精品解析：内蒙古包头市第九十七中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

包头市第九十七中学2025-2026学年第一学期期中考试 高二年级数学试题 命题范围：空间向量与立体几何、直线和圆的方程 一、单选题（本题共8小题，每道题5分，共40分） 1. 若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方向向量可得斜率，进而可得倾斜角. 【详解】设倾斜角为， 因为直线的方向向量是，则直线的斜率， 故倾斜角的正切值为， 且，所以的倾斜角为. 故选：A. 2. 圆：与圆：的公切线有且仅有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】B 【解析】 【分析】将两圆方程化为标准方程，通过两圆的圆心距及半径关系，判断两圆的位置关系即可求解． 【详解】解：圆，则圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 得两圆的圆心距为：， 则， 得两圆相交，得两圆的公切线有且仅有2条． 故选：B 3. 棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（ ） A. 1 B. －1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求解即可． 【详解】，所以． 故选：A． 4. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为钝角，则 D. 若在上的投影向量为，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标表示可判断A选项；结合空间向量的模长公式可判断B选项；分析可得且不共线，结合空间向量数量积的坐标运算可判断C选项；利用投影向量的定义以及空间向量数量积的坐标运算可判断D选项. 【详解】对于选项A:若，则，解得,故选项A错误； 对于选项B:若，则，解得，故选项B错误； 对于选项C:若为钝角，则且，解得且，故选项C错误； 对于选项D:在上的投影向量为，则，解得，故选项D正确． 故选：D. 5. 已知两点，，过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围． 详解：∵点A（﹣3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线L与线段AB有公共点， ∴直线l的斜率k≥kPB或k≤kPA， ∵PA的斜率为 =﹣1，PB的斜率为=1， ∴直线l的斜率k≥1或k≤﹣1， 故选D． 点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析. 6. 已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可证直线l恒过的定点在圆内，当时直线l被圆C截得的弦长最小，结合勾股定理计算即可求解. 【详解】直线l：， 令，解得，所以直线l恒过定点， 圆C：的圆心为，半径为， 且，即P在圆内， 当时，圆心C到直线l的距离最大为， 此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为． 故选：A． 7. 实数满足，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解法1：令，（为参数），代入利用三角恒等变换即可求解； 解法2：由题意有，利用柯西不等式得，令得，解一元二次不等式即可求解； 解法3：设，则圆心为，半径为，由的圆心为，半径为，设圆心距为，利用两圆的位置关系有，即，进而求解. 【详解】由题意令，（为参数）， 所以 ， 所以最大值是， 解法2： 由有， 所以， 当且仅当时，等号成立， 令，所以，即， 所以，所以， 所以，即， 所以的最大值是， 解法3： 设，则圆心为，半径为，由的圆心为，半径为， 设圆心距为，则，则有， 即，即， 所以的最大值为， 故选：C. 8. 直线与曲线恰有一个公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由得，表示以为圆心，以为半径半圆，画出图象，由图象根据直线与圆位置关系，即可得出结果. 【详解】由得，表示以为圆心，以为半径的半圆， 其图象如下： 由图象可得，当直线过点时， 直线与曲线恰有一个公共点，此时； 当直线过点时， 直线与曲线恰有两个公共点，此时； 当直线与半圆切于半圆的右侧时，只需圆心到直线的距离等于半径， 即，且，解得， 因此，由图象可得，为使直线与曲线恰有一个公共点， 则实数b的取值范围为. 故选：D. 二、多选题（本题共4小题，每道题5分，共20分） 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若两个不同平面，的法向量分别是，，且，则 B. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线 C. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 【答案】ACD 【解析】 【分析】由面面垂直的向量表示可判断A；由线面平行的向量表示可判断B；根据向量共线定理，可判断C；由空间向量基底的表示可判断D. 【详解】对于A，，所以，A正确； 对于B， ，所以，则直线或者，,B错误; 对于C，对空间中任意一点O，有，满足，则P，A，B，C四点共面，可知C正确； 对于D，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，所以D正确. 故选：ACD. 10. 已知点与直线，下列说法正确的是（ ） A. 过点且直线平行的直线方程为 B. 过点且截距相等的直线与直线一定垂直 C. 点关于直线的对称点坐标为 D. 直线关于点对称的直线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设所求直线方程为，代入点的坐标求出，即可判断A，当截距都为时求出直线方程，即可判断B，设点关于直线的对称点坐标为，即可得到方程组，解得即可判断C，求出直线上任意两点关于点对称的点的坐标，从而求出对称的直线方程，即可判断D. 【详解】对于A：设所求直线方程为，则，解得， 所以过点且直线平行的直线方程为，故A正确； 对于B：若截距都为，即过点且经过坐原点的直线为， 此时直线的斜率，但是，，所以直线与直线不垂直，故B错误； 对于C：设点关于直线的对称点坐标为，则，解得， 所以点关于直线的对称点坐标为，故C正确； 对于D：因为点、在直线上，点关于点对称的点为， 点关于点对称的点为， 则过和的直线方程为，即， 所以直线关于点对称的直线方程为，故D正确； 故选：ACD 11. 如图所示，正方体的棱长为1，、、分别为、、的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线所成角的余弦值为 B. 点到距离为 C. 直线与平面平行 D. 三棱锥的体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式计算A；利用点到直线距离公式计算B；利用线面平行的判定定理判定C；借助C中的线面平行，利用等体积法判定D. 【详解】在棱长为1的正方体中，建立以为原点， 以，，所在的直线为轴、轴、轴的空间直角坐标系， 如图所示： 因为、、分别为、、的中点， 则、、、， 对于A，，，， 设直线与直线所成角为， 所以，故A正确； 对于B，，， 所以，， 所以， 所以点到AF距离为，故B错误； 对于C，连接、，， 在正方体中，因为、分别为、的中点，则， 又易得，所以，故、、、四点共面， 又因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面，故C正确； 对于D，因为平面， ∴，故D正确. 故选：ACD 12. 已知直线与x轴、y轴交于两点，点P为圆上的动点，则（ ） A. 直线与圆C相离 B. 的面积为12 C. 当最小时， D. 点P到直线距离的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法，可得判定A正确；由点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式，可判定B错误；当当最小时，直线与圆相切，利用切线长公式，可判定C正确；根据圆的性质，可得判定D错误. 【详解】由圆，可得圆心为，半径为， 对于A中，圆心坐标到直线的距离为， 所以直线与圆相离，所以A正确； 对于B中，由点C到直线的距离为，则的面积，所以B项错误； 对于C中，如图所示，当最小时，直线与圆相切，此时，所以C正确； 对于D中，由点P到直线距离的最大值为，所以D错误． 故选：AC. 三、填空题（本题共4小题，每道题5分，共20分） 13. 已知两点，则以为直径的圆的标准方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求圆心和半径可得结果. 【详解】由，，得圆心的坐标为， ， 因此，圆的半径. 故以为直径的圆的标准方程为. 故答案为： 14. 已知直线，若，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验. 【详解】因为，， 所以，所以，解得或， 当时，即与重合，不满足要求， 当时，，即，则直线平行，满足要求. 故答案为：1 15. 已知正方体的棱长为1，为的中点，则点到平面的距离为______. 【答案】## 【解析】 【分析】构建合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量及，再应用点到平面距离的向量求法求距离. 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，则，，， 所以，，设平面的法向量为， 则，取，则， 而，故， 则点到平面的距离为. 故答案为： 16. 已知P是直线上的动点，是圆的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形面积的最小值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】确定圆心为，半径，将四边形的面积转化为，计算点到直线的距离得到答案. 【详解】，即，圆心为，半径， ，即最小时，面积最小. ，故四边形面积的最小值为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，17题10分，18-22题各12分，共70分） 17. 已知空间中三点，，，设，. （1）已知，求的值； （2）若，且∥，求的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）问题转化为，求. （2）根据向量的模的计算和向量共线，求的坐标. 【小问1详解】 由题知，， 所以， 因为， 所以. 【小问2详解】 因为∥， ， 所以，， 因为，所以，解得 ， 所以或. 18. 已知直线. （1）若直线不经过第四象限，求k的取值范围； （2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值和此时直线l的方程. 【答案】（1） （2）4； 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，由此求得k的范围． （2）由题意可得，利用基本不等式求得它的最小值，可得此时直线l的方程. 【小问1详解】 直线可化为， 要使直线不经过第四象限，则, 解得， ∴k的取值范围为； 【小问2详解】 由题意可得中取得, 取得, 故， 当且仅当时，即时取“=”， 此时S的最小值为4，直线l的方程为﹒ 19. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得线段的垂直平分线的方程，通过联立垂直平分线的方程和直线的方程求得圆心的坐标，进而求得半径，从而求得圆的标准方程. （2）设出点的坐标，用的坐标表示点的坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程. 【小问1详解】 设点为线段的中点，直线为线段的垂直平分线，则． 因为，所以， 所以直线的方程为． 由，得， 所以圆心， 半径， 所以圆的方程为． 小问2详解】 设点． 因为点的坐标为，所以即 又点在圆上运动，所以， 即线段的中点的轨迹方程为． 20. 如图，在三棱锥中，，O为AC的中点. （1）证明：平面ABC； （2）若点M在棱BC上，且，求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）要证明线面垂直，需证明垂直于平面内的两条相交直线，根据条件转化为证明和； （2）由（1）知，三条线两两垂直，所以以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，用空间坐标法求二面角. 【详解】 （1）连接OB.∵为AC的中点，∴，∴. 又∵，∴，即. 在中，. ∵，∴. 又∵，∴平面ABC. （2）∵，平面ABC ∴以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 设，又∵，∴. 设平面PAM的法向量为， 由得 令，∴， 又∵平面PAC的法向量为， ∴. 故所求二面角的大小为. 【点睛】本题考查证明线面垂直和空间坐标法求二面角，意在考查空间想象能力和计算能力，属于中档题型. 21. 过点的直线与圆交于两点，为圆与轴正半轴的交点． （1）若，求直线的方程； （2）证明：直线的斜率之和为定值． 【答案】（1）或 （2）证明见解析 【解析】 【分析】(1)首先考虑斜率不存在是否满足题意，再考虑斜率存在时，假设直线方程，结合垂径定理列方程求解斜率即可； (2)由题设得到点坐标,假设直线方程并联立圆的方程，结合韦达定理写出的表达式，化简即可. 【小问1详解】 ①直线垂直于轴时，可得出直线为， 此时直线与圆的两交点距离为，满足题意； ②当直线不垂直轴时，设直线方程为， 因，所以半弦长为，由勾股定理得弦心距， 又有点到直线距离公式可得弦心距，解得， 此时直线方程为， 所以满足题设条件的直线的方程为或 【小问2详解】 由题设容易得到点坐标， 设直线方程为，联立圆的方程，可得关于的一元二次方程：， 设点，，由根与系数的关系（韦达定理）可得，， 的斜率， 的斜率， 则 ， 所以与的斜率之和为定值，从而结论得证． 22. 如图，已知梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面. （1）求证：平面； （2）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）使用空间向量证明：只需证明与平面的法向量垂直即可； （2）设，根据直线与平面所成角的正弦值使用空间向量求出值. 【小问1详解】 证明：因为四边形为矩形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为原点，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，， 设平面的法向量， 因为，， 由，取，得， 又，所以，则， 又因为平面，所以平面； 【小问2详解】 由点在线段上，设，， 所以， 设平面的法向量， 因为，， 由，取，可得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以，即， 因为，所以，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 包头市第九十七中学2025-2026学年第一学期期中考试 高二年级数学试题 命题范围：空间向量与立体几何、直线和圆的方程 一、单选题（本题共8小题，每道题5分，共40分） 1. 若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 圆：与圆：的公切线有且仅有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 3. 棱长为2正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（ ） A. 1 B. －1 C. D. 4. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若为钝角，则 D. 若在上的投影向量为，则 5. 已知两点，，过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是　　 A B. C. D. 6. 已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 实数满足，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 直线与曲线恰有一个公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共4小题，每道题5分，共20分） 9. 关于空间向量，以下说法正确是（ ） A. 若两个不同平面，的法向量分别是，，且，则 B. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线 C. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 10. 已知点与直线，下列说法正确的是（ ） A. 过点且直线平行的直线方程为 B. 过点且截距相等的直线与直线一定垂直 C. 点关于直线的对称点坐标为 D. 直线关于点对称的直线方程为 11. 如图所示，正方体的棱长为1，、、分别为、、的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线所成角的余弦值为 B. 点到距离为 C. 直线与平面平行 D. 三棱锥的体积为 12. 已知直线与x轴、y轴交于两点，点P为圆上的动点，则（ ） A. 直线与圆C相离 B. 的面积为12 C. 当最小时， D. 点P到直线距离的最大值为 三、填空题（本题共4小题，每道题5分，共20分） 13. 已知两点，则以为直径的圆的标准方程为___________． 14 已知直线，若，则______． 15. 已知正方体的棱长为1，为的中点，则点到平面的距离为______. 16. 已知P是直线上的动点，是圆的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形面积的最小值为______________． 四、解答题（本题共5小题，17题10分，18-22题各12分，共70分） 17. 已知空间中三点，，，设，. （1）已知，求的值； （2）若，且∥，求的坐标. 18. 已知直线. （1）若直线不经过第四象限，求k的取值范围； （2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值和此时直线l的方程. 19. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 20. 如图，在三棱锥中，，O为AC的中点. （1）证明：平面ABC； （2）若点M在棱BC上，且，求二面角的大小. 21. 过点的直线与圆交于两点，为圆与轴正半轴的交点． （1）若，求直线的方程； （2）证明：直线的斜率之和为定值． 22. 如图，已知梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面. （1）求证：平面； （2）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $