精品解析：湖南省永州市跨世纪天成高级中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

2025年下期天成高中高一年级期中考试 数学试题 命题：唐步云、周子云 审题：周子云、唐步云 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合是小于9的正整数，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据描述法写出集合，再求交集即可. 【详解】由题知：集合，故， 故选：C. 2. 设，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作差法比较大小即可. 【详解】， ， 故选：A 3. 已知，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案. 【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立； 由，则，即，显然成立，必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B 4. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】法一：将含绝对值的函数解析式化成分段函数解析式，结合函数性质可得；法二：取特殊值点且，用排除法可得解. 【详解】法一：函数的解析式可化为，显然函数在上单调递减，在上单调递增，且． 法二：由且，知图象过点、，排除A、C、D． 故选：B. 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值判断A，利用不等式的性质判断B、C、D； 【详解】解：对于A：当时，故A错误； 对于B：因为，所以，所以，所以，即，故B错误； 对于C：由，则，，所以，故C错误； 对于D：由，所以，所以，故D正确； 故选：D 6. 下列命题正确的是（ ）. A. 是函数 B. 与是相同函数 C. 设集合，，则右图是从集合到集合的一个函数 D. 函数的图象与直线的交点最多有1个 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数的定义逐项分析判断. 【详解】对于A，由，得，此不等式组无解，不是函数，A错误； 对于B，的值域为，的值域为R，它们不是相同函数，B错误； 对于C，由给定的图知，集合中没有元素与集合中元素2对应， 因此给定图形不是从集合到集合的函数，C错误； 对于D，函数的图象与垂直于轴的直线最多1个交点， 因此函数的图象与直线的交点最多有1个，D正确. 故选：D 7. 已知函数满足，则的解析式为（ ）. A. ， B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用立方差公式以及换元法可求出函数的解析式. 【详解】因为函数满足， 即， 令，则，故. 故选：C. 8. 已知实数满足，则的最小值为( ) A. 2 B. 1 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】将a-1和b-1看作整体，由构造出，根据即可求解． 【详解】由得，因式分解得， 则，当且仅当时取得最小值． 故选：A． 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 9. 下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数的定义域为， ，即函数为偶函数，A不满足要求； 对于B选项，函数的定义域为， ，即函数为奇函数，B满足要求； 对于C选项，函数的定义域为， ，即函数为奇函数，C满足要求； 对于D选项，函数的定义域为， 且，即函数不是奇函数，D不满足要求. 故选：BC. 10. 设集合，集合，若，实数取值的集合，则下列命题正确的为（ ） A. B. C. 集合的非空子集为7个 D. 集合的子集为4个 【答案】AC 【解析】 【分析】求出集合，再根据分情况讨论集合，进而求出实数取值的集合，依次判断选项即可. 【详解】由题可得：，因为， 当时，； 当时，，则或，解得：或， 所以实数取值的集合， 则，故A正确；B错误； 集合的子集为个，非空子集为个，故C正确，D错误； 故选：AC 11. 若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”.例如函数，与函数，即为“同值函数”.给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是（ ）. A. ，（表示不超过x的最大整数） B. ， C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据特例可判断AC的正确，根据单调性可判断BD的正误. 【详解】对于A，分别取定义域为， 则在上的值域均为，故A正确； 对于C，分别取定义域为， 由双勾函数的单调性可得在上为减函数，在上为增函数， 故在上的值域为，在上的值域也为， 故C正确； 对于B，在为增函数，故当定义域不相同时值域必不同， 故B错误； 对于D，， 故在、均为增函数， 而当时，；当时，，故在不同的定义域上值域必不同， 故D错误. 故选：AC. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分，） 12. 函数的值域为__________； 【答案】 【解析】 【分析】先常数分离，再应用不等式性质计算求解值域. 【详解】函数， 因为，所以， 所以； 所以函数值域为. 故答案为：. 13. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，不等式对任意的恒成立，可得出，即可解出实数的取值范围. 【详解】由于命题“，”是假命题， 则命题“，”为真命题， ，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查根据特称命题的真假求参数，将问题转化为二次不等式恒成立问题是解答的关键，考查运算求解能力，属于基础题. 14. 已知不等式的解集为，其中，则关于x的不等式的解集为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式解的形式可用表示，代入新不等式后利用一元二次不等式的解法可求不等式的解. 【详解】因为不等式的解集为，其中， 故， 故不等式可化为， 故，而，故， 故不等式的解为，即解集为， 故答案为：. 四、解答题：（本大题共5个小题，共77分） 15. （1）若均为正实数，且,求的取值范围； （2）设,给定, 已知. ①求的解析式； ②求. 【答案】（1）;（2）①;② 【解析】 【分析】（1）运用基本不等式的知识求解即可； （2）根据给定函数的定义，比较与的函数值大小，写出分段函数解析式，再依次求解即可. 【详解】（1）解：∵,,, ∴ ∴ 解得（舍去），或 于是, 故的取值范围是. （2）∵, ∴当时，,即. 于是，. 当或时，, 于是，. 综上可得，. ∴, ,. 16. 设，，. （1）求； （2）若，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意求解，再求；（2）分类，，进行求解. 【小问1详解】 ∵ ∴ 于是， ∴ 【小问2详解】 由（1）得 令 ∵ （ⅰ）当时，，∴不等式无解，故， （ⅱ）当时，，∴ 又 ∴ 解得 于是， （ⅲ）当时， ∴ 又 ∴ 解得 于是， 综上可得，实数的取值范围是. 17. 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，万元；在年产量不小于8万件时，万元，每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完． （1）写出年利润万元关于年产量x万件的函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本) （2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元 【解析】 【分析】（1）根据已知，分以及，分别求解，即可得出函数解析式； （2）分为以及两种情况，根据二次函数的性质以及基本不等式，即可得出答案. 【小问1详解】 因为每件产品售价为5元，则x（万件）商品销售收入为5x万元，依题意得： 当时，， 当时，， ∴． 【小问2详解】 当时，， 当时，取得最大值9； 当时，， 此时，当即时，取得最大值. 综上所述，年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元. 18. 已知定义域为的函数对、都有，，且当时，. （1）求； （2）判断在上的单调性，并证明你的结论； （3）若不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2）在上是减函数，证明： 设， 则 ∵，∴， 又，∴， 即，故在上是减函数； （3） 【解析】 【分析】（1）应用赋值法计算求值； （2）判断函数单调性，再应用单调性定义证明； （3）应用函数是减函数得出不等关系，再结合基本不等式得出最大值进而得出参数范围. 【小问1详解】 令得， 任意x，，于是； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得，在上是减函数， ∴不等式恒成立， 所以恒成立， 即恒成立， ∴， 又， 当且仅当等号成立， ∴的最大值为， 即的最大值为，于是， 故. 19. 已知函数. （1）当时，写出函数的单调递增区间； （2）求所有实数a，使得对任意时，函数的图象总在的图象下方； （3）若存在，使得关于x的方程有三个不相等的实数根，求t的取值范围. 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）带入，将分段函数求出，即可判断单调性； （2）将“函数的图象总在的图象下方”转化成不等式，分离参数解不等式即可； （3）分别讨论对称轴与的大小，再分离参数，借助函数图像的交点个数等价于方程根的个数来求解t的取值范围. 【小问1详解】 （1）当时，函数 ∴函数的单调递增区间是，； 【小问2详解】 依题意得对任意都成立等价于对任意恒成立. 于是即对任意的恒成立. 即当时，，且 而函数在区间上单调递增 ∴ 函数在区间上单调递增 ∴ 综上可得，实数a的取值范围是. 【小问3详解】 由题知： ∵，，， （ⅰ）当时， ，，于是，可得的图象如图， 据图可得，在上是增函数，不合题意. （ⅱ）当时，，，于是，可得的图象，如图， 由题意得， 即 ∴ 又当时， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下期天成高中高一年级期中考试 数学试题 命题：唐步云、周子云 审题：周子云、唐步云 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合是小于9的正整数，，则（ ）. A. B. C. D. 2. 设，，则有（ ） A. B. C. D. 3. 已知，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 下列命题正确的是（ ）. A. 是函数 B. 与是相同函数 C. 设集合，，则右图是从集合到集合的一个函数 D. 函数的图象与直线的交点最多有1个 7. 已知函数满足，则的解析式为（ ）. A. ， B. C. D. 8. 已知实数满足，则的最小值为( ) A. 2 B. 1 C. 4 D. 5 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 9. 下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 设集合，集合，若，实数取值的集合，则下列命题正确的为（ ） A. B. C. 集合的非空子集为7个 D. 集合的子集为4个 11. 若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”.例如函数，与函数，即为“同值函数”.给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是（ ）. A. ，（表示不超过x的最大整数） B. ， C. D. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分，） 12. 函数的值域为__________； 13. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是________. 14. 已知不等式的解集为，其中，则关于x的不等式的解集为_________. 四、解答题：（本大题共5个小题，共77分） 15. （1）若均为正实数，且,求的取值范围； （2）设,给定, 已知. ①求的解析式； ②求. 16. 设，，. （1）求； （2）若，求a的取值范围. 17. 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，万元；在年产量不小于8万件时，万元，每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完． （1）写出年利润万元关于年产量x万件的函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本) （2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知定义域为的函数对、都有，，且当时，. （1）求； （2）判断在上的单调性，并证明你的结论； （3）若不等式恒成立，求实数m的取值范围. 19. 已知函数. （1）当时，写出函数的单调递增区间； （2）求所有实数a，使得对任意时，函数的图象总在的图象下方； （3）若存在，使得关于x的方程有三个不相等的实数根，求t的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $