精品解析：陕西省咸阳市武功县2025-2026学年高二上学期11月期中质量监测数学试题

武功县2025～2026学年度第一学期期中质量监测 高二数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：选择性必修第一册第一章～第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，则的值为（ ） A. B. 9 C. －7 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量数量积坐标运算法则进行计算. 【详解】. 故选：D 2. 直线的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据直线得出斜率，进而根据斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】由化为， 即该直线斜率为，所以其倾斜角为． 故选:C． 3. 已知点，则点A关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间点关于坐标轴对称的知识确定正确选项. 【详解】由题意可知：点关于轴的对称点的坐标为. 故选：A. 4. 已知圆C的圆心坐标为，且过坐标原点，则圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆C过原点可得半径，结合圆的标准方程即得解. 【详解】由题意，圆心，半径， 故圆C方程为. 故选：B 5. 在空间直角坐标系中，已知点，向量平面，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用空间向量中点到平面的距离公式求解即可． 【详解】由题意，平面的一个法向量为，点， 所以， 所以点到平面的距离为． 故选：A 6. 如图所示，在平行六面体中，点为上底面对角线的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合空间向量基本定理，根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】依题意 ， 又，所以，. 故选：C 7. 已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用点关于线的对称找出对称点，结合光线反射性质计算即可. 【详解】点关于对称的点设为， 则，反射光线经过点， 则反射光线所在的直线方程为，即. 故选:C. 8. 已知圆C：上任意一点关于直线的对称点也在圆上.则实数（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的对称性可知直线要经过圆心. 【详解】圆C：的标准方程为， 要使得圆上任意一点关于直线的对称点也在圆上， 则直线经过圆心，即，解得， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在下列四个命题中，错误的有（    ） A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D. 若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中：当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为，斜率不存在，所以A错误； 对于B中：根据直线倾斜角的定义，可得直线倾斜角的取值范围是，所以B正确； 对于C中：一条直线的斜率为，此直线的倾斜角不一定为， 如：直线的斜率为，它的倾斜角为，所以C错误； 对于D中：一条直线的倾斜角为时，它的斜率为或不存在，所以D错误. 故选：ACD 10. 过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则（ ） A. 弦AB的长度的最小值为 B. 当弦AB最短时弦所在的直线方程为 C. 弦AB的长度的最小值为 D. 当弦AB最短时弦所在的直线方程为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据圆的几何性质、最短弦长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为， ，所以在圆内，， 当AB⊥PC时，弦AB最短， 最短弦长，A选项错误，C选项正确. ，所以当最短时，， 此时直线的方程为，B选项错误，D选项正确. 故选：CD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱，的中点，点P是线段上的一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点P，使得 C. 的周长的最小值为 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】证明平面，结合锥体体积公式判断A；利用直线与圆的位置关系判断B；利用对称求出最小值判断C；利用线面角的定义求解判断D. 【详解】对于A，在正方体中，连接，则，又， 则，而平面，平面，因此平面，又直线， 则点P到平面的距离为定值，面积为定值，因此为定值，A正确； 对于B，在矩形中，，则与以为直径的圆相离， 点在此圆外，因此，B错误； 对于C，，在等腰梯形中，作点F关于的对称点， 连接交于点P，此时取得最小值长，， ，，因此的周长的最小值为，C正确； 对于D，连接，由平面，得是直线与平面所成的角， 则，而正的边长为，因此的最小值为的高， 即，因此，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知三点共线，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据A与B的坐标，结合截距式方程可求直线AB的方程，再将C点代入可求m的值. 【详解】直线的方程为，代人，解得． 故答案为：-3. 13. 已知向量若共面，则____________ 【答案】 【解析】 【分析】由条件，根据空间向量基本定理即可列方程组求解。 【详解】因为共面，所以存在实数，使得， 即， 即，解得． 故答案为： 14. 已知直线l：的图象与曲线C：有且只有一个交点，则实数k的取值范围是_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】求出动直线所过定点，化简曲线为半圆，作出图象，数形结合可得解. 【详解】由可得，即直线过定点， 由可得，即曲线C：， 作出曲线与直线的图象，如图， 当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率， 直线与曲线相切时，圆心到直线的距离， 即，解得或（由图可知不符合题意，舍去）， 由图可知，当直线斜率满足或时，直线与曲线只有一个交点. 故答案为：或 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点和点. （1）求直线l的方程； （2）若直线m与l平行，且m与l间的距离为，求直线m的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）法一，已知两点求斜率，再由点斜式方程可得，法二，由两点式方程可得； （2）设出直线方程，由直线平行得斜率，再由两平行直线间的距离公式可求. 【小问1详解】 法一：由题意得直线l的斜率， 故直线l的方程为，即； 法二：由两点式方程可得，， 化简得. 【小问2详解】 可设直线m的方程为， 由题意得，解得或， 故直线m的方程为或. 16. 已知向量，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量模的坐标表示求解； （2）根据向量夹角的坐标表示求解. 【小问1详解】 ，， ，， . 【小问2详解】 设与的夹角为，则， ，， ，， ， ， 向量与夹角的余弦值为. 17. 已知圆，直线，，且直线和均平分圆. （1）求圆的标准方程 （2）直线与圆相交于，两点，且，求实数的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线和均平分圆，可知两条直线都过圆心，通过联立求出两条直线的交点坐标，由此得到圆心坐标即可得到圆的标准方程. （2）根据，及为等腰三角形可得到，可得圆心到直线的距离，再根据点到直线的距离公式即可求出实数的值. 【小问1详解】 因为直线和均平分圆，所以直线和均过圆心， 因为，解得，所以直线和的交点坐标为， 所以圆心的坐标为， 因为圆，所以圆心坐标为， 所以，解得， 所以圆的方程为，即， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）得圆的标准方程为，圆心，半径， 因为，且为等腰三角形，所以， 因为， 所以圆心到直线的距离， 根据点到直线的距离公式， 即，解得或， 所以实数的值为或. 18. 如图，在长方体中，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）由长方体可知，，两两垂直，以为坐标原点， 向量，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 有，，，，，，． 因为，，， 所以，， 所以，， 又因为，平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量的数量积为零证明，，再由线面垂直的判定定理得到即可； （2）求出平面的法向量，代入空间线面角公式求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量为， 由，，有 取，，，可得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 因为，所以， ，， 所以， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 19. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面平面. （1）当时，证明：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 【答案】（1） 如图，过点作的平行线，与相交于点，连接， ， ， 四边形是平行四边形，， 又平面平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）过点作的平行线，与相交于点，连接，结合已知证明四边形是平行四边形，即，由此结合线面平行的判定定理即可得证. （2）建立适当的空间直角坐标系，求得平面的法向量为，平面的法向量为，由此结合向量夹角余弦公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，取的中点的中点，连， ， 平面平面，平面平面面， 所以平面， ， ， 由两两垂直，以为坐标原点，向量方向分别为轴方向建立如图所求的空间直角坐标系， 可得， 设平面的法向量为，由， 有，取，可得， 设平面的法向量为，由， . 有，取，可得， 所以， 由和平面与平面的夹角的余弦值为， 有，平方后整理为，解得或（舍去）， 故若平面与平面的夹角的余弦值为，可得的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武功县2025～2026学年度第一学期期中质量监测 高二数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：选择性必修第一册第一章～第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，则的值为（ ） A. B. 9 C. －7 D. 7 2. 直线的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 3. 已知点，则点A关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆C的圆心坐标为，且过坐标原点，则圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 在空间直角坐标系中，已知点，向量平面，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在平行六面体中，点为上底面对角线的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆C：上任意一点关于直线的对称点也在圆上.则实数（ ） A. 4 B. 6 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在下列四个命题中，错误的有（    ） A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D. 若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 10. 过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则（ ） A. 弦AB的长度的最小值为 B. 当弦AB最短时弦所在的直线方程为 C. 弦AB的长度的最小值为 D. 当弦AB最短时弦所在的直线方程为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱，的中点，点P是线段上的一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点P，使得 C. 的周长的最小值为 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知三点共线，则_____________． 13. 已知向量若共面，则____________ 14. 已知直线l：的图象与曲线C：有且只有一个交点，则实数k的取值范围是_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点和点. （1）求直线l的方程； （2）若直线m与l平行，且m与l间的距离为，求直线m的方程. 16. 已知向量，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 17. 已知圆，直线，，且直线和均平分圆. （1）求圆的标准方程 （2）直线与圆相交于，两点，且，求实数的值. 18. 如图，在长方体中，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面平面. （1）当时，证明：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $