精品解析：山东省泰安市岱岳区2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试

八年级数学练习题 一、选择题（每小题4分、共40分） 1. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：、符合因式分解的定义，原选项符合题意； 、是乘法运算，原选项不符合题意； 、中等号右边不是积的形式，原选项不符合题意； 、中是单项式，原选项不符合题意； 故选：． 2. 甲、乙两名同学在用提公因式法对多项式进行因式分解的过程中，出现了分歧，请你在下列四个选项中帮他们选出正确的公因式（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式． 公因式是多项式中各项都含有的因式，需取系数的最大公因数和形同字母的最低次幂． 【详解】解：∵多项式中，各项系数为2和（绝对值最大公因数为2），字母部分为和（最低次幂为）， ∴公因式为． 故选：D． 3. 某科技论坛对、豆包、腾讯元宝、夸克四款助手某一项功能的月度用户评分进行了统计，数据如表所示（单位：分）： 助手 评分（满分100） 88 豆包 85 腾讯元宝 84 夸克 85 评分的众数和中位数分别是（ ） A. 84， B. 85，85 C. 85， D. 85，86 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查众数和中位数的计算． 众数是出现次数最多的评分，中位数需要将数据排序后，根据数据个数的奇偶性确定． 【详解】解：评分数据为：88，85，84，85， 按从小到大排序：84，85，85，88． ∵85出现2次，次数最多， ∴众数为85． ∵数据个数为4（偶数）， ∴中位数为第二和第三个数据的平均值，即． ∴众数和中位数分别为85和85． 故选：B． 4. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简分式的定义“一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时（即分子与分母互素）叫最简分式”，逐个进行判断即可． 本题考查了最简分式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不是最简分式，不符合题意； B、，故选项不是最简分式，不符合题意； C、是最简分式，符合题意； D、，故选项不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 5. 根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的基本性质分别计算后判断即可． 【详解】A．分子分母同时加上同一个数，分式不一定成立，故原选项错误； B． ，故原选项错误； C．分式的分子与分母都乘以同一个不等于零的整式，分式的值不变，故原选项正确； D．，故原选项错误； 故选C 【点睛】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 6. 某互联网公司正在招聘一名产品经理，经过初筛后，甲、乙、丙、丁四名候选人进入最终考核环节，考核分为三个部分： （1）笔试（占比）：考察产品知识、逻辑分析能力． （2）面试（占比）：考察沟通能力、团队协作、职业规划． （3）项目实战（占比）：要求候选人在2小时内完成一个简单的产品需求文档（），考察实操能力．四位候选人的各项成续如下表所示（满分100分）： 项目 考核成绩 甲 乙 丙 丁 笔试 87 90 88 86 面试 90 88 92 94 项目实战 83 92 85 90 请计算四位候选人的最终得分，按照公司要求；项目实战成绩必须达到85分以上（包括85分）才能进入录用名单，那么最终录用的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 首先检查项目实战成绩是否达到85分，甲不符合条件；然后计算乙、丙、丁的加权平均分（笔试、面试、项目实战），比较得分高低． 【详解】解：∵项目实战成绩达到85分以上（包括85分）才能进入录用名单， ∴甲的项目实战成绩是83分，，不符合； 乙、丙、丁的项目实战成绩均符合． 计算最终得分： 乙：分， 丙：分， 丁：分， ∵丁得分最高， ∴录用丁． 故选D． 7. 在下列四个算式中： ①；②；③；④；最后计算结果是分式的是（ ） A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，以及分式的判断． 计算每个算式化简后的结果，判断是否为分式（分母中含有字母）．①和④的结果分母含字母，是分式；②和③的结果为常数，不是分式． 【详解】解：①，分母含字母，是分式； ②，结果为常数，不是分式； ③，结果为常数，不是分式； ④，分母含字母，是分式； 故选：A． 8. 下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查公式法因式分解，主要利用平方差公式 或完全平方公式 ，检查各选项是否符合公式形式即可． 【详解】解：选项 A∶ ，两个平方项的符号不一致，不符合完全平方公式，也无法直接应用平方差公式，不能用公式法分解． 选项B∶，整理为，两个平方项的符号不一致，不符合完全平方公式，也无法直接应用平方差公式，不能用公式法分解． 选项C∶，仅为两个平方项相加，不符合平方差公式或完全平方公式，不能用公式法分解． 选项D∶，可改写为，符合平方差公式，，能用公式法分解． 故选D． 9. 某班有45人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他44人的平均分为90分，方差，之后小亮进行了补测，成绩为90分．与该班44人的体能测试成绩相比，关于该班45人的体能测试成绩，下列说法正确的是（ ） A. 平均分不变，方差变小 B. 平均分不变，方差变大 C. 平均分变小，方差变小 D. 平均分变小，方差变大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差的定义，算术平均数．根据平均数，方差的定义计算即可． 由于小亮的补测成绩与原有平均分相同，因此平均分不变；根据方差公式，加入一个与平均分相同的分数后，方差会变小． 【详解】解：∵原44人的平均分为90分，小亮成绩为90分， ∴加入小亮后，45人的平均分仍为90分，平均分不变． ∵原方差，即， ∴． 加入小亮后，新方差为： ， ∵， ∴，方差变小． 故选：A． 10. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“七贯二百钱，倩人去买几株椽，每株脚钱四文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人去代买一批椽，这批椽的价钱为文，如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株橡？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程，设这批椽的数量为株，根据“这批椽的价钱为文”、“每株椽的运费为文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出分式方程，即可求解． 【详解】解：设这批椽的数量为株，根据题意得，， 故选A. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 要使分式有意义，则的取值应满足____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件．根据分母不为零即可求出答案． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 某种商品，原来每盒标价为元，现在每盒的售价降低了2元，同样用500元钱购买这种商品，现在比原来可多买_____盒． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式运算的应用． 通过计算现在购买数量与原来购买数量的差，得到多买的盒数． 【详解】解：原来每盒售价元，500元可购买盒； 现在每盒售价元，500元可购买盒． 现在比原来多买盒． 故答案为：． 13. 若，则分式的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值． 由条件得，将分式化简后代入求值即可． 【详解】解：由，得， ． 故答案为：． 14. 一组数据2，4，a，7，7的中位数是5，则方差______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是中位数、平均数和方差的求法，一般的设n个数据，一般地设n个数据，，，…的平均数为，则方差．把一组数据按从小到大或从大到小排列，当数据的个数为奇数个时，中间的数是中位数，当数据的个数为偶数个时，中间的两个数的平均数是中位数．先根据中位数的概念求出a的值，求出这组数据的平均数，再根据方差公式即可求解． 【详解】解：∵数据2，4，a，7，7的中位数是5， ∴， ∴， ， 故答案为：． 15. 定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．下列3组分式：①与；②与；③与；其中属于“友好分式组”的有____（只填序号）． 【答案】②③ 【解析】 【分析】本题考查了分式的减法运算． 根据“友好分式组”的定义，计算每组分式的差，判断是否等于2． 【详解】解：①； ②； ③． 因此，属于“友好分式组”的有②③． 故答案为：②③． 16. 如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的，后，按照程序图运行，会输出一个结果．若，时，输出的结果为3，则的值为____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分类讨论；分两种情况，解分式方程即可． 【详解】解：当时，， 解得：， 经检验是原方程的解； 当时，， 解得：， 经检验是原方程的解； 综上，x的值为或． 故答案为：或． 三、解答题 17. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解． （1）先提取公因式，再根据完全平方公式分解即可； （2）先提取公因式，再根据平方差公式分解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算： （1）先通分，然后根据同分母分式的运算法则计算即可； （2）把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 19. 解方程：． 【答案】无解 【解析】 【分析】本题主要考查的是解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤和方法是解题的关键． 先将分式方程化为整式方程，再求解即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以t得：， ， ∴， 检验，当时，是增根， ∴分式方程无解． 20. 先化简，再从，，，，中选择一个合适的数代入并求值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则． 根据分式的运算法则进行化简，然后利用分式有意义的条件得出x的值，将x的值代入原式即可求出答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 当时，原式． 21. “四书五经”是中国的“圣经”，“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》和《孟子》（四书）及《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》（五经）的总称，这是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙 . 某学校计划分阶段引导学生读这些书，先购买《论语》和《孟子》供学生阅读 . 已知用500元购买《孟子》的数量和用800元购买《论语》的数量相同，《孟子》的单价比《论语》的单价少15元 . 求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元？ 【答案】40元和25元 【解析】 【分析】根据题意可设《孟子》这种书的单价为x元，则《论语》这种书的单价为，已知用500元购买《孟子》的数量和用800元购买《论语》的数量相同，所以可得等量关系式：，代入数据计算即可. 【详解】解：. 设《孟子》这种书的单价为x元，则《论语》这种书的单价为， 根据题意，得：. 解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意. ∴. 答：《论语》和《孟子》这两种书的单价分别为40元和25元. 【点睛】本题是关于分式方程的实际问题，解题的关键在于能从题目中找到等量关系式，并能用合适的未知数来表示各个量，（注意：解得到的答案需要检验）. 22. 某校举办了“机器人知识”竞赛，竞赛满分100分，80分及以上为优秀．从甲班和乙班各随机抽取8名学生，对这8名学生的成绩进行了收集、整理、分析． 【收集数据】 甲班8名学生竞赛成绩：90，93，80，80，85，80，75， 乙班8名学生竞赛成绩：100，90，79，90，83，85，56， 【整理数据】小聪同学将甲、乙两个班级抽取学生的成绩进行了整理，并绘制了如图所示的统计图． 【分析数据】甲、乙两个班级抽取学生的竞赛成绩统计表， 班级 特征数 平均数 中位数 众数 方差 优秀率 甲班 80 n 乙班 m 90 【解决问题】请根据以上信息，解决以下问题： （1）填空：______，______，______填“>”“<”或“=”） （2）请你选择两个特征数进行分析，判断哪个班成绩比较好，并简要说明理由． （3）该校共有800人参加了此次竞赛活动，估计全校参加此次竞赛活动成绩在80分及以上的学生人数共有多少人？ 【答案】（1）84，80，； （2） 甲班成绩较好，理由如下： ①从平均数和优秀率的角度来说，甲、乙两个班级成绩的平均分一样，但甲班优秀率高于乙班，所以甲班成绩比乙班好； ②从平均数和方差的角度来说，甲、乙两个班级成绩的平均分一样，但乙班的方差大于甲班的方差，所以甲班的成绩比较好答案不唯一； （3）550人 【解析】 【分析】本题考查了统计的知识，熟练掌握中位数、众数、方差的意义是解答本题的关键． （1）根据中位数的定义可求出m，根据众数的定义可求出n，根据折线的波动幅度可判断方差的大小； （2）选择两个特征数分析即可； （3）用800乘以80分及以上的学生人数占的比例即可． 【小问1详解】 解：乙班成绩从小到大排列：56，75，79，83，85，90，90，100， ， 甲班成绩出现次数最多的数据为，故， 由“抽取学生的竞赛成绩折线统计图”可知：甲班学生的成绩更集中， ， 故答案为：84，80，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 人， 答：估计全校参加此次竞赛活动成绩在80分及以上的学生人数共有550人． 23. 下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所整理的课堂学习笔记． 题目： 甲、乙两名工人加工同一种零件，甲每天比乙多加工20个．若甲加工2000个零件与乙加工1200个零件所用的时间相同，求甲、乙两名工人每天各加工多少个零件？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设……为…… 等量关系：甲加工2000个零件所用的时间乙加工1200个零件所用的时间 根据等量关系可列出方程为：___________ 解法二 设……为…… 等量关系：甲工人每天加工的零件个数乙工人每天加工的零件个数 根据等量关系可列出方程为：___________ 请认真阅读笔记内容，完成下列任务： （1）解法一所设的未知数表示________（填序号）；根据等量关系可列出方程为________． ①表示甲工人每天加工零件的个数； ②表示甲工人加工2000个零件所用的天数； ③表示乙工人加工1200个零件所用的天数； （2）解法二所设的未知数表示________（填序号）；根据等量关系可列出方程为__________． ①表示甲工人每天加工零件的个数； ②表示甲工人加工2000个零件所用的天数； ③表示乙工人每天加工零件的个数； （3）根据以上解法中的一种，求出甲、乙两名工人每天各加工多少个零件． 【答案】（1）①， （2）②， （3）选解法一，甲、乙两名工人每天各加工50个零件和30个零件 【解析】 【分析】该题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据题意即可解答； （2）根据题意即可解答； （3）选择一种方法解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，解法一所设的未知数表示甲工人每天加工零件的个数；根据等量关系可列出方程为． 故答案为：①；． 【小问2详解】 解：根据题意，解法二所设的未知数表示甲工人加工2000个零件所用的天数， 根据等量关系可列出方程为：， 故答案为：②；． 【小问3详解】 解：选解法一：， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意； ∴， 答：甲、乙两名工人每天各加工50个零件和30个零件 ． 选解法二：， 去分母得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意； ∴， 答：甲、乙两名工人每天各加工50个零件和30个零件 ． 24. 阅读与思考：“配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式．巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如： ． （1）【解决问题】运用配方法将多项式进行因式分解：； （2）【深入研究】试说明多项式的值总是一个正数； （3）【拓展运用】对于任意实数，是否存在一个值，使多项式的值最小，如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查配方法的应用． （1）根据配方法将原式变形为，然后利用平方差公式分解即可； （2）根据配方法将原式变形为，然后利用平方的非负性即可求证； （3）根据配方法将原式变形为，然后利用平方的非负性即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ∵， ∴ ∴多项式的值总是一个正数 【小问3详解】 解：存在；理由： ∵， ∴， ∴当时，多项式的值最小，且最小值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学练习题 一、选择题（每小题4分、共40分） 1. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 2. 甲、乙两名同学在用提公因式法对多项式进行因式分解的过程中，出现了分歧，请你在下列四个选项中帮他们选出正确的公因式（ ） A. 2 B. C. D. 3. 某科技论坛对、豆包、腾讯元宝、夸克四款助手某一项功能的月度用户评分进行了统计，数据如表所示（单位：分）： 助手 评分（满分100） 88 豆包 85 腾讯元宝 84 夸克 85 评分的众数和中位数分别是（ ） A. 84， B. 85，85 C. 85， D. 85，86 4. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 5. 根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某互联网公司正在招聘一名产品经理，经过初筛后，甲、乙、丙、丁四名候选人进入最终考核环节，考核分为三个部分： （1）笔试（占比）：考察产品知识、逻辑分析能力． （2）面试（占比）：考察沟通能力、团队协作、职业规划． （3）项目实战（占比）：要求候选人在2小时内完成一个简单的产品需求文档（），考察实操能力．四位候选人的各项成续如下表所示（满分100分）： 项目 考核成绩 甲 乙 丙 丁 笔试 87 90 88 86 面试 90 88 92 94 项目实战 83 92 85 90 请计算四位候选人的最终得分，按照公司要求；项目实战成绩必须达到85分以上（包括85分）才能进入录用名单，那么最终录用的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 在下列四个算式中： ①；②；③；④；最后计算结果是分式的是（ ） A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ③④ 8. 下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 9. 某班有45人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他44人的平均分为90分，方差，之后小亮进行了补测，成绩为90分．与该班44人的体能测试成绩相比，关于该班45人的体能测试成绩，下列说法正确的是（ ） A. 平均分不变，方差变小 B. 平均分不变，方差变大 C. 平均分变小，方差变小 D. 平均分变小，方差变大 10. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“七贯二百钱，倩人去买几株椽，每株脚钱四文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人去代买一批椽，这批椽的价钱为文，如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株橡？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 要使分式有意义，则的取值应满足____． 12. 某种商品，原来每盒标价为元，现在每盒的售价降低了2元，同样用500元钱购买这种商品，现在比原来可多买_____盒． 13. 若，则分式的值为_____． 14. 一组数据2，4，a，7，7的中位数是5，则方差______． 15. 定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．下列3组分式：①与；②与；③与；其中属于“友好分式组”的有____（只填序号）． 16. 如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的，后，按照程序图运行，会输出一个结果．若，时，输出的结果为3，则的值为____． 三、解答题 17. 分解因式： （1） （2） 18. 计算： （1） （2） 19. 解方程：． 20. 先化简，再从，，，，中选择一个合适的数代入并求值． 21. “四书五经”是中国的“圣经”，“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》和《孟子》（四书）及《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》（五经）的总称，这是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙 . 某学校计划分阶段引导学生读这些书，先购买《论语》和《孟子》供学生阅读 . 已知用500元购买《孟子》的数量和用800元购买《论语》的数量相同，《孟子》的单价比《论语》的单价少15元 . 求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元？ 22. 某校举办了“机器人知识”竞赛，竞赛满分100分，80分及以上为优秀．从甲班和乙班各随机抽取8名学生，对这8名学生的成绩进行了收集、整理、分析． 【收集数据】 甲班8名学生竞赛成绩：90，93，80，80，85，80，75， 乙班8名学生竞赛成绩：100，90，79，90，83，85，56， 【整理数据】小聪同学将甲、乙两个班级抽取学生的成绩进行了整理，并绘制了如图所示的统计图． 【分析数据】甲、乙两个班级抽取学生的竞赛成绩统计表， 班级 特征数 平均数 中位数 众数 方差 优秀率 甲班 80 n 乙班 m 90 【解决问题】请根据以上信息，解决以下问题： （1）填空：______，______，______填“>”“<”或“=”） （2）请你选择两个特征数进行分析，判断哪个班成绩比较好，并简要说明理由． （3）该校共有800人参加了此次竞赛活动，估计全校参加此次竞赛活动成绩在80分及以上的学生人数共有多少人？ 23. 下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所整理的课堂学习笔记． 题目： 甲、乙两名工人加工同一种零件，甲每天比乙多加工20个．若甲加工2000个零件与乙加工1200个零件所用的时间相同，求甲、乙两名工人每天各加工多少个零件？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设……为…… 等量关系：甲加工2000个零件所用的时间乙加工1200个零件所用的时间 根据等量关系可列出方程为：___________ 解法二 设……为…… 等量关系：甲工人每天加工的零件个数乙工人每天加工的零件个数 根据等量关系可列出方程为：___________ 请认真阅读笔记内容，完成下列任务： （1）解法一所设的未知数表示________（填序号）；根据等量关系可列出方程为________． ①表示甲工人每天加工零件的个数； ②表示甲工人加工2000个零件所用的天数； ③表示乙工人加工1200个零件所用的天数； （2）解法二所设的未知数表示________（填序号）；根据等量关系可列出方程为__________． ①表示甲工人每天加工零件的个数； ②表示甲工人加工2000个零件所用的天数； ③表示乙工人每天加工零件的个数； （3）根据以上解法中的一种，求出甲、乙两名工人每天各加工多少个零件． 24. 阅读与思考：“配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式．巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如： ． （1）【解决问题】运用配方法将多项式进行因式分解：； （2）【深入研究】试说明多项式的值总是一个正数； （3）【拓展运用】对于任意实数，是否存在一个值，使多项式的值最小，如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $