精品解析：广东省广州市玉岩中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题

广州市玉岩中学2025学年第一学期期中教学质量监测 高二数学 命题人：赵丰雪 审校人：蔡鸿達 说明：本试卷共4页，共19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线与直线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 若直线与直线互相垂直，则的值为（ ） A. B. 1或 C. 或 D. 1 3. 双曲线的两个焦点分别是，，焦距为10；是双曲线上的一点，且，则的值为（ ） A. 1 B. 13 C. 1或13 D. 3 4. 已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线：与椭圆：（）相交于，且的中点为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正四棱台中，.直线与平面EFG交于点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知不同两点，在曲线上，且满足，则直线AB斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题，本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆的半径为定长，是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点.当点在圆上运动时，下列判断正确的是（ ） A. 当点在圆内（不与圆心重合）时，点的轨迹是椭圆 B. 点的轨迹可能是一个定点 C. 点的轨迹不可能是圆 D. 当点在圆外时，点的轨迹是双曲线 10. 已知直线和直线的交点为，则过点且与和距离相等的直线方程为（ ） A. B. C. D. 11. 已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 过点作曲线的切线，则切线方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如果方程表示双曲线，则的取值范围是_______________. 13. 已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________． 14. 在棱长为1的正方体中，为线段的中点，设平面与平面的交线为，则点A到直线的距离为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间中三点，设 （1）已知，求的值； （2）若，且，求的坐标. 16. 已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为. （1）求顶点的坐标； （2）求直线的方程. 17. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程及过点的切线方程； （2）直线与圆相交于两点，且，求实数的值． 18. 已知椭圆C：的焦距为，离心率为. （1）求C的标准方程； （2）若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值. 19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. （1）求证：平面； （2）求直线与面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得、、、四点共面，如果存在求出的值；如果不存在说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市玉岩中学2025学年第一学期期中教学质量监测 高二数学 命题人：赵丰雪 审校人：蔡鸿達 说明：本试卷共4页，共19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线与直线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线的距离公式求距离即可. 【详解】由，显然与平行， 所以它们的距离为. 故选：D 2. 若直线与直线互相垂直，则的值为（ ） A. B. 1或 C. 或 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由直线垂直的判定列方程求参数即可. 【详解】由题设，整理得， 所以或. 故选：C 3. 双曲线的两个焦点分别是，，焦距为10；是双曲线上的一点，且，则的值为（ ） A. 1 B. 13 C. 1或13 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线的定义求解，结合焦半径的范围得到的值. 【详解】焦距为10，，，，， ，是双曲线上的一点，， ，，或， ，舍去，. 故选：B. 4. 已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出动点和动点的坐标，找到动点和动点坐标的关系，再利用相关点法求解轨迹方程即可. 【详解】设，，由中点坐标公式得， 所以，故， 因为A在圆上运动， 所以， 化简得，故B正确. 故选：B 5. 如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用向量法求点到面的距离即可. 【详解】以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系，如图所示. 所以，，，，所以，. 设平面的法向量， 所以令，解得，， 所以平面的一个法向量，又， 所以点到平面的距离. 故选：B. 6. 已知直线：与椭圆：（）相交于，且的中点为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式求出的关系，再根据椭圆的性质求解即可. 【详解】设，， 将直线方程与椭圆方程联立， 消去得， 则， 因为的中点为所以，解得， 所以，， 故选：B 7. 如图，在正四棱台中，.直线与平面EFG交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，通过四点共面，即可求解. 【详解】依题意，，在四棱台中， ， 设，则四点共面， . 故选：A 8. 已知不同两点，在曲线上，且满足，则直线AB斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将曲线方程变形可知曲线为半圆弧，将斜率关系转化为过点的直线与圆弧与两不同交点，结合图形可求直线斜率的范围. 【详解】由得， 曲线为以为圆心，为半径的上半圆弧. 由，为不同两点，且， 则过点的直线与半圆弧有两个不同的交点. 如图，直线的斜率为， 当过点的直线与圆相切于点时， 设直线方程为，即：， 由圆心到直线的距离， 解得（舍），或，即直线的斜率为， 如图可知，要使直线与半圆弧有两个不同的交点， 则直线AB斜率的取值范围为，即. 故选：B. 二、选择题，本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆的半径为定长，是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点.当点在圆上运动时，下列判断正确的是（ ） A. 当点在圆内（不与圆心重合）时，点的轨迹是椭圆 B. 点的轨迹可能是一个定点 C. 点的轨迹不可能是圆 D. 当点在圆外时，点的轨迹是双曲线 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据点所在的位置分类讨论，结合椭圆、圆、双曲线的定义判断即可. 【详解】对A，如图1，连接， 由已知得，所以． 又因为点在圆内，所以， 根据椭圆的定义，点的轨迹是以、为焦点，为长轴长的椭圆，A对； 对B，如图2， 当点在圆上时，点与圆心重合，轨迹为定点，B对； 对D，如图3，连接， 由已知得，所以． 又因为点在圆外，所以， 根据双曲线的定义，点的轨迹是以、为焦点，为实轴长的双曲线，D对； 对C，当点与点重合时，如图4， 则线段的中垂线与直线的交点即为线段的中点， 此时，，即点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，C错. 故选：ABD. 10. 已知直线和直线的交点为，则过点且与和距离相等的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】分类讨论所求直线与直线AB平行或所求直线过线段AB的中点两种情况，结合点斜式即可得解. 【详解】依题意，联立，解得，即， 直线AB的斜率为，线段AB的中点坐标为， ①若所求直线与直线AB平行时，则所求直线的方程为，即； ②若所求直线过AB的中点时，则所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； 综上所述，所求直线方程为或. 故选：BD. 11. 已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 过点作曲线的切线，则切线方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】由表示圆上的点到定点的距离的平方，可判定A错误；由表示圆上的点与点的斜率，设，结合点到直线的距离公式，列出不等式，可判定B正确；由表示圆上任意一点到直线的距离的倍，进而可判定C错误；根据点在圆上，结合圆的切线的性质，可判定D正确. 【详解】由圆可化为，可得圆心，半径为， 对于A中，由表示圆上的点到定点的距离的平方， 所以它的最大值为，所以A错误； 对于B中，表示圆上的点与点的斜率，设，即， 由圆心到直线的距离，解得， 所以的最大值为，所以B正确； 对于C中，由表示圆上任意一点到直线的距离的倍， 圆心到直线的距离，所以其最小值为，所以C错误； 对于D中，因为点满足圆的方程，即点在圆上， 则点与圆心连线的斜率为， 根据圆的性质，可得过点作圆的切线的斜率为， 所以切线方程为，即，所以D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如果方程表示双曲线，则的取值范围是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据所给方程形式，只需分析的正负，即可求出m的范围. 【详解】当焦点在x轴上时，且，解得； 当焦点在y轴上时，且，此时无解． 综上可知，当该方程表示双曲线时，m的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，属于中档题. 13. 已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解. 【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点， 且，所以四边形为矩形， 设，则， 所以， ，即四边形面积等于. 故答案为：. 14. 在棱长为1的正方体中，为线段的中点，设平面与平面的交线为，则点A到直线的距离为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，写出点和向量的坐标；再求出平面与平面的法向量及交线的方向向量；最后根据点到直线距离的向量计算方法即可求解. 【详解】 以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，，， 所以，，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，得. 设平面的法向量为， 则，即，令，得. 设交线的方向向量为， 则，即，令，得. 因为，点， 则，， 所以点A到直线的距离为. 【点睛】关键点睛：本题考查点到直线距离的求法.解题关键在于：建立空间直角坐标系，先求出设平面的法向量及平面的法向量，再求出交线的方向向量，最后利用点到直线距离的向量计算方法求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间中三点，设 （1）已知，求的值； （2）若，且，求的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据条件得到，，再利用向量垂直的坐标表示，即可求解； （2）根据条件得到，再利用，即可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 又，所以，得到. 【小问2详解】 因为，又，所以，解得或， 所以的坐标为或. 16. 已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为. （1）求顶点的坐标； （2）求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据直线与垂直，求直线的方程，再与直线方程联立，解方程组可得点坐标. （2）根据点在直线上，设出点坐标，利用为中点，表示点坐标，再根据点在直线上，可求的值，可确定点坐标，进而得直线的方程. 【小问1详解】 如图： 因为边上的高所在直线方程为， ，且， 的顶点， 直线的方程：，即. 联立方程 ，解得. 顶点的坐标为. 【小问2详解】 因为所在直线方程为， 故设点的坐标为， 是的中点，， . 在所在直线上， ，解得， 点坐标为， 由知点的坐标为， 故直线的方程为，即. 17. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程及过点的切线方程； （2）直线与圆相交于两点，且，求实数的值． 【答案】（1），或； （2）或 【解析】 【分析】（1）由圆心所在的直线设出圆心坐标，再利用两点间距离公式求解；按切线斜率存在与否分类，借助点到直线距离公式求出切线方程. （2）由（1）的结论及已知求出圆心到直线的距离，再利用点到直线距离公式求出参数值. 【小问1详解】 由圆心在直线上，设圆心， 由，得，解得， 因此圆心，半径， 所以圆的标准方程为， 当切线斜率不存在时，圆心到直线的距离为半径3，则直线是符合题意的切线； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， ，解得，直线方程为， 所以切线方程为或. 【小问2详解】 由（1）知，圆的圆心，半径， 由，得圆心到直线的距离， 则，即，则，解得或， 所以实数的值为或. 18. 已知椭圆C：的焦距为，离心率为. （1）求C的标准方程； （2）若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，，即可得到答案. （2）首先设，，根据直线与椭圆联立，结合根系关系得到，设直线l与x轴的交点为，再根据求解即可. 【小问1详解】 由题意得，，， 又，则， 则， 所以C的标准方程为. 【小问2详解】 由题意设，，如图所示： 联立， 整理得， ， 则，， 故. 设直线l与x轴的交点为， 又，则， 故， 结合，解得. 19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. （1）求证：平面； （2）求直线与面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得、、、四点共面，如果存在求出的值；如果不存在说明理由. 【答案】（1）证明：由平面，平面，则， 又，，平面，所以平面. （2）1 （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质有，又，根据线面垂直的判定即可证结论； （2）构建以A为原点，建立空间直角坐标系，根据已知确定对应点坐标，求出平面的法向量，应用向量法求线面角的正弦值； （3）设，根据点共面，利用与平面一个法向量垂直，由向量垂直的坐标表示求，即可确定结果. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 以A为原点，平面内与垂直的直线为x轴，的正方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则有， 为的中点，，得，， 则有，，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，得， 设直线与面所成角为，则有， 所以直线与面所成角的正弦值为1. 【小问3详解】 若线段上存在点使、、、四点共面，设，， 则，， 若、、、四点共面，则在平面内， 又平面的一个法向量为，则有，解得. 所以线段上存在点，使得、、、四点共面，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $