精品解析：山东省淄博市张店区2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

2025—2026学年度第一学期期中学业水平测试 初四数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 已知y是x的反比例函数，当时，，则下列关于y与x之间的函数关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 4. 如图，在中，，过点C作于点D，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数值 B. y随x的增大而增大 C. 点在该函数的图象上 D. 图象在第一、三象限 6. 将二次函数的图象平移，使它平移后的图象的顶点为，则需将该二次函数图象（ ） A. 先向右平移个单位，再向上平移个单位 B. 先向右平移个单位，再向下平移个单位 C. 先向左平移个单位，再向上平移个单位 D. 先向左平移个单位，再向下平移个单位 7. 如图，在中，延长斜边到点D，使，连接．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数（m为常数）的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于5个单位长度，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 某校对教室采取喷洒药物的方式进行消毒．在对某教室进行消毒的过程中，先经过的集中药物喷洒，再封闭教室，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y（）与药物在空气中的持续时间之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示． 下面四个选项中错误的是（ ） A. 经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到 B. 室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了 C. 室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了 D. 当室内空气中的含药量低于时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到开始，需经过后，学生才能进入室内 10. 已知函数的图象上有两个点，，且，两点不重合，有下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 则，其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值是______． 12. 二次函数，当时， y的范围_____________． 13. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在网格的格点上，则的值为______． 14. 如图①，在区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小明发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速公路的限速区间段的平均行驶速度v（）与行驶时间t（h）是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于．若小明的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间为，则m的值可能是______．（写出一个m的可能的值即可） 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为，点B的坐标为，点C在x轴的负半轴上，点D在反比例函数的图象上，过点A作轴，交该反比例函数图象于点E，连接，则的面积为______． 三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数的解析式． （2）请判断点是否在该二次函数的图象上，并说明理由． 18. 在中，，，． （1）求的长； （2）求的面积．（结果都保留根号） 19. 如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． （1）求出直线对应的函数表达式； （2）分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 20. 新定义：对于给定的二次函数（），把形如的函数称为二次函数的“关联函数”． 运用新定义解决问题：已知二次函数． （1）请直接写出这个二次函数的“关联函数”的表达式； （2）若点A在这个二次函数的“关联函数”的图象上，求m的值； （3）当时，请直接写出这个二次函数的“关联函数”的最大值和最小值． 21. 在《测量物体的高度》的综合实践课上，老师先带领同学们制作简易测角仪，随后再用所制作的测角仪测量物体的高度． 小明同学提出如下方法制作测角仪（图1）： 步骤一：以量角器为主要器材进行设计，在经过中心点O处安置一根可绕点O旋转的空心直管，眼睛可通过空心管的C端瞄准目标物E进行测量，此时的方向即为视线的方向． 步骤二：在量角器的中心点O处悬挂重锤，由物理知识可知只要重锤悬挂线与线重合，则即为水平线．此时读出角的度数，就是所测目标的仰角． （1）步骤二中蕴含的一个数学知识是：______； （2）测角仪制作出来后，小明便利用这个测角仪测量某高楼顶部的一信号发射塔的高度．如图2，小明在矩形建筑物的D、C两点处测得该塔顶端E仰角分别为，，矩形建筑物高度．计算该信号塔顶端到地面的高度．（参考数据：，，）． 22. 已知二次函数的图象的顶点坐标为． （1）求b和c的值； （2）将二次函数．的图象记为，将关于原点对称的图象记为，与合起来得到的图象记为M，完成以下问题： ①在如图所示的平面直角坐标系中画出图象M； ②若对于图象M上的两点．，，当，时，总有，请直接写出m的取值范围． 23. 综合与实践：小颖在学习了二次函数之后，对物理学中的探究实验“阻力对物体运动的影响”又有了新的认识．对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究．小颖先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务． 【实验过程】：如图所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下至点处后，再沿水平木板直线运动．从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在水平木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据． 【收集数据】：记录的数据如下表： 运动时间 … 运动速度 … 运动距离 … 【建立模型】：根据表格中的数值分别在图、图的平面直角坐标系中描点、连线（大致图象已画出）；通过观察图象发现，我们可以用一次函数近似地表示与的函数关系，用二次函数近似地表示与的函数关系．请求写出与的函数关系式以及与的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） 【拓展应用】：①当黑球在水平木板上滚动了时，运动速度是多少？ ②若黑球到达木板点处的同时，在前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，则黑球能否追上小车？若能，请求出黑球追上小车时的的值；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期中学业水平测试 初四数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 已知y是x的反比例函数，当时，，则下列关于y与x之间的函数关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式．根据反比例函数的定义，设函数式为，代入当时，，进行求出的值，即可作答． 【详解】解：∵y是x的反比例函数， ∴设函数式为， ∵当时，， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 2. 在中，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和正切的定义，解题的关键是先利用勾股定理求直角边的长，再根据正切定义计算． 先由勾股定理求出的长度，再根据正切的定义（）计算的值． 【详解】解：，，， ， ． 故选：B． 3. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是； 当时，， ∴顶点坐标是； 综上：只有选项D正确； 故选D． 4. 如图，在中，，过点C作于点D，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的定义，注意直角三角形中斜边上画出高，图中会有相等的角，若，则． 利用三角函数的定义结合图形，注意题目中相等的角在不同三角形中三角函数的表示不同． 【详解】解：∵在中，，， ∴， A．，故A选项错误，符合题意； B．因为，所以，故B选项正确，不符合题意； C．，故C选项正确，不符合题意； D．因为，所以，故D选项正确，不符合题意； 故选：A． 5. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数值 B. y随x的增大而增大 C. 点在该函数的图象上 D. 图象在第一、三象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．根据反比例函数的性质，当时，函数图象在第二、四象限，且当时，，在每个象限内y随x的增大而增大． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴当时，，故A正确； ∵点代入函数，当时，故C错误； ∵函数图象在第二、四象限，不在第一、三象限，故D错误； ∵虽然当时，在每个象限内y随x的增大而增大，但选项B未指定“在每个象限内”，表述不严谨，故B错误． 故选：A． 6. 将二次函数的图象平移，使它平移后的图象的顶点为，则需将该二次函数图象（ ） A. 先向右平移个单位，再向上平移个单位 B. 先向右平移个单位，再向下平移个单位 C. 先向左平移个单位，再向上平移个单位 D. 先向左平移个单位，再向下平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象平移，熟练掌握二次函数顶点式的转化及平移规律是解题的关键．先将原二次函数化为顶点式，确定其顶点坐标，再结合目标顶点坐标，根据“左加右减、上加下减”的平移规则，分析顶点的平移方向与距离，进而确定函数图象的平移方式． 【详解】解：原函数化为顶点式： ， 顶点为， 目标顶点为， 水平平移：（向右平移个单位）， 垂直平移：（向上平移个单位）， 故需先向右平移个单位，再向上平移个单位． 故选：． 7. 如图，在中，延长斜边到点D，使，连接．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握三角函数的定义． 如图，过点作交于点．设，则，求出可得结论． 【详解】解：如图，过点作交于点． 设，则， ，， ， ， ， ∴， ， ， 故选：B． 8. 已知二次函数（m为常数）的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于5个单位长度，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于5，由于抛物线开口向下，顶点为最高点，因此顶点到x轴的距离必须小于5，即顶点纵坐标的绝对值小于5，从而保证水平线无交点、有两个交点，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴顶点坐标为，抛物线开口向下， ∵图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于5， ∴即顶点纵坐标的绝对值小于5，从而保证水平线无交点、有两个交点， ∴顶点到x轴的距离小于5，即， ∴， 解得． 故选：D． 9. 某校对教室采取喷洒药物的方式进行消毒．在对某教室进行消毒的过程中，先经过的集中药物喷洒，再封闭教室，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y（）与药物在空气中的持续时间之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示． 下面四个选项中错误的是（ ） A. 经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到 B. 室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了 C. 室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了 D. 当室内空气中的含药量低于时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到开始，需经过后，学生才能进入室内 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，一次函数的应用，理解图象的意思是解题的关键．根据图中信息一一判断即可． 【详解】解：A、由图可知：经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到，选项A是正确的，不符合题意； B、当时，设函数关系式为，将代入得，解得，故此时函数关系式为， 当时，，解得：， 故室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了，选项B是正确的，不符合题意； C、当时，设函数关系式为，将代入得，解得，故此时函数关系式为， 当时，或，解得或， 则，选项C是正确的，不符合题意； D、当时，函数关系式为，时，， 当时，函数关系式为，时，，， 当室内空气中的含药量低于时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到开始，需经过后，学生才能进入室内，选项D是不正确，符合题意； 故选D． 10. 已知函数的图象上有两个点，，且，两点不重合，有下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 则，其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质．结论①和②通过代数计算验证；结论③和④通过分析函数在给定范围内的增减性判断． 【详解】解：∵， ∴，． ①：若，则， ∴， ∴不一定成立，例如，，故①错误． ②：若，则， ∴，故②正确． ③：当时， 则且分母增大，函数值减小， 若，则，即， 又， ∴，故③错误． ④：当时， 则且分母绝对值增大，函数值减小， 若，则，即， 又， ∴，故④正确． 综上，②④正确． 故选C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数，将点代入反比例函数表达式，即可求出的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴得， 解得， 故答案为：． 12. 二次函数，当时， y的范围_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先根据开口确定最大值，再分别计算出，时的函数值，即可求解取值范围． 【详解】解：∵，， ∴开口方向向下，对称轴为直线：，在对称轴处取得最大值， 则越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大 ∵， ∴当时，， 当时，； 当时，， ∴当时，y的范围是， 故答案为：． 13. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在网格的格点上，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及逆定理，求一个角的正弦值，如图，连接，根据勾股定理及逆定理判断出是直角三角形，最后根据正弦函数的定义求解． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，，， ， 是直角三角形， ， 故答案为：． 14. 如图①，在区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小明发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速公路的限速区间段的平均行驶速度v（）与行驶时间t（h）是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于．若小明的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间为，则m的值可能是______．（写出一个m的可能的值即可） 【答案】0.3（满足的任意一个值即可） 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数；由题意可设，将代入，得到，结合题意得到，即可求出结果． 【详解】解：由题意可设， 将代入得，， ∴， ∵最高车速为， ∴在最高车速下的行驶时间， 同理可得，在最低车速下的行驶时间为， ∴通过段限速区间的行驶时间m应该在之间， ∴， ∵， 故答案为：0.3(答案不唯一)． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为，点B的坐标为，点C在x轴的负半轴上，点D在反比例函数的图象上，过点A作轴，交该反比例函数图象于点E，连接，则的面积为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数的图象和性质，锐角三角函数比，全等三角形判定和性质，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 过点作轴于点，根据矩形的性质得出相等的边和直角，根据坐标得出线段的长度，求出，证明，得出相等的线段，求出，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，然后求出，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图过点作轴于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵顶点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，代入得，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵ 轴， ∴的面积为， 故答案为：3． 三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角形函数值，熟记特殊角的三角形函数值是解题的关键． （1）利用特殊角的三角形函数值直接代入计算即可． （2）利用特殊角的三角形函数值直接代入计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 17. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数的解析式． （2）请判断点是否在该二次函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1）该二次函数的解析式为 （2）点在该二次函数的图象上 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标特征利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）将点，的坐标代入，利用待定系数法即可求出该二次函数的解析式； （2）将代入二次函数解析式中求出y值，结合二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过点，， ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴点在该二次函数的图象上． 18. 在中，，，． （1）求的长； （2）求的面积．（结果都保留根号） 【答案】（1） （2）的面积为 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理； （1）过点B作于点D，根据直角三角形的性质可得，再由是等腰直角三角形，即可求解； （2）根据勾股定理求出的长，可得的长，再由三角形的面积公式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点B作于点D， 在中，， ， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， ； 【小问2详解】 解：在中，， ， ， ， 的面积为． 19. 如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． （1）求出直线对应的函数表达式； （2）分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2）是等腰直角三角形 （3）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的综合，勾股定理的逆定理； （1）先求出点A和C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）设点D的坐标为，根据作图得到，据此列方程求出d的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状解答即可； （3）先求出点B的横坐标，然后借助图象得到反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围即可解答． 【小问1详解】 解：把代入得， ∴点A的坐标为， 把代入得， ∴点C的坐标为， 把点和代入得： ，解得， ∴直线对应的函数表达式； 【小问2详解】 解：由作图可得，即， 设点D的坐标为， 则， 解得， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形； 【小问3详解】 解：令， 解得，， 由图像可得关于的不等式的解集为或． 20. 新定义：对于给定的二次函数（），把形如的函数称为二次函数的“关联函数”． 运用新定义解决问题：已知二次函数． （1）请直接写出这个二次函数的“关联函数”的表达式； （2）若点A在这个二次函数的“关联函数”的图象上，求m的值； （3）当时，请直接写出这个二次函数的“关联函数”的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）当点在这个二次函数的＂关联函数＂的图象上时，的值为或或 （3）当时，这个二次函数的“关联函数”的最大值为，最小值为 【解析】 【分析】本题考查了新定义，二次函数的其他应用，二次函数的图象性质，公式法进行解方程．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）充分理解“关联函数”的定义，再结合二次函数，进行分析，即可作答． （2）理解题意，再进行分类讨论，即当时，把代入，得，再解出或（舍去）；当时，把代入，得，或，即可作答． （3）理解题意，再进行分类讨论，当时，分析函数的图象性质，得有最大值为，最小值为；当时，则分析函数，则的最大值为，最小值为，即可作答． 【小问1详解】 解：∵的函数称为二次函数的“关联函数”．且二次函数． ∴这个二次函数的“关联函数”的表达式； 【小问2详解】 解：依题意，这个二次函数的“关联函数”的表达式：， 当时，把代入，得， ∴， ∴， ∴ 解得或（舍去）； 当时，把代入，得， ∴， ∴， 解得或； 综上：当点在这个二次函数的＂关联函数＂的图象上时，的值为或或； 【小问3详解】 解：∵二次函数． ∴这个二次函数的“关联函数”的表达式， ∵， 当时，则， ∵， ∴开口方向向上，对称轴为直线， 在时，函数有最小值，且为， 在时，则， 在时，则， 综上：当时，则有最大值为，最小值为； 当时，则， ∵， ∴开口方向向下，对称轴为直线， 在时，函数有最大值，且为， 当时，则， 综上：当时，则的最大值为，最小值为； 综上：当时，这个二次函数的“关联函数”的最大值为，最小值为 21. 在《测量物体的高度》的综合实践课上，老师先带领同学们制作简易测角仪，随后再用所制作的测角仪测量物体的高度． 小明同学提出如下方法制作测角仪（图1）： 步骤一：以量角器为主要器材进行设计，在经过中心点O处安置一根可绕点O旋转的空心直管，眼睛可通过空心管的C端瞄准目标物E进行测量，此时的方向即为视线的方向． 步骤二：在量角器的中心点O处悬挂重锤，由物理知识可知只要重锤悬挂线与线重合，则即为水平线．此时读出角的度数，就是所测目标的仰角． （1）步骤二中蕴含的一个数学知识是：______； （2）测角仪制作出来后，小明便利用这个测角仪测量某高楼顶部的一信号发射塔的高度．如图2，小明在矩形建筑物的D、C两点处测得该塔顶端E仰角分别为，，矩形建筑物高度．计算该信号塔顶端到地面的高度．（参考数据：，，）． 【答案】（1）对顶角相等 （2）88米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及对顶角相等，三角形函数定义，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． （1）根据对顶角的性质即可求解； （2）过点D作于点H，，由题意可知，，则，设，先证明为等腰直角三角形，得出，解得出，列出方程，求出x的值，再由即可求解． 【小问1详解】 解：读出角的度数，就是所测目标的仰角的依据是对顶角相等，因此步骤二中蕴含的一个数学知识是：对顶角相等； 【小问2详解】 解：过点D作于点H，如图所示： ∴， 由题意可知，，， ∴四边形为矩形， ∴，设， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴，即， 解得， ∴． 答：该信号塔顶端到地面的高度约为88米． 22. 已知二次函数的图象的顶点坐标为． （1）求b和c的值； （2）将二次函数．的图象记为，将关于原点对称的图象记为，与合起来得到的图象记为M，完成以下问题： ①在如图所示的平面直角坐标系中画出图象M； ②若对于图象M上的两点．，，当，时，总有，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）的值为的值为4 （2） ①如图，即为图象， ②或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．用到的知识点为：二次函数的顶点的纵坐标为，本题主要采用数形结合的方法判断出时相对应的自变量的取值． （1）设出二次函数的顶点式，再用待定系数法求得二次函数的解析式； （2）①分别得到与轴的交点，顶点坐标及与轴正半轴的交点，画出相关函数图象；同理得到与轴的交点，顶点坐标及与轴负半轴的交点，画出相关函数图象； ②分点在轴的左侧和右侧两种情况探讨的情况时的取值，即可得到的取值范围． 【小问1详解】 解：设二次函数的顶点式表达式为， ∵二次函数的图象的顶点坐标为， ∴二次函数的顶点式表达式为， 将展开得，， ∴的值为的值为 4 ； 【小问2详解】 解：①∵二次函数的图象记为， ∴图象与轴的交点为，顶点坐标为，与轴正半轴的交点为． ∴关于原点对称的图象，与轴的交点为，顶点坐标为，与轴负半轴的交点为． ②当点在轴的左侧和点之间时，总有． ， ， ； 当点在轴的右侧时，点在点的右边时，总有． 当时，． 解得：（不合题意，舍去），， ∴时，总有． 综上：或时，总有． 23. 综合与实践：小颖在学习了二次函数之后，对物理学中的探究实验“阻力对物体运动的影响”又有了新的认识．对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究．小颖先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务． 【实验过程】：如图所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下至点处后，再沿水平木板直线运动．从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在水平木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据． 【收集数据】：记录的数据如下表： 运动时间 … 运动速度 … 运动距离 … 【建立模型】：根据表格中的数值分别在图、图的平面直角坐标系中描点、连线（大致图象已画出）；通过观察图象发现，我们可以用一次函数近似地表示与的函数关系，用二次函数近似地表示与的函数关系．请求写出与的函数关系式以及与的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） 【拓展应用】：①当黑球在水平木板上滚动了时，运动速度是多少？ ②若黑球到达木板点处的同时，在前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，则黑球能否追上小车？若能，请求出黑球追上小车时的的值；若不能，请说明理由． 【答案】[建立模型]；； [拓展应用]①当黑球在水平木板上滚动了时，黑球运动的速度为； ②黑球能追上小车，当黑球在水平木板上滚动至时，黑球追上小车 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的建模及应用，熟练分析函数类型、求解函数解析式并利用方程解决实际问题是解题的关键． [建立模型] 根据数据特征判断函数类型，利用待定系数法求出速度与时间的一次函数关系式，以及距离与时间的二次函数关系式； [拓展应用] ①将运动距离代入二次函数解析式，求解时间后，代入一次函数解析式得到对应速度； ②通过分析黑球与小车的位置关系，建立方程，求解并验证是否符合实际运动情况，判断能否追上及对应的时间． 【详解】解：[建立模型] 设与的函数关系表达式为， 由题意，将，代入中，得， 解得， 所以，与的函数关系表达式为； 设与的函数关系表达式为， 由题意，将，，代入中， 得， 解得， 所以，与的函数关系表达式为． [拓展应用] ①将，代入中， 解得，，（舍）， 所以，当黑球在水平木板上滚动了时，黑球运动的时间为， 将，代入中，得，， 所以，当黑球在水平木板上滚动了时，黑球运动的速度为； ②黑球能追上小车。理由如下： 由题意得，，解得，，（舍）， 所以，当黑球在水平木板上滚动至时，黑球追上小车． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $