第二十九章 投影与视图练习课件2025-2026学年 人教版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦投影的核心知识，涵盖投影、投影线、投影面的定义，平行投影与中心投影的区别及正投影，通过阳光下和灯光下的影子现象导入，关联相似三角形知识，搭建从生活情境到数学抽象的学习支架。 其特色是结合生活实例（如木杆影子、路灯身影），以典例精析培养几何直观与推理意识，分层作业（基础、提升、拓展）强化应用意识。例2用相似三角形解决墙上影子问题，助学生提升空间观念和实际问题解决能力，教师可分层教学，提高课堂效率。

第二十九章 投影与视图 29.2　三视图 29.2 三视图（3）（第5课时） ◇几何体的表面展开图 1. 圆柱的侧面展开图是 ;圆锥的侧面展开图是 ;棱柱的侧面展开图是 . 2.长方体的主视图与俯视图如图所示, 则这个长方体的体积是( ). A.52 B.32 C.24 D.9 矩形 扇形 平行四边形 答案：C 2 典例精析 例1 根据下面的三视图画出几何体的表面展开图,并求物体的表面积． 解：根据三视图可以想象该几何体的形状如图1所示.其表面展开图如图2所示. S表面积=S扇形O′MN+S矩形ABCD+S⊙O =(2π×5×5)+2π×5×20+π·52 =(25+225)π. 例2 如图，每一平面图形都是由四个等边三角形组成的． (1)指出哪些可以折叠成多面体,画出折叠成的多面体的三视图； (2)如果各图中每个小三角形的边长都为1,那么对应的多面体的表面积是多少？ 解：(1)例2图中的图①、图③可以折叠为正四面体，如图3所示,其三视图如图4所示. (2) 正四面体的每个面都是边长为1的正三角形,三角形的面积为,故正四面体的表面积为． 基础性作业 1.如图所示是一个几何体的三视图，描述其结构特征，最准确的是（ ）. A.底面是正六边形的棱柱 B.底面是六边形，侧面是等腰梯形的棱台 C.上、下底面是正六边形，侧面是等腰梯形的棱台 D.底面是正六边形，侧面是等腰三角形的棱锥 答案：C 2.如图所示是一圆锥的两个视图,这个圆锥的体积是( ). A.24πcm3 B.48πcm3 C.75πcm3 D.192πcm3 答案：B 3.如图,水平放置的长方体的正面是边长为3和4的 矩形,它的左视图的面积为6,则长方体的体积等于 . 24 4.一个几何体的三视图如图所示，它的俯视图为菱形，请写出该几何体的形状，并根据图中所给的数据求出它的侧面积. 该几何体的形状是直四棱柱. 由三视图知，棱柱底面菱形的对角线长分别为4 cm,3 cm. ∴菱形的边长为 cm. ∴棱柱的侧面积=×8×4=80（cm2）. 5. 根据几何体的三视图画出它的表面展开图. （1）如图： （2）如图： 6.如图所示,哪些图形经过折叠可以围成一个棱柱？ 图形③④能围成棱柱，图形①②不能围成棱柱. 7.某几何体的三视图及相关数据如图所示,则下列判断正确的是( ). A.a>c B.b>c C.4a2+b2=c2 D.a2+b2=c2 答案：D 提升性作业 1.如图是一多面体的展开图,平面图形的旁边都标注了字母,请根据要求回答问题： (1) 如果面A在多面体的底部,哪一面会在上面？ (2) 如果面F在前面,面B在左面,哪一面会在上面？ (3) 如果面C在右面,面D在后面,哪一面会在上面？ （1）F （2）C （3）A 2. 已知一个物体的三视图如图所示.请你根据图中标注的尺寸计算该物体的全面积.(用a，b表示) 物体是正六棱柱，全面积为a2+3ab. 拓展性作业 1. 某工厂加工一批茶叶罐.设计者给出了茶叶罐的三视图如图所示(单位：mm).请你按照视图确定制作一个茶叶罐所需铁皮的面积． 31 200π mm2 2.如图是一个几何体的三视图. (1)写出这个几何体的名称； （2）根据所示数据计算这个几何体的表面积； 圆锥 由三视图知，圆锥的底面半径为2 cm，母线长为6 cm. 圆锥的底面积为πr2=π×22=4π（cm2）. 圆锥的侧面积为πlr=π×6×2=12π（cm2）. 圆锥的表面积为4π+12π=16π（cm2）. （3）如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这条线路的最短路程. 圆锥侧面展开图如图，∠BAB′=120°， ∴△ABC是等边三角形. 从点B出发，沿表面爬到AC的中点D，最短路线是线段BD的长. ∵点D是线段AC的中点， ∴AD=AB. ∴BD=AB·sin ∠BAC=6×=3（cm）. $第二十九章 投影与视图 29.1　投影 29.1 投影（2）（第2课时） ◇正投影 1.当物体的某个面 于投影面时,这个面的正投影与这个面的 完全相同． 2.直角三角形的正投影可能是 . 平行 形状、大小 三角形或线段 2 典例精析 例1 画出下图中圆柱的正投影. 解：如图1中的四边形ABCD就是圆柱的正投影. 例2 如图所示，一个圆锥的轴截面平行于投影面,圆锥的正投影是边长为3的等边三角形,求圆锥的体积和表面积． 解：∵△S′A′B′是圆锥轴截面SAB的正投影,∴ △SAB≌△S′A′B′. 又∵ △S′A′B′是边长为3的正三角形, ∴BO=B′O′=,SO=S′O′=,SB=S′B′=3. ∴ 圆锥的体积为·π·2·=π. ∴ 圆锥的表面积为π2+×2π××3=π. 基础性作业 1. 太阳光照射一扇矩形的窗户,投在平行于窗户的墙上的影子的形状是( ). A.线段 B.矩形 C.平行四边形 D.以上都有可能 答案：B 2.在太阳光下,转动一个正方体,观察正方体在地上投下的影子,那么这个影子最有可能是( ). A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形 答案：C 3.如图所示，右面水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影图是下列选项中的（ ）. 4.在太阳光下,篮球在地面上形成的投影图形是 . 答案：D 圆或椭圆 5.分别用中心投影的方法和平行投影的方法画出三角形ABC硬纸板在投影面α上的投影. △A′B′C′是△ABC用中心投影方法在投影面α上的投影，△A″B″C″是△ABC用平行投影方法在投影面α上的投影. 6.如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为21米，留在墙上的影子高为2米，求旗杆的高度. 如图，过点C作CE⊥AB于点E，连接AC. 在Rt△ACE中，∵=，∴AE=×21=14. ∴AB=AE+BE=14+2=16（米）. ∴旗杆的高度为16米. 提升性作业 1.如图是半径为5 cm的皮球置于玻璃杯口上的正投影图，请你设法计算出玻璃杯的内径. 由题意知，DB是玻璃杯的内径， 如图，过球心O作OA⊥DB，垂足为点A，连接OB，并延长AO交球于点C. 因为OB=5(cm)， OA=20-12-5=3（cm）， 所以DB= =2 =8（cm）. 2. 为解决楼房之间的采光问题,某地区规定两幢楼房间的距离至少为40 m,中午12时不能挡光.如图,某旧楼的一楼窗台高1 m,要在此楼正南方40 m处再建一幢新楼.已知该地区冬天中午12时阳光从正南方照射,并且光线与水平线的夹角最小为30°,在不违反规定的情况下,请问：新建楼房最高是多少米？(结果精确到1 m.参考数据：≈1.732, ≈1.414) 如图，过点C作CE⊥BD于点E. ∵ AB=40，∴CE=40. ∵ 阳光入射角为30°，即 ∠DCE=30°， 在Rt△DCE中，tan ∠DCE=， ∴ =. ∴DE=40×≈23. 又∵AC=BE=1， ∴ DB=BE+ED=1+23=24. ∴新建楼房最高约为24 m. 拓展性作业 某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量某人形雕塑AB的高度.如图所示，首先，在阳光下，某一时刻，小玉在雕塑影子顶端D处竖立一根高2米的标杆CD,此时测得标杆CD的影子DE为2米；然后，在H处竖立一根高2.5米的标杆GH,小婷从H处沿BH后退0.8米到N处恰好看到点G，A在一条直线上，小婷的眼睛到地面的距离MN=1.5米，DN=24米，已知CD⊥EN,AB⊥EN,GH⊥EN,MN⊥EN,点E，D，B，H，N在同一水平直线上，请根据以上数据求出此雕塑AB的高度. ∵CD⊥EN,CD=DE=2,∴∠E=∠ECD=45°,∴∠ADB=∠E=45°, ∵AB⊥EN,∴∠ADB=∠DAB=45°,∴AB=BD.∴BN=DN-BD=24-AB. 过点M作MO⊥AB于点O,交GH于点P,OM=BN,PM=HN=0.8,PH=MN=OB=1.5,PG=HG-PH=1, ∵∠AOM=∠GPM,∠AMO=∠GMP, ∴△AOM∽△GPM, ∴=,即=, 解得AB=14, ∴雕塑AB的高度为14米. $第二十九章 投影与视图 29.2　三视图 29.2 三视图（2）（第4课时） 一个几何体的三视图如图所示, 那么这个几何体是( ). 答案：A 2 典例精析 例1 小明把若干个棱长为2cm的正方体搭成一个物体,它的三视图如图所示. 请回答下列问题： (1)该物体的高是多少？长是多少？宽是多少？ (2)根据三视图描述物体的形状． 解：(1)该物体的高是4 cm,长是6 cm,宽是4 cm. (2)根据三视图可以想象该物体由五个正方体组成,形状如图1. 例2 由五个小正方体搭成的物体,从上面看的视图如图所示,这个物体是什么形状？共有几种搭法？ 解：根据俯视图可以想象该物体中有四个小正方体的位置可以确定(底层三个,第二层一个),第五个小正方体有两个位置可放,故有两种搭法,形状如图2所示. 基础性作业 1.若图中的四个三角形均为等边三角形,将图形折叠,则得到的立体图形是( ). A.三棱锥 B.圆锥 C.三棱柱 D.六面体 答案：A 2.一几何体的三视图如图所示，这个几何体是( ). A.圆锥 B.圆柱 C.三棱锥 D.三棱柱 答案：D 3. 下列四个几何体中，俯视图为四边形的是（ ）. 4.一种几何体,它的三视图都一样,它可能是 .(填一种你认为正确的几何体) 答案：D 正方体或球等 5. 根据下列各三视图,分别说出它们表示的物体的名称. 长方体 圆柱 球 6.一个几何体的三视图如左下图所示，则这个几何体是选项中的（ ）. 答案：C 7.如左下图，与图中的三视图相对应的几何体是选项中的（ ）. 答案：B 8. 根据下面的三视图说出这个几何体是怎样由四个相同的正方体组成的． 如图： 提升性作业 1. 根据下面的三视图,写出它表示的物体的名称. 物体的形状是六棱柱，形状如图所示. 2.根据下列各三视图,分别写出它们表示的物体的形状. ①长方体，中央有一个圆柱形状上、下通透的孔. ②组合体，形状如图所示. 拓展性作业 1. 由四个大小相同的小长方体搭成的立体图形的左视图如右图所示,则这个立体图形的搭法不可能是选项中的( ). 答案：D 2.一个几何体由一些小正方体摆成，其主视图与左视图如图所示，俯视图不可能是选项中的（ ）. 答案：C 3. 图①是一个物体的三视图,试想出这个物体的形状. 你想出的物体的形状和图②所示的一样吗？如果不一样,还有几种搭法？ 一样，没有其他搭法. $第二十九章 投影与视图 29.2　三视图 29.2 三视图（1）（第3课时） 1. 一个物体在三个投影面内同时进行正投影, 在正面内得到的由前向后观察物体的视图, 叫做 ; 在水平面内得到的由上向下观察物体的视图, 叫做 ; 在侧面内得到的由左向右观察物体的视图, 叫做 . 2.画出圆锥的三视图. 主视图 俯视图 左视图 略 2 典例精析 例1 如图1,画出正四棱锥的三视图. 解：正四棱锥的三视图如图2所示. 例2 图3①是一个三棱柱,图3②是一个学生画的这个三棱柱的三视图． (1)请你说出这个学生所画视图中的错误； (2)画出这个三棱柱的三视图． 解：(1)主视图中间的竖线应画成虚线；俯视图三角形的最大角的顶点应向上；左视图与俯视图的宽应相等． (2)这个三棱柱的三视图如图4所示. 基础性作业 1.下列选项中是空心圆柱(如右图)在指定方向上的视图的是( ). 答案：C 2.如图是由若干个小正方体所搭成的几何体及从上面看这个几何体所看到的图形,那么从左边看这个几何体时, 所看到的几何图形是下列选项中的( ). 答案：B 3.与左下图所示的三视图对应的几何体是选项中的（ ）. 答案：B 4.如图，五个边长为1 cm的正方体摆在桌子上，则露在外面的部分的面积为（ ）. A.13 cm2 B.16 cm2 C.20 cm2 D.23 cm2 答案：B 5. 找出与图中几何体①②③④对应的三视图,在各视图下面的括号中填上对应的编号. ③ ④ ① ② 6.下列说法正确的有（ ）. ①面积之比为1:2的两个相似三角形的周长之比是1：4； ②三视图相同的几何体是正方体；③-27没有立方根；④对角线互相垂直的四边形是菱形；⑤某中学人数相等的甲、乙两班的学生参加了同一次数学测验，班平均分和方差分别为x甲=82分，x乙=82分，s2甲=245，s2乙=190，那么成绩较为整齐的是乙班. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：A 7.如图，是由五个相同正方体组成的甲、乙两个几何体，它们的三视图中一致的是（ ）. A.主视图 B.左视图 C.俯视图 D.三视图 答案：B 提升性作业 1. 画出图中的几何体的三视图． 如图 2. 如图为一个物体的主视图.如果物体是由五个小正方体搭成,并且上、下两层正方体对齐,同一层的正方体也对齐,你能找出几种搭法？画出其中三种的俯视图． 答案不唯一，如图所示是其中七种俯视图. 拓展性作业 1. 一个几何体由大小相同的小正方体搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形上的数字表示在该位置的小正方体的个数，请画出相应几何体的主视图和左视图. 如图： 2.如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图. (1)画出几何体的左视图；（只需画其中一种） 所画左视图如下图中的五种情形中的一种即可. （2）若组成这个几何体的小正方体块数为n，求n的所有可能值之和. 在俯视图上，第1排有1个小正方体，则可设第2、3排的小正方体数分别为a，b. 这里3≤a≤4，4≤b≤6. 则a=3,b=4时,n=8. a=3,b=5时,n=9. a=3,b=6时,n=10. a=4,b=4时，n=9. a=4,b=5时，n=10. a=4,b=6时,n=11. 故n=8或9或10或11四种情况， n的所有可能值之和为8+9+10+11=38. $第二十九章 投影与视图 29.1　投影 29.1 投影（1）（第1课时） 1. 一般地,用光线照射物体,在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影. 照射光线叫做 . 投影所在的平面叫做 ． 2. 有时光线是一组互相平行的射线,例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线,由平行光线形成的投影是 ． 3. 由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做 . 投影线垂直于投影面产生的投影叫做 ． 4.如图, 从左面看圆柱, 则图中圆柱的投影是( ). A.圆 B.矩形 C. 梯形 D. 圆柱 投影线 投影面 平行投影 中心投影 正投影 答案：B 2 典例精析 例1 (1)一木杆按如图甲所示的方式直立在地面上,请在图中画出它在阳光下的影子；(用线段CD表示) (2)图乙是两根标杆及它们在灯光下的影子,请在图中画出光源的位置(用点P表示),并在图中画出人在此光源下的影子.(用线段EF表示) 解：(1)如图1①,CD是木杆在阳光下的影子. (2)如图1②,点P是影子的光源；EF就是人在光源P下的影子． 例2 在同一时刻，两根木杆在太阳光下的影子如图所示,其中木杆AB＝2m,它的影子BC＝2.4 m,木杆PQ的影子有一部分落在墙上,落在地面上的影长PM＝1.8 m,落在墙上的影长MN＝1.3 m,求木杆PQ的长度． 解：如图，延长QN交PM的延长线于点D. ∵太阳光互相平行, ∴同一时刻两根木杆在太阳光下的影子是平行投影． ∴△ABC∽△QPD∽△NMD. ∴==，即==, ∴QP=2.8(m)，即木杆PQ长2.8 m. 基础性作业 1.在同一时刻,两根长度不等的标杆置于阳光之下,但它们的影长相等,那么这两根标杆的相对位置是( ). A.两根都垂直于地面 B.两根平行斜插在地上 C.两根标杆不平行 D.一根倒在地上 答案：C 2.同一灯光下两个物体的影子（ ）. A.方向相同 B.方向不同 C.方向相反 D.以上都有可能 答案：D 3.如图是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角∠AMC=30°，窗户AB在教室地面上的影长MN=2 米，窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米（点M，N，C在同一直线上），则窗户的高AB为（ ）. A. 米 B.3米 C.2米 D.1.5米 答案：C 4.小新的身高是1 m，他的影子长为2 m，同一时刻水塔的影长是32 m，则水塔的高度是 m. 5.如图，圆桌面正上方的灯泡发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）.已知灯泡距离地面2.4 m，桌面距离地面0.8 m（桌面厚度不计算），若桌面的面积是1.2 m2,则地面上的阴影面积是2.7m2. 16 6.如图,小李、小张和小赵三人中小李的影子到达A处,小张的影子到达B处,请你根据这两个影子判断一下,这幅图是太阳光下的投影还是灯光下的投影.画出表示小赵影子的线段． 灯光下的投影.如图，线段CD是表示小赵影子的线段. 提升性作业 1. 李南身高1.88 m,王鹏身高1.60 m,他们在同一时刻站在阳光下,李南的影子长为1.20 m,王鹏的影子长约是多少？（精确到0.01 m） 1.02 m 2. 为了测量校园内一棵不可攀的树的高度,九年级(1)班数学兴趣小组做了如下的探索实践：根据反射定律,利用一面镜子和一根皮尺,设计如图的测量方案，即把镜子放在离树AB 8.7 m的点E处,然后沿着直线BE后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=2.7 m,观察者目高CD=1.6 m,请你计算树的高度.(精确到0.1 m) 由题意知∠CED=∠AEB， ∠CDE=∠ABE=90°，∴△CED∽△AEB. ∴=. ∴=. ∴AB≈5.2（m）. 拓展性作业 1.如图,路灯P点距地面8m,身高1.6m 的小明从距路灯的底部O点20m的A点,沿OA所在的直线行走14m到B点时,身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ ∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP， ∴△MAC∽△MOP．∴=， 即=．解得MA=5． 同样由△NBD∽△NOP可求得NB=1.5． ∴小明的身影变短了3.5 m. 2.如图，王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行12 m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知王华同学的身高是1.6 m，两路灯的高度都是9.6 m. （1）求两路灯之间的距离； （2）当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是多少？ （1）由对称性可知AP=BQ， 设AP=BQ=x（m）. ∵MP∥BD，∴△APM∽△ABD. ∴=.∴=.∴x=3. ∴AB=2x+12=2×3+12=18（m）. ∴两路灯之间的距离为18 m. （2）设王华走到路灯BD处，头的顶部为E，如图. 连接CE并延长交AB的延长线于点F， 则BF即为此时他在路灯AC下的影子长，设BF=y（m）. ∵BE∥AC，∴△FEB∽△FCA. ∴=，即=，解得y=3.6. ∴当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是3.6 m. $