精品解析：安徽省芜湖市无为市部分学校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

九年级数学 上册21.1～24.1 说明：共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列数学符号是中心对称图形的是（ ） A. ⊥ B. ∥ C. ≌ D. ∠ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：B． 2. 数学课堂上，王老师带同学们利用直角三角尺检查某种半圆形零件是否合格，下列四个零件中，合格的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据直角所对的弦为直径，进行判断即可． 【详解】解：由直角所对的弦为直径，可知，只有选项C中的零件是合格的； 故选C． 3. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向上 B. 图象对称轴为直线 C. 函数的最大值为3 D. 图象与x轴没有交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数性质，包括开口方向、对称轴、最值及与x轴的交点；通过解析式判断各选项. 【详解】解：∵ ， ∴，抛物线开口向下，故A错误； 对称轴为直线 ，故B错误； ∵开口向下，顶点坐标为 ，函数最大值为3，故C正确； 令 ，得 ，即 ，解得 ， ∴ 图象与x轴有两个交点，故D错误； 故选：C. 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．由此可求点P关于原点对称的点的坐标． 【详解】解：∵点， ∴P点关于原点对称的点为， 故选：C． 5. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 一元二次方程有两个实数根的条件是判别式大于或等于零，据此列不等式求解． 【详解】解：∵ 方程 有两个实数根， ∴ 判别式， ∴ ，即 ， 故选：D． 6. 如图，点A，B，C在上，D是劣弧的中点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 利用弧与圆心角的关系求出的度数，再通过弧上中点求出的度数，最后利用圆周角定理即可求出的大小． 【详解】解：， 的度数为， ∵是劣弧的中点， ∴的度数为， ∴， 故选：C． 7. 若方程的两个根是和1，则二次函数的图象的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的对称轴与一元二次方程根的关系；二次函数的对称轴可通过其对应方程的两根平均值直接求得. 【详解】解：∵ 方程 的两个根是 和 ， ∴ 二次函数 的图象的对称轴是直线 . 8. 如图，这是某小区绿化带上的植草砖，其由一个正方形砖块将四角镂空半径相同的四分之一个圆以及中心镂空同样半径的圆制成，已知正方形的剩余边的长为，砖面面积为．设原正方形的边长为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查方程建模和图形面积的计算，找出与不规则图形相关联的规则图形，通过和差法将涉及的规则图形面积相加或相减，得到不规则图形的面积是解题关键． 砖面面积=原正方形面积-镂空部分的总面积，四个角的镂空分别是圆，中心镂空的是同半径的圆，因此圆的半径为，求出两个圆的面积，结合正方形面积列方程求解即可． 【详解】解：原正方形边长为x，长为， 四个角的镂空圆半径， 中心镂空圆的半径与四角镂空圆相同， 镂空部分的面积为， 砖面面积为， 可列方程． 故选：A． 9. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，那么球的半径长是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】连接，过点作，垂足为，可构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理即可得答案．本题考查垂径定理及推论、矩形性质，掌握垂径定理和勾股定理是解题关键． 【详解】解：过点作，垂足为，连接， 四边形是矩形， ． 设， 则，， 在直角三角形中，， 即， 解得，即球的半径为5． 故选：B． 10. 若两个函数图象关于点P成中心对称，则称这两个函数关于点P互为“对称函数”．现作抛物线：关于上处的点的对称函数得到抛物线，再作关于上处的点的对称函数得到抛物线，再作关于上处的点的对称函数得到抛物线……以此类推，则抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数的性质，中心对称图形的性质，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 根据题意得出当时，，则对称中心为，的顶点坐标为，确定的顶点坐标为，得出：，依次类推，得到：，即可求解． 【详解】解：当时，，则对称中心为， 的顶点坐标为， ∵关于上处的点的对称函数得到抛物线， ∴的顶点坐标为， ∴：． 当时，， 则对称中心为， ∴的顶点坐标为， ∴：． 当时，， 则对称中心为， ∴的顶点坐标为， ∴：． ∴以此类推，得到： ∴：． 故选A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 抛物线与y轴交点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数与y轴交点坐标求解方法求解即可； 【详解】解：将代入中， 解得：， 故抛物线与y轴交点坐标为：， 故答案为：． 【点睛】该题主要考查了二次函数与坐标轴交点问题，解答该题的关键是熟悉二次函数的基本性质． 12. 如图，时钟的时针从今天上午的8时转动到今天上午10时，时针旋转的旋转角为______°． 【答案】60 【解析】 【分析】本题主要考查了钟面角，解决本题的关键是得到时针旋转的旋转角的计算方法． 因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，找出时针转动的大格数，用大格数乘即可． 【详解】解：∵时针从上午的8时到10时共旋转了2个格，每相邻两个格之间的夹角是， ∴时针旋转的旋转角． 故答案为：60． 13. 若二次函数的图象与坐标轴只有一个公共点，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与坐标轴的交点，由二次函数与坐标轴只有一个公共点，可知其与x轴无交点，且与y轴的交点唯一，据此利用判别式求解. 【详解】解：二次函数的图象与坐标轴只有一个公共点， 由于二次项系数为，函数始终与y轴有交点 若与x轴有交点，则会有多个公共点，故需与x轴无交点，即判别式小于零， 判别式，解得， 当二次函数的图象与坐标轴只有一个公共点，且是原点时，则， 故答案为： 14. 如图，为等边三角形，P为边上一动点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转至线段，M是边的中点，连接，若，的长为整数． （1）______．（填“＞”“＜”或“＝”） （2）的长有最小值，最小值为______． 【答案】 ①. ＝ ②. 3 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，垂线段最短原理，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． （1）根据题意可得，即可得出答案； （2）取的中点D，连接，先证得出，再过点D作于点G，求出的最小值为3即可． 【详解】解：（1）为等边三角形 ， 由旋转得：， ． 故答案为：＝ （2）如图，取的中点D，连接，由旋转得． ∵为等边三角形， ∴， ∵M是边的中点，D是边的中点， ∴， ， ∴， ∴． 过点D作于点G， 则的最小值为， ， ， ， ∴， ∴， ∴的最小值为3， ∴的最小值为3． 故答案为：3． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 利用因式分解法解答即可． 【详解】解：， ， ∴， 解得：． 16. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕O顺时针旋转后的并写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称的作图，旋转的作图，坐标与图形，利用旋转的性质作图是解本题的关键． （1）分别确定关于原点的对称点，再顺次连接，可得答案； （2）分别确定绕原点顺时针旋转后的对应点，再顺次连接，再根据的位置可得答案； 【小问1详解】 解：如图所示：，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示：，即为所求；． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是73，求这种植物每个支干长出的小分支个数是多少？ 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是73，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是， 根据题意，可得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：这种植物每个支干长出的小分支个数是8． 18. 诗鬼李贺以“更容一夜抽千尺，别却池园数寸泥”形容新竹长势之迅猛．某段时间内，一根竹子的高度h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化符合二次函数，若时测得该竹子的高度为米． （1）求该二次函数的解析式． （2）这段时间内该竹子的最大高度为多少？ 【答案】（1） （2）这段时间内该竹子的最大高度为2米 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 将代入中，得， 解得， ∴． 【小问2详解】 h的最大值为． 答：这段时间内该竹子的最大高度为2米． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左边，直线经过点A且与抛物线交于点C． （1）求抛物线的解析式及点B的坐标． （2）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）抛物线的解析式为，点B的坐标为 （2）不等式的解集为 【解析】 【分析】本题主要考查了求抛物线的解析式，根据图象求不等式的解集，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出抛物线的解析式． （1）先求出点A的坐标为，然后代入求出，得出抛物线的解析式，然后求出抛物线与x轴的交点坐标即可； （2）先求出点C的坐标，然后求出不等式的解集即可； 【小问1详解】 解：把代入直线得：， 解得：， ∴点A的坐标为， 将点代入中， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得：，， ∴点B的坐标为； 【小问2详解】 解：联立解析式， 解得：或， ∴点C的坐标为， ∴不等式的解集为． 20. 如图，在中，，以为直径的分别与，交于D，E两点，连接，，． （1）求证：． （2）若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理． （1）利用圆内接四边形的性质，求得，再利用平行线的性质求得，推出，得到； （2）连接．先求得．利用圆周角定理求得，利用勾股定理求得，再利用三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴， ∴． 如图，连接． ∵是的直径， ∴， ∴，， 在中，， ∴． 六、（本题满分12分） 21. 若关于x的一元二次方程的两个实数根为，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称为该一元二次方程的衍生点． （1）方程的衍生点坐标为______． （2）若关于x的一元二次方程的衍生点坐标为，求b和c的值． （3）若关于x的一元二次方程的衍生点为M，且点M在直线上，求m的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、根的判别式以及根与系数的关系，解题关键是理解题意并正确计算． （1）根据题意解出方程的两个根，再根据衍生点的定义即可求出M点坐标． （2）根据衍生点的定义可得到方程的两根，再根据一元二次方程根与系数的关系，解答即可； （3）根据点M在直线上，可得，再利用根的判别式即可解出答案． 【小问1详解】 解：， 解得：， ∴方程的衍生点坐标为． 故答案为： 【小问2详解】 解：∵方程的衍生点坐标为， ∴方程的两根为． ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：∵方程的衍生点为M，且点M在直线上， ∴，即该方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 七、（本题满分12分） 22. 综合与实践 【项目主题】 数学实践小组运用二次函数模型测定学校岩层的真实声速． 【项目准备】 某科研机构借出一台岩石超声波测试仪及相关实验仪器给某校数学实践小组，使小组成员能在该校一块空地上进行实验，准确找出声波在该校岩石层中传播真实速度，利用测试仪对不同的速度v进行5次测试，并计算出该速度下的能量值E，已知E越大，则v越接近． 【项目数据】 将数据进行整理和分析后发现E与v近似满足二次函数关系，5次测试的数据如下表： 速度v/（米/秒） 1600 1800 2000 2200 2400 能量值E 24 36 40 36 24 【项目探究】 （1）声波在该校岩石层中传播的真实速度为_____米/秒． （2）求出E关于v的函数解析式． （3）后续复核发现，实验仪器的能量基准值出现了系统性漂移，导致所有测得的能量值E均比真实值偏小5个单位长度．若漂移被修正，请写出修正后的能量值E关于速度v的函数解析式，并计算当米/秒时对应的能量值． 【项目实施】 完成建模、修正与计算，提交《声波在校园岩石层中传播的速度测定报告》． 【答案】（1）2000；（2）；（3）修正后的函数解析式为， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据题意“E越大，则v越接近”求解； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据题意得到修正后的函数解析式为，再将代入求解即可． 【详解】解：（1）由表格数据可知，当米秒时，E取得最大值40，故米秒； 故答案为：2000； （2）设， 据题意可知二次函数图象的顶点为， ∴二次函数的解析式为． 将代入，得， 解得， ∴; （3）修正后的函数解析式为． 把代入修正后的函数解析式中， 得． 八、（本题满分14 分） 23. 在数学社团课上，老师让同学们以“旋转问题中的特殊角度”为主题展开探究． （1）如图1，将绕点C顺时针旋转得到，此时A，C，E三点共线，交于点M，交于点N，连接，．求证：． （2）如图2，D为等边内一点，连接，，，，，，求的长； （3）如图3，，C为上一点，且，过点C在上方作等边，连接，，求的最小值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）的最小值为 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质； （1）由旋转得到得到、为等边三角形，即可得到，由旋转得，，最后证明； （2）将绕点A逆时针旋转得到，连接，由旋转得，，，则是等边三角形，得到，再求出，最后根据勾股定理求出； （3）将绕点C顺时针旋转得到，连接，过点M作于点N．由旋转得，得到，再证明为等边三角形，当M，E，B三点共线时，的值最小，连接，此时．根据勾股定理求出即可． 【小问1详解】 证明：∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，，，， ∴、为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由旋转得，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接， 由旋转得，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴，， 如图2，将绕点C顺时针旋转得到， 连接，过点M作于点N． 由旋转得，，， ∴，为等边三角形， 当M，E，B三点共线时，的值最小，连接，此时． ∴， ∴，， ， ∴， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 上册21.1～24.1 说明：共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列数学符号是中心对称图形的是（ ） A. ⊥ B. ∥ C. ≌ D. ∠ 2. 数学课堂上，王老师带同学们利用直角三角尺检查某种半圆形零件是否合格，下列四个零件中，合格的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向上 B. 图象对称轴为直线 C. 函数的最大值为3 D. 图象与x轴没有交点 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A B. C. D. 6. 如图，点A，B，C在上，D是劣弧的中点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若方程的两个根是和1，则二次函数的图象的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 8. 如图，这是某小区绿化带上的植草砖，其由一个正方形砖块将四角镂空半径相同的四分之一个圆以及中心镂空同样半径的圆制成，已知正方形的剩余边的长为，砖面面积为．设原正方形的边长为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 把球放在长方体纸盒内，球一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，那么球的半径长是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 10. 若两个函数图象关于点P成中心对称，则称这两个函数关于点P互为“对称函数”．现作抛物线：关于上处的点的对称函数得到抛物线，再作关于上处的点的对称函数得到抛物线，再作关于上处的点的对称函数得到抛物线……以此类推，则抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 抛物线与y轴交点坐标______． 12. 如图，时钟的时针从今天上午的8时转动到今天上午10时，时针旋转的旋转角为______°． 13. 若二次函数的图象与坐标轴只有一个公共点，则m的取值范围是______． 14. 如图，为等边三角形，P为边上一动点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转至线段，M是边的中点，连接，若，的长为整数． （1）______．（填“＞”“＜”或“＝”） （2）的长有最小值，最小值为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 16. 如图，三个顶点坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕O顺时针旋转后的并写出点的坐标． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是73，求这种植物每个支干长出的小分支个数是多少？ 18. 诗鬼李贺以“更容一夜抽千尺，别却池园数寸泥”形容新竹长势之迅猛．某段时间内，一根竹子的高度h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化符合二次函数，若时测得该竹子的高度为米． （1）求该二次函数的解析式． （2）这段时间内该竹子的最大高度为多少？ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左边，直线经过点A且与抛物线交于点C． （1）求抛物线的解析式及点B的坐标． （2）直接写出不等式解集． 20. 如图，在中，，以为直径的分别与，交于D，E两点，连接，，． （1）求证：． （2）若，求的面积． 六、（本题满分12分） 21. 若关于x的一元二次方程的两个实数根为，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称为该一元二次方程的衍生点． （1）方程的衍生点坐标为______． （2）若关于x的一元二次方程的衍生点坐标为，求b和c的值． （3）若关于x的一元二次方程的衍生点为M，且点M在直线上，求m的值． 七、（本题满分12分） 22. 综合与实践 【项目主题】 数学实践小组运用二次函数模型测定学校岩层的真实声速． 【项目准备】 某科研机构借出一台岩石超声波测试仪及相关实验仪器给某校数学实践小组，使小组成员能在该校一块空地上进行实验，准确找出声波在该校岩石层中传播的真实速度，利用测试仪对不同的速度v进行5次测试，并计算出该速度下的能量值E，已知E越大，则v越接近． 【项目数据】 将数据进行整理和分析后发现E与v近似满足二次函数关系，5次测试的数据如下表： 速度v/（米/秒） 1600 1800 2000 2200 2400 能量值E 24 36 40 36 24 【项目探究】 （1）声波在该校岩石层中传播的真实速度为_____米/秒． （2）求出E关于v的函数解析式． （3）后续复核发现，实验仪器的能量基准值出现了系统性漂移，导致所有测得的能量值E均比真实值偏小5个单位长度．若漂移被修正，请写出修正后的能量值E关于速度v的函数解析式，并计算当米/秒时对应的能量值． 【项目实施】 完成建模、修正与计算，提交《声波在校园岩石层中传播的速度测定报告》． 八、（本题满分14 分） 23. 在数学社团课上，老师让同学们以“旋转问题中的特殊角度”为主题展开探究． （1）如图1，将绕点C顺时针旋转得到，此时A，C，E三点共线，交于点M，交于点N，连接，．求证：． （2）如图2，D为等边内一点，连接，，，，，，求的长； （3）如图3，，C为上一点，且，过点C在上方作等边，连接，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $