《第5章一元一次方程》 分类解答题提升训练 2025-2026学年北师大版七年级数学上册

2025-2026学年北师大版七年级数学上册《第5章一元一次方程》 知识点分类解答题专题提升训练（附答案） 一、认识方程 1．判断是否是下列一元一次方程的解： ①；②；③；④． 2．已知是关于的方程的解，求的值． 3．根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)一个正方形花圃的边长为，若边长增加，则所得新正方形花圃的周长是． (2)长方形的长为，宽为，面积为； (3)某商品标价为x元，打八折后再降价12元，售价为108元； (4)小华去文具店，买x支铅笔和y本笔记本共花12元，已知一支铅笔2元，一本笔记本3元． 4．已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值． (2)请判断和是否为方程的解． (3)求的值． 二、一元一次方程的解法 5．解方程： (1) (2) 6．解方程． (1) (2) 7．已知关于x的方程与方程的解互为相反数，求m的值． 8．已知a，b为常数，关于x的方程 ，不论k取何值，方程的解总为，求a，b的值． 9．阅读下面材料：如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离可以表示为 ，根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ． (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ． (3)若，求x的值． 10．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程：与方程是“美好方程”，求的值． (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个方程的解为，求的值． (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解． 三、一元一次方程的应用 11．一个三位数，十位上的数等于百位上的数的2倍，百位上的数的3倍减去个位上的数等于十位上的数的，且各数位上的数的和为11．求这个三位数． 12．《九章算术》是我国古代的一部自成体系的数学专著．其中有一题大意如下：今有人合伙买宝石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差3钱．问人数、宝石价格分别是多少． 13．某车间有20个工人生产甲、乙两种零件，每2个甲种零件与1个乙种零件配成一套，已知每个工人每天能加工甲种零件8个或乙种零件6个，为使每天生产的两种零件配套，则生产甲、乙零件的工人数各多少人？ 14．一项工程，甲队单独施工需要6个月完成，乙队单独施工需要10个月完成．为了加快施工进度，在甲队施工2个月后，乙队加入与甲队共同施工，那么还需要几个月才能完成？ 15．把一批图书分给七年级某班的学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则差25本． (1)这个班有多少名学生？ (2)读书周期间，这个班级的学生去图书馆整理图书，由1个人做要完成．现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做，正好完成这项任务．假设这些人的效率相同，具体应先安排多少人整理图书？ 16．某小区组织了篮球比赛，比赛分初赛阶段和决赛阶段．在初赛阶段中，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负．积分规则如下：胜1场积2分，负1场积1分，积分超过15分才能获得决赛资格． (1)若甲队在初赛阶段获得4场胜利，问：甲队是否有资格参加决赛？请说明理由， (2)已知乙队在初赛阶段的积分为18分，求乙队在初赛阶段胜、负的场数． 17．我校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个元，请认真阅读结账时老板与小明的对话． 老板 如果你再多买一个，就可以打八五折，花费比现在还省元 小明 那就多买一个吧，谢谢！ (1)结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？ (2)学校决定购买钢笔和签字笔共支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计元，那么小明购买钢笔多少支？ 18．如图，已知A，B为数轴上的两个点，点A表示的数是，点B表示的数是5． (1)A、B之间的距离为________； (2)若点C是数轴上一点且到A、B两点的距离相等，则点C对应的数是________； (3)若点D在数轴上，且点D到点B的距离为6，则点D对应的数是________； (4)若一只蚂蚁从点A出发，在数轴上以每秒3个单位长度的速度向右移动；同时一只毛毛虫从点B出发，在数轴上以每秒1个单位长度的速度向左移动，它们经过几秒后相距4个单位长度？ 19．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用＋污水处理费） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 10吨及以下 2.5 0.50 超过10吨但不超过25吨的部分 3 0.50 超过25吨的部分 4.5 0.50 (1)已知小李家2025年7月用水8吨，应该交水费多少元？ (2)如果小李家9月份交水费40.5元，则小李家这个月用水多少吨？ (3)小李家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水40吨（其中10月份用水超过25吨），一共交水费136元，求小李家11月份用水多少吨？ 20．综合与实践 【课本再现】 二中七年级某班在学习第四章《整式的加减》时，通过“数学活动”探究了月历中数字之间的关系和变化规律． 【观察发现】 如图1是年月的月历，小明用“十”字框框中个数． （1）这个数中，最小数与最大数的差是______； （2）小明发现当“十”字框任意移动时，框中的个数之和始终是的倍数，请通过计算说明他的发现成立． 【拓展延伸】 （3）小明用图2的“凹”字框在图1月历中任意框中个数，将这个数分别用字母，，，，表示．这个数的和能等于吗？若能，求出这个数；若不能，请说明理由． 参考答案 1．解：①将代入原方程，方程左边，方程右边， ∵， ∴方程左边方程右边， ∴不是方程的解； ②将代入原方程，方程左边，方程右边， ∵， ∴方程左边方程右边， ∴是方程的解； ③将代入原方程，方程左边，方程右边， ∵， ∴方程左边方程右边， ∴不是方程的解； ④将代入原方程，方程左边，方程右边， ∵， ∴方程左边方程右边， ∴是方程的解； 综上，符合题意的是②④． 2．24 【分析】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程，即可求得a的值，然后代入代数式即可求解． 【详解】解：把代入方程得：， 解得， 则． 3．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查列方程，解题的关键是理解题意； （1）根据正方形的周长公式可进行求解； （2）根据长方形的面积公式可进行求解； （3）根据打折问题可求解； （4）根据题意可直接列方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由题意得：； （3）解：由题意得：； （4）解：由题意得：． 4．(1) (2)不是方程的解；是方程的解 (3) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义，可知，，解之即可得到答案； （2）将（1）中得到的的值代入原方程，分别将，，代入方程中，若能使等式成立，即为方程的解，否则就不是； （3）化简求值后，将（1）中得到的的值代入即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意，得，解得． （2）解：由（1）可知，，则方程为． 把代入，左边右边，故不是方程的解； 把代入，左边右边，故是方程的解． （3）解：原式． 当时，原式． 5．(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤并灵活运用是解题的关键． （1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【详解】（1）解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得； （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得 合并同类项，得， 系数化为1，得． 6．(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法等知识﹒ （1）先将原方程整理为分子分母都是整数的方程，再解方程即可； （2）先将原方程整理为分子分母都是整数的方程，再解方程即可﹒ 【详解】（1）解： 原方程整理得， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得； （2）解： 原方程整理得， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得﹒ 7．4 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，分别求出两个方程的解，再根据两个方程的解互为相反数，得到关于m的方程，即可求解． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， ∵关于x的方程与方程的解互为相反数， ∴， 解得， ∴m的值为4． 8．． 【分析】本题考查了方程的解，根据方程的解的定义，把代入，得到，由于方程的解与的取值无关，得到且，求解即可， 掌握方程的解是解题的关键． 【详解】解：把代入得： ， 整理得：， ∵方程的解与的取值无关， ∴且， 解得：． 9．(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的化简（正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数）；掌握绝对值的意义是解题关键． （1）根据材料计算即可； （2）根据材料列代数式即可； （3）根据绝对值的性质计算求值即可． 【详解】（1）解：数轴上表示与的两点之间的距离是； 故答案为：； （2）解：数轴上有理数与有理数所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为； 故答案为：； （3）解：若，则 解得：或． 10．（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵关于x的方程与方程是“美好方程” ∴ ∴． （2）解：∵“美好方程”的两个解和为1 ∴另一个方程的解是 ∵两个解的差是8 ∴或 ∴或； （3）解：∵ ∴ ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程” ∴关于x的一元一次方程的解为， ∴关于y的一元一次方程可化为 ∴ ∴． 11．245 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设百位上的数字为x，则十位上的数字为，个位上的数字为，根据“位上的数的3倍减去个位上的数等于十位上的数的” 列出关于x的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：设百位上的数字为x，则十位上的数字为， ∵各数位上的数的和为11， 所以，个位上的数字为， 根据题意得，， 解得：， ∴百位上的数字为2， 十位上的数字为， 个位上的数字为， 所以，这个三位数为245． 12．人数为42，宝石价格为17钱 【分析】设人数为，利用总钱数不变，用含的式子表示出总价格，列出方程即可． 【详解】解：设人数为． 根据题意，得， 解得． ∴宝石价格为（钱）， 答：人数为，宝石价格为钱． 13．应分配12人生产甲种零件，8人生产乙种零件，才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．关键是设出生产甲和乙的人数，以配套的比例列方程求解．设应分配人生产甲种零件，则应分配人生产乙种零件，才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套，根据每人每天能加工甲种零件8个或乙种零件6个，可列方程求解． 【详解】解：设应分配人生产甲种零件，则应分配人生产乙种零件， 由题意得：， 解得， （人． 答：应分配12人生产甲种零件，8人生产乙种零件，才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套． 14．还需要个月才能完成 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设还需要几个月才能完成，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设还需要个月才能完成，根据题意得， ． 解得：． 答：还需要个月才能完成． 15．(1)这个班有45名学生 (2)应先安排2人整理图书 【分析】（1）设这个班有名学生，根据如果每人分本，则剩余本；如果每人分本，则差本．列出一元一次方程，解方程即可； （2）设应先安排人整理图书，现计划由一部分人先做，然后增加人与他们一起做，正好完成这项任务，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设这个班有名学生． 由题意，得， 解得． 答：这个班有名学生． （2）解：设应先安排人整理图书． 由题意，得， 解得． 答：应先安排人整理图书． 16．(1)甲队没有资格参加决赛，理由见解析 (2)乙队在初赛阶段胜8场，负2场 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的数量关系，并据此列出方程求解． （1）用胜的场数×胜场积分+负的场数×负场积分列式计算可得； （2）设乙队在初赛阶段胜场，则负了场，根据以上数量关系列出方程，解之可得． 【详解】（1）解：甲队没有资格参加决赛，理由如下： 甲队积分为（分），， 所以甲队没有资格参加决赛． （2）解：设乙队在初赛阶段胜x场，则负场． 由题意，得， 解得， 所以． 故乙队在初赛阶段胜8场，负2场． 17．(1)小明原计划购买文具袋个 (2)小明购买钢笔支 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． （1）设小明原计划购买文具袋x个，则原计划的费用为元，实际费用为元，根据实际比原计划节省元建立方程求解即可； （2）设小明购买钢笔m支，则购买签字笔支，根据打八折后的总费用为元建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设小明原计划购买文具袋x个， 由题意得，， 解得， 答：小明原计划购买文具袋个； （2）解：设小明购买钢笔m支，则购买签字笔支， 由题意得，， 解得， 答：小明购买钢笔支； 18．(1)20 (2) (3)11或 (4)6秒或4秒 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离公式、一元一次方程的应用等知识点，理解数轴上两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据两点之间距离公式求解即可． （2）设点对应的数是，然后根据数轴上两点间的距离公式列一元一次方程求解即可； （3）设点对应的数是，然后根据数轴上两点间的距离公式列绝对值方程求解即可； （4）设经过t秒后相距4个单位长度，根据题意列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：， 故A、B之间的距离为20． （2）解：设点对应的数是， 由题意可得：， 解得：， 所以点对应的数是． 故答案为：． （3）解：设点对应的数是， 由题意可得：， 解得：或 所以点对应的数为11或． （4）解：设经过t秒后相距4个单位长度， ， 解得：或4． 即经过6秒或4秒后 蚂蚁和毛毛虫相距4个单位长度． 19．(1)24元 (2)13吨 (3)11吨 【分析】本题考查了一元一次方程的应用-分段计费等知识，理解表格提供的分段计费标准是解题关键． （1）根据7月用水8吨用第一段计费标准，用自来水总费用加上污水处理费用即可求解； （2）先求出用水10吨时，应交水费元，用水25吨时，应交水费元，设小李家9月份用水x吨,列方程，解方程即可求解； （3）设小李家11月份用水y吨，则10月份用水吨．根据10月份用水超过25吨，得到．分和两种情况分别列方程，解方程，舍去不合题意情况即可求解． 【详解】（1）解：（元）． 答：小李家2025年7月用水8吨，应该交水费24元； （2）解：当用水10吨时，应交水费（元）， 当用水25吨时，应交水费（元）， 设小李家9月份用水x吨, 由题意得， 解得． 答：小李家9月份用水13吨； （3）解：设小李家11月份用水y吨，则10月份用水吨． ∵两个月一共用水40吨，其中10月份用水超过25吨， ∴． ①当时，列方程得， 解得（不合题意，舍去）； ②当时，列方程得， 解得（符合题意）． 答：小李家11月份用水11吨． 20．（1）；（2）见详解；（3）不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的日历应用，列代数式，有理数的减法应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据这个数中，最小数是，最大数是，进行减法运算，即可作答； （2）设正中心的数为，则阴影框中其余的个数为．再列式，即可作答； （3）根据这个数分别用字母表示，所以，依题意，列式进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）解：依题意，这个数中，最小数是，最大数是， ， 故答案为：； （2）解：设正中心的数为， 则阴影框中其余的个数为：， ， 则这个数的和为， ∵是正整数， ∴当“十”字框任意移动时，框中的个数之和始终是的倍数； （3）解：不能，理由如下： ∵用如图2所示的“凹”字框在月历中任意框中个数，将这个数分别用字母表示， ，，，， ， 依题意得，， 解得：， ∵图2的“凹”字框要在图1月历中任意框中个数， 而最小的数是，无法形成“凹”字框， ∴这个数的和不能等于． 学科网（北京）股份有限公司 $