精品解析：内蒙古自治区包头市第九中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

2025-2026学年第一学期上学期期中考试 高二数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 双曲线的虚轴长为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点（ ） A. B. C. D. 3. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线与交于，两点，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 4. 已知向量，，，当时，向量在向量上的投影的数量为（ ） A. B. C. 3 D. 5. 已知直线l：的倾斜角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知F是双曲线的左焦点，过点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为M，且直线l与双曲线C的右支交于点N，若，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点，且，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在两条异面直线，上分别取点，和点，，使，且.已知，，，，则两条异面直线，所成的角为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线与圆相切，点，则下列说法正确的是（ ） A. 点A在圆C上 B. 点A在圆C内 C. 点A在圆C外 D. 点A直线l上 10. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线l必过点 B. 直线l与圆E必相交 C. 圆与圆E有3条公切线 D. 当时，直线l被圆E截得的弦长为 11. 已知圆，则（ ） A. 圆可能过原点 B. 圆心直线上 C. 圆与直线相切 D. 圆被直线所截得的弦长为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线的焦点与圆的圆心重合，则m的值是_____________． 13. 已知椭圆，经过坐标原点的两条直线分别与椭圆相交于、、、四个点，若该两条直线的斜率分别为、，且，则的面积为________． 14. 已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是的中点，则的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知直线l：. （1）若l在两坐标轴上的截距相反，求a的值； （2）若直线m：，且，求l与m间的距离. 16. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线与C交于两点，． （1）求值； （2）求直线与C公共点个数. 17. 如图，多面体中，平面平面是的中点. （1）证明：平面. （2）若，且二面角的余弦值为，求的长. 18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，且，的中点为. （1）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，指出的位置并给予证明；若不存在，请说明理由； （2）若与平面所成的角是，求二面角的余弦值. 19. 已知圆：，直线 : ． （1）求证：直线恒过定点； （2）判断直线与圆的位置关系 （3）直线被圆截得弦何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时m的值及最短弦长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期上学期期中考试 高二数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 双曲线的虚轴长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】由双曲线方程直接求解即可． 【详解】双曲线的虚轴长为. 故选：D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合空间直角坐标系的性质，即可求解. 【详解】根据空间直角坐标系的性质，都可点关于平面的对称点是． 故选：A. 3. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线与交于，两点，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不妨设点在第一象限，连接、，根据对称性可得四边形为矩形，从而得到，即可表示出点坐标，代入方程，求出，即可得解. 【详解】依题意可得，关于原点对称，不妨设点在第一象限，连接、， 又，则四边形为矩形， 所以，则， 所以，即，即，又，解得， 所以. 故选：D 4. 已知向量，，，当时，向量在向量上的投影的数量为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量数量积的几何意义即可求. 【详解】向量，，， 所以，解得，所以，， 所以向量在向量上的投影的数量为. 故选：B. 5. 已知直线l：的倾斜角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线倾斜角求出斜率，然后根据一般式方程的斜率形式列方程求解即可. 【详解】因为直线l的倾斜角为，所以斜率， 所以，解得. 故选：C 6. 已知F是双曲线的左焦点，过点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为M，且直线l与双曲线C的右支交于点N，若，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将直线l与渐近线联立，求出点坐标，再根据求出点坐标，代入双曲线方程即可得答案. 【详解】由得，又， 不妨设直线l与渐近线垂直，则直线l的方程为 由，解得，又， 所以，得， 又点在双曲线上，所以， 整理得，解得 所以. 故双曲线C的渐近线方程为. 故选：D. 7. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点，且，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，根据双曲线的定义，可得和，再在直角三角形中，利用勾股定理可得关于，的关系，可得双曲线的离心率. 【详解】如图：设，则， 根据双曲线的定义，可得，， 因为，所以， 所以 由， 代入可得. 故选：B 【点睛】方法点睛：选择填空题中，出现圆锥曲线的问题，首先要考虑圆锥曲线定义的应用，不能用定义，再考虑其他方法. 8. 在两条异面直线，上分别取点，和点，，使，且.已知，，，，则两条异面直线，所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设两条异面直线，所成的角为，将等式两边同时平方计算可得答案． 【详解】如图，设两条异面直线，所成的角为， ，，，，，， ， 则 ， 得或（舍去） 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线与圆相切，点，则下列说法正确的是（ ） A. 点A在圆C上 B. 点A在圆C内 C. 点A在圆C外 D. 点A在直线l上 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线与圆相切可求得a，再分析点与直线、圆的位置关系即可. 【详解】由题意可知，圆的半径为a，所以圆心到直线l的距离为， 即，， 显然在圆C上也在直线l上. 故选：AD 10. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线l必过点 B. 直线l与圆E必相交 C. 圆与圆E有3条公切线 D. 当时，直线l被圆E截得的弦长为 【答案】BC 【解析】 【分析】由直线方程确定过定点，判断定点与圆位置关系判断A、B；根据两圆圆心距离与半径间的关系判断C；应用点线距离及弦长的几何求法求弦长. 【详解】A：由，则必过定点，错； B：将定点代入圆，有， 故点在圆内，即直线l与圆E必相交，对； C：由题设且半径为，而且半径为， 所以，即两圆外切，故两圆有3条公切线，对； D：由题设，则到直线的距离， 故直线l被圆E截得的弦长为，错. 故选：BC 11. 已知圆，则（ ） A. 圆可能过原点 B. 圆心在直线上 C. 圆与直线相切 D. 圆被直线所截得的弦长为 【答案】AD 【解析】 【分析】依据点与圆的位置关系即可判断A，把圆心代入直线方程看是否满足方程即可判断B，求出圆心到直线的距离即可判断C，利用弦长公式求得弦长即可判断D. 【详解】由圆知：圆心，半径， 对于A：把原点代入圆的方程得， 所以解得或， 所以当或时，圆过原点，故A正确； 对于B：把圆心代入得， 当时，，此时圆心不在直线上，故B不正确； 对于C：圆心到直线的距离：， 所以圆与直线相离，故C不正确； 对于D：圆心到直线的距离为：， 所以圆被直线所截得的弦长为：，故D正确. 故选：AD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线的焦点与圆的圆心重合，则m的值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线的焦点坐标为，圆的圆心坐标为，利用两者相同可得的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为，圆的圆心坐标为，故即，填. 【点睛】圆的一般方程为，其圆心为，注意.求圆锥曲线的基本量时，需要把圆锥曲线的方程写成标准形式，便于基本量的计算. 13. 已知椭圆，经过坐标原点的两条直线分别与椭圆相交于、、、四个点，若该两条直线的斜率分别为、，且，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】设出点的坐标，将△的面积用坐标表示，再利用已知条件及点在椭圆上进行坐标运算求解即可. 【详解】设，因为， 所以的斜率存在且不为，即， 直线方程：，即， 所以点到的距离为， 因此△的面积为， 而点在椭圆上，且所以 ，化简得， 所以 ， 所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线相交，一般先设出点的坐标并进行坐标运算，关键是利用已知条件将所求的式子进行化简，本题中主要利用点在椭圆上满足椭圆的方程以及斜率之积这两个条件进行化简. 14. 已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是的中点，则的值为__________. 【答案】##-0.5 【解析】 【分析】由题意得两两成角，模都为1，以这三个向量为基底，进行向量数量积运算即可求解. 【详解】根据题意为正四面体，两两成角， 所以， 所以 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知直线l：. （1）若l在两坐标轴上的截距相反，求a的值； （2）若直线m：，且，求l与m间的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出截距，利用截距和为0得解； （2）根据平行得出直线方程，再由平行线间距离公式求解. 【小问1详解】 令，则，令，则， 所以，解得. 【小问2详解】 因为，所以， 解得， 则的方程为，即， 则l与m间的距离. 16. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线与C交于两点，． （1）求的值； （2）求直线与C的公共点个数. 【答案】（1） （2）1个 【解析】 【分析】（1）设出直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理即可求解； （2）由坐标表示出直线的斜率进而得到直线方程，联立抛物线方程，得到二次方程的根只有一个即可求出. 【小问1详解】 易知直线的斜率不为零，可设直线的方程为，与联立得， ，所以． 【小问2详解】 直线的斜率为， 所以直线的方程为， 即，与联立得，解得， 所以直线与C只有1个公共点A． 17. 如图，多面体中，平面平面是的中点. （1）证明：平面 （2）若，且二面角的余弦值为，求的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，由线面平行的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，设，求出平面法向量，利用坐标计算求解即可. 【小问1详解】 取的中点，连接， 因为为中点，所以，， 因为平面平面，所以. 又因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以； 因为平面平面ABC，所以平面. 【小问2详解】 如图所示建立空间直角坐标系，设， 则， ， 设为平面的法向量， 则有得， 令，得， 显然平面的一个法向量可以为， 因为二面角大小余弦值为，所以有 . 解得，即的长为3. 18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，且，的中点为. （1）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，指出的位置并给予证明；若不存在，请说明理由； （2）若与平面所成的角是，求二面角的余弦值. 【答案】（1）存在，是线段的中点，证明见解析； （2）二面角的余弦值为. 【解析】 【分析】（1）设的中点为，取为中点，证明，利用线面平行判定定理证明平面. （2）取中点，取的中点，证明与平面所成角为，建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角的余弦值. 【小问1详解】 在线段上存在中点，使得平面. 证明如下：如图所示： 设的中点为，连结，， 则且， 且， 所以， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，∴平面. 【小问2详解】 取中点，连结，取的中点，连结，， 则且，又，故， ∵平面，∴平面， 故与平面所成角为，∴， 所以在中，， 又由菱形性质可得，∴，∴， ∴，∴，，两两垂直， 以，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， ∵， ∴，，，，，，， ∴，，， 则由平面得平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，故， 取x，则，， 所以为平面的一个法向量， 设二面角的平面角为，由图可得为锐角， 所以. ∴二面角的余弦值为. 19. 已知圆：，直线 : ． （1）求证：直线恒过定点； （2）判断直线与圆的位置关系 （3）直线被圆截得的弦何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时m的值及最短弦长． 【答案】（1）证明见详解 （2）相交 （3）答案见详解 【解析】 【分析】（1）将直线的方程化为，若过定点，则与m无关，即可得，求解可得定点坐标； （2）根据直线方程得到直线恒过，再求出，即可得到直线与圆必相交； （3）根据圆的性质可得，当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，进而即可求解． 【小问1详解】 依题意将直线的方程化为， 联立，解得， 故直线恒过定点． 【小问2详解】 结合（1）可得直线恒过定点， 又圆心为，半径为， 又， 则定点在圆内，所以直线与圆必相交． 【小问3详解】 设直线过圆交于点，，设圆心到直线的距离为， 显然当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，即， 当直线不过圆心时，直线被圆截得的弦长为， 即当最长时，直线被圆截得的弦长最短， 又结合（2）可得定点圆内，且， 若直线时，；若直线与不垂直时，， 所以当直线时，直线被圆截得弦长最短，且， 此时直线，则，解得． 故当直线过圆心时，被截得弦长最长； 当直线时,被截得弦长最短，此时，及最短弦长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $