第1章 《勾股定理》 单元巩固练习 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

《勾股定理》 单元巩固练习 一．选择题（共10小题） 1．下列各组数据中是勾股数的是（　　） A．0.6，0.8，1 B． C．4，5，7 D．7，24，25 2．用下列长度的三根木条首尾相接组成一个封闭木框，则能组成一个直角三角形木框的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，5 C．5，6，7 D．6，7，8 3．如图，若正方形A，C的面积分别为25和9，则正方形B的面积是（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 4．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（　　） A． B． C． D． 5．下列条件中，哪个不能够判断一个三角形是直角三角形（　　） A．∠A＝∠B+∠C B．a2：b2：c2＝3：4：5 C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝12，b＝16，c＝20 6．等腰三角形的底边长为6，腰长为5，则底边上的高为（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 7．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是29，每个直角三角形的较短直角边均为2，则中间小正方形（阴影部分）的周长为（　　） A．29 B．14.5 C．14 D．12 8．如图在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1m，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m，由此可计算出学校旗杆的高度是（　　） A．8m B．10m C．12m D．15m 9．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． 如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD＝6m），踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　）m． A． B． C．6 D． 10．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S1＝6，S3＝15．则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B．9 C． D． 二．填空题（共5小题） 11．△ABC中，O是两内角平分线的交点，AC＝6，BC＝8，BA＝10，O到AB的距离是 　 　 ． 12．一个三角形的三边长的比为3：4：5，且其周长为24cm，则其面积为　 　 ． 13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是∠BAC的平分线，若CD＝3，DB＝5，则AC的长为 　 　 ． 14．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的边长是 　 　 ． 15．转化是解决数学问题的一种重要策略，可将不规则的图形转化为规则图形，达到化繁为简、化难为易、化不熟悉为熟悉的目的．如图，是两个部分重合的等腰直角三角形，腰长分别为a，b（a＞b），a+b＝7，a﹣b＝2，阴影部分面积分别为S1，S2，则S1﹣S2＝ 　 　 ． 三．解答题（共7小题） 16．如图，已知在△ABD中，∠ABD＝90°，AB＝8，AD＝17，BC＝9，CD＝12，求△BCD的面积． 17．如图，在△ABC中，AC＝13cm，AB＝12cm，BC＝5cm，D是BC延长线上的点，连接AD，若AD＝15cm． （1）求CD的长； （2）过点C作CE⊥AD交AD于点E，求CE的长． 18．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD为160km． （1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？ （2）如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 19．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问葭长几何． 注释：今有正方形水池边长1丈，芦苇生长在中央，长出水面1尺．将芦苇向池岸牵引，恰好与水岸齐，问芦苇的长度（一丈等于10尺）． 解决下列问题： （1）示意图中，线段AF的长为　 　 尺，线段EF的长为　 　 尺； （2）求芦苇的长度． 20．我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差．如图1，△ABC中，AD为BC边上高，边BC的“边高差”等于BC﹣AD，记为h（BC）． （1）如图2，若△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝5，BD＝3，则h（BC）＝　 　 ； （2）若△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝15，求h（AC）的值； （3）若△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD为12，求h（BC）的值． 21．项目化学习 项目主题：测量风筝离地面的垂直高度． 项目背景：风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．某校综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开项目化学习． 研究步骤： 1．抽象模型．该小组画出了如图1所示的示意图，其中点A为风筝所在的位置，BC为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，AB为风筝线的长度，AD为风筝到地面的垂直距离． 2．测量数据．小组成员测量了相关数据，测得BC长为48米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为50米，牵线放风筝的手到地面的距离CD为1.5米． 问题解决：根据此项目实施的相关材料完成下列任务： （1）在图1中，根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度AD． （2）如图2，若想要风筝沿DA方向再上升16米到达点E，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线BC方向前进多少米？ 22．数学家发现在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方．如图①，设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b（a＜b），斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：a2+b2＝c2． （1）如图②所示，将4块与图①完全相同的直角三角形拼成一个边长为c的正方形ABCD，则四边形EFGH是一个 　 　 （填“长方形”或“正方形”），其面积为 　 　 （用含a、b的代数式表示）； （2）观察图②，利用面积之间的恒等关系，试说明a2+b2＝c2的正确性； （3）如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝12，BC＝20，利用上面的结论求EF的长． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D B B B D C B D 二．填空题 11．2． 12．24cm2． 13．6． 14．略 15．7． 三．解答题 16．解：在△ABD中，∠ABD＝90°，AB＝8，AD＝17， ∴BD15， ∵BC2+CD2＝92+122＝225，BD2＝152＝225， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形， ∴∠BCD＝90°， ∴△BCD的面积BC•CD9×12＝54． 17．解：（1）∵AC＝13cm，AB＝12cm，BC＝5cm， ∴AC2＝169，AB2＝144，BC2＝25， ∴AC2＝AB2+BC2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ABD＝90°， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：， ∴CD＝BD﹣BC＝9﹣5＝4（cm）， ∴CD的长为4cm； （2）由（1）得CD＝4cm，∠ABD＝90°， ∴AB⊥BD， ∵CE⊥AD， ∴， ∴， ∴15CE＝48， ∴， ∴CE的长为cm． 18．解：（1）由题意可知，AD⊥BC，AB＝340km，AD＝160km， 在Rt△ABD中，， ∵300÷20＝15， ∴台风中心经过15h从B点移到D点； （2）如图，在射线BC上取点E、F，使得AE＝AF＝200km， 由AD⊥BC得DE＝DF， 在Rt△AED中，， ∴EF＝2ED＝240km， ∴t＝240÷20＝12， ∴A市受到台风影响的时间持续12h． 19．解：（1）线段AF的长为5尺，线段EF的长为1尺； 故答案为：5，1； （2）设芦苇的长度x尺， 则图中AG＝x，GF＝x﹣1，AF＝5， 在Rt△AGF中，∠AFC＝90°， 由勾股定理得 AF2+FG2＝AG2． 所以 52+（x﹣1）2＝x2， 解得 x＝13， 答：芦苇的长度为13尺． 20．解：（1）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD， ∴AD⊥BC，BD＝DC， ∵BD＝3， ∴BC＝6， ∴h（BC）＝BC﹣AD＝6﹣5＝1， 故答案为：1； （2）如图，过点B作BD⊥AC， ∵∠B＝90°， ∴由勾股定理得AB2+BC2＝AC2， ∵AB＝8，BC＝15， ∴AC＝17， ∵S△ABC， ∴BD， ∴h（AC）＝17； （3）如图，当△ABC是锐角三角形时， 在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2， ∵AB＝15，AD＝12， ∴BD＝9， 在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2， ∵AC＝13，AD＝12， ∴CD＝5， ∴BC＝14， ∴h（BC）＝14﹣12＝2； 如图，当△ABC是钝角三角形时， 在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2， ∵AB＝15，AD＝12， ∴BD＝9， 在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2， ∵AC＝13，AD＝12， ∴CD＝5， ∴BC＝4， ∴h（BC）＝4﹣12＝﹣8， 综上h（BC）的值为2或﹣8． 21．解：（1）Rt△ABC中，AC米， ∴AD＝AC+CD＝14+1.5＝15.5米， 答：此时风筝离地面的垂直高度AD为15.5米． （2）CE＝AC+AE＝14+16＝30米， 由题意可得：EF＝AB＝50米， Rt△EFC中，CF米， ∴BF＝BC﹣CF＝48﹣40＝8米， 答：他应该朝射线BC方向前进8米． 22．解：（1）由题意知：∠HEF＝∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°， EF＝FG＝GH＝HE＝b﹣a， ∴四边形EFGH是一个正方形，且边长为（b﹣a）， 故答案为：正方形，（b﹣a）2； （2）∵S正方形ABCD＝4×SRt△ABE+S正方形EFGH， ∴c2＝4ab+（b﹣a）2， 整理，得a2+b2＝c2， 故a2+b2＝c2的正确； （3）∵ABCD是长方形，△AFE是由△ADE折叠得到的， ∴AF＝AD＝BC＝20，DC＝AB＝12，EF＝DE， 在Rt△ABF中， ∵AB＝12， ∴由勾股定理，得BF16， ∴CF＝BC﹣BF＝20﹣16＝4， 设EF＝x，则EC＝DC﹣DE＝12﹣x， 在Rt△EFC中， 由勾股定理，得EF2＝CF2+EC2， 即x2＝42+（12﹣x）2， 解得x， 即EF的长为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/1 18:47:55；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $