精品解析：安徽省皖北七校2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题

2025～2026学年度第一学期高二年级期中联考 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：立体几何初步，空间向量与立体几何，直线与直线的方程. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过点，，则的斜率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用斜率公式求解. 【详解】解：直线的斜率． 故选：C 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于平面对称，值变为相反数，其它不变这一结论直接写结论即可． 【详解】由题意知点关于对称的点的坐标为. 故选：. 3. 过点且与直线垂直的直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的垂直关系,结合已知直线的斜率可得所求直线的斜率，由直线的点斜式方程结合已知条件即可求解. 【详解】因为直线的斜率为1，由题意，所求直线l的斜率为-1， 又直线l过点，所以由点斜式方程可知直线l的方程为：， 即， 故选：C 4. 设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列选项中能得出的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项. 【详解】A.若，，，则，那么，故A正确； B.若，，，则，故B错误； C.若，，则，或，又，则与有可能垂直，平行，或既不垂直也不平行，故C错误； D.若，，，则与有可能垂直，平行，或既不垂直也不平行，故D错误. 故选：A 5. 如图，在三棱柱中，分别是棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的加减法运算的几何表示和数乘关系即可得到答案. 【详解】. 故选：C. 6. 设点，，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过分析直线与线段相交的条件，解得a的取值范围. 【详解】当时，直线为轴，显然与线段相交； 又， 当时，只需或，所以或. 综上，所以实数的取值范围是. 故选：C. 7. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，，，，，M为PB的中点，若PC上存在一点N使得平面平面AMN，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，连接，证得，过点作，交于点，证得平面平面，由此求出的值. 【详解】取的中点，连接，由，所以， 过点作，交于点，则，如图所示， 由平面，平面，所以， 且 ，平面，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 由，为的中点，且，所以， 又由，所以，所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知直线与直线平行，且与间的距离为，则的方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据平行线间的距离公式求解即可. 【详解】直线，即， 设所求直线的方程为， 由题意可得，解得或． 故所求直线的方程为或． 故选：AD． 9. 已知不共面的三个向量都是单位向量，且夹角都是，则下列结论正确的是（ ） A. 不是空间的一组基底 B. 不是空间的一组基底 C. 向量的模是2 D. 向量和的夹角为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AB，利用共面向量定理判断，对于C，利用求解，对于D，利用向量的夹角公式计算. 【详解】假设共面，则， 所以，方程组无解，所以假设不成立， 所以空间向量不共面，所以是空间的一组基底，A错误； 假设共面，则， 即，解得， 所以三个向量共面，不是空间的一组基底，B正确； 由题意，得， 所以，C错误； ，设向量和的夹角为， 则，又，所以，D正确. 故选：BD. 10. 已知正方体的棱长为2，是棱上一点，是棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 当为棱的中点时，平面 B. 与不垂直 C. 四面体的体积为 D. 平面 【答案】AB 【解析】 【分析】选项A，取的中点，连，易得四边形是平行四边形，从而得到，根据线面平行的判定定理得到平面；选项B，在中，利用勾股定理的逆定理得到 ，则与不垂直，又 ，则与不垂直，选项C，只有当为中点时，可求出；选项D，利用线面垂直的判定定理证明平面，若平面，则，显然与不平行，从而得到结论． 【详解】选项A，如图，取的中点，连，易证，故四边形是平行四边形，，平面，平面，平面，A正确； 选项B，，在中，，，， ，，与不垂直， ，与显然不垂直，B正确； 选项C，只有当为中点时，， C错误； 选项D，，，，平面，平面， 平面，平面，，同理可得， ，平面，若平面，则， 显然与不平行，故D错误． 故选：AB． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知点O为坐标原点，，则线段的中点坐标为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用空间两点中点坐标公式，即可求解. 【详解】点O为坐标原点，， 则， 所以线段的中点坐标为， 故答案为：. 12. 已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量法求点到平面的距离即得. 【详解】由题， 点到平面的距离. 故答案为： 13. 已知点，，C为直线上一点，则的最小值是__________. 【答案】5 【解析】 【分析】作点关于直线的对称点，则，故，根据两点间线段最段，当、、三点共线时，取最小值，即，设，利用是的垂直平分线求出，利用和求出，得到关于和的一个方程，利用的中点在直线上，得到关于和的另一个方程，这两个方程联立方程组求解就是的坐标，利用两点间距离公式求出，从而得到的最小值. 【详解】作点关于直线的对称点，则， 故，根据两点间线段最短， 当、、三点共线时，取最小值，即， 设，是的垂直平分线，， ，，， ，，的中点在直线上， ，联立，解得，， ，的最小值为5. 故答案为：5. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知空间向量. （1）求； （2）判断与以及与的位置关系. 【答案】（1） （2）；. 【解析】 【分析】（1）直接利用向量线性运算和数量积的坐标运算求解即可. （2）利用向量垂直和平行的判定直接判断即可. 【小问1详解】 由题知，， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 所以； 因为， 所以，所以. 15. 如图，多面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，是线段的两个三等分点． 求证： （1）平面； （2）平面平面． 【答案】（1）证明：因为四边形为等腰梯形，，，是线段的两个三等分点， 所以，，， 连接，因为，， 所以四边形为平行四边形，所以，又， 所以，因为为的中点， 所以，即， 同理． 又平面， 所以平面． （2）证明：由（1）知，，， 所以四边形为平行四边形， 所以． 因为平面不在平面内，所以平面． 由已知，， 所以四边形为平行四边形， 所以． 因为平面不在平面内，所以平面． 又，平面， 所以平面平面． 【解析】 【分析】（1）由条件证明，同理可得，再根据线面垂直判定定理证明结论； （2）由（1）证明，根据线面平行判定定理证明平面，同理可得平面，再由面面平行判定定理证明结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，M是的中点 （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：在四棱锥中，由，是的中点，得， 而，，平面，则平面， 又平面，所以平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得. （2）由已知证明两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面与平面法向量，利用面面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直角梯形中，，，又，， 平面，则平面，又平面，于是， 由，得，则，即，，两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， ，，，，则，， 设是平面的法向量，则，令，得. 由（1）知平面，即平面的一个法向量为， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知直线恒过点，且与轴，轴分别交于 两点，为坐标原点. （1）求点的坐标； （2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程； （3）当取得最小值时，求的面积. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把直线的方程可化为，联立方程组，即可求解； （2）当时，点到直线的距离最大，结合，求得，即可求得直线的方程； （3）分别求得和，得到，结合基本不等式，得到，分类讨论，即可求得的面积. 【小问1详解】 解：直线的方程可化为， 令，解得，即点的坐标为. 【小问2详解】 解：当时，点到直线的距离最大， 此时直线的斜率与直线的斜率满足， 因为，所以，即， 所以直线的方程为，即. 【小问3详解】 解：令，可得，所以； 令，可得，所以，且， 可得， 所以 当且仅当时，等号成立， 当时，直线的方程为，此时， 可得的面积为； 当时，直线的方程为，此时， 可得的面积为， 综上可得，的面积为或 18. 如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，是上一点（不含端点）． （1）证明：平面； （2）若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1） 因为，分别是，的中点，所以． 因为平面平面，所以平面． （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）要证明线面平行，可通过证明线线平行即可证明线面平行，即证明. （2）（i）先根据已知条件确定球的球心位置，然后根据球的表面积求出球的半径，最后可求出三棱锥的体积.（ii）先建立空间直角坐标系，然后利用向量的坐标、向量夹角的余弦公式即可求出线面角的正弦值的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）如图，连接． 因为是以为斜边的等腰直角三角形，为中点， 所以点是外接圆的圆心． 因为是等边三角形，是中点，所以外接圆的圆心在上． 又平面平面，所以球的球心即为外接圆的圆心． 因为球的表面积，所以球的半径， 所以，，， 所以三棱锥的体积． （ⅱ）如图，以为原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设，则． 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 设直线与平面所成角为， 则. 令，则， 当时，， 当且仅当，即时取等号． 综上所述，直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期高二年级期中联考 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：立体几何初步，空间向量与立体几何，直线与直线的方程. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过点，，则的斜率为（ ） A. B. 2 C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 过点且与直线垂直的直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列选项中能得出的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 如图，在三棱柱中，分别是棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 设点，，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，，，，，M为PB的中点，若PC上存在一点N使得平面平面AMN，则（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知直线与直线平行，且与间的距离为，则的方程可以是（ ） A. B. C. D. 9. 已知不共面的三个向量都是单位向量，且夹角都是，则下列结论正确的是（ ） A. 不是空间的一组基底 B. 不是空间的一组基底 C. 向量的模是2 D. 向量和的夹角为 10. 已知正方体的棱长为2，是棱上一点，是棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 当为棱的中点时，平面 B. 与不垂直 C. 四面体的体积为 D. 平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知点O为坐标原点，，则线段的中点坐标为___________. 12. 已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是___________. 13. 已知点，，C为直线上一点，则的最小值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知空间向量. （1）求； （2）判断与以及与的位置关系. 15. 如图，多面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，是线段的两个三等分点． 求证： （1）平面； （2）平面平面． 16. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，M是的中点 （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知直线恒过点，且与轴，轴分别交于 两点，为坐标原点. （1）求点的坐标； （2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程； （3）当取得最小值时，求的面积. 18. 如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，是上一点（不含端点）． （1）证明：平面； （2）若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $