专题1.1 三角函数中的w取值范围讲义——2026届高三数学二轮复习

该高中数学高考复习资料聚焦三角函数中ω取值范围这一核心考点，涵盖单调性、对称性、最值、零点及几何问题五大题型，按“思路梳理-题型突破-综合训练”逻辑架构知识，通过考点分类、方法归纳、真题演练，帮助学生构建解题框架，突破高考高频难点。 资料特色在于以数学思维为导向，创新采用整体换元与不等式求解策略，如通过单调区间整体代换推导ω范围，培养学生逻辑推理能力。综合训练分层设计，配合典型例题精讲，确保高效复习，助力教师精准把控节奏，提升学生解决复杂三角函数问题的应考能力。

专题1.1：三角函数中的ω取值范围 目录 思路梳理 1 题型一：单调性与ω的取值范围 1 题型二：对称性与ω的取值范围 4 题型三：最值与ω的取值范围 8 题型四：零点与ω的取值范围 12 题型五：由几何问题求ω的取值范围 14 综合训练 18 思路梳理 在三角函数中，（通常称为角频率或角速度）的取值范围需根据具体问题的条件和性质来确定，以下是一些常见情况： ①一般情况：若无特殊限制， 可以是任意正实数，即 。这是因为 控制三角函数的周期和变化速度，正数确保函数按常规方向周期性变化. ②由周期确定：若已知函数的最小正周期为，则 。此时 的取值由 唯一确定，且. ③有单调性确定：若已知函数的最小正周期为，则 。此时 的取值由 唯一确定，且. ④由零点个数确定：若函数在区间 内有 个零点，需满足区间长度与周期的关系。例如，至少有 个零点时，，由此可解出 的范围. ⑤由对称性确定：若函数图象有对称轴或对称中心，可通过对称点的坐标关系确定。例如，对称轴 满足（），由此解出. ⑥由极值或最值确定：若函数在某区间内有极值或最值，需满足函数在该区间内完成至少半个周期的变化。例如，函数 在区间 内有极值，则 ，即 . 对于较难的求取值范围的问题，往往是通过不等式求解的. 我们将看作一个整体， 如果满足单调性，则让落在这个单调区间内，解得的范围. 如果满足对称性，零点，极值点等，则具体的点坐标代入，解出的等式. 题型一：单调性与ω的取值范围 例1．已知函数的图象过点，且对任意，都有，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据已知可得且在上单调递增，进而得到，讨论即可得参数范围. 【详解】由题设，，则，则， 由都有，又， 所以在上单调递增，此时， 所以，可得， 当有，故当有， 当有，当有， 又，所以. 故答案为： 例2．已知函数，（，），，，且在区间上单调，则的最大值为（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据函数的单调性确定的取值范围，再由两个函数的值列出方程组，求解后分析即得的最大值. 【详解】设函数的最小正周期为，， 因在区间上单调，则，因，则有， 又，，则得， 消去，可得，即， 因，可得， 故当时，取得最大值为5. 当时，，由可得， 此时，符合题意. 故选：B. 例3．已知函数，，，在区间上单调，则正整数的最大值为 . 【答案】11 【分析】由最大值得到，由为对称中心，得到，再结合单调性得到，再验证，即可求解. 【详解】因为， 所以，，所以， 又，所以是函数的对称中心， 所以，，所以， 所以，即， 所以是奇数，又函数在区间上单调， 所以即，所以， 当时，不符合题意； 当时，，，又， 取，时，满足， 所以最大值为11. 故答案为：11 例4．设函数，若在上单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用正弦函数的单调区间来求解参数范围即可. 【详解】由可得：， 因为正弦函数的单调递增区间是， 所以，解得：， 由解得：， 因为，所以当时，有， 当时，有， 故答案为： 题型二：对称性与ω的取值范围 例1．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则的值可以是（    ） A．4 B．5 C．10 D．16 【答案】B 【分析】先根据三角函数图像的平移规则得到平移后的函数解析式，再结合正弦函数图像关于原点对称的性质，求出的表达式，最后根据选项进行判断即可. 【详解】由题意，令函数的图象向左平移个单位长度后所得函数为， 则， 又平移后得到的图象关于坐标原点对称，即函数为奇函数， 所以，解得， 当时，. 故选：B 例2．已知函数，将的图象先向左平移个单位长度，得到函数的图象，若图象关于对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用辅助角公式得，再由图象平移得，结合图象的对称性及正弦函数的性质求参数值. 【详解】由， 所以， 由图象关于对称，则， 所以，可得，而，故. 故选：A 例3．（多选题）已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，则下面给出的结论中，正确的是（    ）． A．的取值范围是 B．的最小正周期可能是2 C．在区间上可能恰有4个零点 D．在区间上可能单调递增 【答案】AC 【分析】令,则,结合题中条件可得有四个整数符合，可求出的取值范围，再根据三角函数的性质逐项分析即可. 【详解】由， 令，则， 因为函数在区间上有且仅有4条对称轴， 即有四个整数符合， 由，得， 则，即， 所以，故A正确； 若函数的最小正周期为，则，故B错误； 当时，， 又， 当时，有三个不同的零点； 当，有四个不同的零点， 则在区间上可能恰有4个零点,故C正确； 当时，， 因为 所以， 而，所以在区间上不单调递增，故D错误， 故选：AC. 【点睛】本题的关键点是：根据题中条件，求出的取值范围. 例4．，在有且仅有一条对称轴，则范围为 【答案】 【分析】由题意结合三角函数的性质可得，，整理后按照、、、分类讨论即可得解. 【详解】函数的图像在区间上有且仅有一条对称轴，， 函数的周期，， 令，则， ，整理得，， 且， 当时，原不等式可化为，解得； 当时，原不等式可化为，解得； 当时，原不等式可化为，解得； 当时，原不等式可化为，无解； 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 题型三：最值与ω的取值范围 例1．已知函数（）在上的图象有且仅有3个最高点．下面四个结论： ①在上的图象有且仅有3个最低点； ②在至多有7个零点； ③在单调递增； ④的取值范围是； 则正确的结论是 ．（填写序号） 【答案】②③④ 【分析】根据第3个正最大值点在区间内，第4个正最大值点不在内列不等式可得的范围，可判断④；求出第3个正最小值点，结合的范围求出其范围即可判断①；根据的范围，求出第7、8个正零点的范围，可判断②；由得，结合的范围求出的范围可判断③. 【详解】对于④，由得的最大值点为， 因为在上的图象有且仅有3个最高点， 所以，解得，④正确； 对于①，由得的最小值点为， 因为，所以， 因为第3个正最小值点为，所以， 所以第3个正最小值点不一定在内，故①错误； 对于②，由得， 第7、8个正零点为， 因为， 所以第7个正零点有可能在内，第8个正零点不在内， 所以在至多有7个零点，②正确； 对于③，由得， 因为，所以在单调递增，③正确. 故答案为：②③④ 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用的范围，求出关键零点、最值点、端点的范围，然后即可得解. 例2．已知（，，），其图象经过点，若存在，使得为函数的最大值，为函数的最小值，且同时满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，可求得，利用函数图像经过，可求得，结合单调性可得，进而可求得的取值范围. 【详解】∵为函数的最大值，为函数的最小值，所以，， 又，所以必有，解得， 又函数图像经过，因此，结合，得出， 则，因为，当时，， 所以，得，，所以，解得． 当时，； 当时，令，因时，， 故从开始，各区间相互重叠，其并集为， 因此的取值范围是. 故答案为：. 例3．若函数在区间上恰有5个极值点，且在区间上单调，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由求出，结合极值点个数求出的范围，再由求出的范围，算出左端点的范围，结合正弦函数的单调性得到不等式组，解得即可. 【详解】由，所以，又函数在区间上恰有5个极值点， 所以，解得， 由，则， 又在区间上单调， 由，所以，所以或， 解得或， 综上可得的取值范围为. 故答案为： 例4．已知，，若对任意实数x均有，则满足条件的有序实数对的组数为 ． 【答案】6 【分析】令，可得，求得或，结合函数的周期性反正否定,的情况，讨论得出所有可能的值，最后利用乘法计数原理求出有序实数对的组数． 【详解】对任意实数x均有，令，则，故， ，又， 或，共2个，此时. 令，依题意，恒成立. 当时显然，恒成立. 当时，的周期依次为为，. 若，则，于是当正数足够大时，在区间内的上顶点数比多，所以存在，使得在处取到最大值而不是，即而，，所以不恒成立，不合题意． 若，则，当正数足够大时，在区间内，的零点比的零点多，所有存在，使得在处是的零点而不是的零点，即而，，所以存在的点，不合题意． 当时，，成立； 所以的取值共3个：． 所以有序实数对共组． 故答案为：6． 题型四：零点与ω的取值范围 例1．已知函数的图象与轴的交点为， ，又在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由，求出，然后求出在坐标原点两侧最接近0的两个零点，根据题意列不等式求解即可. 【详解】依题意得，，，则； 则， 令，得，令，得， 所以在坐标原点两侧最接近0的两个零点分别为，，且， 由题意，得，解得， 则的取值范围是. 故答案为：； 例2．已知定义域为R的函数的解析式为，若在区间上至多出现2025个最小值，且对任意实数s，在上至少出现2025个零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，再由可得，列出不等式代入计算，即可得到的取值范围. 【详解】由得，即， 由题意可得，得， 由得， 所以相邻零点之间相距或， 由题意知， 所以实数的取值范围为． 故答案为： 例3．已知函数满足恒成立.①的取值范围是 ；②若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据恒成立，可得，从而得到，即可确定的取值范围；由，结合和，可得，从而求得，进而求解的最小值. 【详解】由，可知， 因为恒成立，所以，即， 因为，所以，因为，所以， 所以的取值范围是； 由，所以，即，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，， 则，，所以， 解得，又，所以. 故答案为：； 例4．已知函数在区间内不存在零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先化简函数得，结合的图象，利用函数在上无零点，列不等式组可求的取值范围. 【详解】因为. 由题意：，即. 由. 因为在区间内不存在零点，结合的图象， 可得：或， 解得：或. 故答案为：. 题型五：由几何问题求ω的取值范围 例1．已知函数和函数的图象上相邻的四个交点构成的四边形的面积为，且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先计算两个函数的交点坐标，得出相邻的四个交点构成的四边形为平行四边形，即可计算其面积，得出的值，再利用得出. 【详解】由得，， 则，即， 则当时，（为奇数）或（为偶数）， 则交点坐标为（为奇数），（为偶数）， 则相邻的四个交点构成的四边形为平行四边形， 因相邻的交点之间的横坐标差的绝对值为， 则平行四边形的面积为，得， 由，得，即， 因为，所以. 故选： C 例2．如图，函数的图象与它在原点右侧的第二条对称轴交于点是图象在原点左侧与轴的第一个交点，点在图象上，，，则 ． 【答案】/ 【分析】设函数的最小正周期，，，由三角函数的图象与性质可得，由平面向量的知识可得，代入即可得，再由平面向量的数量积可得，即可得解. 【详解】设函数的最小正周期，，， 所以，结合函数的图象可得，， 则. 设，则，， 所以， 所以， 所以， 则，. 由可得，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 例3．已知，曲线与，相邻的三个交点构成一个等腰直角三角形，求的值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用方程求出三个连续交点，通过数形结合可知只需要满足，从而可求出. 【详解】如图： 先由与相交可得方程：， 因为， 所以，即， 不妨取，可得三个交点的横坐标分别为，，， 所以. 因为为等腰直角三角形，所以斜边边上的中线长为. 又，，， 设为的中点，则， ，， 由 故选：A 例4．已知函数，若存在实数使得函数图象上的最低点或最高点恰有2个在椭圆的内部（包含边界），则的取值范围是 . 【答案】 【分析】令即可求出最值处的横坐标，由最值点在椭圆内部，故可将最值点的坐标代入中，得出关于的不等式，因存在两个最值点，故不等式存在两个相邻的，最后利用两端点距离范围为可求解. 【详解】令，则， 因存在实数使得函数图象上的最低点或最高点恰有2个在椭圆的内部（包含边界）， 则存在两个相邻的，使得成立， 即，则， 则， 则，得， 故的取值范围是. 故答案为： 综合训练 1．将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】先由平移得到函数的解析式，再由图象关于对称可得. 【详解】由函数的图象向左平移后得到函数的图象， 所以，又的图象关于直线对称， 所以，得， 即，再由，得，所以当时，取最小值为. 故选：B. 2．设A，B，C是函数与函数的图象连续相邻的三个交点，若则 . 【答案】 【分析】根据求得，从而有，取特值，再根据正弦曲线的性质计算即可. 【详解】由，即， 解得，从而， 不妨设，由正弦曲线的对称性和周期性知：， 又边上的高为，且， ，从而． 故答案为：.    3．已知，若对任意实数均有，则满足条件的有序实数对的个数为 . 【答案】3 【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同，通过，，三种情况讨论求解即可 【详解】，任意实数均有. 当时，任意实数均有，且， 时，符合题意； 任意实数均有，即， ， 只能任意实数均有，则， 当时，，则， ，符合题意； 当时，. 所以，， 又，符合题意. 综上所述，满足条件的有序实数对有，，共3个. 故答案为：3 4．已知函数仅存在一个极值点和两个零点在区间内，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】设为的最小正周期，则由得，由得，由得，结合求得和的范围，根据余弦函数性质列不等式组求解即可. 【详解】设为的最小正周期，由题意可知，，即，解得， 由得，，，由得，， 又，所以，， 由余弦函数的图象可知，两个相邻零点之间必有一条对称轴，即存在一个极值点. 由题意或， 解得或， 故实数的取值范围为. 故答案为： 5．定义：闭区间[a，b]的长度为，已知函数同时满足以下3个条件：①在任意一个区间长度为的闭区间内，都不存在，使得；②；③是函数图象的一个对称中心，则实数的最大值为 . 【答案】 【分析】利用①得出，解得.数形结合，利用②中分析出取得最小值时所在的位置，最后利用③中解出的值,求出 【详解】当时，说明与一个取最小值，一个取最大值， 而要想在一个闭区间内能同时取得最小值和最大值，闭区间最少要为半个周期， 因此，若闭区间的长度小于半个周期，则一定不能同时取得最小值和最大值，所以，解得， 所以.不妨设，如图所示：    依次讨论对应为点C，A，D，E四种情况，且， 若对应为点（或点之后），则，即，不合题意； 若求的最大值，即的最小值，即与之间相位跨度最大， 若对应为点，则直线为图象的对称轴， 又是函数图象的一个对称中心，且， 则，解得，则. 所以取值的最大值为. 故答案为：. 6．已知函数，点，分别为函数图象上的最高点和最低点，若线段的长度的最小值为，且，则的值为 . 【答案】 【分析】通过逐步分析画出在一个周期内的函数图象，根据长度的最小值得到等量关系，解方程可得结果. 【详解】令，则原函数可化为， ∴，的最小正周期为， 作出在上的函数图象，如图1， ∴在上的函数图象如图2， 由得，，的最小正周期为，故在的图象如图3， 如图，当点为一个周期内的最高点和最低点时，的长度最小，此时， ∵， ∴，即，解得. 故答案为：. 7．若存在使满足，则正数的取值范围是 . 【答案】 【分析】通过正弦函数最值，确定，，从而得到进而求解可解决问题. 【详解】， 所以， 又 所以必有，，， 因为， 当时，， 所以 得，所以，解得． 当时，；当时，； 因此的取值范围是． 故答案为： 8．已知函数，若存在，使得，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】对函数利用辅助角公式变形，分和两种情况由正余弦函数的性质可得. 【详解】 又，，， 或， ①当时，即， 则， 所以， ，而，，所以， 代入得， 所以， 当时，可取； ②时， 同理， 则， ，而，，所以， 代入得， 所以， 当时，可取； 综上的最小值为：4 故答案为：4. 9．已知，顺次连接函数与的任意四个相邻交点，所构成的四边形的周长为，则 ． 【答案】/ 【分析】作出图形，分析可知四边形为平行四边形，根据平行四边形的两条邻边长之和为可求出的值. 【详解】如下图所示： 由题意可知， 联立可得或， 不妨取点，则， 所以， 由题意可知，四边形为平行四边形，且其周长为， 所以， 令，可得，即，整理可得， 即，由可得，故， 即，解得. 故答案为：. 10．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】先由余弦型函数在给定区间上的零点问题转化为函数与函数在上的交点问题，借助于余弦函数的图象列出不等式求解即得. 【详解】 由，可得， 设，当时，， 依题意，要使函数在区间上恰有5个零点， 需使函数与函数在上有5个交点， 结合余弦函数的图象，可得，即得， 即的取值范围为. 故答案为：. 11．已知函数（，），若，，且在区间上单调，则 ． 【答案】 【分析】根据函数在区间 内的单调得出周期，进而求得，通过极值点和零点条件建立关于 和 的方程，结合 的范围筛选合理解，验证单调性即可得出结果. 【详解】设函数 的周期为 ，由， ， 结合正弦函数图象的特征可知， ， . 故 . 又因为 在区间上单调，所以， ，故 ， 所以 . 由 ，得 ，即且， 所以，当 时， ， ，或，舍. 当 时， ， ， ，符合条件. 当 时， ， ，或，舍. 所以 ， . 故答案为：. 12．已知函数区间内没有零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据周期性可得，以为整体，结合题意可得其取值范围，再结合正弦函数零点运算求解. 【详解】设函数的最小正周期为， 根据函数周期性可知：，即， 且，则，可得， 因为，则， 且， 因为函数在区间内没有零点，可知在区间内没有零点， 可得或，解得或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 13．已知函数在上单调，且，则的取值可能为 . ①        ②        ③        ④12        ⑤ 【答案】①③ 【分析】根据三角函数的单调性先得，再由，得的一个零点为，即可分周期的情况求得的值. 【详解】设的最小正周期为T，则由在上单调， 可得，即， 由且， 得的一个零点为. 因为， 所以有以下三种情况：①，则； ②，得，则； ③，得，则. 故选：①③. 【点睛】关键点点睛：根据三角函数的单调性先得，再由，得的一个零点为，即可分周期的情况求得的值. 14．已知函数，其中，，且恒成立，若在区间上恰有个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】依题意可得，即可得到，再由范围求出的范围，即可得到，即可求出的取值范围. 【详解】因为恒成立，则， 所以，则， 当时，， 因为，则， 因为在区间上恰有个零点，则， 即，，解得，， 因为，由题意可知. 所以，可得； 即的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出，再结合零点个数得到. 15．已知函数在区间上单调递减，且在区间上恰有个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】当时，求出的取值范围，根据函数在区间内的零点个数可得出关于的不等式；当时，求出的取值范围，根据函数在区间上的单调性，可得出关于的不等式组，综合可得出的取值范围. 【详解】因为函数在区间上恰有个零点， 令，可得，当时，， 所以，，解得， 又因为函数在区间上单调递减， 当时，， 则，其中， 所以，，解得，， 由解得，故，则， 综上所述，正实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路： （1）将函数解析式变形为或的形式； （2）将看成一个整体； （3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题. 16．已知函数和的图象相邻的两个交点为A，B，若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】作出函数图象，结合三角形的等价条件进行转化，求出三角形的底和高，结合三角函数的相交性质进行求解即可. 【详解】作出两个函数的图象如图，则由对称性设，且， 即为等腰三角形，，且， 取AC的中点M，连接BM， 则，， 由，得， 得，得，得， 则， 即A点纵坐标为1，，， 因为，所以，解得， 即，解得，所以的取值范围为. 故答案为：. 17．已知函数，，，且在上单调，则的值为 ． 【答案】 【分析】分析可知，函数的一条对称轴为直线，且，可得出①，②，结合①②以及的取值范围可求出的值，以及的表达式，然后由可得出的不等式，解出的取值，然后由大到小逐一检验即可. 【详解】因为函数满足， 则函数的一条对称轴为直线，则①， 因为，可得②， 由①②可得， 因为，所以，， 将代入①可得， 因为在上单调，则该函数的最小正周期满足， 所以，，所以，，解得， 因为，则的可能取值构成的集合为， 当时，，此时，， 当时，，此时，函数在上不单调，不合乎题意； 当时，，则， 当时，，此时，函数在上不单调，不合乎题意； 当时，，则， 当时，，此时，函数在上单调递减，合乎题意. 综上所述，的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于求出后，要结合单调性确定周期的范围，进而得出的范围，进而求解. 18．已知，若存在、，且，使得成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据的值域得到，则成立的必要条件是，当时必然成立，讨论时是否满足条件即可. 【详解】因为，所以，， 因为，所以，所以， 即，，所以， 当且仅当时，成立， 所以， 必要条件：，解得； 若，即时，必然成立； 若，因为，，不妨设， 则，，且， 所以，， 所以①，②， ①②两式联立得，即， 所以，又，所以，， 当时，，不符合条件； 当时，，则，此时； 当时，，则或，此时或， 因为，所以； 综上，或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点之一在于根据的值域得到，将问题转化为；关键点之二在于讨论时是否满足条件. 19．若存在（互不相等），满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可得，不妨设，再分和两种情况讨论，分别求出，进而可得出答案. 【详解】存在（互不相等），满足， 则， 不妨设，且是相邻最值点. 当时， 则，解得， 由，解得， 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 当时， 则，解得， 由，解得， 当时，， 当时，， 所以， 综上所述，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：由题意可得，不妨设，再分和求出是解决本题的关键. 20．设A，B，C是函数与函数的图象连续相邻的三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先化简变换得到，在同一坐标系中作出两个函数图像，设为的中点，由，，然后根据为钝角三角形，只须，由求解， 【详解】由题意得，，作出两个函数图像，如图： 为连续三交点，（不妨设在轴下方），为的中点， 由对称性，则是以为顶角的等腰三角形，， 由，整理得， 解得，则， 即， 所以， 因为为钝角三角形， 则， 所以， 解得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键是将为钝角三角形，转化为则，利用以而得解. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1：三角函数中的ω取值范围 目录 思路梳理 1 题型一：单调性与ω的取值范围 2 题型二：对称性与ω的取值范围 2 题型三：最值与ω的取值范围 3 题型四：零点与ω的取值范围 4 题型五：由几何问题求ω的取值范围 4 综合训练 5 思路梳理 在三角函数中，（通常称为角频率或角速度）的取值范围需根据具体问题的条件和性质来确定，以下是一些常见情况： ①一般情况：若无特殊限制， 可以是任意正实数，即 。这是因为 控制三角函数的周期和变化速度，正数确保函数按常规方向周期性变化. ②由周期确定：若已知函数的最小正周期为，则 。此时 的取值由 唯一确定，且. ③有单调性确定：若已知函数的最小正周期为，则 。此时 的取值由 唯一确定，且. ④由零点个数确定：若函数在区间 内有 个零点，需满足区间长度与周期的关系。例如，至少有 个零点时，，由此可解出 的范围. ⑤由对称性确定：若函数图象有对称轴或对称中心，可通过对称点的坐标关系确定。例如，对称轴 满足（），由此解出. ⑥由极值或最值确定：若函数在某区间内有极值或最值，需满足函数在该区间内完成至少半个周期的变化。例如，函数 在区间 内有极值，则 ，即 . 对于较难的求取值范围的问题，往往是通过不等式求解的. 我们将看作一个整体， 如果满足单调性，则让落在这个单调区间内，解得的范围. 如果满足对称性，零点，极值点等，则具体的点坐标代入，解出的等式. 题型一：单调性与ω的取值范围 例1．已知函数的图象过点，且对任意，都有，则的取值范围是 . 例2．已知函数，（，），，，且在区间上单调，则的最大值为（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 例3．已知函数，，，在区间上单调，则正整数的最大值为 . 例4．设函数，若在上单调递增，则的取值范围是 ． 题型二：对称性与ω的取值范围 例1．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则的值可以是（    ） A．4 B．5 C．10 D．16 例2．已知函数，将的图象先向左平移个单位长度，得到函数的图象，若图象关于对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 例3．（多选题）已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，则下面给出的结论中，正确的是（    ）． A．的取值范围是 B．的最小正周期可能是2 C．在区间上可能恰有4个零点 D．在区间上可能单调递增 例4．，在有且仅有一条对称轴，则范围为 题型三：最值与ω的取值范围 例1．已知函数（）在上的图象有且仅有3个最高点．下面四个结论： ①在上的图象有且仅有3个最低点； ②在至多有7个零点； ③在单调递增； ④的取值范围是； 则正确的结论是 ．（填写序号） 例2．已知（，，），其图象经过点，若存在，使得为函数的最大值，为函数的最小值，且同时满足，则的取值范围是 ． 例3．若函数在区间上恰有5个极值点，且在区间上单调，则的取值范围为 . 例4．已知，，若对任意实数x均有，则满足条件的有序实数对的组数为 ． 题型四：零点与ω的取值范围 例1．已知函数的图象与轴的交点为， ，又在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是 . 例2．已知定义域为R的函数的解析式为，若在区间上至多出现2025个最小值，且对任意实数s，在上至少出现2025个零点，则实数的取值范围为 ． 例3．已知函数满足恒成立.①的取值范围是 ；②若，则的最小值为 . 例4．已知函数在区间内不存在零点，则的取值范围是 . 题型五：由几何问题求ω的取值范围 例1．已知函数和函数的图象上相邻的四个交点构成的四边形的面积为，且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 例2．如图，函数的图象与它在原点右侧的第二条对称轴交于点是图象在原点左侧与轴的第一个交点，点在图象上，，，则 ． 例3．已知，曲线与，相邻的三个交点构成一个等腰直角三角形，求的值（    ） A． B． C． D． 例4．已知函数，若存在实数使得函数图象上的最低点或最高点恰有2个在椭圆的内部（包含边界），则的取值范围是 . 综合训练 1．将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 2．设A，B，C是函数与函数的图象连续相邻的三个交点，若则 . 3．已知，若对任意实数均有，则满足条件的有序实数对的个数为 . 4．已知函数仅存在一个极值点和两个零点在区间内，则实数的取值范围为 . 5．定义：闭区间[a，b]的长度为，已知函数同时满足以下3个条件：①在任意一个区间长度为的闭区间内，都不存在，使得；②；③是函数图象的一个对称中心，则实数的最大值为 . 6．已知函数，点，分别为函数图象上的最高点和最低点，若线段的长度的最小值为，且，则的值为 . 7．若存在使满足，则正数的取值范围是 . 8．已知函数，若存在，使得，则的最小值为 . 9．已知，顺次连接函数与的任意四个相邻交点，所构成的四边形的周长为，则 ． 10．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为 . 11．已知函数（，），若，，且在区间上单调，则 ． 12．已知函数区间内没有零点，则的取值范围是 . 13．已知函数在上单调，且，则的取值可能为 . ①        ②        ③        ④12        ⑤ 14．已知函数，其中，，且恒成立，若在区间上恰有个零点，则的取值范围是 . 15．已知函数在区间上单调递减，且在区间上恰有个零点，则的取值范围是 . 16．已知函数和的图象相邻的两个交点为A，B，若，则的取值范围为 . 17．已知函数，，，且在上单调，则的值为 ． 18．已知，若存在、，且，使得成立，则的取值范围是 ． 19．若存在（互不相等），满足，则的取值范围为 . 20．设A，B，C是函数与函数的图象连续相邻的三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $