验 (第1题) B 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 2.(2024·深圳)如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8 m的测量仪EF测得电子厂顶端A处的仰角为45°，小军在小明的前面5 m处用高1.5 m的测量仪CD测得电子厂顶端A处的仰角为53°，则电子厂AB的高度为 (　　) A.22.7 m B.22.4 m C.21.2 m D.23.0 m 中考真题体验 (第2题) A 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 3.(2024·达州)“三汇彩亭会”是达州市渠县三汇镇独有的传统 民俗文化活动，起源于汉代，融数学、力学、锻造、绑扎、运 载于一体(如图1)，在一次展演活动中，某数学“综合与实践” 小组将彩亭抽象成如图2的示意图，AB是彩亭的中轴，甲同学站在C处.借助测角仪观察，发现中轴AB上的点D的仰角是30°，他与彩亭中轴的距离BC＝6米，乙同学在观测点E处借助无人机技术进行测量，测得AE平行于水平线BC，中轴AB上的点F的俯角∠AEF＝45°，点E，F之间的距离是4米，已知彩亭的中轴AB＝6.3米，甲同学的眼睛到地面的距离MC＝1.5米，请根据以上数据，求中轴上DF的长度.(结果精确到0.1米.参考数据：≈1.73，≈1.41) 中考真题体验 图1　　图2 (第3题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 解：过点M作MN⊥AB，垂足为N. 由题意知，四边形CMNB是矩形. ∴CM＝BN＝1.5米，MN＝CB＝6米， AN＝AB－BN＝6.3－1.5＝4.8(米). 在Rt△DMN中，∵tan∠DMN＝， ∴DN＝tan∠DMN·MN＝tan 30°×MN＝×6＝2(米). 中考真题体验 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 在Rt△AEF中，∵sin∠AEF＝， ∴AF＝sin∠AEF·EF＝sin 45°×EF＝×4＝2(米). ∵AF＋DN＝AN＋DF，∴DF＝2＋2－4.8≈1.5(米). 答：中轴上DF的长度为1.5米. 中考真题体验 (第3题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 $第二十八章 锐角三角函数 锐角三角函数·小结 学考精练·数学·八年级下册·配北师大版 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 知识网络 基础训练 能力提升 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 知识网络 知识网络 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 基础训练 1.tan 45°的值等于 (　　) A. C. D.1 2.在Rt△ABC中， ∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则tan A的值是 (　　) A. C. D.4 3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝，则∠A的度数为 (　　) A.90° B.60° C.45° D.30° 基础训练 D C D 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 4.已知在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠B＝40°，则直角边BC的长是 (　　) A.m·sin 40° B.m·cos 40° C.m·tan 40° D. 5.已知α为锐角，且sin(α－10°)＝，则α等于 (　　) A.50° B.60° C.70° D.80° 6.已知在Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，cos B＝，则AC是(　　) A.5　 B.4 C.3 D. 基础训练 B C A 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 7.如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sin B的值是(　　) A.　　 B. C.　 D. 基础训练 (第7题) D 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 8.下列等式成立的是(　　) A.sin 45°＋cos 45°＝1 B.2tan 30°＝tan 60° C.2sin 60°＝tan 45° D.sin230°＝cos 60° 基础训练 D 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 9.如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，测得有一座水塔(图中点A处)位于她家北偏东60°的500 m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是 (　　)   A.250 m B.250.3 m C.500.33 m D.250 m 基础训练 (第9题) A 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 10.如图，河堤横断面的坡比是1 ∶，AC＝12， 则坡面AB的长度是 (　　) A.12 m B.24 m C.8 m D.24 m 基础训练 (第10题) D 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 11.已知∠A为锐角，cos A＝，则∠A的度数是_____. 12.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则sin A的值是______. 基础训练 60° 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 能力提升 13.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos B的值为______. 能力提升 (第13题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 14.如图，菱形ABCD的边长为10 cm，DE⊥AB，sin A＝，则这个菱形的面积为______cm2. 能力提升 (第14题) 60 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 15.计算： (1)sin230°＋2sin 60°＋tan 45°－tan 60°＋cos230°； 能力提升 解：原式＝＋2×＋1－＋ ＝＋＋1－＋ ＝2. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 (2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝60°，求sin A＋cos B－tan B. 能力提升 解：∵∠A＝60°，∠C＝90°，∴∠B＝30°. ∴sin A＝，cos B＝，tan B＝. ∴sin A＋cos B－tan B＝＋－＝. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 16.如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，sin A＝.点D为边AC上一点，∠BDC＝45°，AD＝7，求CD的长. 能力提升 (第16题) 解：∵∠C＝90°，∴sin A＝＝.令BC＝5x，AB＝13x， ∴AC＝＝＝12x. ∵∠BDC＝45°，∠C＝90°，∴∠BDC＝∠CBD＝45°. ∴BC＝CD＝5x.∴AD＝AC－CD＝7x＝7.∴x＝1.∴CD＝5x＝5. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 能力提升 17.如图，湖边A，B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连.为了计算A，B两点之间的距离，经测量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80 m.求A，B两点之间的距离.(参考数据：sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53， tan 58°≈1.60) (第17题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 解：过点C作CD⊥AB，垂足为点D，在Rt△ACD中， ∵∠DAC＝37°，AC＝80 m，∴sin∠DAC＝，cos∠DAC＝. ∴CD＝AC·sin 37°≈80×0.60＝48m， AD＝AC·cos 37°≈80×0.80＝64(m). 在Rt△BCD中，∵∠CBD＝58°，CD＝48 m，∴tan∠CBD＝. ∴BD＝≈＝30(m).∴AB＝AD＋BD＝64＋30＝94(m). 答：A，B两点之间的距离约为94 m. 能力提升 (第17题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 18.如图，在山顶上有一座电视塔，为测量山高，在地面上引一条基线EDC，测得∠C＝45°，CD＝60 m，∠BDE＝30°.已知电视塔高AB＝150 m，求山高BE的值. (参考数据：≈1.414，≈1.732.结果精确到1 m) 能力提升 (第18题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 解：设BE＝x m，在Rt△BDE中，∠BDE＝30°， ∴BD＝＝2x m. ∴DE＝＝＝xm. 在Rt△ACE中，∠C＝45°，∴∠A＝45°.∴∠A＝∠C.∴AE＝CE. ∴AB＋BE＝CD＋DE， 即150＋x＝60＋x. 解得x＝45(＋1)≈123 (m). 答：山高BE的值约为123 m. 能力提升 (第18题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 19.如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内滑滑板的倾斜度由45°降为30°.已知原滑滑板AB的长为5 m，点D，B，C在同一水平地面上.改善后滑滑板会加长多少？(结果精确到0.01 m.参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449) 能力提升 (第19题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 解：在Rt△ABC中，∵AB＝5 m，∠ABC＝45°， ∴AC＝AB·sin 45°＝5×＝ m. 在Rt△ADC中，∵∠ADC＝30°， ∴AD＝＝5≈5×1.414＝7.07m，AD－AB＝7.07－5＝2.07 m. ∴改善后滑滑板会加长2.07 m. 能力提升 (第19题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 20.某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度.如图，在某一时刻，旗杆AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE，CD＝1.6 m，BC＝5CD. (1)求BC的长； 能力提升 (第20题) 解：∵BC＝5CD，CD＝1.6 m， ∴BC＝5×1.6＝8 m. ∴BC的长为8 m. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆AB的高度. 条件①：CE＝1.0 m；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角α为54.46°. 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分. (参考数据：sin 54.46°≈0.81，cos 54.46°≈0.58，tan 54.46°≈1.40) 能力提升 (第20题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 解：若选择条件①：由题意，得＝， ∴＝.∴AB＝12.8 m. ∴旗杆AB的高度为12.8 m. 若选择条件②：过点D作DF⊥AB，垂足为F， 则DC＝BF＝1.6 m，DF＝BC＝8 m， 在Rt△ADF中，∠ADF＝54.46°，∴AF＝DF·tan 54.46°≈8×1.4＝11.2 (m). ∴AB＝AF＋BF＝11.2＋1.6＝12.8 (m). ∴旗杆AB的高度约为12.8 m. 能力提升 (第20题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 $第二十八章 锐角三角函数 28.1　锐角三角函数 第一课时　正　弦 学考精练·数学·八年级下册·配北师大版 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课前自主学习 课时达标演练 速效提能集训 中考真题体验 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课前自主学习 1.在Rt△ABC中， ∠C＝90°，则∠A的对边是_____，邻边是_____，斜边是______. 2.如图，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，则AB＝____，＝______.其中比值 叫做∠A的_______，记作_______，即sin A＝______. 课前自主学习 (第2题) BC AC AB 6 正弦 sin A 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 3.已知a，b，c分别是Rt△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，则sin A＝______. 课前自主学习 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课时达标演练 知识点：正弦的概念及应用 1.在Rt△ABC中， ∠C＝90°，a＝3，c＝5，则sin A＝______. 2.在Rt△ABC中， ∠C＝90°，BC＝5，sin A＝，则AB＝________. 3.在Rt△ABC中， ∠C＝90°，a＝1，b＝3，则sin A＝______. 4.在Rt△ABC中， ∠C＝90°，sin A＝，则sin B＝______. 课时达标演练 13 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 5.如图，判断对错.(对的画“√”，错的画“✕”) (1)sin A＝； (　　) (2)sin B＝； (　　) (3)sin A＝0.6 m； (　　) (4)sin B＝0.8. (　　) 课时达标演练 (第5题) √ ✕ ✕ √ 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 6.在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，则sin A的值是 (　　) A. C. D.1 课时达标演练 B 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 7.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大为原来的10倍，sin A的值 (　　) A.扩大为原来的10倍 B.缩小为原来的 C.不变 D.不能确定 课时达标演练 C 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 8.如图，在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝3，求sin A和sin B的值. 课时达标演练 (第8题) 解：在Rt△ABC中，AB＝＝＝， sin A＝＝＝，sin B＝＝＝. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 速效提能集训 9.如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则sin∠AOB的值是 (　　) A. C. 速效提能集训 (第9题) D 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 10.如图，在△ABC中，∠A＝30°，则sin A＝______. 速效提能集训 (第10题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D. ∵AB＝AC＝10，BC＝12，∴BD＝BC＝6. 在Rt△ABD中，AD＝＝＝8. ∴sin B＝＝＝. 11.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，求sin B的值. 速效提能集训 (第11题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 速效提能集训 12.如图，点A(3，2)在反比例函数y＝的图象上，点B的坐标为(0，－2). (1)求反比例函数的解析式； (第12题) 解：∵点A(3，2)在反比例函数y＝的图象上， ∴＝2.解得k＝6. ∴反比例函数的解析式为y＝. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 速效提能集训 (2)若过点A，B的直线与x轴交于点C，求sin∠BCO的值. (第12题) 解：设过点A，B的直线解析式为y＝kx＋b.则　 解得 故直线AB的解析式为y＝x－2. 当y＝0时，x－2＝0，解得x＝1.5.即C(1.5，0).所以CO＝1.5，BO＝2. 在Rt△OCB中，BC＝＝2.5，∴sin∠BCO＝＝＝. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 速效提能集训 13.如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，点P在☉O上，∠1＝∠C. (1)求证：CB∥PD； (第13题) 证明：∵∠1＝∠C，∠P＝∠C， ∴∠1＝∠P. ∴CB∥PD. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 (2)若BE＝3，sin P＝，求☉O的直径. 速效提能集训 (第13题) 解：连接OC.∵BE＝3，sin∠BCE＝sin P＝，CD⊥AB， ∴BC＝5，CE＝4.∵OC2＝OE2＋CE2， 即r2＝(r－3)2＋42，∴r＝. ∴☉O的直径为 . 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 中考真题体验 1.(2024·临夏州)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sin B＝，则BC的长是 (　　) A.3 B.6 C.8 D.9 中考真题体验 (第1题) B 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 2.(2024·资阳)第14届国际数学教育大会(ICME－14)会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”.如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形(△ABE，△BCF，△CDG，△DAH)和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD.若EF ∶AH＝1 ∶3，则sin∠ABE＝ (　　) A. C. 中考真题体验 (第2题) C 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 3.(2024·浙江改编)如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝CD＝6. (1)求BC的长； 中考真题体验  (第3题) 解：∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6， ∴BD＝＝＝8； ∵CD＝AD＝6， ∴BC＝BD＋CD＝8＋6＝14. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 (2)求sin∠DAE的值. 中考真题体验  (第3题) 解：∵AE是BC边上的中线，∴CE＝BC＝7， ∴DE＝CE－CD＝7－6＝1， ∵AD⊥BC，∴AE＝＝＝， ∴sin∠DAE＝＝＝. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 $第二十八章 锐角三角函数 28.2　解直角三角形及其应用 第三课时　方位角和坡角问题 学考精练·数学·八年级下册·配北师大版 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课前自主学习 课时达标演练 速效提能集训 中考真题体验 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课前自主学习 如图，坡面的铅垂高度(h)和水平宽度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即i＝______.坡面与水平面的夹角叫做__________，记作α.有i＝＝_______. 课前自主学习 坡角 tan α 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课时达标演练 ◆知识点1：方位角问题 1.如图，客轮在海上以30 km/h的速度由B处向C处航行，在B处测得灯塔A的方位角为北偏东60°，测得C处的方位角为南偏东30°，航行1 h后到达C处，在C处测得灯塔A的方位角为北偏东30°，则C处到A处的距离是 (　　) A.50 km B.60 km C.70 km D.65 km 课时达标演练 (第1题) B 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 2.如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°的方向上，且AM＝100 n mile，那么该船继续航行________海里可到达距离灯塔最近的位置.(结果保留根号) 课时达标演练 (第2题) 50 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 3.钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土，为宣示主权，我国海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进行维权活动.如图，一艘海监船以30 n mile/h的速度向正北方向航行，海监船在A处时，测得钓鱼岛C在该船的北偏东30°的方向上；航行半小时后，该船到达点B处，发现此时钓鱼岛C与该船距离最短. 课时达标演练 (第3题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 (1)请在图中作出点B； 课时达标演练 (第3题) 解：略 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 (2)求钓鱼岛C到B处的距离.(结果保留根号) 课时达标演练 (第3题) 解：在Rt△ABC中，∵AB＝30×0.5＝15n mile， ∴BC＝AB tan 30°＝15×＝5n mile. ∴钓鱼岛C到B处的距离为5 n mile. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 ◆知识点2：坡度、坡角的应用 4.如图，某游乐场的一个山顶滑梯高为h，滑梯的坡角为∠α，那么滑梯长l为 (　　) A. C.D.h·sin α 课时达标演练 (第4题) A 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 5.如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离AC为6 m，则这两棵树之间的坡面AB的长为 (　　) A.12 m B.3 m C.4 m D.12 m 课时达标演练 (第5题) C 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 6.某人沿着斜坡前进，当他前进30 m时上升的高度为15 m，则斜坡的坡度i等于(　　) A.1 ∶2　 B.1 ∶　　　 C.1 ∶　 D.2 ∶1 7.一段公路的坡度i＝1 ∶3，某人沿这段公路路面前进100 m ，那么他上升的最大高度为_________m. 课时达标演练 C 10 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 速效提能集训 8.如图，一只羊在山坡BD中点E处吃草，已知山坡BD的坡度i＝1∶，坡高CD为1 000 m，这只羊正好在A处的西北方向上. (1)求这只羊到山脚B的距离； 速效提能集训 (第8题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 解：∵BD的坡度i＝1∶，坡高CD为1 000 m，∴BC＝1 000 m. ∴BD＝ ＝ ＝2 000(m). ∵点E是BD的中点，∴BE＝BD＝1 000 m. ∴这只羊到山脚B的距离为1 000 m. 速效提能集训 (第8题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 (2)求B，A两处之间的距离.(结果保留根号) 速效提能集训 (第8题) 解：过点E作EF⊥BC于点F，∴EF∥CD.∵点E是BD的中点， ∴BF＝BC＝500，EF＝CD＝500. ∵∠EAF＝45°，∴△AEF是等腰直角三角形. ∴AF＝EF＝500.∴AB＝AF－BE＝(500－500)m. ∴B，A两处之间的距离为(500－500)m. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 9.如图，为了缓解交通拥堵，方便行人，政府计划在某街道修建一座横断面为梯形ABCD的过街天桥.若天桥斜坡AB的坡角∠BAD＝35°，斜坡CD的坡度i＝1 ∶1.2(垂直高度CE与水平宽度DE的比)，上底BC＝ 10 m，天桥高度CE＝5 m，求天桥下底AD的长度.(结果精确到0.1 m.参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70) 速效提能集训 (第9题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 解：如图，过点B作BF⊥AD于点F，则四边形BCEF为矩形. ∴BF＝CE＝5 m，EF＝BC＝10 m. 在Rt△ABF中，＝tan 35°，则AF≈≈7.1 (m). 在Rt△CDE中，∵CD的坡度为i＝1 ∶1.2，即＝1 ∶1.2，∴ED＝6 m. ∴AD＝AF＋EF＋ED＝7.1＋10＋6＝23.1(m). ∴天桥下底AD的长度约为23.1 m. 速效提能集训 (第9题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 中考真题体验 1.(2023·广东广州)如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10 n mile到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为(　　)n mile. A. C.20 D.10 中考真题体验 (第1题) D 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 2.(2023·广东深圳)爬坡时坡面与水平面的夹角为∠α，则每爬1 m耗能(1.025－cos α)J，若某人爬了1 000 m，该坡角为30°，则他耗能 (　　)(参考数据：≈1.732，≈1.414) A.58 J B.159 J C.1 025 J D.1 732 J 中考真题体验 (第2题) B 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 3.(2024·重庆)如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B，D两港运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资.甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港，再沿北偏东60°方向航行一定距离到达C港.乙货轮沿A港的北偏东60°方向航行一定距离到达D港，再沿南偏东30°方向航行一定距离到达C港. (参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45) 中考真题体验 (第3题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 (1)求A，C两港之间的距离(结果保留小数点后一位)； 中考真题体验 (第3题) 解：过点B作BE⊥AC，垂足为E，如图. 在Rt△ABE中，∠BAE＝90°－45°＝45°，AB＝40海里， ∴AE＝AB·cos 45°＝40×＝20海里， 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 BE＝AB·sin 45°＝40×＝20海里， 在Rt△BCE中，∠CBE＝60°， ∴CE＝BE·tan 60°＝20×＝20海里， ∴AC＝AE＋CE＝20＋20≈77.2海里， ∴A，C两港之间的距离约为77.2海里. 中考真题体验 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同(停靠B，D两港的时间相同)，哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明. 中考真题体验 (第3题) 解：甲货轮先到达C港. 理由：如图. 由题意得：∠CDF＝30°，DF∥AG， ∴∠GAD＝∠ADF＝60°， ∴∠ADC＝∠ADF＋∠CDF＝90°， 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 在Rt△ACD中，∠CAD＝90°－∠GAD＝30°， ∴CD＝AC·sin 30°＝(10＋10)海里， AD＝＝(10＋30)海里， 在Rt△BCE中，∠CBE＝60°，BE＝20海里， ∴BC＝＝＝40(海里)， 中考真题体验 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 ∴甲货轮航行的路程＝AB＋BC＝40＋40≈96.4(海里)， 乙货轮航行的路程＝AD＋CD＝10＋30＋10＋10 ＝20＋40≈105.4海里. ∵96.4海里＜105.4(海里)， ∴甲货轮先到达C港. 中考真题体验 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 $第二十八章 锐角三角函数 28.2　解直角三角形及其应用 第一课时　解直角三角形 学考精练·数学·八年级下册·配北师大版 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课前自主学习 课时达标演练 速效提能集训 中考真题体验 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课前自主学习 任何一个直角三角形除直角外共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，在解直角三角形的过程中，用到的相关边角关系有：   (1)三边之间的关系：________________. (2)两锐角之间的关系：_________________. 课前自主学习 a2＋b2＝c2 ∠A＋∠B＝90° 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 (3)边角之间的关系： sin A＝______；sin B＝______；cos A＝______；cos B＝______； tan A＝______；tan B＝_________. 课前自主学习 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课时达标演练 ◆知识点1：已知两边解直角三角形 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则AC＝____，cos A＝_____. 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝20，b＝20，则c＝____，∠B＝______°. 课时达标演练 4 40 30 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论中正确的是 (　　) A.sin A＝B.tan A＝ C.cos B＝ D.tan B＝ 4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则tan 的值为 (　　) A. C. D.2－ 课时达标演练 D B 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝，解这个直角三角形. 课时达标演练 (第5题) 解：在Rt△ABC中，AB＝＝＝2. ∵tan A＝＝，∴∠A＝30°. ∴∠B＝90°－∠A＝60°. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 ◆知识点2：已知一边和一个锐角解直角三角形 6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝3，则∠A＝_____°，AB＝_______，AC＝_____. 7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝4，那么AD＝_______. 课时达标演练 (第7题) 60 2 4 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课时达标演练 8.如图，在半径为2的☉O中，∠OAB＝30°，则弦AB的长是 (　　) A.2 C.4 D.6 (第8题) D 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课时达标演练 9.如图，在△ABC中，∠A＝30°，tan B＝，AC＝2，则AB的长为 (　　) A.4 B.5 C.6 D.7 (第9题) B 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 速效提能集训 10.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos B＝，点D在BC边上，CD＝AC，AB＝26，则BD的长为(　　)   A.10 B.12 C.14 D.16 速效提能集训 (第10题) C 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 11.如图，在△ABC中，∠B＝45°，AD⊥BC交BC于点D.若AB＝ 4，tan∠CAD＝，则BC的值为(　　) A.6　　　 B.6　　 C.7　　　 D.7 速效提能集训 (第11题) C 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 12.已知Rt△ABC中，斜边AB上的高CD＝4，cos B＝，则AC的值为______. 13.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝4，解这个直角三角形. 速效提能集训 解：在Rt△ABC中，AB＝＝＝8. ∵tan A＝＝＝，∴∠A＝30°.∴∠B＝90°－∠A＝60°. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 14.如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，AB与CE相交于点F，∠ACB＝∠E＝90°，∠A＝30°，∠D＝45°，BC＝6，求CF的长. 速效提能集训 (第14题) 解：过点F作FM⊥BC于点M，则∠FMC＝∠FMB＝90°. ∵∠ECD＝∠D＝45°，∴CM＝FM＝CF×sin 45°＝CF. ∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠FBM＝60°. ∴BM＝＝CF×＝CF. ∵BC＝CM＋BM，∴CF＋CF＝6，解得CF＝18－6. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 中考真题体验 1.(2023·广东)2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站.如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态.当两臂AC＝BC＝10 m，两臂夹角∠ACB＝100°时，求A，B两点间的距离.(结果精确到0.1 m.参考数据：sin 50°≈0.766，cos 50°≈0.643，tan 50°≈1.192) 中考真题体验 (第1题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 解：连接AB，取AB中点D，连接CD，如图， ∵AC＝BC，点D为AB中点，∴中线CD为等腰三角 形的角平分线且CD⊥AB，AD＝BD＝AB. ∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝50°.在Rt△ACD中，sin∠ACD＝，∴sin 50°＝. ∴AD＝10×sin 50°≈7.66(m).∴AB＝2AD＝15.32≈15.3(m). 答：A，B的距离大约是15.3 m. 中考真题体验 (第1题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 2.(2024·广东)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位.经测量，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m，CE＝1.6 m，GH⊥CD，GH是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定. 根据以上信息回答下列问题：(结果精确到0.1 m.参考数据≈1.73) 中考真题体验 (第2题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 解：∵四边形PQMN是矩形， ∴∠Q＝∠P＝90°，在Rt△ABQ中，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m， ∴AQ＝AB·sin∠ABQ＝ m，∠QAB＝30°， ∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝∠ABC＝∠BCE＝90°，∴∠CBE＝30°， ∴BC＝＝ m，∴AD＝ m，∵∠PAD＝180°－30°－90°＝60°， ∴AP＝AD·cos∠PAD＝ m，∴PQ＝AP＋AQ＝≈6.1 m. (1)求PQ的长； 中考真题体验 (第2题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 (2)该充电站有20个停车位，求PN的长. 中考真题体验 (第2题) 解：在Rt△BCE中，BE＝＝3.2 m， 在Rt△ABQ中，BQ＝AB·cos∠ABQ＝2.7 m， ∵该充电站有20个停车位，∴QM＝QB＋20BE＝66.7 m， ∵四边形PQMN是矩形，∴PN＝QM＝66.7 m. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 $第二十八章 锐角三角函数 28.1　锐角三角函数 第二课时　余弦与正切 学考精练·数学·八年级下册·配北师大版 学考精练·数学·九年级全一册·配北师大版 课前自主学习 课时达标演练 速效提能集训 中考真题体验 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课前自主学习 如图，B，B'分别是∠MAN的边AN上任意两点，BC⊥AM于 点C，B'C'⊥AM于点C'，则： (1)＝______，即在Rt△ABC中(∠C＝90°)，当∠A确定时，它的邻边与斜边的比是一个确定的值，这个比值 叫做∠A的______，记作_______； (2)＝______，这个比值 叫做∠A的__________，记作_________. 课前自主学习 余弦 cos A 正切 tan A 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课时达标演练 知识点：余弦、正切的概念及应用 1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cos A＝______，tan A＝______，cos B＝______.   (第1题) 课时达标演练 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 2.如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan∠AOB＝______. (第2题) 课时达标演练 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos B＝，且AB＝6，则AC＝_______. 4.如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的坐标为(3，4)，则cos α＝______. 课时达标演练 (第4题) 4 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝5，则BC的长为 (　　) A.5sin 35° B. C.5cos 35° D.5tan 35° 6.在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则tan B的值为 (　　) A. C. 课时达标演练 C B 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列关系式成立的是 (　　) A.AC＝AB·cos B B.BC＝AC·cos A C.AC＝AB·cos A D.AC＝BC·tan A 课时达标演练 C 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sin A＝，求cos A，tan B的值. 课时达标演练 (第8题) 解：在Rt△ABC中，∵sin A＝，即 ＝， ∴AB＝10，AC＝＝＝8. ∴cos A＝＝＝，tan B＝＝＝. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 速效提能集训 9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则tan A的值为 (　　) A.2 C. D.8 10.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果b＝3a，那么∠A的正切值为______. 速效提能集训 A 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 11.如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是______. 速效提能集训 (第11题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 12.如图，在△ABC中，AC＝13 cm，AB＝16 cm，sin A＝. (1)求AB边上的高CD； 速效提能集训 (第12题) 解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D. 在Rt△ADC中，∵sin A＝，即 ＝，∴CD＝5 cm. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 (2)求tan B的值. 速效提能集训 (第12题) 解：在Rt△ADC中，AD＝＝＝12(cm)， ∴BD＝AB－AD＝16－12＝4(cm). ∴在Rt△CDB中，tan B＝＝. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 解：∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴∠C＝∠DEA＝90°. ∴∠A＋∠ADE＝90°，∠A＋∠B＝90°.∴∠B＝∠ADE. 在Rt△ADE中，设DE＝x，则AE＝2x. ∴AD＝＝＝x. ∴sin B＝sin∠ADE＝＝＝， cos B＝cos∠ADE＝＝＝，tan B＝tan∠ADE＝＝＝2. 13.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC边上一点，DE⊥AB于点E，且DE ∶AE＝1 ∶2.求sin B，cos B，tan B的值. 速效提能集训 (第13题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 证明：在正方形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝90°， ∵CF⊥DE，∴∠CFD＝∠CFG＝90°.∵AG∥CF，∴∠AGD＝∠CFG＝90°. ∴∠AGD＝∠CFD.又∵∠ADG＋∠CDE＝∠ADC＝90°，∠DCF＋∠CDE＝90°， ∴∠ADG＝∠DCF.∴△DCF≌△ADG(AAS). 速效提能集训 14.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，连接DE，过点C作CF⊥DE于点F，过点A作AG∥CF，交DE于点G. (1)求证：△DCF≌△ADG； (第14题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 解：设正方形ABCD的边长为2a.∵点E是AB的中点，∴AE＝×2a＝a. 在Rt△ADE中，DE＝＝＝a， ∴sin∠ADE＝＝＝. ∵∠ADE＝∠DCF＝α，∴sin α＝. 速效提能集训 (2)若点E是AB的中点，设∠DCF＝α，求sin α的值. (第14题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 中考真题体验 1.(2024·云南)如图，在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， 则tan A＝(　　) A. C. 中考真题体验 (第1题) C 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 2.(2024·遂宁)小明的书桌上有一个L型台灯，灯柱AB高40 cm，他发现当灯带BC与水平线BM夹角为9°时(图1)，灯带的直射宽DE(BD⊥BC，CE⊥BC)为35 cm，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为30°时(图2)，直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点C到桌面的距离.(结果保留1位小数.sin 9°≈0.16，cos 9°≈0.99，tan 9°≈0.16) 中考真题体验 图1　　　　　　图2 (第2题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 解：如图2，过点C作CK⊥AE'于点K，交BM于点J. 如图1，∵DB⊥BC，EC⊥BC， ∴BD∥EC，∵BM∥DE， ∴四边形BDEM是平行四边形， ∴BM＝DE＝35 cm， ∴BC＝BM·cos 9°≈35×0.99＝34.65 cm， 中考真题体验 图1　　　　图2 (第2题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 如图2，∵BM∥AE'，CK⊥AE'， ∴CJ⊥BM，∴CJ＝BC·sin 30°≈17.33 (cm)， ∵AB⊥AE'，∴BA＝JK＝40 cm， ∴CK＝CJ＋JK＝17.33＋40＝57.3(cm). 答：台灯最高点C到桌面的距离约为57.3 cm. 中考真题体验 图1　　　　图2 (第2题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 $