广东省东莞市第十三高级中学2025-2026学年高一上学期10月份月考数学试卷

2025-2026东莞市第十三高级中学高一上学期数学10月份月考试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（    ）． A．， B．， C．， D．， 3．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 4．设，且，则（    ） A． B． C． D． 5．若函数，则（其中为自然对数的底数）= A． B． C． D． 6．设条件,条件,其中为正常数．若p是q的必要不充分条件，则的取值范围 A． B． C． D． 7．“”是“函数在区间上为增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．定义在上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列条件中，为“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件的有（    ） A． B． C． D． 10．下列结论正确的是（    ） A．若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数为同一个函数 B．函数定义域为 C．若函数的值域为R，则a的取值范围为 D．函数定义域为，则定义域为 11．对任意两个实数，定义，若，下列关于函数的说法正确的有（    ） A．函数是偶函数 B．函数有四个单调区间 C．方程有四个不同的根 D．函数的最大值为1，无最小值 三、填空题 12．如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”. 试写出的一个“同域函数”的解析式为 . 13．已知幂函数的图象关于y轴对称，则的值为 ． 14．以下说法中正确的是： . ①已知二次函数的最小值为1，且，则； ②已知函数满足，则函数； ③函数的值域为. 四、解答题 15．已知集合，集合． (1)若，求和； (2)若，求实数a的取值范围． 16．（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域. （2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （3）已知是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式； 17．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本万元. （1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？ （2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少？ 18．已知，. （1）若函数有最大值，求实数的值. （2）若不等式的一切实数恒成立，求实数的取值范围. （3）若，当取何值时，函数的值大于. 19．已知函数. (1)证明：函数是奇函数； (2)用定义证明：函数在上是增函数； (3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C D B A A B CD CD 题号 11 答案 AB 1．B 【分析】先化简集合A,再求A∩B. 【详解】由题得A={x|0<x<3},所以A∩B={1,2}. 故答案为B 【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 2．D 【分析】由特称命题的否定可得出结论. 【详解】由特称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”. 故选：D. 3．C 【分析】利用特值法和作差法依次判断选项即可得到答案. 【详解】对选项A，若，，则，故A错误； 对选项B，若，，，，满足，， 则，故B错误. 对选项C，. 因为，，所以，，则，即， 故C正确. 对选项D，因为，所以，故. 所以，所以，故D错误. 故选：C 4．D 【分析】根据不等式的基本性质，以及函数的单调性，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，当时，可得，所以A不正确； 对于B中，由，因为，则，但符号不确定，所以B错误； 对于C中，例如，可得，所以C错误； 对于D中，由函数为单调递增函数，所以，所以D正确. 故选：D. 5．B 【分析】根据分段函数及定义域特征，代入即可求解． 【详解】由题意得， ∴． 选B． 【点睛】本题考查了分段函数的函数值求解，注意自变量的取值范围即可，属于基础题． 6．A 【详解】试题分析：因为命题，所以，而． 因为p是q的必要不充分条件，所以，所以应选A． 考点：1、充分条件；2、必要条件． 7．A 【分析】求出函数在区间上为增函数的的取值范围，结合与的关系求出答案 【详解】的图象如图所示，要想函数在区间上为增函数，必须满足，因为是的子集，所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件.    故选：A 8．B 【分析】首先根据函数的性质，求解不等式和的解集，再分情况讨论不等式的解集. 【详解】是定义在上的偶函数在上单调递减，且， ，或， 是由函数向右平移1个单位得到， ，解得：，，解得：或， 或 ， 解得：或， 所以不等式的解集： 故选：B 9．CD 【分析】由恒成立问题解出的取值范围，再利用集合间的包含关系即可判断. 【详解】由对恒成立可得， ①当时，成立； ②当时，，解得； 故对恒成立时，的取值范围是， 则是的真子集，且是的真子集； 故选：CD 10．CD 【分析】对于A，举例即可；对于B，显然；对于C，利用二次函数的性质；对于D，根据隐函数的定义域求解. 【详解】对于A，如与定义域与值域相同，但不是同一个函数，故A不正确； 对于B，函数定义域为，故B不正确； 对于C，要使函数的值域为R，令，则；故C正确； 对于D，因为函数定义域为，则要使有意义，必须，所以定义域为，故D正确. 故选：CD 11．AB 【分析】根据定义化简函数的表达式，然后根据偶函数的定义、单调性进行判断即可. 【详解】， A：当时，，因为，所以函数是偶函数，关于纵轴对称； 当时，，因为，所以函数是偶函数，关于纵轴对称，因此函数是偶函数，所以本选项说法正确； B：当时，，当时，函数单调递增，当，函数单调递减， 当时，，当时，函数单调递减， 当时，函数单调递增，故函数有四个单调区间，所以本选项说法正确； C：当时，， 当时，， 所以方程有三个不同的根，因此本选项说法不正确； D：当时，，因此， 当时，，因此有， 因此函函数的最小值为1，无最大值，所以本选项说法不正确， 故选：AB 12．，（答案不唯一） 【解析】由解析式可求得函数定义域；根据函数单调性确定函数的值域；根据“同域函数”的定义写出一个符合题意的函数即可. 【详解】由得：    的定义域为 又为定义域内的增函数    值域为 的一个“同域函数”为， 故答案为：，（答案不唯一） 【点睛】本题考查函数新定义的问题，关键是能够明确新定义的含义实际是确定定义域和值域相同的函数，通过求解函数的定义域和值域得到所求函数. 13． 【分析】先通过函数为幂函数求出的值，再通过图象关于y轴对称来确定的值. 【详解】由已知得，解得或， 当时，，其图象关于y轴对称， 当时，，其图象关于原点对称. 故答案为： 14．①② 【分析】利用二次函数的性质，结合待定系数法求得可判断①；利用函数方程组法求得可判断②；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域可判断③；从而得解. 【详解】对于①，因为二次函数满足，所以其对称轴为， 又的最小值为1，所以可设， 又，所以，解得， 所以，故①正确； 对于②，因为， 将替换成，得，则， 所以，则，故②正确； 对于③，令，则，， 所以， 因为，所以在上单调递增， 则，即的值域为，故③错误. 故答案为：①②. 15．(1)， (2) 【分析】（1）解一元二次不等式化简集合，再由交并运算可得； （2）由，得，分类讨论是否为，由包含关系建立不等式组求解可得. 【详解】（1）当时，集合， 集合， ∴，， （2）∵，∴， （1）当时，则，解得； （2）当时，则，解得， 综上所述，或 即实数a的取值范围是． 16．（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）根据复合函数定义域的定义可知：且，即可求解； （2）利用待定系数法求解，设，然后根据已知条件列方程求出即可； （3）设，计算，再根据奇函数的性质，得，即可得解. 【详解】（1）由题意得：，解得：， 由，解得：， 故函数的定义域是. （2）因为是二次函数，所以设，由，得， 由，得， 整理得， 所以，所以，所以. （3）设，则，所以， 又为奇函数，所以， 所以当时，， 故. 17．（1）300台；（2）90人. 【解析】（1）每台机器人的平均成本为，化简后利用基本不等式求最小值；（2）由（1）可知，引进300台机器人，并根据分段函数求300台机器人日分拣量的最大值，根据最大值求若人工分拣，所需人数，再与30作差求解. 【详解】（1）由总成本， 可得每台机器人的平均成本. 因为. 当且仅当，即时，等号成立. ∴若使每台机器人的平均成本最低，则应买300台. （2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量为： 当时，300台机器人的日平均分拣量为 ∴当时，日平均分拣量有最大值144000. 当时，日平均分拣量为 ∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件. 若传统人工分拣144000件，则需要人数为（人）. ∴日平均分拣量达最大值时， 用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少（人）. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，根据实际问题抽象出函数关系，并会求最值，本题最关键的一点时会求的最大值. 18．(1) 或;(2) ;(3)见解析 【分析】（1）由，解出即可；（2）通过讨论a的范围，得不等式组，解出即可； （3）问题者解不等式（x﹣1）（ax+a+1）＞0，通过讨论a的范围，从而求出不等式的解集． 【详解】（1）， ， 解得或. （2）. . 当时，不合题意， 当时，，解得. 实数的取值范围为. （3）由得，即， ， ，. ， 当时，，解集为， 当时，，解集为， 当时，，解集为. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，求不等式的解集，求参数的范围，考查了分类讨论思想，是一道中档题． 19．【详解】（1）证明：由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 又由， 所以函数为定义域上的奇函数. （2）证明：当时，， 任取，且， 可得 因为，且，可得，， 所以，即， 所以函数在上是增函数. （3）因为函数为定义域上的奇函数，且在上是增函数， 所以函数在上也是增函数， 又因为，所以函数在上是增函数， 又由，可得， 因为不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 可得不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，，即实数的取值范围. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $