1.1三角函数的图像与性质专项训练——2026届高三数学二轮复习

三角函数的图像与性质 目录 题型一：三角函数图像的变换 1 题型二：三角函数的图像与解析式 6 题型三：三角函数的性质 13 题型四：含三角的一般函数性质研究 16 题型五：的取值与范围问题 20 题型六：三角函数与零点有关问题 25 题型七：含绝对值的三角函数性质 28 专练：三角函数多选题 37 专练：三角函数解答题 58 题型一：三角函数图像的变换 1．要得到函数的图象，只需将的图象（   ） A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】A 【分析】先把目标函数变形为与原函数结构相似的形式，再利用三角函数图象平移规律确定平移方向和单位． 【详解】， 由到，需要向右平移个单位， 故选：A． 2．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出平移后的函数解析式，进而根据函数性质求得，再依次讨论各选项即可. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度后， 对应的函数解析式为， 因为的图象关于轴对称， 所以，即， 显然，当时，不满足，不成立； 当时，，满足，成立； 当时，不满足，不成立； 当时，不满足，不成立； 故选：B 3．将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于原点对称，则最小时，（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先进行图象变换，再由函数的对称性求解． 【详解】解析：平移后，， 所以. 所以，因为，所以最小值为. 所以. 故选：B 4．已知将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（   ） A．函数图象关于对称 B．函数图象在内有3个极值点 C．函数在上单调递增 D．函数图象关于中心对称 【答案】C 【分析】本题考查三角函数的图象变换、性质，解题的关键在于先对函数进行化简，再根据图象平移规律得到的表达式，最后逐一分析选项. 【详解】由题意可得 因为将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象， 所以； 当时，或0， 所以不是对称轴，选项A错误； 令,解得， 当时， ；当时， ； 所以函数图象在内有2个极值点，选项B错误； 当时，，在内单调递增，选项C正确； 当时，， 所以是对称中心,图象关于中心对称，选项D错误. 故选：C 5．将函数的图象向左平移个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍后得到函数的图象，则的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数图象的平移和伸缩变换即可求解函数，再由正弦函数的性质求解单调递减区间. 【详解】由题意函数的图象向左平移个单位长度后，得到 ， 把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍后得到函数 ， 的一个单调递减区间， 解得，当时，在上单调递减. 故选：B. 6．已知函数的图象向左平移个单位后与原来图象重合，当，且时，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由题意可得，可求得，利用，求得的值，计算即可. 【详解】函数的图象向左平移个单位后的解析式为， 又平移后的函数图像与原来图像重合，所以， 所以，所以，又，所以， 所以， 当时，则， 又，且时，， 所以，所以， 所以 . 故选：B. 7．已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得,因为所以，故，总存在唯一实数，使得，即，总存在唯一实数，使得，故而可得，即可得解. 【详解】由题意可得， 因为所以， 所以，则. ，总存在唯一实数，使得， 即，总存在唯一实数，使得， 即，总存在唯一实数，使得. 因为，所以 因为总存在唯一实数使得，所以，即. 故选：B. 题型二：三角函数的图像与解析式 1．已知函数（其中）的导函数的部分图象如图所示，若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象求出，结合正弦函数的单调性即可求解. 【详解】由题意得，由，解得 又因为，所以， 所以，因为函数在区间上是增函数， 所以当时，， 又因为，所以，解得． 故选：B． 2．已知函数（，，），若函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数的部分图象如图所示，则下列说法： ①是函数的一条对称轴； ②函数在区间的值域为； ③不等式的解集为（）； ④若在有两个极值点，则， 其中正确的有 .（填序号） 【答案】①③ 【分析】由函数图象求得平移后的函数解析式，从而求得函数，然后求出函数的对称轴判断①，由区间求出函数值域判断②，由函数图象解不等式得到解集判断③，通过三角函数的最大值和最小值点得到函数的极值点，然后判断④. 【详解】令平移后的函数为， 由图可知，， ∴，则， 又∵当时，令，即， ∴，则. 令，则为函数的对称轴， 令，则，①正确； 时，，∴，②错误； ，即，则， 即，③正确； 令，即，则， 令，即，则， 即在右边的极值点依次是， 若在有两个极值点，则，④错误. 故答案为：①③ 3．如图是函数的图象，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称性求得，进而求得. 【详解】，根据对称性可知的最小正周期， 所以，则， ，根据对称性可知， 所以， 由于，所以. 故选：D 4．（多选题）已知函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（   ）    A． B．在区间上的最小值为 C．是图象的一个对称中心 D．将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称 【答案】BCD 【分析】根据图象求得的解析式，结合三角函数周期、最值、奇偶性、对称性、图象变换等知识确定正确答案. 【详解】对于A，由题图可知，的最小正周期，所以，故A错误； 对于B，由题图可知，，且函数图象过点， 当时，，解得，所以. 当时，，由正弦函数的单调性知，函数在上单调递增， 所以函数在区间上的最小值为，故B正确； 对于C，因为，所以点是函数图象的一个对称中心，故C正确； 对于D，因为，所以平移后得到的图象关于轴对称，故D正确. 故选：BCD. 5．（多选题）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A． B．满足的的取值范围为 C．将函数图象上所有点的横坐标变为原来，得到的图象关于对称 D．函数与的图象关于直线对称 【答案】ABD 【分析】根据图像先求，进而得，即可判断AB，利用函数图像的伸缩变换即可判断C，计算是否等于即可判断D. 【详解】由题意有：，，，即，又， 当时，，所以，故A正确； 由，所以，所以，解得， 所以满足的的取值范围为，故B正确； 将函数图象上所有点的横坐标变为原来，得到， 又，所以不关于对称，故C错误； 又， 所以函数与的图象关于直线对称，故D正确； 故选：ABD. 6．（多选题）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C．是函数的对称轴 D．是函数的对称中心 【答案】ACD 【分析】根据函数图象知：为对称轴､是函数的一个对称中心，结合余弦函数的性质即可判断各选项的正误. 【详解】由图知：，即，而，可得，A正确； 且，可得错误； 由AB知,令,得 为对称轴，C正确； 由是函数的一个对称中心，则是函数的对称中心，D正确； 故选：ACD 7．（多选题）已知的部分图象如图，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】结合图象求出函数解析式，依次判断选项即可 【详解】由题可得，其中， 设其周期为，结合题中的图可知，，则，故A正确； 所以，把点的坐标代入， 得，则， 所以， 则 所以，故B错误； ，故C错误； ，故D正确； 故选：AD 题型三：三角函数的性质 1．已知点 是函数 的图象的一个对称中心，则 的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的对称中心即可得解. 【详解】因为函数的对称中心为，， 所以的对称中心为，， 所以，，又，所以a的最小值为. 故选：A. 2．若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的对称性求解. 【详解】由题意得，得，所以的最小值为. 故选：B. 3．已知函数，，若对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将问题转化为且，根据正弦型函数值域求法可求得的最大值和最小值，结合二次函数的最值可构造不等式组求得结果. 【详解】对于任意的，总存在，使得， 且； 当时，， 当时，；当时，； 当时，；当时，； ，解得：，即实数的取值范围为. 故答案为：. 4．若函数在区间上有且仅有3个零点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由题得，再列出部分的零点即可求解． 【详解】解：由，得，若， 则，第三个零点为， 所以的最小值为． 故答案为：． 5．若是函数的两个零点，则的最大值为 ，的最小值为 ． 【答案】 2 【分析】利用降幂公式与辅助角公式进行化简，然后找到最大值与周期进行求解. 【详解】因为， 所以的最大值为2， ，相邻两零点间距离为，即的最小值为 故答案为：2； 6．若函数（），在 上单调递减，则a的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先利用辅助角公式化简函数解析式，再利用函数单调性求得辅助角的范围，进一步根据三角函数的性质列不等式组求解. 【详解】利用辅助角公式得： （）， 其中， 因为 ，所以， 又因为，所以. 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以为了使得函数在 上单调递减，必须且只需， 所以， 所以,解得. 当时,在 上单调递减，符合题意. 故a的最小值为1. 故选：B 题型四：含三角的一般函数性质研究 1．函数的图象的大致形状是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查函数的奇偶性、单调性与函数图像，直接求解即可. 【详解】,定义域为，关于原点对称； ，所以为偶函数， 图象关于y轴对称；排除B、D. 当 时，，则，所以，C满足. 故选：C 2．函数 的图象大致是（   ） A．   B．   C．   D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性，结合正弦函数的性质分析图象即可. 【详解】函数 的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，所以函数为偶函数， 又时，，可排除A、B选项， 同时时，有无数零点，同时也有的情况， 故有无数个零点，且时有的情况，可排除C，即D正确. 故选：D 3．已知实数，若关于的方程在上恰有两个不同的实数根，则实数的取值集合是 ． 【答案】 【分析】令，设的两根分别为，结合正弦函数的图象与性质，转化为上的零点问题，结合二次函数的图象与性质，分三种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】由方程在上恰有两个不同的实数根， 令，可得， 设的两根分别为，则，所以同号， 结合正弦函数的图象与性质， 可得上的零点有三种情况： 当时，即，解得或（舍去）， 此时，即，可得或，符合题意； 当时，则满足，即，解得（舍去）； 当时，则满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 4．已知正实数满足对任意的实数均有，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】先令，利用二倍角公式将不等式转化为的二次函数，从而转化为二次不等式恒成立问题求解，再根据对称轴与区间的关系分类求解最小值，然后分别利用不等式性质与有解条件探求的最值，比较两段所求最值大小可得. 【详解】令，则，由， 则原不等式对任意恒成立 可化为不等式对任意恒成立. 记，由可知其图象开口向上，对称轴为. 由均为正数可知. ①当，即时，在上单调递减， 则，即. 由，解得. 可得，则. 验证：当时， 恒成立， 故当时，. ②当，即时， 则， 可化为. 令，则， 所以， 要使该关于的不等式有解，则， 即，又，可得. 验证：当时，代入， 可得，即， 解得，则，满足. 故当时，. 又由，可知为的最大值. 综上，的最大值为． 5．若存在实数a，对任意的，都有恒成立，则实数m的最大值为 . 【答案】 【分析】由题意可知或恒成立，数形结合，可知的图象不能在直线，即的同一侧，即可求得答案. 【详解】由题意知存在实数a，对任意的，都有恒成立， 即或恒成立； 在同一坐标系中，作出函数的图象如图： 由图象可知， 当时，要使不等式恒成立，，此时满足题意的实数有无数多个； 当时，要使不等式恒成立，只有； 当时，需使得的图象不能在直线，即的同一侧， 故此时需满足，综合可知，实数m的最大值为， 故答案为： 题型五：的取值与范围问题 1．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则的取值为（    ） A．1 B． C．或 D．1或 【答案】D 【分析】利用三角函数图象变换求出函数的解析式，根据可求出的取值范围，根据在上只有一个极大值点，可得出关于的不等式，从而可得出正整数的值. 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的， 得到函数的图象，则， 当时，， 因为在上只有一个极大值点，则，解得， 因为，故正整数的值为1或. 故选：D. 2．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于对称，则ω的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先得到函数平移后的解析式，再由其图象关于直线对称，列出等式，进而可求出结果. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象， 因为平移后的函数图象关于直线对称，所以， 则，又，所以的最小值是2. 故选：B. 3．已知函数在区间内有极大值，但无极小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，可确定，结合正弦函数图象可确定，解不等式即可求得答案. 【详解】因为，所以当时，则有， 因为在区间内有极大值，但无极小值， 结合正弦函数的图象，得，解得，    故选：D 4．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，即可求出的大致范围，再由的范围求出的范围，再确定左端点的范围，从而得到，解得即可. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以，即，又，所以，解得， 由，则， 又，所以，所以，解得， 即的取值范围是. 故选：A 5．已知函数（），，有，，且在上单调，则的最大值为（   ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【分析】根据正弦函数的对称中心及极值点，单调性综合判断得是小于等于的正奇数，再进行验证可得. 【详解】由有，所以函数关于成中心对称， 所以，即， 再由，得是函数的一个极值，所以， 所以，即. 又在上单调，所以，得. 所以且，是小于等于的正奇数. 当时，，再由是极值点， ，得， 易知，但函数不单调，舍去； 当时，由是极值点，，得， ，函数单调递减，符合题意. 所以的最大值为9. 故选：B. 6．已知函数在上单调递减，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先利用余弦函数的递减区间求得，依题需使，求得，再由确定，通过对进行赋值检验，即可求得的取值范围. 【详解】令，解得， 依题意，需满足，解得. 因为在上单调递减，所以，解得. 当时，，不符合题意；当时，，符合题意； 当时，，符合题意；当时，，不符合题意. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 7．（多选题）已知函数，则下列命题正确的有（   ） A．若是曲线的一条对称轴，则的最小值为 B．若在上有且只有一个最小值点，则的取值范围是 C．将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值为 D．若在上恰有4个零点，则的范围为 【答案】ACD 【分析】先将函数化简为正弦型函数的形式，然后根据正弦函数的图像和性质逐一求解即可. 【详解】由已知． 对于A，若是的一条对称轴，则， 解得． ，当时，有最小值为，故A正确； 对于B，由题意知，当时，， 在上有且只有一个最小值点， 或， 解得或，故B错误； 对于C，向左平移个单位长度后， 得到， 若为偶函数，则，，解得，， ，当时，有最小值为，故C正确； 对于D，时，， 若在上恰有4个零点，则， 解得，故D正确． 故选：ACD． 题型六：三角函数与零点有关问题 1．将的图象向右平移个单位长度得到的图象，则函数的零点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据三角函数图象平移知识求出，所求函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题，在同一直角坐标系中画出图象可得答案． 【详解】由条件得：， 的零点个数等价于函数与直线的图象交点个数， 如图所示，可得两图象交点个数为3． 故选：C 2．函数，若恰有6个不同实数解，则正实数的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把问题转化为与或的交点，画出图形，数形结合，再结合单调性和对称性求出参数取值范围即可. 【详解】由题意可知的实数解可以转化为或的实数解， 即与或的图象交点的横坐标， 当时，，则， 所以时，，所以在上单调递增， 当时，，可得在上单调递减， 所以当时，取得极大值，也是最大值，且； 作出函数的大致图象如下图所示： 所以当时，由图可知与无交点，即方程无解； 与有两个不同的交点，即有两个实数解； 当时，， 令，则，则， 作出大致图象如下图所示： 因为当时，与有两个不同的交点， 所以与及共有四个交点， 所以，解得， 即可得正实数的取值范围. 故选：B 3．函数的图象由函数的图象向右平移个单位长度得到；当 时，曲线与恰有一个交点，则 . 【答案】2 【分析】根据三角函数图象平移可得，由题可得与只有一个交点，画出图象，结合图象列式求解即可. 【详解】    ， 由题可知，当时，方程只有一解. 即与只有一个交点， 结合函数图象可知，，所以. 故答案为：2. 4．已知函数最小正周期为，当时，则函数的零点个数为 ． 【答案】4 【分析】根据题意，转化为与图象的交点个数，作出函数与的图象，结合图象，即可求解. 【详解】令，可得， 所以函数的零点个数等价于与图象的交点个数， 因为函数最小正周期为，当时，， 则，画出函数与的图象， 如图所示，由图象可得，函数的零点个数为. 故答案为：. 题型七：含绝对值的三角函数性质 1．已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．的图象关于对称 D．的图象关于对称 【答案】D 【分析】计算即可判断AB，计算即可判断C，计算即可判断D. 【详解】因为既不是奇函数也不是偶函数，故A错误，B错误； 又，故的图象不关于对称，故C错误； 因为，故的图象关于对称，故D正确； 故选：D. 2．已知函数①，②，③，④，⑤，则下列选项中同时满足（1）是偶函数，（2）最小正周期是，（3）对称轴相同这三个条件的是（   ） A．①②⑤ B．①③④ C．②③⑤ D．③④⑤ 【答案】B 【分析】利用三角函数图象以及函数图象变换，画出函数图象，结合图象判断. 【详解】结合三角函数图象与图象变换，依次画出①②③④⑤的函数图象， 由图象可知，②⑤不是周期函数，故②⑤不符合； ①③④均为偶函数，最小正周期为，对称轴为，符合所有条件. 故选：B 3．（多选题）函数 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C． D．的图象向右平移个单位长度后得到函数 【答案】ABD 【分析】根据题意得，，再根据正切函数的性质依次判断各选项即可. 【详解】由题知，，故A选项正确； 由于正切函数取绝对值后不影响函数的周期性， 所以，， 所以，，，即，故C选项错误； 由图可知函数的对称轴方程为，故是函数的对称轴，所以函数的图象关于直线对称，故B选项正确； 的图象向右平移个单位长度后得到函数，故D选项正确. 故选：ABD 4．（多选题）已知函数，则（    ） A．的值域为 B．的最小正周期为π C．在区间上单调递增 D．在上有2个零点 【答案】AD 【分析】由题可化简.对于A，由化简式及三角函数值域知识可判断选项正误；对于B，通过特殊值验证可判断选项正误；对于C，由题可得在区间上的解析式，据此可得单调区间；对于D，由题可得在上的解析式，据此可得零点. 【详解】 ； 又，； ，，. 则，. 对于A，，， ，. 其中，则，故A正确； 对于B，注意到，， 则B错误； 对于C，， 则在上单调递增，在上单调递减，故C错误. 对于D，， 则，即有2个零点，故D正确. 故选：AD 5．（多选题）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．的周期为 B．在区间上是增函数 C．若，则 D．函数在区间上有且仅有2个零点 【答案】ACD 【分析】先化简函数为，利用三角函数的图象和性质，逐一分析每一个选项即可. 【详解】由题意，函数， 对于A，函数 ，可得是周期为的函数，A正确； 对于B中，由，可得在一定不是单调函数，B错误； 对于C，因为，可得， 此时可得，， 可得， C正确； 对于D，当时，， 由，可得， 即或，解得或， 故函数在区间上有且仅有个零点，D正确. 故选：ACD 6．（多选题）已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的最小正周期为 C．的最小值为 D．在上有四个不同的实数解 【答案】BD 【分析】方法一：结合判断A；根据正弦型函数的周期公式判断B；作出函数大致图象，判断CD； 方法二：化简得由，结合函数大致图象判断各选项即可. 【详解】方法一：由， 则，，则， 所以不可能关于对称，A错误； 因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 则的最小正周期为，B正确； 当时，，当时，； 当时，，作出函数大致图象，如图， 则，C错误， 在有4个根，D正确. 方法二：由， 作出和的图像，取位于上方的部分即可：    由图可知，AC错误，B正确， 对于D，计算知与在内的交点坐标为， 而，结合函数的图象特征可知函数与图象在内有四个交点， 所以在上有四个不同的实数解，故D正确. 故选：BD. 7．（多选题）已知函数，则（   ） A．的图象关于轴对称 B．的最小正周期为 C．在区间上单调递减 D．的值域为 【答案】ABD 【分析】利用偶函数的定义判断A，利用正弦函数的最小正周期判断B，利用“同增异减”判断C，利用换元法结合二次函数的性质判断D. 【详解】对于选项A，对于任意的，， 所以是偶函数，图象关于轴对称，故A正确； 对于选项B， 因为，的最小正周期均为， 故的最小正周期是，故B正确； 对于选项C， 当时，，令，，， 因为在上单调递减， 而在上单调递减， 由复合函数的单调性可知，时，单调递增，故C错误； 对于选项D， 时， ， ，即； 时， ， ，即， 故D正确. 故选：ABD. 8．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．关于直线对称 C．的值域为 D．在区间上恰有7个不同的实数根 【答案】BCD 【分析】对于A，根据周期函数的定义即可验证；对于B，根据三角函数的对称性进行验证即可；对于C，有绝对值，分段讨论，去掉绝对值，即可求出值域；对于D，结合C选项的分析，分段讨论，即可求解. 【详解】由题可知，故A错误； ， ，故B正确； ， 当时，， 当时，， 所以的值域为，故C正确， 当时，， 则，则，，，或，则，. 当时，， 解得（舍）或者， 此时在上有两个解，，综上，共有七个解. 故选:BCD. 专练：三角函数多选题 1．已知函数过点，则（   ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．将的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数为偶函数 【答案】ACD 【分析】先根据题干条件将求出，然后根据正弦函数的性质依次判定即可. 【详解】由题可得， 因为，所以，所以，解得， 所以. 对于A，的最小正周期为，故A正确； 对于B，令，，解得，， 令，得，所以在区间上单调递增， 而不是的子集，故B错误； 对于C，令，，解得， 令，得，所以的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，出题可得，为偶函数，故D正确. 故选：ACD. 2．已知函数，且满足，则下列结论正确的是（   ） A． B．， C．在区间上有且仅有个零点 D．将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则 【答案】AC 【分析】对A：计算即可得；对B：验证不是对称中心即可得；对C：令，解出即可得；对D：求出后，验证不是的对称轴即可得. 【详解】对A：由，则， 解得，又，故，故A正确； 对B：若，，则是对称中心， 令，有， 故不是对称中心， 故B错误； 对C：令，解得， 令，则， 则，故可为、、、，共个， 故在区间上有且仅有个零点，故C正确； 对D：， 若，则关于对称， 当时，有， 由不是的对称轴，故不是的对称轴，故D错误. 故选：AC. 3．函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A． B．点是函数图象的一个对称中心 C．图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象 D．函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 【答案】ACD 【分析】结合图像得到，利用周期公式得到，从图像中可知是一个下零点，得到即可求解判断选项A；将代入不成立即可判断选项B；利用伸缩变换求出解析式即可判断C；利用平移变换得到解析式即可判断选项D. 【详解】选项A，，，，，， ，是一个下零点， ，，所以， ，故选项A正确； 选项B，因为， 所以点是函数图象的一个对称中心，故选项B错误； 选项C，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到的图象，与相同，故选项C正确； 选项D，的图象向左平移个单位长度，得到， 图象关于轴对称，故选项D正确. 故选：ACD. 4．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若的图象关于点对称，则可取的值为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】ACD 【分析】根据图像的平移变换得，利用二倍角的正弦公式得，又由的图像关于点对称得，，进而求解. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数， 又因为的图象关于点对称， 所以的图象关于点对称， 则，，所以，， 又因为，所以的最小值为1， 故可取的值为1，，4. 故选：ACD. 5．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上为增函数 D．把的图象向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象 【答案】AC 【分析】根据给定图象利用“五点法”作图方法求出函数的解析式，再对各选项逐一分析即可得解. 【详解】由图象得，令的最小正周期为T，则，解得，， 又，即，而，则，， 因，则的图象关于点对称，A正确； 因，则的图象不关于对称，B不正确； 因，则，所以在上为增函数，C正确； 的图象向右平移个单位长度，得到是偶函数，D不正确. 故选：AC 6．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称 C．函数的单调递增区间为 D．若函数在上不单调，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】先根据函数图象得，代入两点的坐标，求得的值，即得函数解析式，再根据各选项的要求逐一分析，计算，结合正弦函数的图象性质即可判断. 【详解】由题图可知，，且图象经过点，故可得， 因为，所以由①可得，代入②可得，即，， 由题图知，原函数的最小正周期满足，解得，所以，故. 对于A，因为， 所以直线是图象的一条对称轴，故A正确； 对于B，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象， 因为，轴不是其对称轴，故B错误； 对于C，因为， 由，可得， 所以的单调递增区间为，，故C正确； 对于D，， 当时，，所以， 要使函数不单调，则，所以，故D正确. 故选：ACD. 7．函数的部分图象如图所示，，是的2个零点，则（   ） A．的图象关于点对称 B．的最小值为 C．当取最小值时，的最大值为 D．若在区间上至少有10个零点，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】本题考查三角函数的图象与性质，可先根据函数图象求出函数的表达式，再根据三角函数的性质逐一分析选项即可。 【详解】由图象知，，则，根据周期公式，可得. 又因为函数的最大值为3，最小值为，所以 当时，取得最小值，即，解得. . A：根据余弦函数的对称中心公式，令可得的对称中心为， 当时，对称中心为，所以的图象关于点对称，故A正确。 B：因为是的两个零点，令，则， 所以或，解得，或， 根据题意，取，，所以， 当时，，故其相邻零点的最小间距为，故B正确. C：当取最小值时，， 不妨设，所以，则= 所以的最大值为，故C错误.     D：令，则， 所以或，解得，或， 所以在上的10个零点依次为：，，，，. 由在区间上至少有10个零点，则 故的最小值为，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛： 的解析式的确定： （1）由最值确定； （2）由周期确定； （3）由图象上的特殊点确定. 提醒：根据“五点法”中的零点求时，一般先根据图象的升降分清零点的类型. 8．已知函数的部分图像如图1所示，A，B分别为图像的最高点和最低点，过A作x轴的垂线，交x轴于，点C为该部分图像与x轴的交点.将绘有该图像的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时.下列结论正确的有（ ） A． B．的单调递增区间为 C．图2中， D．图2中，过线段的中点且与垂直的平面与x轴交于点C 【答案】BCD 【分析】先求出函数的最小正周期，从而得到，作出辅助线，表达出，根据，求出，结合的取值范围求出的值，可判断A；利用正弦函数的单调性可判断B；，法1利用空间向量的坐标运算判断C，法2利用空间向量数量积的定义可判断C；设中点为，C在过M与垂直的平面上可判断D即可. 【详解】如图，过点作轴，垂足为，连接，， 因为得最小正周期，所以， 由， 得，解得. 因为过， 所以，即， 根据五点作图法，结合图像可得，， 因为，所以，故A错误； 对于B，由已知得， 令，解得， 所以的单调递增区间为，故B正确， 对于C，法1：由，可得，， 如图，建立符合题意的空间直角坐标系， 则，，. 得到，故C正确； 法2：因为， 在和上投影的数量分别为，，且， 所以 ，故C正确： 对于D，设中点为，因为，所以， 可得C在过M与垂直的平面上， 即过中点与垂直的平面与x轴交于点C，故D正确； 故选：BCD. 9．已知函数，则（    ） A．的最大值为2 B．在上单调递增 C．在上有3个零点 D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于y轴对称 【答案】AD 【分析】根据诱导公式化简，则可判断A选项；整体代入法计算的范围可判断BC选项；由图象的平移可判断D选项． 【详解】函数 ． 选项A：，故最大值为2，A正确； 选项B：时，不单调递增，故B错误； 选项C：时，，可知当以及时， 即以及时，在上有2个零点，故C错误； 选项D：的图象向左平移个单位长度，得到，为偶函数，关于y轴对称，故D正确. 故选：AD． 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若函数的最小正周期为，则 B．若，则函数在上的最小值为 C．若函数在上单调递增，则 D．若函数在上恰有两个零点，则 【答案】AC 【分析】借助辅助角公式将原函数化为正弦型函数后，结合正弦型函数图象及其性质逐项判断即可得. 【详解】， 对A：，解得，故A正确； 对B：若，则， 当时，， 则，故B错误； 对C：当时，， 则有，结合，可得，故C正确； 对D：当时，， 则有，解得，故D错误. 故选：AC. 11．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B．若函数在上单调递增，则 C．若函数在内有2个极值点，则 D．如图所示，若，则点的纵坐标为 【答案】ABD 【分析】根据函数的图象，结合正弦型函数的单调性、极值点的定义、余弦二倍角公式逐一判断即可. 【详解】由图象可知，函数图象过点， 因为，所以由，或， 当且时，显然，显然，不符合图象， 所以，因此选项A正确； 当时，， 要想在上单调递增， 只需，故选项B正确； 当时，， 要想函数在内有2个极值点， 只需，所以选项C不正确； 当，所以， 设， 当时，点是线段的中点， 因此得， 于是有， ，或舍去， 因此点的纵坐标为，因此选项D正确. 故选：ABD 12．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．在上单调递增 B．在上的最大值为 C．和图象关于对称 D．在的零点有且只有一个 【答案】BCD 【分析】选项A：根据函数的导数判断函数单调性，选项B：根据函数性质求出函数最值，选项C：根据函数关于点对称的性质判断两个函数是否关于某点对称，选项D：通过分析函数的单调性和零点存在定理判断函数零点个数. 【详解】对于A：， 当时单调递减，当时单调递增.A错误； 对于B：为奇函数，在上的最小值， 在上的最大值，B正确； 对于C：在上任取一点，则关于对称点， 即对称点在上. 和图象关于对称， 同理在上任取一点，其关于的对称点也在上，C正确； 对于D，当时，令，则， 整理得，令，则， 当时，，所以在上单调递减. 又，，所以由零点存在性定理得，在内存在唯一零点. 当时，，此时函数无零点. 综上所述，在内存在唯一零点，即在内的零点个数为，D正确； 故选：BCD. 13．把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A．的定义域为 B．的最小正周期为 C．的值域为 D．的图象关于直线对称 【答案】ABC 【分析】先根据函数图象的变换规则求出的解析式，然后根据正弦函数的性质逐项判断即可. 【详解】由题意可知，， 那么的定义域为，所以A正确； 的最小正周期为，所以B正确； 的值域为，所以C正确； 令，得， 令，解得， 所以的图象不关于直线对称，所以D错误. 故选：ABC. 14．已知函数，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的值域为 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数在区间上有且仅有5个零点 【答案】BCD 【分析】对A，由周期性的定义判断；对B，分段讨论函数值域；对C，验证；对D，分段求解方程求零点. 【详解】对于A：因为， 所以的最小正周期不是，A错误； 对于B：当，即时，， 因为，所以， 则当时，取得最大值；当时，取得最小值， 所以此时的值域为； 当，即时，， 因为，所以， 当时，，当时，取得最大值， 所以此时的值域为； 综上，函数的值域为，B正确； 对于C：因为， ，所以， 所以直线是函数图象的一条对称轴，C正确； 对于D：当时，由，解得或， 当时，由，解得， 又，所以，所以函数有且仅有个零点，D正确； 故选：BCD. 15．已知函数，则（    ） A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C．在上单调 D．的最大值是 【答案】ABD 【分析】根据函数解析式，结合函数奇偶性的定义、对称性的性质、周期性与单调性的性质及换元法求最值逐项判断即可求解. 【详解】函数的定义域为， ，所以是偶函数，故选项A正确； 因为， ， 所以，所以函数的图象关于直线对称，故选项B正确； 因为，，所以在上不单调，故选项C错误； 对D：因为，所以是的一个周期， 则的最大值即为在上的最大值. 当时，，则. 设，则， 设函数. 由解析式及单调的性质可知函数在上单调递增，所以， 即，所以，即的最大值是，故选项D正确. 故选：ABD. 16．设函数，则下列叙述正确的是（ ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在上的最小值为 D．的图象关于点对称 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的图象性质，逐项分析判断得解. 【详解】对于A，函数的最小正周期为，A正确； 对于B，，不是函数的最值， 因此的图象关于直线不对称，B错误； 对于C，由，得，当，即时，，C正确； 对于D，，的图象关于点对称，D错误. 故选：AC 17．已知函数的部分图象如图，则（    ）    A．函数为偶函数 B．在上单调递增 C．若，则的最小值为 D．若，函数在上有2个零点，则 【答案】BCD 【分析】根据图象求出函数的解析式，再根据函数奇偶性判断A，根据正弦函数单调性判断B，根据正弦函数的周期判断C，根据函数在上有2个零点判断D即可. 【详解】由图象可得， ,, ，又点在图象上，代入可得, 由，可得， 故. 对于A，， 令，由于，故为奇函数，A错误； 对于B，令，, 解得， 故函数的单调递增区间为 当时，单调区间为， 而，故B正确. 对于C，若 ，则 的最小值为 ， 若 ，则 和 分别为最大值 和最小值 ，或反之. 函数 的周期为 ， 因此相邻最大值和最小值之间的距离为半个周期, 因此，选项C正确. 对于D，函数，，令，得，解得, 当时，时，； 时，； 时，（时，，不符合有2个零点）， 故函数在上有2个零点，则， 解得，故D正确. 故选：. 18．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，在上单调递增 B．若，且的最小值为，则函数的最小正周期为 C．若的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为1 D．若在上恰有2个零点，则的取值范围为 【答案】AB 【分析】根据正弦函数的单调性判断A的真假；根据三角函数的最大、最小值与函数周期的关系判断B的真假；根据函数的图象变换和函数的对称轴确定的取值范围，判断C的真假；根据函数在给定区间上零点的个数求的取值范围，判断D的真假. 【详解】对于A，当时，，当，， 因在时单调递增，则在上单调递增，故A正确； 对于B，因，则时，设，则 ， 因为，则函数的最小正周期为，故B正确； 对于C，将的图象向右平移个单位长度后，可得， 因为图象关于轴对称，则， 因为，则，得，故C错误； 对于D，时，，令，可得． 则使，且大于的前3个取值为， 则，故D错误． 故选：AB 专练：三角函数解答题 1．已知函数的最小正周期为． (1)求及； (2)若的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求在区间上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用辅助角公式化简函数式，结合三角函数的周期性可计算参数并求值； （2）根据三角函数图像变换先得解析式，再利用正弦函数的性质计算值域即可. 【详解】（1）易知， 又最小正周期为，所以， 即，则 （2）的图象向右平移个单位长度得到， 因为时，， 根据正弦函数的单调性可知即时，， 时即，，即，则. 2．已知函数的最小正周期为. (1)若，，求的值； (2)将函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到的图象对应函数记为，求函数在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用同角三角函数关系以及二倍角的余弦公式即可； （2）运用三角函数图象的平移、换元法以及正弦函数图象的性质等进行解决即可. 【详解】（1）函数的最小正周期为，，即， 由，即，则， ，，， ， 由，. （2）由（1）知，， 其图象向右平移个单位后得到的图象对应函数为， 再向上平移2个单位得到的图象对应函数为，即. 当时，，令，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， ，即. . 故函数在上的值域为. 3．已知函数，设锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)若，，求b，c的值； (2)将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将代入中求出的值，再根据得出，利用余弦定理求值即可； （2）将化简，再通过平移规律得到，根据（1）得到，进而求出的取值范围. 【详解】（1）由题， 所以， 因为，所以，所以，所以， 因为，所以，即， 又，所以，即，所以，； （2）， 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象， 则， 由（1）可知，所以， 在锐角中，，解得 所以，， 因为，所以， 所以，所以， 所以的取值范围为. 4．已知，． (1)将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的解析式； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用向量数量积的坐标运算及降幂公式和辅助角公式得到的解析式，再利用三角函数的平移及伸缩变换得到的解析式； （2）根据的解析式求出，再利用同角关系求其余弦值，最后利用两角和的余弦公式求出的值. 【详解】（1） 将函数的图象向左平移个单位长度，则， 再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，则有． （2）由题意得，所以， . 5．已知 (1)求图象的对称轴方程； (2)求的最大值及取最大值时x的集合； (3)求在上的单调递增区间. 【答案】(1)，； (2)最大值为，取最大值时x的集合； (3)和 【分析】（1）化简，由，，可求得对称轴方程； （2）由（1）得的最大值，令，可得取最大值时x的集合； （3）由，得，结合正弦函数的单调性可得在上单调递增区间． 【详解】（1）， 由，， 可得对称轴，； （2）由（1）知，的最大值为， 令， 可得取最大值时x的集合； （3）当时，， 当，即时，单调递增； 当，即时，单调递增； 综上可知在上单调递增区间为和. 6．已知函数. (1)求的最小正周期及单调增区间； (2)若函数的图象与直线相交的连续的三个点从左到右依次记为，若，求正数的值.   【答案】(1)，单调增区间是 (2) 【分析】（1）由辅助角公式化简可得，根据正弦型函数性质计算可解； （2）设，由题意可得，根据对称性可得，代入计算即可求解. 【详解】（1） 所以 由，即， 所以单调增区间是. （2）令，解得， 作出函数的图象大致如下：    设，则 由，所以且， 故两点关于直线对称 所以点的横坐标为， 所以. 7．已知函数. (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)当时，求函数的最值（最大值与最小值）及相应的值. 【答案】(1)； (2)时，最大值为；时，最小值为. 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，再利用周期公式以及结合正弦函数的单调性求解； （2）求出的范围，结合正弦函数的最值求解. 【详解】（1）， 则的最小正周期为， 令，则， 故单调递增区间为； （2）因为，则， 则当，即时，的最大值为； 当，即时，的最小值为. 8．设函数 (1)已知，函数是偶函数，求的值. (2)已知，函数在区间内没有零点，求取值范围. (3)求函数，的值域. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据辅助角公式、偶函数的性质，结合正弦函数的诱导公式进行求解即可； （2）根据正弦型函数的单调性和零点的定义进行求解即可； （3）根据降幂公式、辅助角公式化简该函数的解析式，再利用正弦型值域性质进行求解即可. 【详解】（1）由已知是偶函数， 又 （2）， 当时，. 函数在区间内没有零点，， ∴，，即，， 当 综上： （3）函数 ， ， 9．已知函数． (1)求在上的值域， (2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用和差角公式和辅助角公式化简函数，由的取值范围得到函数在对应区间的值域； （2）由（1）知道函数的取值范围，通过讨论的范围，利用分离常数得到的不等式.通过函数的单调性，得到不等式另一边的范围，由不等式恒成立得到的取值范围. 【详解】（1） 当时，， ∴ ∴. （2）由（1）可知，，令，则 当时，∵， ∴， 令，∵函数，在上均单调递增， ∴函数在上单调递增， ∴，∴； 当时，不等式恒成立， 当时，∵， ∴， 令，∵函数，在上均单调递增， ∴函数在上单调递增， ∴， ∴， 综上所诉. 10．函数． (1)当时，求在上的最大值； (2)若在上单调递减，求实数的取值范围； (3)证明：，． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出导函数，根据余弦函数图象与性质求出单调区间，即可求解最大值； （2）求出导函数，结合，按照和分类讨论，分别研究函数的单调性，利用单调性求得的范围； （3）先证明左边，由（1）知，当时，在上单调递增，可得．利用累加可得，再证明右边，由（2）知，当时，在上单调递减，得，令，，，，，，累加得证. 【详解】（1）， 当时，， ．   当时，，当时等号成立， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减． 所以． （2）， ， ，当时等号成立， 当时，，恒成立，在上单调递减，符合题意； 当时，，要使为单调函数， 则只需，即恒成立，所以，解得，所以． 综上，实数的取值范围为． （3）证明：先证明左边， 由（1）知，当时，在上单调递增， 所以当时，，即． 又因为， 所以，，，， 累加得，．   再证明右边， 由（2）知，当时，在上单调递减， 所以当时，，得， 令， 累加得 ， 所以． 所以，．   综上所述，，． 11．已知函数，，是的两个极值点，且. (1)求的解析式； (2)求在上的单调递增区间； (3)若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由辅助角公式和周期公式即可求解； （2）由正弦函数的单调性通过整体代换即可求解； （3）求得在上的值域，再由在上恒成立，构造不等求解即可. 【详解】（1）， 由，是的两个极值点，且得的最小正周期， 所以，解得， 所以. （2）当时，， 而在单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 由解得， 由解得， 所以在上的单调增区间为，； （3）因为，所以， 故，所以， 因为在上恒成立， 即在上恒成立， 所以，解得. 所以满足题意的实数的取值范围为. 12．已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象. (1)求函数的单调递增区间； (2)当恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数单调性计算即可得； （2）由平移的性质可得解析式，结合范围可得值域，再解出绝对值不等式即可得. 【详解】（1） ， 令， 解得， 故函数的单调递增区间为； （2）由题意可得， 当时，，则， 由，则， 故，解得， 即实数的取值范围为. 13．已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若的最小正周期为，求的值； (3)若，讨论在上的单调性. 【答案】(1) (2) (3)在递增，递减 【分析】令，换元以后结合单调性即可求解; 由周期函数的定义得，化简求得; 利用复合函数同增异减即可求解. 【详解】（1）令，则，， 在递增，故，所以的值域为. （2）因为的最小正周期为，所以， 故， 即， 故对于任意实数，总有： ， 故对任意实数恒成立， 所以, 化简得， 解得. （3）令，，， 又，，在递增. 而在递增，递减，故在递增，在递减. 14．已知函数. (1)求的最大值； (2)将图象的横坐标缩短到原来的，并向右平移个单位长度后得到函数的图象，求在区间上的单调递增区间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角和的正弦公式和辅助角公式化简得，然后根据正弦函数的性质求解最值即可； （2）先利用平移公式求函数的解析式，再利用整体思想，根据正弦函数的单调性求解函数在指定区间上的单调性. 【详解】（1）， 因为，所以， 所以当即时，； （2）将横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度后， 可得. 令，解得， 又，所以时，的单调递增区间为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角函数的图像与性质 目录 题型一：三角函数图像的变换 1 题型二：三角函数的图像与解析式 2 题型三：三角函数的性质 5 题型四：含三角的一般函数性质研究 6 题型五：的取值与范围问题 7 题型六：三角函数与零点有关问题 8 题型七：含绝对值的三角函数性质 9 专练：三角函数多选题 10 专练：三角函数解答题 16 题型一：三角函数图像的变换 1．要得到函数的图象，只需将的图象（   ） A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 2．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 3．将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于原点对称，则最小时，（ ） A． B． C． D． 4．已知将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（   ） A．函数图象关于对称 B．函数图象在内有3个极值点 C．函数在上单调递增 D．函数图象关于中心对称 5．将函数的图象向左平移个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍后得到函数的图象，则的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的图象向左平移个单位后与原来图象重合，当，且时，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 7．已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型二：三角函数的图像与解析式 1．已知函数（其中）的导函数的部分图象如图所示，若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数（，，），若函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数的部分图象如图所示，则下列说法： ①是函数的一条对称轴； ②函数在区间的值域为； ③不等式的解集为（）； ④若在有两个极值点，则， 其中正确的有 .（填序号） 3．如图是函数的图象，则实数（   ） A． B． C． D． 4．（多选题）已知函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（   ）    A． B．在区间上的最小值为 C．是图象的一个对称中心 D．将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称 5．（多选题）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A． B．满足的的取值范围为 C．将函数图象上所有点的横坐标变为原来，得到的图象关于对称 D．函数与的图象关于直线对称 6．（多选题）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C．是函数的对称轴 D．是函数的对称中心 7．（多选题）已知的部分图象如图，则（    ） A． B． C． D． 题型三：三角函数的性质 1．已知点 是函数 的图象的一个对称中心，则 的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，，若对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是 ． 4．若函数在区间上有且仅有3个零点，则的最小值为 ． 5．若是函数的两个零点，则的最大值为 ，的最小值为 ． 6．若函数（），在 上单调递减，则a的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 题型四：含三角的一般函数性质研究 1．函数的图象的大致形状是（   ） A． B． C． D． 2．函数 的图象大致是（   ） A．   B．   C．   D． 3．已知实数，若关于的方程在上恰有两个不同的实数根，则实数的取值集合是 ． 4．已知正实数满足对任意的实数均有，则的最大值为 ． 5．若存在实数a，对任意的，都有恒成立，则实数m的最大值为 . 题型五：的取值与范围问题 1．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则的取值为（    ） A．1 B． C．或 D．1或 2．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于对称，则ω的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 3．已知函数在区间内有极大值，但无极小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数（），，有，，且在上单调，则的最大值为（   ） A．11 B．9 C．7 D．5 6．已知函数在上单调递减，则的取值范围是 . 7．（多选题）已知函数，则下列命题正确的有（   ） A．若是曲线的一条对称轴，则的最小值为 B．若在上有且只有一个最小值点，则的取值范围是 C．将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值为 D．若在上恰有4个零点，则的范围为 题型六：三角函数与零点有关问题 1．将的图象向右平移个单位长度得到的图象，则函数的零点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．函数，若恰有6个不同实数解，则正实数的范围为（   ） A． B． C． D． 3．函数的图象由函数的图象向右平移个单位长度得到；当 时，曲线与恰有一个交点，则 . 4．已知函数最小正周期为，当时，则函数的零点个数为 ． 题型七：含绝对值的三角函数性质 1．已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．的图象关于对称 D．的图象关于对称 2．已知函数①，②，③，④，⑤，则下列选项中同时满足（1）是偶函数，（2）最小正周期是，（3）对称轴相同这三个条件的是（   ） A．①②⑤ B．①③④ C．②③⑤ D．③④⑤ 3．（多选题）函数 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C． D．的图象向右平移个单位长度后得到函数 4．（多选题）已知函数，则（    ） A．的值域为 B．的最小正周期为π C．在区间上单调递增 D．在上有2个零点 5．（多选题）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．的周期为 B．在区间上是增函数 C．若，则 D．函数在区间上有且仅有2个零点 6．（多选题）已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的最小正周期为 C．的最小值为 D．在上有四个不同的实数解 7．（多选题）已知函数，则（   ） A．的图象关于轴对称 B．的最小正周期为 C．在区间上单调递减 D．的值域为 8．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．关于直线对称 C．的值域为 D．在区间上恰有7个不同的实数根 专练：三角函数多选题 1．已知函数过点，则（   ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．将的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数为偶函数 2．已知函数，且满足，则下列结论正确的是（   ） A． B．， C．在区间上有且仅有个零点 D．将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则 3．函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A． B．点是函数图象的一个对称中心 C．图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象 D．函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 4．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若的图象关于点对称，则可取的值为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 5．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上为增函数 D．把的图象向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象 6．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称 C．函数的单调递增区间为 D．若函数在上不单调，则的取值范围为 7．函数的部分图象如图所示，，是的2个零点，则（   ） A．的图象关于点对称 B．的最小值为 C．当取最小值时，的最大值为 D．若在区间上至少有10个零点，则的最小值为 8．已知函数的部分图像如图1所示，A，B分别为图像的最高点和最低点，过A作x轴的垂线，交x轴于，点C为该部分图像与x轴的交点.将绘有该图像的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时.下列结论正确的有（ ） A． B．的单调递增区间为 C．图2中， D．图2中，过线段的中点且与垂直的平面与x轴交于点C 9．已知函数，则（    ） A．的最大值为2 B．在上单调递增 C．在上有3个零点 D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于y轴对称 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若函数的最小正周期为，则 B．若，则函数在上的最小值为 C．若函数在上单调递增，则 D．若函数在上恰有两个零点，则 11．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B．若函数在上单调递增，则 C．若函数在内有2个极值点，则 D．如图所示，若，则点的纵坐标为 12．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．在上单调递增 B．在上的最大值为 C．和图象关于对称 D．在的零点有且只有一个 13．把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A．的定义域为 B．的最小正周期为 C．的值域为 D．的图象关于直线对称 14．已知函数，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的值域为 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数在区间上有且仅有5个零点 15．已知函数，则（    ） A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C．在上单调 D．的最大值是 16．设函数，则下列叙述正确的是（ ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在上的最小值为 D．的图象关于点对称 17．已知函数的部分图象如图，则（    ）    A．函数为偶函数 B．在上单调递增 C．若，则的最小值为 D．若，函数在上有2个零点，则 18．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，在上单调递增 B．若，且的最小值为，则函数的最小正周期为 C．若的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为1 D．若在上恰有2个零点，则的取值范围为 专练：三角函数解答题 1．已知函数的最小正周期为． (1)求及； (2)若的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求在区间上的值域． 2．已知函数的最小正周期为. (1)若，，求的值； (2)将函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到的图象对应函数记为，求函数在上的值域. 3．已知函数，设锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)若，，求b，c的值； (2)将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求的取值范围． 4．已知，． (1)将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的解析式； (2)若，求． 5．已知 (1)求图象的对称轴方程； (2)求的最大值及取最大值时x的集合； (3)求在上的单调递增区间. 6．已知函数. (1)求的最小正周期及单调增区间； (2)若函数的图象与直线相交的连续的三个点从左到右依次记为，若，求正数的值.   7．已知函数. (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)当时，求函数的最值（最大值与最小值）及相应的值. 8．设函数 (1)已知，函数是偶函数，求的值. (2)已知，函数在区间内没有零点，求取值范围. (3)求函数，的值域. 9．已知函数． (1)求在上的值域， (2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 10．函数． (1)当时，求在上的最大值； (2)若在上单调递减，求实数的取值范围； (3)证明：，． 11．已知函数，，是的两个极值点，且. (1)求的解析式； (2)求在上的单调递增区间； (3)若在上恒成立，求实数的取值范围. 12．已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象. (1)求函数的单调递增区间； (2)当恒成立，求实数的取值范围. 13．已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若的最小正周期为，求的值； (3)若，讨论在上的单调性. 14．已知函数. (1)求的最大值； (2)将图象的横坐标缩短到原来的，并向右平移个单位长度后得到函数的图象，求在区间上的单调递增区间. 学科网（北京）股份有限公司 $