精品解析：山西省晋城市高平市部分学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年九年级第一学期阶段二质量检测数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数非负，且分母不为零．本题需满足分式非负且分母不为零，结合分子为正，可得分母必须为正．由此可解． 【详解】解：∵ 二次根式 有意义， ∴ 被开方数且分母， ∵ 分子， ∴ 分母， ∴ ． 故选：C． 2. 如果，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，将拆分为，然后代入已知条件计算，由此求解即可． 【详解】解：，且， ． 故选：B． 3. 一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图，已知，点为边的中点，则的长为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．由图求得的长度，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：由图可知， 在中，，点D为边的中点， ， 故选：A． 4. 如图是一片枫叶，将其叶尖到叶柄末端看成线段，叶柄与叶片的连接处看成点，则．其中蕴含的数学原理是（ ） A. 黄金分割 B. 勾股定理 C. 图形的全等 D. 轴对称 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，黄金分割比为．利用黄金分割的定义即可求解． 【详解】解：黄金分割是指把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即），叫作把线段黄金分割，点叫作线段的黄金分割点． 其中， 根据定义，可得将枫叶叶尖到叶柄末端看成线段，叶柄与叶片的连接处看成点， 则，其中蕴含的数学原理是黄金分割． 故选：A． 5. 下列方程没有实数根的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先计算每个一元二次方程的判别式的值，再根据值的符号判断根的情况，从而得出答案． 【详解】解：A、变形可得， ，方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意； B、，方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意； C、变形可得， ，方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意； D、，方程没有实数根，故本选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，在中，，分别交于点．与四边形的面积比为．若，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形相似的判定与性质．得到，再由相似三角形性质：面积比等于相似比的平方得到，据此计算即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 与四边形的面积的比为， ， 解得， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图是学校、小敏家、小凯家的位置示意图，下列表述正确的是（ ） A. 小敏家在学校北偏东的方向，距离处 B. 小凯家在学校北偏东的方向，距离处 C. 学校在小凯家南偏西的方向，距离处 D. 学校在小敏家南偏西的方向，距离处 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了方向角，在观测物体时，地球南北方向与观测者观测物体视线的夹角叫做方向角．根据方向角的定义逐一判断即可． 【详解】解：A． 小敏家在学校北偏东的方向，距离处，故该选项不正确，不符合题意； B． 小凯家在学校北偏东的方向，距离处，故该选项不正确，不符合题意； C． 学校在小凯家南偏西的方向，距离处，故该选项不正确，不符合题意； D． 学校在小敏家南偏西的方向，距离处，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 8. 解一元二次方程，用配方法可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可． 【详解】解： 故选：D． 9. 如图，在矩形中，对角线相交于点，点分别是的中点，，则的周长为（ ） A. 6 B. 7 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、等边三角形的判定与性质等知识点．根据矩形的对角线相等且互相平分可得，由，从而是等边三角形，然后根据等边三角形的性质结合三角形中位线定理即可解得． 【详解】解∶∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，，， ∴的周长为． 故选：D． 10. 如图，某旅游景区的路标旁有一段坡路，坡度为，太阳照射下，路标的影子落在地面和斜坡上，同一时刻测得斜坡上的影长，地面上的影长．已知，若没有斜坡，此刻该路标的影子的长（在同一竖直平面内）为（ ）m A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用．过点D作的延长线于点F，设，则，利用勾股定理列式计算求得，再证明，据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图，过点D作的延长线于点F． ∵坡度为，， 设，则， ∴， 解得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 故选：C． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果是_____． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值以及零指数幂，熟练记忆特殊角的三角函数值是解题的关键． 分别计算零指数幂以及代入特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：0． 12. 若一元二次方程有一个根为，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键． 将已知的根直接代入方程即可求解． 【详解】解：代入，得， 解得， 故答案为：8． 13. 如图，与位似，点是它们的位似中心，若，的面积为8，则的面积为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质．根据位似图形的概念得到，，得到，得到，根据相似三角形的性质求出相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵与位似， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为8， ∴的面积为2， 故答案为：2． 14. 某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了45场．若设有名选手参加比赛，可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用．设共有x个队参加比赛，每个队与其他个队各赛一场，由于每场比赛涉及两个队，总比赛场数需除以2以避免重复计算，因此总比赛场数为，根据总场数为45，即可列出方程． 【详解】解：设有x个队参加比赛， 根据题意得， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，点为内一点，连接，，，，，则的长为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理解三角形；由勾股定理可先求出、，然后建立平面直角坐标系，设，利用勾股定理表示出，，然后通过方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴直角中，设，则， 由勾股定理：，即， 解得， ∴，， 作于，则为中点，以点为坐标原点，为x轴，建立直角坐标系，如图所示： ∴，则， ∴，，，设， 过D点作轴，轴， ∴，， ∴，，，， ∵在中，在中， ∴， ∴ 整理得： 由得，整理得， 将代入①得， 解得：或， ∵点为内一点， ∴， ∴舍去， ∴将代入得， ∴， ∴，， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）15 （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算和特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）先计算二次根式的乘除法，再计算加减法即可； （2）代入特殊角的三角函数值，再进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是熟练且灵活的运用一元二次方程的解法． （1）利用公式法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：原方程可化为． ，，． ． ∴， 即，； 【小问2详解】 解：原方程可变形为． 因式分解，得． ∴或． ∴，． 18. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作射线，使，交边于点．（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）的条件下，求的长． 【答案】（1） 如图，即为所作． （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）证明，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． ， ， ． 19. 如图，在中，，，． （1）求斜边的长． （2）求边的长． （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形． （1）根据，，即可求出，利用三角形的性质即可求解； （2）根据余弦函数的定义列式计算即可求解； （2）根据正切函数的定义，即可解答． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 ）解：∵， ∴． 20. 2025年10月23日是二十四节气中的霜降，民间有霜降吃柿子的习俗，这是因为这时候的柿子皮薄肉鲜味美，营养价值高．某水果店在霜降之前以3.5元/千克的价格购进了一批柿子进行售卖．经市场调研发现，当柿子的售价为10元/千克时，平均每天可售出60千克，当每千克的售价每降低0.5元时，平均每天会多售出10千克．若该水果店想在霜降之前尽可能多地将这批柿子售出，并且平均每天售出柿子获得440元的利润，则应将柿子的售价定为多少？ 【答案】应将柿子的售价定为7.5元/千克 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——销售利润问题，设应将柿子的售价定为x元/千克，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设应将柿子的售价定为x元/千克， 根据题意，得， 整理，得， 解得，， ∵水果店想在霜降之前尽可能多地将这批柿子售出， ∴． 答：应将柿子的售价定为7.5元/千克． 21. 如图，皇城相府位于山西省晋城市阳城县，其中的河山楼雄伟险峻，是一处罕见的明清两代城堡式住宅建筑群，被专家誉为“中国北方第一文化巨族之宅”．某数学兴趣小组运用所学知识，对河山楼的高度进行测量．为减小测量误差，对每个数据都进行多次测量，并取平均值作为测量结果．如图，河山楼顶部为点，楼底部为点，与水平地面垂直．以下是他们的测量数据：小组成员在点处测得顶部点的仰角为，向河山楼方向行走35m后到达点，在点处测得顶部点的仰角为．已知测角仪的高度m，且点在同一水平线上，点在同一竖直平面内，，．请根据以上数据，求河山楼的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】河山楼的高度约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，矩形的判定与性质，延长交于点，由题可知四边形和四边形都是矩形， 则，，设，则，在中，，所以，得，在中，，所以，得，解得，所以，然后通过线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， 由题可知四边形和四边形都是矩形， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：河山楼的高度约为． 22. 阅读与思考 请阅读下面的材料，并完成相应的任务． 作三角形的内接正方形 定义：如果一个正方形的四个顶点都在三角形的边上，那么这个正方形叫做这个三角形的内接正方形． 那么如何作一个三角形的内接正方形呢？如图1，作的内接正方形．可以用下面的方法： 第一步：如图2，过点作于点． 第二步：延长到点，使得，连接． 第三步：作的平分线，交于点． 第四步：过点作于点，交于点，延长交于点． 第五步：过点作于点，过点作于点． 则四边形为的内接正方形． 下面证明这种作法的合理性，即证明四边形为正方形． 证明：∵， ∴． ∴四边形为矩形（依据）． ∴． …… 任务： （1）填空：材料中的“依据”是指________． （2）补全材料中的证明过程． （3）如图3，在中，．直接写出内接正方形的个数及对应的边长． （4） 【答案】（1）有三个角是直角的四边形是矩形 （2） 证明：如图， ∵， ∴． ∴四边形为矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）． ∴． ，，， ，， ． ， ， 即， ． 是的平分线， ， ， ， ． ， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形． （3）内接正方形的个数为，边长分别为和． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的判定定理即可得出答案； （2）证明四边形为矩形得，证明，得，，再证明，进而可证四边形为正方形； （3）根据题意分情况讨论，再通过相似三角形建立方程即可求解． 【小问1详解】 材料中的“依据”是指有三个角是直角的四边形是矩形． 故答案为：有三个角是直角的四边形是矩形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在中，，，， ． 由题意得，的内接正方形有两种情况： 第一种情况：正方形的一边在上， 根据材料构造方法，同理（2）可得出此正方形． ， ． 由（2）可知，由材料可知， ． 设正方形边长为，则，， ， 解得，； 第二种情况：正方形的一边在上，如图， 在上取点，使且， 为等腰直角三角形， ，． ， ． 过点作， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 又， 四边形为正方形， ， ， ． 设正方形的边长为， 则，， ， 解得，． 综上，内接正方形的个数为，边长分别为和． 【点睛】本题主要考查矩形的判定，正方形的判定和性质，等边对等角，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 23. 综合与探究 问题情境：如图1，在矩形中，点为边的中点，点为边的中点，以为边作矩形．如图2，将矩形绕点顺时针旋转，射线与射线交于点，连接． 问题解决： （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）若，写出线段和之间的数量关系，并说明理由． 延伸探究： （3）在矩形绕点顺时针旋转的过程中，连接，在（2）的条件下，当点为的中点时，直接写出的面积． 【答案】（1） ．理由如下， ∵四边形和是矩形，点为边的中点，点为边的中点， ∴， ∴即，， ∴， ∴， 设与交于点， ∵， ∴， ∴； （2） ．理由如下， 如图，过点作交于点， 则， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ； （3）的面积为或 【解析】 【分析】（1）证明得出，设与交于点，则，即可得证； （2）过点作交于点，证明，得出，勾股定理得出，即可得证； （3）分两种情况画出图形连接过点作的垂线，交的延长线于点，过点作于点，则四边形是矩形，根据垂直平分线的性质可得，勾股定理求得，，进而求得,再根据三角形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，当在的上方时，连接，，过点作的垂线，交的延长线于点，过点作于点，则四边形是矩形， ∴， ∵，点H为的中点， ∴， 设，则， 在中， ， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，当在的下方时， 则, ∴． 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级第一学期阶段二质量检测数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么的值为（ ） A. B. C. D. 3. 一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图，已知，点为边的中点，则的长为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 9 4. 如图是一片枫叶，将其叶尖到叶柄末端看成线段，叶柄与叶片的连接处看成点，则．其中蕴含的数学原理是（ ） A. 黄金分割 B. 勾股定理 C. 图形的全等 D. 轴对称 5. 下列方程没有实数根的是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，在中，，分别交于点．与四边形的面积比为．若，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 7. 如图是学校、小敏家、小凯家的位置示意图，下列表述正确的是（ ） A. 小敏家在学校北偏东的方向，距离处 B. 小凯家在学校北偏东的方向，距离处 C. 学校在小凯家南偏西的方向，距离处 D. 学校在小敏家南偏西的方向，距离处 8. 解一元二次方程，用配方法可变形为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，对角线相交于点，点分别是的中点，，则的周长为（ ） A. 6 B. 7 C. D. 10. 如图，某旅游景区的路标旁有一段坡路，坡度为，太阳照射下，路标的影子落在地面和斜坡上，同一时刻测得斜坡上的影长，地面上的影长．已知，若没有斜坡，此刻该路标的影子的长（在同一竖直平面内）为（ ）m A. 6 B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果是_____． 12. 若一元二次方程有一个根为，则______． 13. 如图，与位似，点是它们的位似中心，若，的面积为8，则的面积为_______． 14. 某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了45场．若设有名选手参加比赛，可列方程为_______． 15. 如图，在中，，，点为内一点，连接，，，，，则的长为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解方程： （1）． （2）． 18. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作射线，使，交边于点．（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）的条件下，求的长． 19. 如图，在中，，，． （1）求斜边的长． （2）求边的长． （3）求的值． 20. 2025年10月23日是二十四节气中的霜降，民间有霜降吃柿子的习俗，这是因为这时候的柿子皮薄肉鲜味美，营养价值高．某水果店在霜降之前以3.5元/千克的价格购进了一批柿子进行售卖．经市场调研发现，当柿子的售价为10元/千克时，平均每天可售出60千克，当每千克的售价每降低0.5元时，平均每天会多售出10千克．若该水果店想在霜降之前尽可能多地将这批柿子售出，并且平均每天售出柿子获得440元的利润，则应将柿子的售价定为多少？ 21. 如图，皇城相府位于山西省晋城市阳城县，其中的河山楼雄伟险峻，是一处罕见的明清两代城堡式住宅建筑群，被专家誉为“中国北方第一文化巨族之宅”．某数学兴趣小组运用所学知识，对河山楼的高度进行测量．为减小测量误差，对每个数据都进行多次测量，并取平均值作为测量结果．如图，河山楼顶部为点，楼底部为点，与水平地面垂直．以下是他们的测量数据：小组成员在点处测得顶部点的仰角为，向河山楼方向行走35m后到达点，在点处测得顶部点的仰角为．已知测角仪的高度m，且点在同一水平线上，点在同一竖直平面内，，．请根据以上数据，求河山楼的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 22. 阅读与思考 请阅读下面的材料，并完成相应的任务． 作三角形的内接正方形 定义：如果一个正方形的四个顶点都在三角形的边上，那么这个正方形叫做这个三角形的内接正方形． 那么如何作一个三角形的内接正方形呢？如图1，作的内接正方形．可以用下面的方法： 第一步：如图2，过点作于点． 第二步：延长到点，使得，连接． 第三步：作的平分线，交于点． 第四步：过点作于点，交于点，延长交于点． 第五步：过点作于点，过点作于点． 则四边形为的内接正方形． 下面证明这种作法的合理性，即证明四边形为正方形． 证明：∵， ∴． ∴四边形为矩形（依据）． ∴． …… 任务： （1）填空：材料中的“依据”是指________． （2）补全材料中的证明过程． （3）如图3，在中，．直接写出内接正方形的个数及对应的边长． （4） 23. 综合与探究 问题情境：如图1，在矩形中，点为边的中点，点为边的中点，以为边作矩形．如图2，将矩形绕点顺时针旋转，射线与射线交于点，连接． 问题解决： （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）若，写出线段和之间的数量关系，并说明理由． 延伸探究： （3）在矩形绕点顺时针旋转的过程中，连接，在（2）的条件下，当点为的中点时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $