精品解析：江苏省无锡市锡山区锡东高级中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题

2025—2026学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 命题人：高一数学备课组组长 审核人：数学学科组长 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知点，点，则向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出向量的坐标判断得解. 【详解】由点，点，得. 故选：C 2. 若倾斜角为的直线经过两点，，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据倾斜角得到斜率，由两点斜率公式得到方程，求出答案. 【详解】由题意得，解得. 故选：A 3. 已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由离心率及焦距可得，即可得出椭圆方程. 【详解】设椭圆的标准方程为，焦距为， 由得，由得， 故， 所以该椭圆的方程为． 故选：D． 4. 已知圆上仅有两个点到直线的距离为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得圆心到直线的距离，结合条件可得，即可求解. 【详解】由题意知到的距离， 要使圆上仅有个点到的距离为1，则，解得， 故选：A. 5. 已知直线与椭圆相交于两点，椭圆的两个焦点是，，线段的中点为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段的中点为，利用点差法求得，再利用三角形面积公式求解． 【详解】设，由题可知，， 则，所以，即，解得， 所以，则， 所以， 故选：B． 6. 已知直线：与：，若与互相平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行满足的系数关系可得，即可利用平行线间距离公式求解. 【详解】若与互相平行，则需满足，解得， 故直线：与：， 故两直线间距离为， 故选：C 7. 已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，P为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线C交于点Q，若，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意计算出，，然后两次应用余弦定理求得的关系式，从而求得离心率． 【详解】由题意，，且， 在中，由余弦定理得， 同理在中由余弦定理得， 所以，可得，所以离心率为， 故选：C． 8. 在三棱锥中，平面，分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为原点，所在的直线分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出、平面的一个法向量，由线面角的向量求法可得答案. 【详解】以为原点，所在的直线分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，可得，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 所以，即，令，可得， 所以， 设直线与平面所成角的为， 则. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线.（ ） A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为 C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D. 若m=0，n>0，则C是两条直线 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线. 【详解】对于A，若，则可化为， 因为，所以， 即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则可化为， 此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确； 对于C，若，则可化为， 此时曲线表示双曲线， 由可得，故C正确； 对于D，若，则可化为， ，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 10. 如图，平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（　　） A. B. C. 向量与的夹角是 D. 异面直线BD1与AC所成的角的余弦值为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题进行分析判断，能求出结果. 【详解】在平行六面体中， 其中以顶点为端点的三条棱长均为6 ，且彼此夹角都是， . 对于A， ， ， A正确； 对于B， ， ，B正确； 对于C，连接，由题意可知是等边三角形，则， ，且向量与的夹角是， 向量与夹角是，C错误； 对于D，， ， ， ， 故异面直线与所成的角的余弦值为，故D错误. 故选：AB 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，、，点满足．设点的轨迹为，则下列说法错误的是（ ） A. 轨迹的方程为 B. 面积最大值为 C. 若，则的最大值为 D. 在上存在点，使得 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，通过直接法求出点的轨迹方程即可判断；对于B，数形结合可判断；对于C，设 ，转化为直线与曲线有公共点，结合直线与圆的位置关系可判断；对于D，求出点的轨迹方程，转化为两圆的位置关系即可判断. 【详解】设，不与、重合， 由、，有，， ，即，化简得， 所以点的轨迹曲线是以为圆心，半径的圆，如图所示， 对于A选项，由曲线的方程为，选项A正确； 对于B选项，由图可知，当时，点到直线的距离取最大值， 所以，，B对； 对于C选项，设，可得， 由题意可知，直线与圆有公共点，则， 解得，故的最大值为，C对； 对于D选项，设，由得， 化简得，因为， 所以上不存在点，使得，故D错误. 故选：D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件可以建立空间直角坐标系，然后利用空间向量去求异面直线所成的角. 【详解】 因为三棱柱是直三棱柱，且， 所以以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. ，， ，，，， ，， ， 又因为异面直线所成角的范围为， 所以异面直线CD与所成角的余弦值为. 故答案为：. 13. 过点的直线l与曲线有且仅有两个不同的交点，则l斜率的取值范围为__________． 【答案】． 【解析】 【分析】根据题意，将曲线，变形为，，分析可得其为圆的上部分， 结合直线与圆的位置关系即可． 【详解】由题意可设直线，又曲线可化为，， 作出直线l与曲线的图象如图所示： 设图中直线，，，的斜率分别为，，，， 则，，， 又直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 解得（舍去）或， 要使两图象有两个不同的交点，则． 故答案为： 14. 蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫做“蒙日圆”．若椭圆方程为，则其蒙日圆方程为__________；点为椭圆上任意两个动点，动点在直线上，若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据过椭圆四个顶点分别作椭圆的切线，可得圆的方程，根据直线与圆相离，可得，即可由离心率公式求解. 【详解】过的四个顶点分别作椭圆的切线，则得到交点， 故这四个点在圆上，故该圆的圆心为原点，半径为， 因此蒙日圆为： 由上知的蒙日圆方程为， 由于动点在直线上，且恒为锐角， 故在圆外，因此直线与圆相离， 故，解得， 故离心率为，故， 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：过椭圆的四个顶点的切线构成的矩形的外接圆即为蒙日圆,即可求解方程，根据恒为锐角，可得在圆外，因此直线与圆相离，根据点到直线的距离求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为. （1）求顶点的坐标； （2）求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据直线与垂直，求直线的方程，再与直线方程联立，解方程组可得点坐标. （2）根据点在直线上，设出点坐标，利用为中点，表示点坐标，再根据点在直线上，可求的值，可确定点坐标，进而得直线的方程. 【小问1详解】 如图： 因为边上的高所在直线方程为， ，且， 的顶点， 直线的方程：，即. 联立方程 ，解得. 顶点的坐标为. 【小问2详解】 因为所在直线方程为， 故设点的坐标为， 是的中点，， . 在所在直线上， ，解得， 点坐标为， 由知点的坐标为， 故直线的方程为，即. 16. 已知圆C1：，圆C2：，动圆M与圆C2外切，同时与圆C1内切， （1）求动圆圆心M的轨迹方程C； （2）若直线l：与C有且只有一个公共点，求m的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据两圆的位置关系，确定点的轨迹，再求其标准方程. （2）将直线方程与点的轨迹方程联立，根据方程组只有1解求的值. 【小问1详解】 如图： 设圆的半径为，因为圆与圆内切，与圆外切， 由已知，圆心，半径为5，圆心，半径为1， 所以，两式相加得：. 所以点轨迹是以、为焦点的椭圆，且，， 所以. 所以圆心的轨迹方程为. 【小问2详解】 将代入， 得：， 整理得：. 因为直线与C有且只有一个公共点， 所以，即， 即，解得或. 17. 如图1，在直角梯形ABCD中，是AD的中点，是AC与BE的交点.将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE，如图2． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为， 所以为正方形，所以，所以， 又，平面，所以平面， 又，且，故四边形为平行四边形， 所以，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由为正方形可知，根据线面垂直判定定理证明平面，然后由可证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后由向量夹角公式可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易知，，因为平面平面BCDE，平面平面，平面，所以平面BCDE，又平面BCDE， 所以，以为原点， 的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意知，， 则， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，令，则，故， 则，令，则，故， 设平面与平面的夹角为， 所以. 18. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程； （3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值. 【答案】（1） ； （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意，设圆方程为，根据直线与圆的位置关系和两直线的位置关系可得，解之即可求解； （2）根据几何法求弦长可得圆心到直线的距离为，易知当直线斜率不存在时满足题意；当斜率不存在时，设直线方程，利用点线距公式计算建立关于k的方程，解之即可求解； （3）直线方程联立圆的方程，解得，同理可得，则，结合基本不等式计算即可求解. 【小问1详解】 由题可知，设圆的方程为，圆心为， 由直线与圆相切于点， 得，解得， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为d， ∵，∴，. ①当直线斜率不存在时，，满足到直线的距离； ②当直线斜率存在时：设方程：，即， ，整理得，解得， ，即， 综上：直线的一般式方程为或； 【小问3详解】 由题意知，， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得， 解得或，则点A的坐标为， 又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为， 由题可知：， ， 又，同理， ， 当且仅当时等号成立， 的最大值为. 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：配方法；基本不等式法；单调性法；三角换元法；导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 19. 已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线. （1）求双曲线的标准方程； （2）记双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值. 【答案】（1）； （2） 由（1）知，，， 显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，设， 由消去得， ，，， 直线的斜率，直线的斜率， 所以，为定值． 【解析】 【分析】（1）由虚轴长和渐近线方程求得和的值即可. （2）设直线的方程为，将其与双曲线的方程联立，得到关于的一元二次方程，再结合韦达定理和直线的斜率公式，计算的值即可得证. 【小问1详解】 由双曲线：虚轴长为4，得， 双曲线的渐近线方程为，由直线为双曲线C的一条渐近线，得，则， 所以双曲线C的标准方程为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 命题人：高一数学备课组组长 审核人：数学学科组长 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知点，点，则向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 若倾斜角为的直线经过两点，，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆上仅有两个点到直线的距离为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与椭圆相交于两点，椭圆的两个焦点是，，线段的中点为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线：与：，若与互相平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. 1 C. D. 7. 已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，P为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线C交于点Q，若，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，平面，分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线.（ ） A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为 C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D. 若m=0，n>0，则C是两条直线 10. 如图，平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（　　） A. B. C. 向量与的夹角是 D. 异面直线BD1与AC所成的角的余弦值为 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，、，点满足．设点的轨迹为，则下列说法错误的是（ ） A. 轨迹的方程为 B. 面积最大值为 C. 若，则的最大值为 D. 在上存在点，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为_____ 13. 过点的直线l与曲线有且仅有两个不同的交点，则l斜率的取值范围为__________． 14. 蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫做“蒙日圆”．若椭圆方程为，则其蒙日圆方程为__________；点为椭圆上任意两个动点，动点在直线上，若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为. （1）求顶点的坐标； （2）求直线的方程. 16. 已知圆C1：，圆C2：，动圆M与圆C2外切，同时与圆C1内切， （1）求动圆圆心M的轨迹方程C； （2）若直线l：与C有且只有一个公共点，求m的值. 17. 如图1，在直角梯形ABCD中，是AD的中点，是AC与BE的交点.将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE，如图2． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程； （3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值. 19. 已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线. （1）求双曲线的标准方程； （2）记双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $