13.2 勾股定理的应用 同步练习 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

13.2 勾股定理的应用 一．选择题 1．如图，某人持竿进门，已知门高为2米．将竿横放则比门宽长1米，将竿斜放则刚好与门框对角线长度相等，则竿的长度为（　　） A．2.2米 B．1.9米 C．2.5米 D．2米 2．如图，一棵大树在一次强台风中在距地面5m处折断，倒下后树顶着地点A距树底B的距离为12m，则这棵大树在折断前的高度为（　　） A．10 B．17 C．18 D．20 3．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.5m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD＝3m），踏板离地的垂直高度CF＝2.5m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A．3.4m B．3.25m C．4m D．5.5m 4．数学活动课上，赵奕用同样的火柴棒摆直角三角形，他摆两条直角边分别用了3根和4根火柴棒，他摆完这个直角三角形共用火柴棒（　　） A．14根 B．12根 C．11根 D．10根 5．如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（　　） A．64 B．18 C．36 D．100 6．如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2m．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B往外移（　　）m． A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 7．如图是一个底面半径为5cm，高为24cm的圆柱形花器（壁厚不计），插花时，小颖同学为了使效果美观（花茎不超出花器口），需预留花茎最长为（　　） A．24cm B．26cm C．28cm D．30cm 8．如图是一个围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则黑、白两棋子的距离为（　　） A．4 B．5 C．7 D．25 9．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ACB是（　　） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．余角 10．如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为（　　）米． A．4米 B．5米 C．7米 D．8米 二．填空题 11．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向西北方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 　 　 海里． 12．如图，已知钓鱼竿AC的长为10m，露在水面上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'为8m，则BB'的长为 　 　 m． 13．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′（示意图如图，则水深为　 　 尺． 14．如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形ABCD，其中AE＝4，AB＝5，则DE的值是　 　 ． 15．为了强化实践育人，开展劳动教育和综合实践活动，某中学现有一块四边形的空地ABCD，如图，学校决定开发该空地作为学生的综合实践基地．经学校课外实践小组测量得∠BAD＝90°，AD＝9米，AB＝12米，BC＝17米，CD＝8米，则四边形ABCD的面积为　 　 平方米． 三．解答题 16．清明节假期，八年级数学兴趣小组的同学来到城区广场放风筝，他们想知道风筝离地面的垂直高度，于是想利用所学数学知识来解决此问题，通过勘测，得到如下记录表： 模型抽象 测绘数据 ①测得放风筝的手B到地面的距离BE为1.7米； ②测出放风筝的手B到铅垂线AD的水平距离BC为15米； ③通过手中剩余线的长度，计算出了风筝拉线AB的长为17米． 相关说明 点A，B，C，D，E在同一平面内，直线DE表示水平地面． 请你根据记录表信息，完成下面的任务： （1）求风筝离地面的垂直高度AD； （2）如果想要风筝沿DA方向再上升12米，BC长度不变，则需再放出多少米的风筝拉线？ 17．为了绿化环境，习之学校有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，，，BC＝12m，CD＝13m． （1）求出空地ABCD的面积． （2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？ 18．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米． （1）CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明，并写出CH为最近路的依据； （2）求新路CH比原路CA少多少千米？ 19．小颖学习小组在活动课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 利用旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度 模型抽象 测绘数据 ①绳子紧贴着旗杆AB垂直向下，再把多余的绳子BC拉直，测得多余的绳子长度为2m． ②拉直绳子AC，使绳子末端C刚好与地面上的点D重合，测量旗杆底部点B到绳子终点D的距离，即BD＝8m． 说明 点A，B，D在同一平面上． 请根据表格信息，解答下列问题．， （1）求旗杆的高度AB的长； （2）由于实际需要，现在要把旗杆增高4m，若绳子还能拉到点D处，则绳子至少要加长多少米？（结果保留一位小数） 20．如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测AB＝8dm，BC＝8dm，CD＝12dm，AD＝17dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（∠ABD＝90°即）．通过计算说明该车是否符合安全标准． 21．根据背景素材，探索解决问题． 测量风筝离地面的垂直高度（CD） 背景素材 风筝起源于中国，最早的风筝是由古代哲学家墨翟制造的，是用木头制成木鸟．后来其学生鲁班用竹子改进，演变成为今日的多线风筝．到南北朝时期，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间开始用纸来裱糊风筝，称之为“纸鸢”． 操作步骤 ①先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15米． ②测得牵线放风筝的手的位置A处到地面的距离AB为1.5米；（备注：点A，B，C，D在同一平面内．） 问题解决 任务一 （1）如图1，根据手中余线长度，计算出AC的长度为17米，求风筝离地面的垂直高度CD．（提示：过点A作AE⊥CD于点E） 任务二 （2）如图2，在任务一的基础上，若手中剩余线仅有6米时，想要风筝沿射线DC方向再上升12米，即CF＝12米，线段BD的长度不变，请问能否成功？并说明理由． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B B C B B B A C 二．填空题 11．40． 12．2． 13．12． 14．． 15．114． 三．解答题 16．解：（1）根据题意，得：∠BCD＝∠CDE＝∠BED＝90°， ∴四边形BEDC是矩形， ∴CD＝BE＝1.7米， 由题意得：BC＝15米，∠ACB＝90°，AB＝17米， ∴在Rt△ABC中，AC8（米）， ∴AD＝AC+CD＝9.7米． （2）∵风筝沿DA方向再上升12米后， ∴AC＝8+12＝20米， ∴此时风箏线的长为25（米）， ∴风箏应该再放出线的长度为25﹣17＝8米， 答：需再放出8米线． 17．解：（1）连接BD， 在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝8+17＝25＝52， 在△CBD中，CD2＝132，BC2＝122， 而122+52＝132， 即BC2+BD2＝CD2， ∴∠DBC＝90°， 则S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC•AD•ABDB•BC212×5＝（30）（平方米）； （2）所以需费用（30）×200＝（2006000）（元）． 答：总共需投入（2006000）元． 18．解：（1）是，理由如下： ∵CB＝10km，CH＝8km，HB＝6km， ∴CH2+HB2＝82+62＝100，CB2＝102＝100， ∴CH2+HB2＝CB2， ∴△CHB是直角三角形， ∴CH⊥AB， ∴CH是为从村庄C到河边的最近路， CH为最近路的依据为垂线段最短； （2）解：设AC＝xkm， ∵AB＝AC， ∴AB＝xkm，AH＝AB﹣BH＝（x﹣0.9）km， 在Rt△CHA中，AC2＝AH2+CH2，即x2＝（x﹣0.9）2+1.22， 解得x， ∴ACkm， ∴AC﹣CH1.2（km）， ∴新路CH比原路CA少km． 19．解：（1）由题意得，∠ABD＝90°， 设AB＝xm，则AD＝（x+2）m， 又∵BD＝8m， 在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2， ∴x2+82＝（x+2）2， 解得x＝15 答：旗杆AB的长为15m． （2）由（1）得AD＝17m，B＝15m， 如图，延长BA至点A′，使AA′＝4m，连接A′D， 则A′B＝A′A+AB＝4+15＝19（m）， 在Rt△A′BD中，由勾股定理，得， 则绳子至少要加长：20.6﹣17＝3.6（m）， 答：绳子至少要加长3.6m． 20．解：该车符合安全标准，理由如下： 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2+BD2＝AD2， ∴BD2＝AD2﹣AB2＝172﹣82＝225（dm2）， ∵BC2+CD2＝82+122＝208（dm2）， ∴BC2+CD2≠BD2， ∴△BCD不是直角三角形，且∠BCD≠90°， ∴该车不符合安全标准． 21．解：（1）过点A作AE⊥CD于点E， 则四边形ABDE是矩形， ∴AE＝BD＝15 米，DE＝AB＝1.5 米， 在Rt△AEC中， 由勾股定理得：CE8（米）， ∴AD＝AC+CD＝8+1.5＝9.5（米）， 答：风筝离地面的垂直高度为9.5米； （2）不能成功，理由如下： 如图，风筝沿射线DC方向再上升12米时，EF＝12+8＝20（米）， 在Rt△AEF中，AE＝15米， 由勾股定理得：AF25（米）， ∵AC＝17 米，余线仅剩6米， ∴17+6＝23＜25， ∴不能上升12米，即不能成功． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/1 18:37:23；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $