精品解析：河北省唐山市乐亭县2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

2025—2026学年度第一学期期中质量检测 八年级数学试卷 温馨提示：本试题满分120分．考试时间90分钟． 一、用心选一选（每小题3分，共36分，每个小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的定义，逐一进行计算即可． 【详解】解：A中，，故该选项不正确，不符合题意； B中，，故该选项不正确，不符合题意； C中，，故该选项正确，符合题意； D中，无意义，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 2. 下列命题中，真命题是（　　） A. 相等的角是对顶角 B. 如果，那么 C. 内错角相等 D. 同旁内角互补 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是命题的真假判断，熟练掌握对顶角，平行线的性质是解题的关键． 先根据对顶角的定义、平行线的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A，相等的角不一定是对顶角，原命题错误，不符合题意； B，如果 ，那么 ，是真命题，符合题意； C，内错角不一定相等，原命题错误，不符合题意； D，同旁内角不一定互补，原命题错误，不符合题意． 故选：B． 3. 下列实数中的无理数是（　　） A. 3.14 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念．根据无理数的概念，无理数是无限不循环小数，即可求解． 【详解】解：A、3.14是有限小数，是有理数，不是无理数，本选项不符合题意； B、是分数，属于有理数，不是无理数，本选项不符合题意； C、属于无理数，本选项符合题意； D、，是整数，属于有理数，不是无理数，本选项不符合题意； 故选：C． 4. 不改变分式的值，下列各式中变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，平方差公式，分式乘方等知识．根据分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以或除以一个不等于的整式，分式值不变，即可得出答案． 【详解】解：A、，原选项变形错误，不符合题意； B、，原选项变形错误，不符合题意； C、，原选项变形错误，不符合题意； D、，原选项变形正确，符合题意； 故选：D． 5. 如果分式的值为0，那么x的值是（　　） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得， 故选B． 【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键． 6. 如图，数轴上的A，B，C，D四个点中，表示的点是（　　） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的大小估算，实数与数轴，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先求出的范围，再确定点的位置即可选择． 【详解】解：， 数轴上的A，B，C，D四个点中，只有A符合， 故选：A． 7. 如图，已知六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键；根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：甲：由不能判断两个三角形全等，故不符合题意； 乙：由能判断两个三角形全等，故符合题意； 丙：∵， 而丙图形中第三个角（未知的角）为：， ∴与丙图中有两角及其夹边对应相等， 由能判断两个三角形全等，故符合题意； 故乙和丙符合题意， 故选：B． 8. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了立方根的性质，解题的关键是掌握立方根的性质．根据，即可求解． 【详解】解：， ， 故选：B． 9. 小明在解关于x的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程有增根无解，则被污染的数字为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 解分式方程得，，由此方程有增根无解，可得，计算求解即可． 【详解】解：， ， 解得，， ∵此方程有增根无解， ∴， 解得，， 故选：A． 10. 如图，在方格纸中，以为一边作，使之与全等，从，，，四个点中找出符合条件的点，则点有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用边边边公理判定三角形全等，点所在的位置与边构成的三角形如果与三边对应相等，则符合要求，否则不符合要求． 【详解】解：如下图所示， 当以点为顶点作时， 在和中，， ； 当以点为顶点作时， 在和中，， ； 当以点为顶点作时， 在和中，， ； 点有个．   故选：C ． 11. 下表是学习分式方程应用时，老师提出的问题和两名同学用两种方法列出的正确方程． 问题：甲、乙两地相距，搭乘高铁列车从甲地到乙地比搭乘普通列车少用9小时，已知高铁列车的平均行驶速度是普通列车的2.8倍． 小明： 小红： 下列判断正确的是（ ） A. 小明假设的未知数是高铁列车的平均速度 B. 高铁列车的平均速度为100千米/时 C. 小红假设的未知数是搭乘普通列车从甲地到乙地的时间 D. 普通列车从甲地到乙地的时间是14个小时 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，关键是理解路程、速度、时间的关系，并通过方程求解，小明的方程中未知数是普通列车的速度，小红的方程中未知数是高铁的时间；通过求解方程可得普通列车时间为14小时，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：小明的方程为，根据时间路程速度，可得表示乘普通列车从甲地到乙地的时间，表示乘高铁从甲地到乙地的时间，故表示普通列车速度，故A错误； 解方程可得，故高铁列车的平均速度为千米/时；故B错误； 小红的方程为，其中表示乘高铁列车从甲地到乙地的速度，表示乘普通列车从甲地到乙地的速度，故小红假设的未知数是搭乘高铁列车从甲地到乙地的时间，故C错误； 解可得：， ∴，即普通列车从甲地到乙地的时间是14个小时，故D正确； 故选：D． 12. 如图，在中，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，证明得出，求出，再由三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 答案：A． 二、仔细填一填（每小题3分，共12分） 13. 分式与的最简公分母是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母即可求出答案． 【详解】解：分式与的分母分别是，， 故最简公分母是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了最简公分母，解题的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握． 14. 已知是无理数，且，写出一个满足条件的的值是______________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，根据是无理数，且，得出，从而即可得出答案，准确进行估算是解此题的关键． 【详解】解：是无理数，且， ， 满足条件的的值是（答案不唯一）． 15. 如图，在和中，，添加一个条件：______，使得． 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，注意：判定两个三角形全等的方法有，，，，．从图中知道，，结合，再添加一个条件或或，都使得． 【详解】解：由题意知：，， 添加，则； 添加，则； 添加，则． 故答案为：或或． 16. 的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了解分式方程，左边每个分式拆项为两个分式的差，先简化；右边合并分式，然后解方程并检验即可求解． 【详解】解：方程左边每个分式拆项： 求和后中间项抵消，左边简化为： y右边化简为： 当时，方程化为： 解得．经检验是原方程的解． 故答案为：． 三、答一答，相信你一定能行！（共包括8道大题，72分） 17. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的解法，先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 【详解】解：， 方程两边乘，得． 解得． 检验：当时，， 原分式方程的解为． 18. 已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． （1）直接写出的值． （2）在（1）的条件下，当分式的值为正整数时，求整数的值． 【答案】（1）， （2），， 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件以及分式的值，熟练掌握知识点是解题关键； （1）根据分式有意义的条件“分母不为0”列出方程解方程即可得到d的值，再通过分式的值为0时，分子为0，列出方程即可得到c的值； （2）把的值代入分式，然后利用分式的值为正整数进行分情况讨论即可． 【小问1详解】 解：当时，分式无意义， ， 解得， 当时，此分式的值为0， ， 解得， 【小问2详解】 把，代入得 因为分式的值为正整数，所以是的正因数，的正因数有、、．当时，；当时，；当时，． 整数的值可能为，，． 19. 如图，一只蚂蚁从点沿数轴向左爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． （1）实数的值是 ； （2）求的值； （3）在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的立方根． 【答案】（1） （2）1 （3）2 【解析】 【分析】本题考查数轴上两点的距离公式，实数的混合运算，非负数的性质，求一个数的立方根． （1）由题意可直接求出的值是； （2）将（1）所求的值代入计算即可； （3）根据相反数的定义可得出，再根据绝对值和算术平方根的非负性可求出，，进而可求出的立方根． 【小问1详解】 解：实数m的值是． 故答案为：； 【小问2详解】 ． ． 【小问3详解】 ∵与互为相反数， ∴ ∴， ∴， ∴， 则的立方根为． 20. 如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：，， ，， ， ∴， 在和中， ， 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据平行线的性质可得，根据线段的和差关系可得，进而根据即证明 【详解】略 21. 老师给出一道数学题，由学生接力完成分式的计算，如图所示，每人只能看到前一人传过来的式子． （1）这个“接力游戏”中计算错误的同学有 ； （2）请你写出正确的解答过程； （3）从“，0，1”中选择一个合适的数作为的值，代入求该分式的值． 【答案】（1）乙、丁； （2） 原式 ； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，解题的关键是注意运算顺序及掌握运算法则． （1）观察四人的计算过程即可作出判断； （2）按照分式的混合运算顺序正确计算即可； （3）使分式有意义的的值只能取，把代入化简后的算式中计算即可． 【小问1详解】 解：乙分式分子相减时符号错误；丁遗漏了负号； 故答案为：乙、丁； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由于且， 所以且， 所以， 当时， 原式． 22. 【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 【答案】[发现]（1），（2）；[应用] 【解析】 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案. 【详解】解：（1）（答案不唯一） （2）归纳可得：当时，则； （3）由（2）知， ∵与的值互为相反数， ∴， 解得， ∴， ∴. 23. 已知：如图，在中，于点D，为上一点，且，交于点． （1）求证：； （2）连接，作交于点G，求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2） 证明：∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，再证明，即可利用证明，则可证明； （3）设，则，利用三角形面积计算公式建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设，则， ∵ ， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 24. 两个小组同时从甲地出发，匀速步行到乙地，甲乙两地相距千米，第一组步行的速度是第二组的倍，并且比第二组早小时到达乙地． （1）求第二组的步行速度． （2）返回时，第二小组为了加快速度，准备进行提速，现有两种方案： 方案1：前半程速度为，后半程速度为； 方案2：全程速度均为；（方案中速度单位均为千米/小时） 其中和是不相等的正数，请比较哪种方案平均速度更快，并说明你的理由． 【答案】（1）千米/小时 （2） 解：方案2的平均速度更快， 理由如下： 方案1中，全程的平均速度为： (千米/小时)， 和是不相等的正数， ， ， ， ， ， 故方案2的平均速度更快． 【解析】 【分析】(1)根据第二组的速度可得出第一组的速度，依据“时间=路程÷速度”即可找出第一、二组分别到达的时间，再根据第一组比第二组早小时到达乙地，即可列出分式方程，由此即可得出结论； (2)首先求得方案1中全程的平均速度，再与方案2中全程的平均速度进行比较，即可解答． 【小问1详解】 解：设第二组步行的速度为x千米/小时，则第一组步行的速度为千米/小时， 根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 答：第二组的步行速度为千米/小时； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了分式方程的应用，整式的加减及大小的比较方法，根据题意正确列出分式方程及代数式是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期中质量检测 八年级数学试卷 温馨提示：本试题满分120分．考试时间90分钟． 一、用心选一选（每小题3分，共36分，每个小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，真命题是（　　） A. 相等的角是对顶角 B. 如果，那么 C. 内错角相等 D. 同旁内角互补 3. 下列实数中的无理数是（　　） A. 3.14 B. C. D. 4. 不改变分式的值，下列各式中变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果分式的值为0，那么x的值是（　　） A. B. C. 或 D. 6. 如图，数轴上的A，B，C，D四个点中，表示的点是（　　） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 7. 如图，已知六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 8. 若，，则（ ） A. B. C. D. 9. 小明在解关于x的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程有增根无解，则被污染的数字为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 10. 如图，在方格纸中，以为一边作，使之与全等，从，，，四个点中找出符合条件的点，则点有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 11. 下表是学习分式方程应用时，老师提出的问题和两名同学用两种方法列出的正确方程． 问题：甲、乙两地相距，搭乘高铁列车从甲地到乙地比搭乘普通列车少用9小时，已知高铁列车的平均行驶速度是普通列车的2.8倍． 小明： 小红： 下列判断正确的是（ ） A. 小明假设的未知数是高铁列车的平均速度 B. 高铁列车的平均速度为100千米/时 C. 小红假设的未知数是搭乘普通列车从甲地到乙地的时间 D. 普通列车从甲地到乙地的时间是14个小时 12. 如图，在中，，，，，则（ ） A. B. C. D. 二、仔细填一填（每小题3分，共12分） 13. 分式与的最简公分母是____________． 14. 已知是无理数，且，写出一个满足条件的的值是______________． 15. 如图，在和中，，添加一个条件：______，使得． 16. 的解为_______． 三、答一答，相信你一定能行！（共包括8道大题，72分） 17. 解分式方程：． 18. 已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． （1）直接写出的值． （2）在（1）的条件下，当分式的值为正整数时，求整数的值． 19. 如图，一只蚂蚁从点沿数轴向左爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． （1）实数的值是 ； （2）求的值； （3）在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的立方根． 20. 如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 21. 老师给出一道数学题，由学生接力完成分式的计算，如图所示，每人只能看到前一人传过来的式子． （1）这个“接力游戏”中计算错误的同学有 ； （2）请你写出正确的解答过程； （3）从“，0，1”中选择一个合适的数作为的值，代入求该分式的值． 22. 【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 23. 已知：如图，在中，于点D，为上一点，且，交于点． （1）求证：； （2）连接，作交于点G，求证：； （3）若，求的长． 24. 两个小组同时从甲地出发，匀速步行到乙地，甲乙两地相距千米，第一组步行的速度是第二组的倍，并且比第二组早小时到达乙地． （1）求第二组的步行速度． （2）返回时，第二小组为了加快速度，准备进行提速，现有两种方案： 方案1：前半程速度为，后半程速度为； 方案2：全程速度均为；（方案中速度单位均为千米/小时） 其中和是不相等的正数，请比较哪种方案平均速度更快，并说明你的理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $